R-Fácil. Análise de Variância. Universidade Federal de Goiás Escola de Veterinária e Zootecnia

Transcrição

1 Universidade Federal de Goiás Escola de Veterinária e Zootecnia R-Fácil Análise de Variância Apostila destinada a usuários do R, com demonstrações de uso de funções em exemplos da área de Ciências Agrárias. Goiânia Março de 2014

2 Apresentação Atualmente encontram-se grande número de apostilas e livros abordando o uso do software R (R Core Team, 2014) para análises estatísticas. No entanto, são raros os materiais didáticos aplicados à área de ciências agrárias. Visando estimular o aprendizado com linguagem mais simples e aplicada, com exemplos práticos voltados, principalmente, as áreas de ciências agrárias e biológicas, o presente material foi desenvolvido para auxiliar a utilização do R na realização de análise de variância para tratamentos qualitativos. O público alvo são alunos de graduação, pós-graduação, professores e pesquisadores. O objetivo desta apostila não é aprofundar em aspectos teóricos, mas apenas apresentar um tutorial de análise de dados utilizando pacotes e funções de forma bastante prática. A apostila R-fácil: Análise de Variância faz parte de uma séria de quatro apostilas que contemplam parte do conteúdo do site Deve-se destacar que este material utiliza-se de funções de uso mais prático para a demonstração das análises e por isso o título R-fácil, com intuito de descomplicar um pouco a utilização do software. No texto as discussões estão na fonte Times 12 e as análises realizadas no R em fonte Inconsolata em negrito, sendo a programação em azul e os resultados em preto. Boa leitura e não deixe de conferir os demais materiais da séria R-fácil (download em O autor

3 Índice página Delineamento inteiramente ao acaso 1 Delineamento de blocos ao acaso 4 Delineamento em quadrado latino 7 Esquema fatorial 13 Fatorial duplo em delineamento inteiramente ao acaso 13 Fatorial duplo em delineamento de blocos ao acaso 18 Esquema de parcelas subdivididas (splitplot) 21 Parcelas subdivididas em delineamento inteiramente ao acaso 21 Parcelas subdivididas em delineamento de blocos ao acaso 25 Análise de covariância 29 Contrastes de médias 31 Referências 36

4 Delineamento inteiramente ao acaso A análise de variância em delineamento inteiramente ao acaso é realizada quando os tratamentos são distribuídos de forma totalmente (inteiramente) casualizada as unidades experimentais. Neste caso não é feito nenhum tipo de controle de uma fonte de variação sistemática no experimento. Para realizar análise de variância em delineamento inteiramente ao acaso vamos requerer o pacote "easyanova", que deve ser previamente instalado. require(easyanova) No próprio pacote existem dados disponíveis para exemplo. Vamos carregar o exemplo chamado data1, que são dados obtidos de Kaps e Lamberson (2009). data(data1) Para ver a forma de tabulação dos dados observamos no próprio exemplo fazemos: data1 Diet Gain 1 d d d d d d d d d d d d d d d

5 No caso do delineamento inteiramente ao acaso a primeira coluna deve conter os códigos de tratamentos e as demais as variáveis respostas (neste exemplo temos somente uma variável resposta). Vamos usar a função ea1( )" do pacote easyanova e gravar o resultado em um objeto chamado "resultado". Na função o argumento "design" define o delineamento (1 = inteiramente ao acaso). resultado=ea1(data1, design=1) Para visualizar o resultado fazemos: resultado $`Analysis of variance` df type I SS mean square F value p>f treatments Residuals $Means treatment mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott 1 d a a a a a 2 d b b b b b 3 d b b b b b $`Multiple comparison test` pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan) p(t) 1 d3 - d d3 - d d1 - d $`Residual analysis` values p.value Shapiro-Wilk test p.value Bartlett test coefficient of variation (%) first value most discrepant second value most discrepant third value most discrepant Ocorre diferença significativa entre tratamentos na análise de variância (p=0.0146). Assim, pode-se avaliar a diferença entre tratamentos aos pares através dos testes de médias. Pelos testes verifica-se que as dietas d1 e d2 são estatisticamente iguais e inferiores a d3. 2

6 Neste caso todos os testes auxiliam a conclusão de forma equivalente. Mas nem sempre este fato ocorre, sendo que o teste de Tukey é mais rigoroso no sentido da não diferença (valores de probabilidade maiores) e o teste t da diferença (valores de probabilidades menores). E esta diferença entre os dois testes se acentua com o aumento do número de tratamentos. Recomendo utilizar o teste de Tukey quando o número de tratamentos for inferior a cinco e o teste de ScottKnott quando igual ou superior a cinco. A função também retorna uma resumida análise de resíduos. No teste de normalidade (shapiro.test) e de homogeneidade de variâncias (bartlett.test) observa-se (p-value>0,05) que os resíduos podem ser considerados aproximadamente normais e com variâncias homogêneas (homocedasticidade). O coeficiente de variação foi de 5,94%. E ainda, a função apresenta as três observações mais discrepantes do conjunto de dados. No caso a 7, 12 e 11 na seqüência dos dados. Para julgar se os dados apontados como mais discrepantes são realmente fora da normalidade a função gera um gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos dados. Observe no gráfico gerado neste exemplo (Figura 1) que nenhum dado fica fora dos limites de +/-2,5 escores Z (+/-2,5 desvios padrões). Os valores 7, 12 e 11 são os que mais se aproximam destes limites. Dados fora do limite de dois desvios padrões já podem ser considerados suspeitos, principalmente em amostras pequenas. Figura 1. Gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos dados. 3

7 Delineamento em blocos ao acaso A análise de variância em delineamento de blocos ao acaso é realizada quando os tratamentos são distribuídos de forma totalmente (inteiramente) casualizada dentro de grupos homogêneos quanto a uma variável que atua no experimento de forma sistemática. Nestes casos os grupos são freqüentemente denominados de blocos. Um bloco deve ser homogêneo para a variável cujo efeito deseja-se controlar, mas pode ocorrer heterogeneidade entre blocos. Para realizar análise de variância em blocos ao acaso vamos requerer o pacote "easyanova", que deve ser previamente instalado. require(easyanova) No próprio pacote existem dados disponíveis para exemplo. Vamos carregar o exemplo chamado data2, que são dados obtidos de Kaps e Lamberson (2009). data(data2) Para ver a forma de tabulação dos dados observamos no próprio exemplo fazendo: data2 Treatments Blocks Gain 1 t1 b t1 b t1 b t1 b t2 b t2 b t2 b t2 b t3 b t3 b t3 b t3 b

8 No caso do delineamento de blocos ao acaso a primeira coluna deve conter os códigos de tratamentos, a segunda os códigos dos blocos e as demais as variáveis respostas (somente uma variável resposta neste exemplo). Temos o ganho diário em grama de bovinos em experimento para avaliar três tratamentos. Os grupos (blocos) foram compostos por grupos de peso de bovinos, sendo cada grupo um bloco. Note que todos os tratamentos foram aplicados em cada bloco. Vamos usar a função ea1( )" do pacote easyanova e gravar o resultado em um objeto chamado "resultado". Na função o argumento "design" define o delineamento (2 = blocos ao acaso). resultado=ea1(data2, design=2) Para visualizar o resultado fazemos: resultado $`Analysis of variance` df type III SS mean square F value p>f treatments blocks Residuals $`Adjusted means` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott 1 t a a a a a 2 t ab ab ab ab a 3 t b b b b b $`Multiple comparison test` pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan) p(t) 1 t1 - t t1 - t t2 - t $`Residual analysis` values p.value Shapiro-Wilk test p.value Bartlett test coefficient of variation (%) first value most discrepant second value most discrepant third value most discrepant Ocorre diferença significativa entre tratamentos na análise de variância (p=0.0465). Assim, pode-se avaliar a diferença entre tratamentos aos pares através dos testes de médias. 5

9 Observando o teste de ScottKnott pode-se concluir que os tratamentos t1 e t2 foram estatisticamente iguais e, ambos estatisticamente diferentes do t3. Observando o valor de probabilidade referente aos blocos (faixas de peso) pode-se concluir que ocorre diferença significativa (p=0.0097). Certamente a decisão de blocar o efeito de peso neste experimento foi muito importante para a qualidade do mesmo. No teste de normalidade (shapiro.test) e de homogeneidade de variâncias (bartlett.test) observa-se (p-value>0,05) que os resíduos podem ser considerados aproximadamente normais e com variâncias homogêneas (homocedasticidade). O coeficiente de variação foi de 3,05%. Para julgar se os dados apontados como mais discrepantes são realmente fora da normalidade a função gera um gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos dados. Observe no gráfico gerado neste exemplo (Figura 2) que nenhuma observação fica fora do limite de +/-2,5 escores Z (+/-2,5 desvios padrões), não sendo detectado problema com outliers. Figura 2. Gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos dados. 6

10 Caso alguma observação seja descartada, deve-se inserir NA no local do dado e a análise refeita da mesma forma como anteriormente ilustrado. A função ea1( ) faz os ajustes recomendados no caso de um ou mais dados faltantes (desbalanceamento experimental). Delineamento em quadrado latino A análise de variância em delineamento de quadrado latino é realizada quando os tratamentos são distribuídos de forma a ser controlada duas fontes de variação sistemática em um experimento. O número de tratamentos deve ser igual ao número de categorias de cada fonte de variação controlada no experimento. Por exemplo, em um experimento onde se deseja testar o efeito de quatro tratamentos. Podem-se avaliar estes quatro tratamentos em quatro animais (o efeito de animal é uma das fontes de variação sistemática) em quatro períodos (o efeito de período é uma segunda fonte de variação sistemática a ser controlada no experimento). Para realizar análise de variância em quadrado latino vamos requerer o pacote "easyanova", que deve ser previamente instalado. require(easyanova) No próprio pacote existem dados disponíveis para exemplo. Vamos carregar o exemplo chamado data3, que são dados obtidos de Kaps e Lamberson (2009). data(data3) Para ver a forma de tabulação dos dados observamos no próprio exemplo fazendo: data3 treatment period steer response 1 B p1 a D p1 a C p1 a A p1 a C p2 a

11 6 A p2 a D p2 a B p2 a D p3 a B p3 a A p3 a C p3 a A p4 a C p4 a B p4 a D p4 a4 9.9 No caso do delineamento em quadrado latino a primeira coluna deve conter os códigos de tratamentos, a segunda e a terceira o código das duas variáveis controladas no experimento (linhas e colunas) sem importar a ordem destas. E as demais colunas as variáveis respostas (somente uma variável resposta neste caso). No exemplo temos o desempenho de bovinos em experimento para avaliar quatro tratamentos. Foi controlado o efeito de período e de animal (quatro períodos e quatro animais). Note que todos os tratamentos foram aplicados em cada período e em cada animal. Vamos usar a função ea1( )" do pacote easyanova e gravar o resultado em um objeto chamado "resultado". Na função o argumento "design" define o delineamento (3 = quadrado latino). resultado=ea1(data3, design=3) Para visualizar o resultado fazemos: resultado $`Analysis of variance` df type III SS mean square F value p>f treatments <0.001 rows columns Residuals $`Adjusted means` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott 1 A a a a a a 2 B a a a a a 3 C a a a a a 4 D b b b b b 8

12 $`Multiple comparison test` pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan) p(t) 1 A - B A - C A - D B - C B - D C - D $`Residual analysis` values p.value Shapiro-Wilk test p.value Bartlett test coefficient of variation (%) first value most discrepant second value most discrepant third value most discrepant Ocorre diferença muito significativa entre tratamentos (p<0,001) com posterior avaliação da comparação aos pares de tratamentos pelos testes de médias. Também se observa aproximação da normalidade (p>0,05 no teste de Shapiro-Wilk) e homogeneidade de variâncias (p>0,05 no teste de Bartlett). Nenhum dado deve ser a priori considerado outlier, pois estão dentro da faixa de +/- 2.5 escores z (Figura 3). Figura 3. Gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos dados. 9

13 Em quadrados latinos pequenos, com quatro ou menos tratamentos, recomenda-se uma duplicação ou triplicação do quadrado, para atingir uma amostra mais confiável para análise. Este é o caso do exemplo a seguir, também obtido de Kaps e Lamberson (2009). data(data4) data4 diet square steer period response 1 B D C A C A D B D B A C A C B D C A D B B D C A A C B D D B A C

14 No caso de duplicação do delineamento em quadrado latino a primeira coluna deve conter os códigos de tratamentos, a segunda os códigos das repetições do quadrado e a terceira e quarta os códigos das duas variáveis controladas no experimento (linhas e colunas) sem importar a ordem destas. E as demais colunas as variáveis respostas (temos somente uma variável resposta neste caso). No exemplo temos o desempenho de bovinos em experimento para avaliar quatro tratamentos. Foi controlado o efeito de período e de animal (quatro períodos e quatro animais). O quadrado foi repetido (foram realizados dois quadrados utilizando 8 animais e 8 períodos). Vamos usar a função ea1( )" do pacote easyanova e gravar o resultado em um objeto chamado "resultado". Na função o argumento "design" define o delineamento (3 = quadrado latino). resultado=ea1(data4, design=4) Para visualizar o resultado fazemos: resultado $`Analysis of variance` df type I SS mean square F value p>f treatments <0.001 squares rows columns Residuals $`Adjusted means` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott 1 A a a a a a 2 B a a a a a 3 C a a a a a 4 D b b b b b $`Multiple comparison test` pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan) p(t) 1 A - B A - C A - D B - C B - D C - D $`Residual analysis` values p.value Shapiro-Wilk test p.value Bartlett test coefficient of variation (%)

15 first value most discrepant second value most discrepant third value most discrepant Os resultados foram semelhantes ao primeiro exemplo de quadrado latino. Porém, nota-se uma menor aproximação da normalidade (p= no teste de Shapiro-Wilk) quando comparado ao exemplo anterior (p=0.6961). Este resultado é devido a dois possíveis outliers, referentes aos dados das posições 30 e 11 (Figura 4). Assim, pode-se avaliar a retirada de um ou ambos os dados. Caso alguma observação seja descartada, deve-se inserir NA no local do dado e a análise refeita da mesma forma como anteriormente ilustrado. A função ea1( ) faz os ajustes recomendados no caso de um ou mais dados faltantes (desbalanceamento experimental). Figura 4. Gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos dados. 12

16 Esquema fatorial Fatorial não é um delineamento, é um esquema experimental onde são combinados os níveis de dois ou mais fatores. Assim, um experimento em esquema fatorial pode ser delineado de forma inteiramente ao acaso, em blocos ao acaso, quadrados latinos e outros delineamentos. A seguir serão apresentados exemplos de esquemas fatoriais no delineamento inteiramente ao acaso e de blocos ao acaso. Fatorial duplo em delineamento inteiramente ao acaso Para realizarmos a análise de variância de um esquema fatorial no R, de forma bastante prática, utilizaremos a função ea2( ) do pacote easyanova. Primeiro vamos carregar o pacote que deve estar previamente instalado. require(easyanova) Também utilizaremos exemplo disponível no pacote easyanova. Para carregar o exemplo faremos: data(data5) O nome do conjunto de dados é data5. Os dados se referem a a inclusão ou não de duas vitaminas na alimentação de suínos, visando aumentar o ganho de peso dos mesmos (dados de Kaps e Lamberson, 2009). Abaixo podemos verificar os dados. data5 Vitamin_1 Vitamin_2 Gains

17 Reparem nos dados que as duas primeiras colunas devem ser referentes aos códigos dos fatores e as demais referentes aos valores numéricos das variáveis respostas. Para analisar os dados e gravar o resultado em um objeto chamado resultado fazemos: resultado=ea2(data5, design=1) O argumento design=1 define que será realizado análise em esquema fatorial duplo inteiramente ao acaso. Para observar o resultado fazemos: resultado $`Analysis of variance` df type III SS mean square F value p>f factor_ factor_ factor_1:factor_ Residuals $`Adjusted means (factor 1)` factor_1 adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott a a a a a b b b b b $`Adjusted means (factor 2)` factor_2 adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott a a a a a b b b b b $`Adjusted means (factor 1 in levels of factor 2)` $`Adjusted means (factor 1 in levels of factor 2)`$`factor_1 in 0` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott a a a a a a a a a a 14

18 $`Adjusted means (factor 1 in levels of factor 2)`$`factor_1 in 5` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott a a a a a b b b b b $`Adjusted means (factor 2 in levels of factor 1)` $`Adjusted means (factor 2 in levels of factor 1)`$`factor_2 in 0` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott a a a a a a a a a a $`Adjusted means (factor 2 in levels of factor 1)`$`factor_2 in 4` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott a a a a a b b b b b $`Residual analysis` values p.value Shapiro-Wilk test p.value Bartlett test (factor_1) p.value Bartlett test (factor_2) p.value Bartlett test (treatments) coefficient of variation (%) first value most discrepant second value most discrepant third value most discrepant Na análise de variância a fonte de variação referente ao fator 1 se refere a primeira coluna de dados e a do fator 2 a segunda coluna dos dados. Ambas as vitaminas tiveram seus efeitos significativos (p<0,05). Porém a interação foi não significativa na análise de variância (p>0,05). Observando a análise de resíduos, nota-se ausência de normalidade (p<0,05 no teste de Shapiro-Wilk) e de homogeneidade de variâncias (p<0,05 no teste de Bartlett) para o fator 1 e para os tratamentos (interação). No gráfico de resíduos (Figura 5) percebe-se que a observação 13 é um provável outlier. A observação 18, apesar de não estar fora dos limites de 2.5 desvios padrões também é suspeita, pois destoa bastante dos demais resíduos. 15

19 Figura 5. Gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos dados. Também podemos observar os resíduos em outros tipos de gráficos fazendo: ea2(data5, design=1, plot=1) ea2(data5, design=1, plot=3) No primeiro caso o argumento plot=1 define um gráfico tipo caixa (Figura 6) onde são identificados dois possíveis outliers, provavelmente as observações 13 e 18. E no gráfico com o argumento plot=3 observamos um gráfico dos resíduos padronizados versus os resíduos teóricos considerando distribuição normal (Figura 7). Neste último observamos as observações 13 e 18 muito fora do esperado considerando normalidade. Assim, pode-se considerar a possibilidade de retirada destes valores e, com esta operação, é provável que os dados se aproximem da normalidade, ocorra diminuição do coeficiente de variação e alteração de outros resultados. Neste caso a análise pela função ea2( ) faz os ajustes necessários devido ao desbalanceamento do experimento. Caso a retirada dos dados não seja considerada adequada, os dados poderão ser submetidos a alguma forma de transformação. Ou então, pode-se optar por utilizar um teste não paramétrico. 16

20 Figura 6. Gráfico de caixa (Box plot) dos resíduos padronizados Figura 7. Gráfico dos resíduos padronizados versus os resíduos teóricos considerando distribuição normal 17

21 Fatorial duplo em delineamento de blocos ao acaso Semelhante ao procedimento do delineamento inteiramente ao acaso, utilizaremos a função ea2( ) do pacote easyanova. Primeiro vamos carregar o pacote e o exemplo que esta disponível no pacote. require(easyanova) data(data6) Para observar os dados: data6 factor1 factor2 block yield Este exemplo foi obtido de Pimentel Gomes e Garcia (2002) e se refere a um fatorial duplo (2 x 2) para avaliar a presença e ausência de dois tipos de adubos na produção de uma cultivar. Neste experimento foi blocado o efeito de solo. Para a digitação dos dados para utilizar a função ea2( ) a primeira e segunda coluna devem ser reservadas aos códigos dos 18

22 fatores, a terceira coluna para os códigos de blocos e as demais para as variáveis respostas (valores numéricos das variáveis respostas). Para analisar os dados e gravar o resultado em um objeto chamado resultado fazemos: resultado=ea2(data6, design=2) O argumento design=2 define que será realizado análise em esquema fatorial duplo em blocos ao acaso. Para observar o resultado fazemos: resultado $`Analysis of variance` df type III SS mean square F value p>f factor_ <0.001 factor_ blocks factor_1:factor_ Residuals $`Adjusted means (factor 1)` factor_1 adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott a a a a a b b b b b $`Adjusted means (factor 2)` factor_2 adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott a a a a a a a a a a $`Adjusted means (factor 1 in levels of factor 2)` $`Adjusted means (factor 1 in levels of factor 2)`$`factor_1 in 0` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott a a a a a b b b b b $`Adjusted means (factor 1 in levels of factor 2)`$`factor_1 in 1` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott a a a a a a a a a a $`Adjusted means (factor 2 in levels of factor 1)` $`Adjusted means (factor 2 in levels of factor 1)`$`factor_2 in 0` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott a a a a a b b b b b $`Adjusted means (factor 2 in levels of factor 1)`$`factor_2 in 1` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott a a a a a a a a a a 19

23 $`Residual analysis` values p.value Shapiro-Wilk test p.value Bartlett test (factor_1) p.value Bartlett test (factor_2) p.value Bartlett test (treatments) coefficient of variation (%) first value most discrepant second value most discrepant third value most discrepant Neste experimento ocorre interação significativa, ou seja, o efeito de um dos adubos é alterado significativamente dependendo do efeito do outro adubo. Este fato pode ser observado no desdobramento da interação. Na análise de resíduos verificam-se resíduos com aproximação da normalidade (p>0,05 do teste de Shapiro-Wilk) e homogeneidade de variâncias (p>0,05 nos testes de Bartlett). No entanto, a observação 1 é um possível outlier, como pode ser verificado na Figura 8. Figura 8. Gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos dados. 20

24 Esquema de parcelas subdivididas (splitplot) O esquema de parcelas subdivididas é um esquema experimental e não um delineamento. Podemos fazer um experimento em esquema de parcelas subdivididas em vários delineamentos, sendo mais comuns os delineamentos inteiramente ao acaso, blocos ao acaso e quadrado latino. O esquema de parcelas subdivididas é obtido quando um experimento possui um fator A, onde seus níveis compõem o que chamamos de parcelas. E um fator B, com seus níveis casualizados dentro de cada parcela, criando o que chamamos de subparcelas. Quando uma parcela ou unidade experimental é avaliada repetida vezes no tempo, também teremos um esquema de parcelas subdivididas, chamada comumente de parcelas subdivididas no tempo. Neste caso o efeito de um fator A é denominado parcela e o efeito do tempo será o fator B denominado subparcela. A análise de um esquema de parcelas subdivididas, em termos práticos, traz os mesmos desdobramentos (informações) que uma análise de um fatorial duplo. Mas aqui, neste material, não iremos fazer desenvolvimento teórico quanto aos métodos matemáticos e particularidades teóricas dos procedimentos estatísticos. A seguir será demonstrado como utilizar funções do R para obter uma análise bastante completa em esquema de parcelas subdivididas em delineamento inteiramente ao acaso e em blocos ao acaso. Esquema de parcelas subdivididas em delineamento inteiramente ao acaso Aqui também utilizaremos o pacote easyanova com a função ea2( ) que em caso de dados faltantes (desbalanceamento) faz os ajustes necessários. Abaixo carregaremos o pacote e exemplo denominado data7 contido no pacote. require(easyanova) data(data7) 21

25 Para visualizar os dados: data7 treatment rep week gain 1 t1 1 w t1 1 w t1 1 w t1 1 w t1 2 w t1 2 w t1 2 w t1 2 w t1 3 w t1 3 w t1 3 w t1 3 w t1 4 w t1 4 w t1 4 w t1 4 w t1 5 w t1 5 w t1 5 w t1 5 w t1 6 w t1 6 w t1 6 w t1 6 w t1 7 w t1 7 w t1 7 w t1 7 w t1 8 w t1 8 w t1 8 w t1 8 w t2 1 w t2 1 w t2 1 w t2 1 w t2 2 w t2 2 w t2 2 w t2 2 w t2 3 w t2 3 w t2 3 w t2 3 w t2 4 w t2 4 w t2 4 w t2 4 w t2 5 w t2 5 w t2 5 w t2 5 w t2 6 w t2 6 w t2 6 w

26 56 t2 6 w t2 7 w t2 7 w t2 7 w t2 7 w t2 8 w t2 8 w t2 8 w t2 8 w t2 9 w t2 9 w t2 9 w t2 9 w Neste exemplo, obtido de Kaps e Lamberson (2009) a primeira coluna refere-se aos códigos do fator designado como parcela. A segunda coluna aos códigos de repetição de cada parcela. A terceira coluna refere-se ao fator designado como subparcela (no caso as semanas de avaliação). As demais colunas referem-se às variáveis respostas (numéricas). No exemplo existe apenas uma variável resposta. Assim, temos um esquema de parcelas subdivididas no tempo, pois os animais são avaliados em quatro semanas, sendo portanto as semanas consideradas como subparcelas. Para analisar os dados e gravar o resultado em um objeto chamado resultado fazemos: resultado=ea2(data7, design=4) O argumento design=4 define que será realizada análise em esquema de parcelas subdivididas em delineamento inteiramente ao acaso. Para observar o resultado fazemos: resultado $`Marginal anova (Type III Sum of Squares)` numdf dendf F-value p-value plot split.plot <.0001 plot:split.plot $`Adjusted means (plot)` plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t 1 t a a a a 2 t b b b b $`Adjusted means (split.plot)` split.plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t 1 w a a a a 2 w ab b b b 23

27 3 w bc c c c 4 w c c c c $`Adjusted means (plot in levels of split.plot)` $`Adjusted means (plot in levels of split.plot)`$`plot in w10` plot.split.plot adjusted.means standard.error tukey snk duncan t 2 t2.w a a a a 1 t1.w b b b b $`Adjusted means (plot in levels of split.plot)`$`plot in w11` plot.split.plot adjusted.means standard.error tukey snk duncan t 4 t2.w a a a a 3 t1.w b b b b $`Adjusted means (plot in levels of split.plot)`$`plot in w12` plot.split.plot adjusted.means standard.error tukey snk duncan t 6 t2.w a a a a 5 t1.w b b b b $`Adjusted means (plot in levels of split.plot)`$`plot in w9` plot.split.plot adjusted.means standard.error tukey snk duncan t 8 t2.w a a a a 7 t1.w a a a a $`Adjusted means (split.plot in levels of plot)` $`Adjusted means (split.plot in levels of plot)`$`split.plot in t1` plot.split.plot adjusted.means standard.error tukey snk duncan t 5 t1.w a a a a 3 t1.w a a ab ab 1 t1.w a a b b 7 t1.w a a b b $`Adjusted means (split.plot in levels of plot)`$`split.plot in t2` plot.split.plot adjusted.means standard.error tukey snk duncan t 6 t2.w a a a a 4 t2.w ab b b b 2 t2.w bc c c c 8 t2.w c c c c $`Residual analysis` values p.value Shapiro-Wilk test p.value Bartlett test (plot) p.value Bartlett test (split.plot) p.value Bartlett test (plot*split.plot) AIC BIC first value most discrepant second value most discrepant third value most discrepant Neste experimento ocorre interação significativa, ou seja, o efeito dos tratamentos (fator da parcela) é alterado significativamente dependendo da semana de avaliação (subparcela). Este fato pode ser observado no desdobramento da interação, onde o tratamento dois é superior nas três primeiras semanas e equivalente ao tratamento um na quarta semana. Na análise de resíduos verificam-se resíduos com aproximação da normalidade (p>0,05 no teste de Shapiro-Wilk) e homogeneidade de variâncias para a subparcela 24

28 (split-plot) e a interação (plot*split-plot) (p>0,05 nos testes de Bartlett). O efeito principal de parcela (plot) não teve homogeneidade de variâncias no teste de Bartlett. No entanto, este efeito (parcela) não deve ser considerado importante na análise e sim, o efeito da interação que foi significativo. Também não deve ocorrer outliers neste conjunto de dados, pois nenhum resíduo fica fora dos limites de 2,5 desvios padrões (Figura 9). Figura 9. Gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos dados. Esquema de parcelas subdivididas em delineamento de blocos ao acaso Aqui também utilizaremos o pacote easyanova com a função ea2( ) que em caso de dados faltantes (desbalanceamento) faz os ajustes necessários. Abaixo carregaremos o pacote e exemplo denominado data8 contido no pacote. require(easyanova) data(data8) 25

29 Para visualizar os dados: data8 pasture block mineral milk 1 p4 1 m p4 1 m p1 1 m p1 1 m p2 1 m p2 1 m p3 1 m p3 1 m p2 2 m p2 2 m p1 2 m p1 2 m p4 2 m p4 2 m p3 2 m p3 2 m p1 3 m p1 3 m p2 3 m p2 3 m p4 3 m p4 3 m p3 3 m p3 3 m2 32 No exemplo, obtido de Kaps e Lamberson (2009), o efeito de parcela (primeira coluna) foi composto por quatro tipos de pastagem. O efeito de bloco composto por faixas de solo homogêneas para o plantio das pastagens (segunda coluna). A subparcela foi composta por efeito de suplementação mineral (terceira coluna). A quarta coluna refere-se a produção de leite (variável resposta numérica). Para analisar os dados e gravar o resultado em um objeto chamado resultado fazemos: resultado=ea2(data8, design=5) O argumento design=5 define que será realizada análise em esquema de parcelas subdivididas em delineamento de blocos ao acaso. Para observar o resultado fazemos: 26

30 resultado $`Marginal anova (Type III Sum of Squares)` numdf dendf F-value p-value plot split.plot block plot:split.plot $`Adjusted means (plot)` plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t 1 p a a a a 2 p ab b b b 3 p ab b b b 4 p b b b b $`Adjusted means (split.plot)` split.plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t 1 m a a a a 2 m a a a a $`Adjusted means (plot in levels of split.plot)` $`Adjusted means (plot in levels of split.plot)`$`plot in m1` plot.split.plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t 4 p4.m a a a a 3 p3.m a b b b 2 p2.m a ab b b 1 p1.m a ab b b $`Adjusted means (plot in levels of split.plot)`$`plot in m2` plot.split.plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t 8 p4.m a a a a 6 p2.m a a ab ab 5 p1.m a a b b 7 p3.m a a b b $`Adjusted means (split.plot in levels of plot)` $`Adjusted means (split.plot in levels of plot)`$`split.plot in p1` plot.split.plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t 5 p1.m a a a a 1 p1.m a a a a $`Adjusted means (split.plot in levels of plot)`$`split.plot in p2` plot.split.plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t 6 p2.m a a a a 2 p2.m a a a a $`Adjusted means (split.plot in levels of plot)`$`split.plot in p3` plot.split.plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t 3 p3.m a a a a 7 p3.m a a a a $`Adjusted means (split.plot in levels of plot)`$`split.plot in p4` plot.split.plot adjusted.mean standard.error tukey snk duncan t 8 p4.m a a a a 4 p4.m a a a a $`Residual analysis` values p.value Shapiro-Wilk test p.value Bartlett test (plot) p.value Bartlett test (split.plot)

31 p.value Bartlett test (plot*split.plot) AIC BIC first value most discrepant second value most discrepant third value most discrepant Neste experimento não ocorre interação significativa. Observando o efeito dos fatores isolados tem-se efeito significativo (p<0,05) somente para parcela (tipo de pastagem). Na análise de resíduos verificam-se resíduos com aproximação da normalidade (p>0,05 no teste de Shapiro-Wilk) e homogeneidade de variâncias ( (p>0,05 nos testes de Bartlett). Também não deve ocorrer outliers neste conjunto de dados, pois nenhum resíduo fica fora dos limites de 2,5 desvios padrões (Figura 10). Figura 10. Gráfico dos resíduos padronizados versus a seqüência dos dados. 28

32 Análise de covariância Uma análise de covariância é uma análise onde o efeito de uma variável quantitativa que atua no experimento vai ser estimado, testado e utilizado para ajustar os dados do experimento. A seguir faremos um exemplo utilizando a função ea1( ) do pacote easyanova. Segue programação para carregar o pacote e os dados para exemplo. require(easyanova) data(data10) Para visualizar os dados: data10 Diets Initial_weight Repetitions Gain 1 A A A A A B B B B B C C C C C Estes dado, obtidos de Kaps e Lamberson (2009), representam o efeito de três dietas no ganho de peso diário de bezerros. O experimento foi instalado no delineamento inteiramente ao acaso. Ocorre que animais inicialmente mais pesados têm a tendência de ganhar mais peso. Se ocorrer diferença entre os grupos de cada tratamento, um ajuste através da análise de covariância é adequado. 29

33 A ordem das colunas no conjunto de dados para análise com a função ea1( ) deve ser: 1) tratamento; 2) covariável (no caso o peso inicial); 3) ganho de peso (variável resposta). A coluna referente às repetições (terceira coluna) deve ser retirada antes de proceder à análise, como programado a seguir. datacov=data10[,-3] resultado=ea1(datacov, design=5) Para visualizar o resultado. resultado $`Analysis of variance` df type I SS mean square F value p>f covariate <0.001 treatments Residuals $`Adjusted means` treatment adjusted.mean standard.error tukey snk 1 A a a 2 C ab b 3 B b b duncan t scott_knott 1 a a a 2 b b b 3 b b b $`Multiple comparison test` pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan) p(t) 1 A - C A - B C - B $`Residual analysis` values p.value Shapiro-Wilk test p.value Bartlett test coefficient of variation (%) first value most discrepant second value most discrepant third value most discrepant Ocorre efeito significativo para tratamentos e para a covariável. Sem problemas quanto à normalidade e homogeneidade de variâncias. A seguir se procede a análise sem considerar a covariável (peso inicial). Assim, temos um delineamento inteiramente ao acaso (função ea1( ) design=1). Repare que não ocorre 30

34 diferença entre as médias dos tratamentos e aumenta o coeficiente de variação, demonstrando a importância da análise de covariância neste exemplo. resultado=ea1(datacov[,-2], design=1) resultado $`Analysis of variance` df type I SS mean square F value p>f treatments Residuals $Means treatment mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott 1 A a a a a a 2 B a a a a a 3 C a a a a a $`Multiple comparison test` pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan) p(t) 1 A - B A - C B - C $`Residual analysis` values p.value Shapiro-Wilk test p.value Bartlett test coefficient of variation (%) first value most discrepant second value most discrepant third value most discrepant Contrastes de médias O objetivo deste tópico não é demonstrar contrastes entre pares de médias ou os chamados testes de comparações múltiplas. Os mesmos são demonstrados nos tópicos anteriores em cada exemplo apresentado segundo o tipo de esquema experimental e delineamento estatístico. Neste tópico demonstraremos como proceder para comparar grupos de médias. Primeiro vamos demonstrar como fazer contrastes de grupos de médias utilizando a função ec( ) do pacote easyanova. Carregando exemplo de Kaps e Lamberson (2009) contido no pacote easyanova. require(easyanova) 31

35 data(data1) Para visualizar os dados: data1 Diet Gain 1 d d d d d d d d d d d d d d d3 300 Realizando a analise de variância: resultado=ea1(data1, design=1) Observando o resultado: resultado $`Analysis of variance` df type I SS mean square F value p>f treatments Residuals $Means treatment mean standard.error tukey snk duncan t scott_knott 1 d a a a a a 2 d b b b b b 3 d b b b b b 32

36 $`Multiple comparison test` pair contrast p(tukey) p(snk) p(duncan) p(t) 1 d3 - d d3 - d d1 - d $`Residual analysis` values p.value Shapiro-Wilk test p.value Bartlett test coefficient of variation (%) first value most discrepant second value most discrepant third value most discrepant Desdobrando em contrastes ortogonais. Primeiro contraste, fazendo d3 versus demais, ocorrendo diferença significativa. mg1=312 mg2=c(278,280) sdg1= sdg2=c(7.7028,7.7028) df=12 ec(mg1,mg2,sdg1,sdg2,df) grupos contrast standard.error tcal p.value 1 group.1 vs group Segundo contraste, fazendo d1 versus d2, sem ocorrência de diferença significativa. mg1=280 mg2=278 sdg1= sdg2= df=12 ec(mg1,mg2,sdg1,sdg2,df) grupos contrast standard.error tcal p.value 1 group.1 vs group

37 ortogonais. Ou então fazendo via funções do R base, primeiro criando uma matriz de contrastes c=matrix(c(-1,-1,2,1,-1,0),ncol=2) c=t(c) c [,1] [,2] [,3] [1,] [2,] Invertendo (inversa generalizada) a matriz de contrastes ortogonais. c1=ginv(c) c1 [,1] [,2] [1,] e-01 [2,] e-01 [3,] e-17 Modelo com os contrastes e o resultado. contrasts(data1$diet)=c1 m=lm(gain~diet, data=data1) summary(m) Call: lm(formula = Gain ~ Diet, data = data1) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(> t ) (Intercept) <2e-16 *** Diet ** Diet Signif. codes: 0 *** ** 0.01 *

38 Residual standard error: on 12 degrees of freedom Multiple R-squared: , Adjusted R-squared: F-statistic: on 2 and 12 DF, p-value:

39 Referências KAPS, M. and LAMBERSON, W. R. Biostatistics for Animal Science: an introductory text. 2nd Edition. CABI Publishing, Wallingford, Oxfordshire, UK, p. SAMPAIO, I. B. M. Estatistica aplicada a experimentacao animal. 3nd Edition. Belo Horizonte: Editora FEPMVZ, Fundacao de Ensino e Pesquisa em Medicina Veterinaria e Zootecnia, p. R-Fácil (2014) URL R Core Team (2014). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. URL 36