Modelos homogêneo e de deriva

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1 Modelos homogêneo e de deriva Departamento de Engenharia Mecânica, Escola Politécnica Escola Brasileira de Escoamentos Multifásicos (EBEM) Março 27-28, São Paulo Modelos homogêneo e de deriva 1 / 54

2 Outline 1 Equações de conservação 2 Modelo homogêneo 3 Modelo de fluxo de deriva (drift flux model) 4 Exemplo de aplicação HM Modelos homogêneo e de deriva 2 / 54

3 Aproximação 1-D Modelos homogêneo e de deriva 3 / 54

4 Conservação da massa Equações de conservação unidimensionais para as duas fases escoando em conjunto, com área de passagem variando suavemente na posição: t [α ρ 2 + (1 α) ρ 1 ] + 1 A s {[α ρ 2 u 2 + (1 α) ρ 1 u 1 ] A} = 0 (1) onde A é a área de passagem, s é a coordenada ao longo da posição axial, t é o tempo, u 1 e u 2 são respectivamente as velocidades da fase contínua e da fase dispersa, α é a fração de vazio da fase dispersa e ρ 1 e ρ 2 são respectivamente as massas específicas da fase contínua e da fase dispersa. Modelos homogêneo e de deriva 4 / 54

5 Conservação do momento linear Desprezando tensões normais (importantes em ondas de choque): t [α ρ 2 u 2 + (1 α) ρ 1 u 1 ] + 1 {[ α ρ2 u (1 α) ρ 1 u 2 } A s 1] A = P s τ P w w A + [α ρ 2 + (1 α) ρ 1 ] g s (2) onde g s e a componente da gravidade na direção axial, P é a pressão, P w é o perímetro da parede e τ w é a tensão de cisalhamento média na parede. Modelos homogêneo e de deriva 5 / 54

6 Conservação da energia Equação de conservação da energia (desprezando potência de tensões normais, condução de calor axial e fontes de potência térmica): ( [α ρ 2 û ) ( t 2 u2 2 + (1 α) ρ 1 û )] 2 u ( {[α ρ 2 ĥ ) ( A s 2 u2 2 u 2 + (1 α) ρ 1 ĥ ) ] } 2 u2 1 u 1 A = q w P h A + [α ρ 2 u 2 + (1 α) ρ 1 u 1 ] g s (3) onde ĥ 1 e ĥ 2 são respectivamente as entalpias específicas da fase contínua e da fase dispersa, P h é o perímetro aquecido da parede, q w é o fluxo de calor na parede (positivo quando sai do volume de controle do fluido) e û 1 e û 2 são respectivamente es energias internas específicas da fase contínua e da fase dispersa. Modelos homogêneo e de deriva 6 / 54

7 Introdução O modelo homogêneo (homogeneous model, HM) é o mais simples para tratar escoamentos multifásicos. Neste modelo é desprezado o escorregamento entre as fases, isto é, as duas fases se encontram bem misturadas e com a mesma velocidade (u 2 = u 1 = u). Os resultados obtidos com esse modelo têm aplicação prática em escoamentos onde: Uma das fases se encontra finamente dispersa na outra. Gotículas, névoa, partículas em suspensão e até técnicas de visualização de escoamentos baseadas em traçadores, como PIV (Particle Image Velocimetry) ou bolhas de hidrogênio são exemplos dessa situação. As fases se encontram a altas velocidades e com efeitos desprezíveis de estratificação. Como regra prática, o modelo homogêneo fornece resultados aceitáveis para escoamentos co-corrente a altas pressões e fluxos mássicos, tais que G > 2000 kg/m 2 /s e ρ 1 < 10, onde ρ 1 é a ρ 2 massa específica da fase mais pesada. Modelos homogêneo e de deriva 7 / 54

8 Relações básicas As equações de conservação (1) a (3) se reduzem a: t (ρ u) + 1 A s ρ t + 1 (ρ u A) = 0 (4) A s ( ρ u 2 A ) ( u = ρ t + u u s = P s τ w [ ρ (û + 12 )] t u2 + 1 A s ) P w A + ρ g s (5) [ ρ u (ĥ + 12 ) ] u2 A P h = q w A + ρ u g s (6) Modelos homogêneo e de deriva 8 / 54

9 Relações básicas As variáveis da mistura estão definidas como: ρ = α ρ 2 + (1 α) ρ 1 (7) û = α ρ 2 û 2 + (1 α) ρ 1 û 1 ρ (8) ĥ = α ρ 2 ĥ2 + (1 α) ρ 1 ĥ 1 (9) ρ As equações são coincidentes com as de um pseudo-fluido monofásico com propriedades médias dependentes das propriedades das fases e da concentração; consequentemente, podem ser aplicadas técnicas conhecidas de escoamentos monofásicos. Notar que a concentração das fases não aparece em forma explícita nas equações de conservação, sendo importante na determinação das propriedades da mistura e nas leis de fechamento. Jorge Luis Considerando Baliño escorregamento S = 1 na relação Modelos homogêneo e de deriva 9 / 54

10 Relações básicas Considerando escorregamento S = 1 na relação S = u 2 u 1 = x 1 α ρ 1 (15) 1 x α ρ 2 resulta que a fração de vazio e o título mássico x, para massas específicas conhecidas, não são independentes: α = x (16) ρ 2 x ρ 1 Modelos homogêneo e de deriva 10 / 54

11 Relações básicas As variáveis de mistura das equações (7) a (9) podem ser re-escritas como: 1 ρ = x + 1 x (17) ρ 2 ρ 1 û = x û 2 + (1 x) û 1 (18) ĥ = x ĥ 2 + (1 x) ĥ 1 (19) Como o volume específico v = 1 ρ e como as velocidades são iguais, o título mássico e o título termodinâmico coincidem e as variáveis médias resultam as ponderadas com a conhecida "regra da alavanca" em termodinâmica de mudança de fase. Modelos homogêneo e de deriva 11 / 54

12 Cálculo do gradiente de pressão Para escoamento permanente, as equações (4) a (6) resultam: onde W é a vazão mássica total. ρ u du ds = W2 A W d ds ρ u A = W = const (20) d ds ( ĥ ( 1 ρ A W 2 ρ 2 A 2 ) = dp ds τ P w w A + ρ g s ) (21) = q w P h + W g s (22) Da Eq. (21) o gradiente de perda de pressão pode ser escrito como: dp ( ) ds = W2 d 1 P w + τ w A ds ρ A A ρ g s ( = dp ) ( + dp ) ( + dp ) (23) ds ds ds A F G Modelos homogêneo e de deriva 12 / 54

13 Cálculo do gradiente de pressão As contribuições ao gradiente de perda de pressão por aceleração, atrito e gravitacional estão definidos como: ( dp ) ds A ( dp ) ds ( dp ) ds = W2 F G A ( ) d 1 ds ρ A = τ w P w A (24) (25) = ρ g s (26) Modelos homogêneo e de deriva 13 / 54

14 Multiplicador de duas fases Para correlacionar quedas de pressão por atrito são definidos os multiplicadores de duas fases, que relacionam os gradientes de pressão por atrito e os gradientes de pressão para escoamentos monofásicos de referência, por exemplo: ( dp ) φ 2 f 0 = ds ) ( dp ds onde ( dp ) ds é o gradiente de pressão correspondente à fase líquida f 0 escoando com o fluxo mássico da mistura. F f 0 (27) Modelos homogêneo e de deriva 14 / 54

15 Multiplicador de duas fases Supondo um duto de seção circular de diâmetro D, resulta: ( dp ) f f G 2 ds ρ f D f f = f = 1 f 0 2 ( Re f, ɛ D ) (28) (29) Re f = G D µ f (30) sendo f o fator de atrito de Darcy. O modelo homogêneo prediz: ( φ 2 f 0 )hm = f f f ρ f ρ (31) onde a viscosidade da mistura utilizada para calcular o fator de atrito da mistura é calculada com correlações convenientes. A definição do multiplicador de duas fases da Eq. (27) é geral e válida para diferentes modelos de escoamento multifásico. Modelos homogêneo e de deriva 15 / 54

16 Escoamentos barotrópicos. Velocidade do som Por analogia com escoamento monofásico, é definido um escoamento barotrópico como aquele onde ρ = ρ (P). Em escoamentos monofásicos, essa condição pode ser atingida em escoamentos isentrópicos, isotérmicos ou em evoluções politrópicas gerais. Na aproximação do modelo homogêneo é necessário reintroduzir a informação perdida no processo de homogeneização, relacionada com os processos de transferência de massa, momento e energia entre as fases. A evolução barotrópica tem associada uma velocidade sônica (velocidade de propagação de uma perturbação de pressão de amplitude diferencial, compatível com a evolução termodinâmica) que resulta: ( ) 1 dp 2 c = (32) dρ Modelos homogêneo e de deriva 16 / 54

17 Escoamentos barotrópicos. Velocidade do som Supondo que a mistura evolui isentropicamente, sem transferência de massa entre as fases e em equilíbrio mecânico (igual pressão), as fases podem evoluir isentropicamente (modelo adiabático) ou com a troca de calor que mantenha igual temperatura (modelo de equilíbrio termodinâmico). Notar que para fases evoluindo isentropicamente não existe equilíbrio térmico entre elas. Como ŝ = x ŝ 2 + (1 x) ŝ 1 (33) a condição de fases evoluindo isentropicamente satisfaz a condição de entropia da mistura constante. Para as fases evoluindo isentropicamente, resulta: 1 c 2 = ( dρ dp ) ŝ ( x = ρ 2 ρ x ) 2 c2 2 ρ 2 1 c2 1 (34) Modelos homogêneo e de deriva 17 / 54

18 Escoamentos barotrópicos. Velocidade do som ( ) 1 ρ1 c 2 = (35) 1 P ŝ 1 ( ) 1 ρ2 = (36) P ŝ 2 c 2 2 onde c 1 e c 2 é a velocidade do som respectivamente na fase contínua e na fase dispersa. Eliminando o título em função da fração de vazio da Eq. (16), resulta: 1 c 2 = ( ) ( dρ α = [α ρ 2 + (1 α) ρ 1 ] dp ŝ ρ 2 c α ) 2 ρ 1 c 2 1 (37) Modelos homogêneo e de deriva 18 / 54

19 Escoamentos barotrópicos. Velocidade do som A Eq. (37) possui um mínimo em função da fração de vazio, mantendo o resto das variáveis constantes. Supondo (1 α) ρ 1 α ρ 2 e α 1 α (situação típica onde a fase 1 é ρ 2 c 2 2 ρ 1 c 2 1 líquido e a fase 2 é gás), resulta: c 2 = ρ 2 ρ 1 c 2 2 α (1 α) (38) A Eq. (38) possui um mínimo para α = 1 2 ( ), resultando: 1 c min ρ2 2 = 2 c2 (39) ρ 1 Para água (fase 1) e ar (fase 2) em CNTP (1 atm, 0 o C, resultam c 2 = 330 m/s, ρ 1 = 1000 kg/m 3, ρ 2 = 1, 290 kg/m 3, resultando c min = 23, 7 m/s. A velocidade do som pode resultar menor que as correspondentes às fases individuais. Modelos homogêneo e de deriva 19 / 54

20 Escoamentos barotrópicos. Velocidade do som Velocidade do som para escoamento em bolhas água-ar, supondo uma evolução adiabática e isotérmica das fases individuais. Modelos homogêneo e de deriva 20 / 54

21 Fluxo mássico crítico O termo de gradiente de pressão por aceleração, Eq. (24) carrega informação da evolução termodinâmica da mistura; expandindo ele, podem ser mostrados os efeitos de variação de área, compressibilidade e transferência de massa: ( dp ) ( ) = W2 d 1 = G 2 d ( ) 1 G2 da (40) ds A ds ρ A ds ρ ρ A ds A Para uma evolução barotrópica: ( ) d 1 = 1 ( dρ ds ρ ρ 2 dp ) dp ds = 1 ρ 2 c 2 ( dp ) ds onde c é a velocidade de propagação sônica compatível com a evolução da mistura. (41) Modelos homogêneo e de deriva 21 / 54

22 Fluxo mássico crítico Substituindo a Eq. (41) na Eq. (40) e a equação resultante na Eq. (23), resulta: ( dp G2 da ds = ρ A ds + dp ) ( + dp ) ds F ds G 1 G2 ρ 2 c 2 A Eq. (42) é usualmente integrada na posição para calcular a distribuição de pressão em diferentes problemas de aplicação como escoamentos em bocais, elevação de gás (gas lift), etc. A quantidade G 2 ρ 2 c 2 = u2 c 2 = Ma2 pode ser interpretada como o número de Mach compatível com a evolução. (42) Modelos homogêneo e de deriva 22 / 54

23 Fluxo mássico crítico Em consequência, a condição de fluxo másico crítico G c resulta para Ma = 1: G c = ρ c (43) Para as evoluções onde as duas duas fases coexistem em saturação, as propriedades das fases individuais são função unicamente da pressão; assim resulta: d dp ( ) 1 = 1 dρ ρ ρ 2 dp = dv dp = x dv 2 dp + (1 x) dv 1 dp + (v 2 v 1 ) dx dp (44) Modelos homogêneo e de deriva 23 / 54

24 Modelo de equilíbrio termodinâmico, modelo frozen Para calcular a variação do título com a pressão, podem ser feitas as seguintes considerações: Para evoluções rápidas as fases se encontram afastadas do equilíbrio termodinâmico e podem ser desprezadas as transferências de calor e massa entre as fases; essas aproximações constituem o modelo frozen. Para evoluções lentas, existe transferência de massa e de calor; no caso limite, os processos de transferência podem ser considerados suficientemente rápidos, de maneira que a mistura evolui em estados de equilíbrio (igual pressão e temperatura); essa aproximação constitui o modelo de equilíbrio termodinâmico (HEM, homogeneous equilibrium model). Modelos homogêneo e de deriva 24 / 54

25 Modelo de equilíbrio termodinâmico, modelo frozen Para determinar a variação do título com a pressão no modelo de equilíbrio termodinâmico é utilizada a equação de conservação da energia. Por exemplo, para escoamento adiabático e desprezando os termos de energia cinética e potencial, a Eq. (22) se reduz a ĥ = const. Diferenciando a Eq. (19) com a condição de entalpia específica da mistura constante: x dĥ 2 dp + (1 x) dĥ ) ( ) 1 dx (ĥ2 dp + ĥ 1 = 0 dp ( ) dx x dĥ 2 = dp + (1 x) dĥ 1 dp (45) dp ĥ 2 ĥ 1 Modelos homogêneo e de deriva 25 / 54

26 Modelo de equilíbrio termodinâmico, modelo frozen Substituindo a Eq. (45) na Eq. (44) resulta finalmente: 1 ρ 2 c 2 = 1 G 2 c = v 2 v 1 ĥ 2 ĥ 1 [ x dĥ 2 dp + (1 x) dĥ 1 dp ] x dv 2 dp (1 x) dv 1 dp (46) Modelos homogêneo e de deriva 26 / 54

27 Introdução O modelo de fluxo de deriva (drift flux model, DFM), desenvolvido por Zuber&Findlay (1965) e Wallis (1969), é um modelo de fases separadas focado particularmente no movimento relativo entre as fases. É particularmente útil quando a velocidade relativa pode ser determinada por poucos parâmetros do escoamento (por exemplo escoamento em bolhas ou intermitente, onde o movimento resulta de um balanço entre forças de arrasto e gravitacionais). O fluxo de deriva j 21 foi definido como a velocidade superficial da fase 2 relativa a uma superfície se deslocando com a velocidade superficial total j: j 21 = j 12 = α (1 α) u 21 (47) onde u 21 = u 2 u 1 é a velocidade da fase 2 relativa à fase 1. Modelos homogêneo e de deriva 27 / 54

28 Introdução Em função das velocidades superficiais das fases individuais, o fluxo de deriva resulta: j 21 = j 12 = (1 α) j 2 α j 1 (48) O DFM pode ser enxergado como uma correção às variáveis calculadas com o modelo homogêneo (HM), função das propriedades físicas e do fluxo de deriva. j 1 = (1 α) j j 21 (49) j 2 = α j + j 21 (50) α = j ( 2 1 j ) ( 21 = α HM 1 j ) 21 (51) j j 2 j 2 j 1 ρ = ρ 1 j + ρ j 2 2 j + (ρ 1 ρ 2 ) j 21 = ρ HM + (ρ 1 ρ 2 ) j 21 (52) j j Modelos homogêneo e de deriva 28 / 54

29 Relações básicas O DFM foi desenvolvido originariamente visando escoamentos dominados pela gravidade. Supondo um escoamento vertical com variáveis independentes da posição, existirá um equilíbrio entre as forças de pressão, gravitacional e de interação entre as fases. O balanço de momento na direção de escoamento para cada fase resulta: (1 α) dp ds ρ 1 (1 α) g + F 12 = 0 (53) α dp ds ρ 2 α g F 12 = 0 (54) onde F 12 é a força de interação entre as fases por unidade de volume. Eliminando o gradiente de pressão, resulta: F 12 = α (1 α) g (ρ 1 ρ 2 ) = j 21 g (ρ 1 ρ 2 ) (55) u 21 Modelos homogêneo e de deriva 29 / 54

30 Relações básicas Supondo que F 12 depende das propriedades dos fluidos, geometria, α e u 21, resulta que j 21 = j 21 (u 21, α, propriedades). Para escoamento em bolhas, resultados experimentais mostram que: u 21 = u (1 α) n 1 (56) onde u é a velocidade terminal de uma bolha isolada e n 2 3, resultando a seguinte relação constitutiva do fluxo de deriva: j 21 = u α (1 α) n (57) A relação constitutiva fornece resultados corretos para os valores limite α = 0 e α = 1. Modelos homogêneo e de deriva 30 / 54

31 Regiões de operação. Flooding Modelos homogêneo e de deriva 31 / 54

32 Regiões de operação. Flooding Supondo conhecidas as velocidades superficiais, a fração de vazio de operação deve satisfazer simultaneamente as Eq. (48) e (57). A Eq. (48) resulta uma reta com ordenadas j 21 (α = 0) = j 2 e j 21 (α = 1) = j 1. Observando as linhas de operação para escoamento cocorrente ascendente (linha 1) ou descendente existe sempre uma solução para a fração de vazio. Para escoamentos contracorrente onde o gás escoa de maneira ascendente (linhas 2, 3 e 4) podem existir duas soluções ou nenhuma, dependendo dos valores das velocidades superficiais. Para escoamentos contracorrente com o gás escoando de maneira descendente não existe solução, de maneira que essa configuração é impossível segundo o modelo (isto se verifica experimentalmente). Modelos homogêneo e de deriva 32 / 54

33 Regiões de operação. Flooding O limite de operação do escoamento contracorrente é conhecido como "alagamento" (flooding), que acontece quando a linha de operação resulta tangente à relação constitutiva (linha 3). Se o valor absoluto da velocidade superficial de qualquer fase for aumentada além dos valores correspondentes a essa condição, não existirá solução de estado permanente, podendo acontecer uma mudança do padrão de escoamento ou uma rejeição da fase em excesso nos extremos do canal. Parámetros da lei constitutiva (u e n) podem ser ajustados conhecendo um conjunto de linhas constitutivas correspondentes à condição de flooding. Modelos homogêneo e de deriva 33 / 54

34 Regiões de operação. Flooding Pode ser demonstrado que os valores de velocidades superficiais correspondentes à condição de flooding podem ser expressadas em forma paramétrica en função da fração de vazio como: j 2 f = α 2 n (1 α) n 1 (61) u j 1 f = (1 n α) (1 α) n (62) u Outra maneira de representar os diferentes modos de operação é reescrever a Eq. (48) como: j 2 = α 1 α j α j 21 (63) Como j 21 é uma função de α, em um plano (j 1 - j 2 ) as linhas de operação são retas de inclinação α 1 α que cortam os eixos j 1 e j 2 respectivamente em j 21 α e j 21 1 α. Modelos homogêneo e de deriva 34 / 54

35 Regiões de operação. Flooding Figura: Regiões de operação em um plano de velocidades superficiais, para Modelos homogêneo e de deriva 35 / 54

36 Regiões de operação. Flooding Modelos homogêneo e de deriva 36 / 54

37 Regiões de operação. Flooding Para partículas sólidas dispersas em água ou gás existe uma descontinuidade para valores 0, 58 < α max < 0, 62 devido ao efeito de compactação de partículas. Para diferentes situações, os dados experimentais podem ser correlacionados de maneira aceitável com n = 3. Modelos homogêneo e de deriva 37 / 54

38 Correção por perfil das variáveis na área de passagem Nas relações anteriores, as variáveis foram consideradas como médias na área de passagem. As equações de balanço estão expressadas em função das variáveis locais e não são lineares, de maneira que não são satisfeitas pelas variáveis medias. É definido o valor médio na área de passagem de uma variável ϕ como: ϕ = 1 ϕ da (64) A Para variáveis correlacionadas, resulta ϕ ψ ϕ ψ. Zuber&Findlay assumiram que a Eq. (63) é válida localmente, mas fatores de forma deviam ser considerados quando expressada em termos de variáveis médias. Fazendo uma media da Eq. (63), resulta: A j 2 = α j + j 21 (65) Modelos homogêneo e de deriva 38 / 54

39 Correção por perfil das variáveis na área de passagem Definindo os seguintes parâmetros: C 0 = α j α j u 2 = j 2 α (66) (67) j 21 = U 0 α (68) onde C 0 é o parâmetro de distribuição, u 2 é uma velocidade característica da fase dispersa (notar que u 2 u 2 ) e U 0 é a velocidade de deriva, resulta: j 2 = α (C 0 j + U 0 ) (69) Modelos homogêneo e de deriva 39 / 54

40 Correção por perfil das variáveis na área de passagem Notar que na Eq. (69) todas as variáveis podem ser medidas, α através de diferentes métodos (fechamento de válvulas, atenuação gama, etc.) enquanto j 1 = Q 1 A, j 2 = Q 2 A e j = Q 1 + Q 2. A Eq. A (69) pode ser considerada como uma definição de lei constitutiva do DFM, sendo a base de diferentes correlações para C 0 e U 0 na literatura. Modelos homogêneo e de deriva 40 / 54

41 Aplicação HM. Bomba de elevação por gás (gas lift) Modelos homogêneo e de deriva 41 / 54

42 Aplicação HM. Bomba de elevação por gás (gas lift) Utilizando o modelo homogêneo e desprezando os efeitos de compressibilidade nas fases líquida e gasosa a equação de conservação do momento linear na coluna de área constante resulta: dp ds = 1 2 f G 2 ρ D + ρ g (70) Considerando propriedades constantes e sem transferência de massa (x constante), resulta ρ e f constantes. Integrando a Eq. (70) entre um ponto s e a saída do riser H e levando em conta a variação da pressão atmosférica com a altura, obtemos uma distribuição linear: P (s) [P a ρ g g (H h)] = ( 1 2 f G 2 ) ρ D + ρ g (H s) (71) Modelos homogêneo e de deriva 42 / 54

43 Aplicação HM. Bomba de elevação por gás (gas lift) A diferença de pressão entre a injeção e a pressão atmosférica resulta: ( 1 P 1 P a = 2 f G 2 ) ρ D + ρ g H ρ g g (H h) (72) Supondo que o líquido evolui entre a superfície do grande tanque com pressão atmosférica P a e a injeção no riser (1), podemos aplicar Bernoulli considerando um coeficiente de perda k e na evolução entre a superfície e a injeção, resulta: P a + ρ f g h = P (1 + k e) ρ f u 2 f 1 (73) Como u f 1 = u = G ρ, resulta finalmente: P 1 P a = ρ f g h 1 2 (1 + k e) ρ f ρ 2 G 2 (74) Modelos homogêneo e de deriva 43 / 54

44 Aplicação HM. Bomba de elevação por gás (gas lift) Eliminando P 1 P a entre as Eq. (72) e (74) resulta: [ ρf ρ g H ρ h H + ρ ( g 1 h ) ] 1 = 1 G 2 [ ρf ρ H 2 ρ G = ρ [ ρf 2 g H ρ h H + ρ ( g 1 h ) 1 ρ H ρ f ρ (1 + k e) + f H D ] ρ (1 + k e) + f H D (75) ] 1 2 (76) A Eq. (76) deve ser resolvida de forma iterativa, já que ( ) ( ) 1 f = f G D µ, e D, onde e é a rugosidade do duto e µ = x µ + 1 x g µ f é a viscosidade da mistura. Modelos homogêneo e de deriva 44 / 54

45 Aplicação HM. Bomba de elevação por gás (gas lift) Para baixas vazões, podemos determinar o título mássico da mistura e a razão de fluxos mássicos. Para baixas vazões, a Eq. (75) resulta: ρ f h ρ H + ρ ( g 1 h ) 1 0 (77) ρ H ) ( 1 ρg ( Como ρ f ρ = 1 + x ρf ρ g 1 e ρg ρ = ρg ρ f + x resultará um título mínimo x min para o qual as vazões das fases tendem a zero: x min = ( h ρf 1 H ρ g ( 1 h ) ( 1 ρ ) g H ρ ) ( f + 1 h H ρ f ) ) ( 1 ρ g ρ f ) (78) Modelos homogêneo e de deriva 45 / 54

46 Aplicação HM. Bomba de elevação por gás (gas lift) Da relação G f G g = 1 x 1 resulta, para baixas vazões: ( ) h ρf 1 G f H ρ g ) (79) G g ( 1 h H ) ( 1 ρ g ρ f A continuação são mostrados resultados para os seguintes valores numéricos: ρ f = 1000 kg/m 3, ρ g = 1, 2 kg/m 3, µ f = kg/m/s, µ g = 1, kg/m/s, D = 2, 54 cm, H = 0, 60 m, h = 0, 30 m, e = 1, m, k e = 0, 8, g = 9, 8 m/s 2. O fator de atrito de Darcy é calculado com uma correlação padrão para dutos. Modelos homogêneo e de deriva 46 / 54

47 Aplicação HM. Bomba de elevação por gás (gas lift) Modelos homogêneo e de deriva 47 / 54

48 Aplicação HM. Bomba de elevação por gás (gas lift) Modelos homogêneo e de deriva 48 / 54

49 Aplicação HM. Bomba de elevação por gás (gas lift) Modelos homogêneo e de deriva 49 / 54

50 Aplicação HM. Bomba de elevação por gás (gas lift) Modelos homogêneo e de deriva 50 / 54

51 Aplicação HM. Bomba de elevação por gás (gas lift) Modelos homogêneo e de deriva 51 / 54

52 Aplicação HM. Bomba de elevação por gás (gas lift) Modelos homogêneo e de deriva 52 / 54

53 Aplicação HM. Bomba de elevação por gás (gas lift) Modelos homogêneo e de deriva 53 / 54

54 Referências Wallis, G. B., One-dimensional Two-phase Flow, McGraw-Hill, Brennen, C. E., Fundamentals of Multiphase Flow, Cambridge, Modelos homogêneo e de deriva 54 / 54