Introdução aos Processos Multifásicos

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1 Introdução aos Processos Multifásicos Propriedades dos Escoamentos Dispersos Paulo L. C. Lage Programa de Engenharia Química COPPE/UFRJ COQ o Período de 2017

2 Tópicos 1 Espaçamento entre partículas 2 Números de Stokes 3 Escoamentos dispersos diluídos e densos 4 Acoplamento entre fases Classificação do acoplamento Acoplamento de massa Acoplamento de quantidade de movimento Acoplamento de energia

3 Espaçamento entre partículas Modelo celular O comportamento do escoamento disperso depende muito do valor da distância média entre as partículas, L. Usualmente, utiliza-se um modelo celular para estimar a razão L/D Assumindo partículas esféricas de diâmetro D e usando a célula cúbica, tem-se que: α D = πd3 6L 3 L D = ( π 6α D ) 1/3 O empacotamento máximo (L/D = 1) predito leva a α D,max = π/6 = 0,52, o que não é real (α D,max 0,74 para esferas de mesmo tamanho).

4 Espaçamento entre partículas Em termos da razão mássica A razão mássica entre as fases pode ser escrita por C = w D w C = α Dρ D α C ρ C = Definindo κ = C(ρ C /ρ D ), tem-se que α D 1 α D ρ D ρ C Logo: ( L π D = 6 α D = κ 1 + κ ) 1 + κ 1/3 ( ) 1 1/3 0,8 κ κ + 1

5 Espaçamento entre partículas Critério de partícula isolada As partículas de um escoamento disperso podem ser consideradas isoladas, isto é, com pequeno efeito da presença das outras partículas sobre sua interação com a fase contínua (forças de interação, troca de calor,... ), se ( ) L 1 1/3 D 0,8 κ Exemplos (variáveis expressas em ordem de grandeza): escoamento ρ C /ρ D C κ α D L/D aerosóis e sprays , leitos fluidizados ,6 0,4 1 coluna de bolhas ,2 0,2 1 coluna de bolhas emulsão 1 0,2 0,2 0,2 1

6 Números de Stokes As partículas da fase dispersa respondem às variações da fase contínua com tempos característicos de relaxação, por exemplo, para a velocidade e a temperatura, esta última para uma troca de energia por convecção térmica: t u = 1 D 2 ρ D, t T = c Dρ D D 2, 18 ν C ρ C 12k C t T = 3 c D Pr C t u 2 c C Sendo t F o tempo característico associado à variação de um determinado processo no escoamento na fase contínua, pode-se definir números de Stokes para cada processo: St u = t u t Fu, St T = t T t FT, St T = t T = 3 c D Pr C (se t FT = t Fu ) St u t u 2 c C Note que os número de Stokes de cada processo podem diferir não só porque t u t T mas também pelo fato que t Fu e t FT não são, necessariamente iguais.

7 Número de Stokes para a velocidade Relação com razão de velocidades Seja equação dinâmica de uma partícula na direção (1) onde a gravidade não atua e com o arrasto do regime de Stokes: D D V 1 D D (t/t u ) = W 1 = (U 1 V 1 ) Assuma que U 1 e V 1 variam, mas que a sua razão φ = V 1 /U 1 não varia (constant lag solution). Assim: φ D DU 1 D D t = U 1 t u (1 φ) Porém, a variação de U 1 ao longo da trajetória das partículas pode ser aproximada usando o tempo característico t Fu : D D U 1 U 1 /t Fu D D t

8 Números de Stokes Velocidade relativa entre fases Portanto: φst u 1 φ φ St u, 1 φ St u 1 + St u Se St u 0, então φ 1 e as partículas acompanham a fase contínua com a mesma velocidade, caracterizando um escoamento homogêneo. Se St u, então φ 0 e as partículas simplesmente não respondem à variação da velocidade da fase contínua (como as partículas de um leito fixo). Note que, estritamente, a hipótese de φ é violada neste caso.

9 Escoamentos diluídos e densos Escoamentos dispersos diluídos são aqueles onde o movimento das suas partículas são controlados pela sua interação com a fase contínua. Escoamentos dispersos densos são aqueles onde o movimento das suas partículas são controlados pela interação entre as próprias partículas. Definindo t c como o intervalo de tempo médio entre as colisões (contatos) das partículas e sendo t u o tempo de relaxação de velocidade das partículas, pode-se se definir o seguinte critério: Se t u t c < 1, o escoamento é diluído. Se t u t c > 1, o escoamento é denso.

10 Frequência de colisões Considere um grupo de partículas de diâmetro D no qual uma partícula está se movimentando com velocidade relativa V r. Em um intervalo de tempo δt, esta partícula intercepta todas as outras que estejam na região cilíndrica de raio D. Sendo n D a densidade numérica de partículas, o número de colisões é dado por: δn = n D πd 2 V r δt E a frequência de colisões é dada por: δn δt = f c = n D πd 2 V r

11 Intervalo de tempo médio entre colisões O intervalo médio de tempo entre colisões é dado por: t c = 1 f c = 1 n D πd 2 V r Assim, usando v D = πd 3 /6, v D n D = α D e C = ρ D α D /ρ C α C, temos: t u = π D 4 ρ D n D V r = 1 Dα D V r ρ D = 1 DCα C V r t c 18 µ C 3 ν C ρ C 3 ν C Uma análise mais detalhada, leva a: t u = 3 Dα D V r ρ D = 3 DCα C V r t c 4 ν C ρ C 4 ν C onde V r é a velocidade RMS da partícula (que é, aproximadamente, da ordem de grandeza de u rms ).

12 Limites do escoamento diluído O critério t u /t c < 1 pode ser usado para estimar limites para a validade do escoamento diluído. Exemplos: chuva com gotas de D = 2 mm, assumindo V r 1 m/s pela turbulência atmosférica (a velocidade terminal é de 6,5 m/s), ν C = m 2 /s, ρ D /ρ C = 10 3 : t u t c < 1 α D 10 5, possível, pois L D 37 spray (decano-ar) em combustor atmosférico com C = (queima estequiométrica), assumindo V r 0,1 m/s, pela turbulência do escoamento, e α C = 0,99: t u t c < 1 D 3,5mm, válido, pois D 200µm colunas de bolhas (ar-água), com D = 1 mm, assumindo V r 0,1 m/s, ν C = 10 6 m 2 /s, ρ D /ρ C = 10 3 : t u t c < 1 α D 40 3, válido, pois α D < 1

13 Classificação do acoplamento entre fases Escoamentos dispersos diluídos One-way coupling (1 via): quando o movimento das partículas não afeta o escoamento da fase contínua, ocorrendo apenas o inverso. Exemplo: arrasto sobre as partículas. Two-way coupling (2 vias): quando a presença das partículas afeta o escoamento da fase contínua. Exemplo: arrasto sobre a fase contínua, como o entranhamento de líquido em pluma de bolhas. Three-way coupling (3 vias): o movimento da partícula gera perturbações no escoamento da fase contínua que afetam o movimento das partículas vizinhas. Exemplo: redução do arrasto pela movimentação de uma bolha na esteira de outra. Four-way coupling (4 vias): dinâmica das colisões entre partículas. Exemplo: coalescência de bolhas e gotas.

14 Classificação do acoplamento entre fases Escoamentos dispersos densos Os escoamentos dispersos densos são controlados pela interação entre as partículas, cujas condições de atuação podem ser separadas em dois tipos: interação dominada pelas colisões: quando o tempo de contato entre as partículas, que ocorre nas colisões, é pequeno. Exemplo: leitos fluidizados interação dominada pelos contatos: quando o tempo de contato entre as partículas nas colisões é grande, com as partículas rolando e deslizando umas sobre as outras. Exemplo: transporte de sedimentos em um leito de partículas, dunas.

15 Avaliação do acoplamento de 2 vias Quando existe apenas acoplamento de 1 via, é muito mais fácil simular o escoamento bifásico, uma vez que o comportamento da fase contínua independente do da dispersa. Entretanto, o acoplamento de 2 vias pode ocorrer isoladamente em apenas um ou em vários dos processos de transporte (massa, calor, quantidade de movimento). Assim, é necessário ser capaz de estimar se existe o acoplamento para cada um dos processoss de forma separada, usando parâmetros de acoplamento.

16 Acoplamento de massa Considere o acoplamento de transporte de massa entre as fases. Assuma um volume de controle cúbico de um escoamento com partículas que trocam massa, por exemplo, gotas de um spray. A massa trocada pelas partículas é dada por Ṁ D = n D L 3 ṁ D = α D ρ D L 3 ṁd m D A massa transportada pela fase contínua através do volume é dada por Ṁ C α C ρ C L 2 u C

17 Acoplamento de massa Definição do parâmetro de acoplamento O parâmetro de acoplamento de massa pode então ser definido por Π m = ṀD α Dρ D L ṁ D = C L ṁ D Ṁ C α C ρ C u C m D u C m D Se Π m << 1, não há efeito da troca de massa no escoamento da fase contínua. Sendo t Fu = L/u C o tempo característico do escoamento e t m = m D /ṁ D o tempo característico de troca de massa, tem-se que: Π m C t Fu t m = C St m, St m = t m t Fu onde St m é o número de Stokes associado à transferência de massa entre as fases.

18 Acoplamento de quantidade de movimento Definição do parâmetro de acoplamento O parâmetro de acoplamento de momentum pode ser definido pela razão entre a força de arrasto atuando sobre a fase contínua pela taxa de quantidade de movimento da mesma no mesmo volume de controle. Π QM = F arrasto Ṗ C onde Ṗ C = α C ρ C u 2 C L2. Se Π QM << 1, a troca de quantidade de movimento tem acoplamento de 1 via. Usando a força de arrasto no regime de Stokes, o arrasto das partículas no volume de controle fica: F arrasto = n D L 3 3πµ C D(u C u D ) = n D L 3 3πDµ C u C (1 φ) onde φ = u D /u C = V/U.

19 Acoplamento de quantidade de movimento Assim: Porém: de forma que: Π QM = n DL α C ρ C u C 3πDµ C (1 φ) t u = ρ DD 2 18µ C, m D = ρ D π 6 D3 m D t u = 3πDµ C Usando n D m D = α D ρ D e t Fu = L/u C, tem-se que: pois St u = t u /t Fu. Π QM = α Dρ D α C ρ C t Fu t u (1 φ) = C St u (1 φ)

20 Acoplamento de quantidade de movimento Note que a expressão Π QM = C St u (1 φ) é mal determinada quando St u 0 pois, neste caso, φ 1 e (1 φ)/st u é indeterminado. Para levantar a indeterminação podemos usar a solução para φ constante, que permite escrever que: 1 φ St u 1 + St u Assim: Π QM = C 1 + St u

21 Acoplamento de energia Definição do parâmetro de acoplamento O parâmetro de acoplamento de energia pode ser definido pela razão entre o calor trocado entre as fases, Q D, pelo energia transportada pela fase contínua, Ė C : Π e = Q D Ė C onde, se e C = c C T C, tem-se que Ė C = α C ρ C u C L 2 c C T C. Para uma troca de calor entre partícula e fase contínua puramente convectiva, tem-se que: Q D = n D L 3 πdk C Nu D (T C T D )

22 Acoplamento de energia Parâmetro de acoplamento para troca por convecção Portanto: Porém: Π e = n ( D L 2πDk C Nu D 1 T ) D α C ρ C u C c C 2 T C t T = c Dρ D D 2 12k C, m D = ρ D π 6 D3 m D t T = 2πDk C c D Portanto, com n D m D = α D ρ D e t Fu = L/u C, tem-se que: Π e = α ( Dρ D t Fu c D Nu D 1 T ) D = C ( c D Nu D 1 T ) D α C ρ C t T c C 2 T C St T c C 2 T C Usando o limite difusivo (Nu D = 2) e como c D /c C 1, tem-se que: Π e C ( 1 T ) D, St T = t T St T T C t Fu

23 Acoplamento de energia A equação Π e C ( 1 T ) D St T T C também é indeterminada quando St T 0 pois T D /T C 1. Da mesma forma que com a troca de quantidade de movimento, pode-se definir φ T = T D /T C e usar a solução da conservação de energia para uma partícula sob a hipótese de φ T constante para provar que: 1 φ T St T 1 + St T Assim: Π e C 1 + St T

24 Acoplamento de energia Como temos que St T = t T = 3 c D Pr C Pr C St u t u 2 c C Assim, St T St u quando Pr C = O(1) Π e Π QM quando a fase contínua é um gás Pr C 1 ou um líquido pouco viscoso. Exemplo: para água líquida a 25C, Pr C 6, mas a 100C Pr C 1,8.

25 Acoplamento de energia Com mudança de fase Quando há mudança de fase, o calor trocado entre as fases é fundamentalmente calor latente, de forma que precisamos redefinir o parâmetro de acoplamento de energia para: Π el = Q Dl Ė C onde, tal como antes, Ė C = α C ρ C u C L 2 c C T C (ou Ė C = α C ρ C u C L 2 c C (T C T ref )), mas Q Dl é o calor latente trocado entre as fases: Q Dl = n D L 3 ṁ D h L onde h L é o calor latente de mudança de fase.

26 Acoplamento de energia Com mudança de fase Note que Q Dl = n D m D L 3 ṁd m D h L = α D ρ D L 3 t m h L onde t m = m D /ṁ D. Assim: Π el = α Dρ D t Fu h L α C ρ C t m c C (T C T ref ) = onde C St m B T St m = t m, B T = c C(T C T ref ) t Fu h L são, respectivamente, o número de Stokes associado a mudança de fase e o número de transferência de calor de Spalding. A análise do processo termo-mássico de mudança de fase de uma partícula é necessário para expressar t m e St m.

27 Sumário Escoamento multifásicos dispersos podem ser diluídos ou densos. Escoamento multifásicos dispersos diluídos tem diferentes níveis de acoplamento entre as fases. Para o acoplamento de 2 vias, definem-se parâmetros de acoplamento para cada processo de transporte. Cada parâmetro de acoplamento depende da razão mássica local entre as fases e de um número de Stokes do processo em questão. Próximas aulas: Dinâmica de Partículas Isoladas Interação Partícula-Parede e Partícula-Partícula.

28 Exercícios I 1 Use a solução da conservação de energia para uma partícula sob a hipótese de φ T = T D/T C constante para provar que: 1 φ T StT 1 + St T 2 O processo de vaporização de gotas (ou condensação sobre gotas) em ambientes aquecidos é um processo industrial de ampla aplicação (queimadores, motores de combustão interna, sprinklers, seções de spray de torres de destilação, spray dryers, torres de refrigeração, etc.). Considere o caso da vaporização de um líquido puro (A) em uma fase gasosa (componente B). Se a gotícula é suficientemente pequena para que a força de tensão interfacial a mantenha esférica e para que sua velocidade terminal seja praticamente zero, pode-se estudar a transferência simultânea de calor e massa na fase fasosa em torno da gota esférica asumindo um ambiente estagnado. O processo de mudança de fase ocorre sobre a superfície da gota e a energia necessária para o aquecimento da gota e a sua vaporização (calor de vaporização) precisa ser transportada do seio do gás para a sua superfície. Quando a temperatura da superfície da gota é baixa, a energia transportada pelo gás é quase totalmente usada para aquecer a gota. Com o tempo, chega-se a um estado pseudo-estacionário onde toda a energia transportada até a superfície da gota é utilizada na vaporização, e a temperatura do líquido atinge a chamada temperatura de equilíbrio, que é inferior a temperatura de ebulição do

29 Exercícios II líquido na pressão vigente devido a presença de gases não condensáveis, mas ela se aproxima da mesma quanto mais alta for temperatura do gás. Sob estas condições pseudo-estacionárias, é possível resolver o problema para obter: ṁ D = 2πD kc c C ln (1 + B T ) = 2πDρ CD C ln (1 + B A) onde cc(t Ts) YAs YA B T =, B A = h D(T s) 1 Y As são os número de transferência de calor e massa, respectivamente, s indica condição sob a superfície da gota, Y é a fração mássica do componente na fase gasosa (contínua), h D é o calor latente do líquido e D C é o coeficiente de difusão no gás. A igualdade acima é utilizada, junto com uma condição de equilíbrio de fases na superfície da gota, para calcula T s e Y As. Se T for bastante alto, T s se torna praticamente igual a temperatura de ebulição do líquido na pressão do sistema. Assuma esta aproximação nos itens a seguir. Utilizando o balanço de massa para a gota e a equação dada acima para a taxa de vaporização em função de B T obtenha a chamada d 2 -law : [D(t)] 2 = [D(0)] 2 Kt onde K é a chamada constante de vaporização. Determine a expressão literal de K.

30 Exercícios III Calcule o tempo característico de mudança de fase, t m. Para um sprinkler descarregando gotas de água de D = 100µm em um incêndio com T = 900K em uma sala de 3 metros de altura e à pressão atmosférica. Considerando que há uma velocidade de convecção no incêndio de 3 m/s e usando as propriedades da fase gasosa como as do ar na mesma temperatura, determine o número de Stokes St m. Se a fração de fase da fase dispersa no spray for de 0,02%, calcule os parâmetros de acoplamento de quantodade de movimento,π QM, e energia, Π el.

31 Crowe, C.; Sommerfeld, M.; Tsuji, Y. Multiphase Flows with Droplets and Particles. CRC Press Capítulo 2 Para leitura I