Comparação dos modelos de Gompertz e Verhulst no ajuste de dados de uma variedade de feijão

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1 Comparação dos modelos de Gompertz e Verhulst no ajuste de dados de uma variedade de feijão 1 Introdução Laís Mesquita Silva 1 Allan Alves Fernandes 2 Filipe Rizzo 3 Augusto Ramalho de Morais 4 O feijoeiro-comum (Phaseolus vulgaris L.) é uma das principais culturas produzidas e consumidas no Brasil e no mundo, sendo que o Brasil se destaca como maior produtor mundial do grão. É um alimento referencial na dieta nutricional por proporcionar segurança alimentar as classes mais carentes da população, provido de proteínas, ferro e carboidratos como nutrientes essenciais como opção em substituição a carnes e outros produtos proteicos. O consumo per capita mostra-se crescente, sendo de aproximadamente 17,06 kg/habitante/ano de acordo com pesquisas realizadas em 2010 (BARBOSA et al., 2012). Devido ao ciclo curto do feijoeiro, a modelagem de seu crescimento é importante para auxílio nas práticas agrícolas mais eficientes, auxiliando na inferência sobre processos fisiológicos, melhor época para adubação, entre outros (Benincasa, 2003). Na análise de crescimento utilizam-se tanto modelos lineares quanto os não lineares, mas os modelos não lineares têm sido muito utilizados principalmente por apresentarem parâmetros com interpretação biológica e aplicações práticas de suas características. Neste trabalho objetivou-se comparar o ajuste dos modelos não lineares de Verhulst e o de Gompertz aos dados da massa seca do feijoeiro, cultivar Jalo, em diferentes populações de plantas. 1 UFLA Universidade Federal de Lavras. laismesquita@hotmail.com 2 UFLA Universidade Federal de Lavras. alanfernandes538@yahoo.com.br 3 UFLA Universidade Federal de Lavras. rizzo.filipe@gmail.com 4 UFLA Universidade Federal de Lavras. amorais@dex.ufla.br; bolsista do CNPq. Agradecimento à FAPEMIG e ao CNPq pelo apoio financeiro e bolsa concedida.

2 2 Material e métodos Um experimento foi realizado na área experimental do Departamento de Agricultura, na Universidade Federal de Lavras, com a cultivar Jalo de feijoeiro, empregando-se o delineamento em blocos casualizados, com três repetições, sendo os tratamentos dispostos em esquema fatorial 5x7, para verificar o efeito dos fatores população de plantas (75, 145, 215, 285 e 355 mil plantas por ha -1 ) em diferentes períodos (13, 23, 33, 43, 53, 63, e 73 dias após a emergência) de crescimento. Foram avaliados o peso da matéria seca da haste (H), folha (F), haste e folha (HF), haste, folha e vagem (HFV), grãos (G) e total (HFVG). O dados da massa seca total foram submetidos à analise da variância, sendo verificado a homogeneidade de variâncias pelo teste de Bartlett e a normalidade dos erros pelo teste de Shapiro-Wilk. Em seguida, procedeu-se a análise de regressão para avaliar o crescimento em função dos dias após emergência ( DAE), em cada população de plantas. Foram ajustados aos dados de matéria seca os modelos de regressão não lineares, de Gompertz e o de Verhulst, para cada população de plantas. O modelo não linear de Gompertz (Domingues, 2011; Boyce et al., 1999) utilizado para descrever a produção de matéria seca em função no instante t, foi representado por: ( ) em que, N = N(t) representa o peso de matéria seca do feijoeiro no instante t; r é a constante de crescimento intrínseca da população, com r > 0; k é a capacidade de carga do ambiente, representando o peso assintótico máximo que a planta pode atingir. O modelo não linear de Verhulst (Bassanezzi, 2002) utilizado para descrever a produção de matéria seca no instante t, é dado por: ( ( )) em que N(t) é o peso de matéria seca no tempo t; K é o peso assintótico máximo que a planta pode atingir; r é a taxa de crescimento intrínseca da população (r > 0); N 0 é o peso de matéria seca no tempo t = 0.

3 Para a comparação dos modelos das curvas de crescimento foi utilizado o critério de Akaike, sendo considerado como melhor, aquele modelo que apresentou menor estimativa para AIC. As análises foram realizadas com o software R (R Development Core Team, 2013), sendo utilizada a função nls. 3 Resultados e discussões Verificou-se que ocorreu efeito significativo dos DAE ou períodos (Tabela 1) sobre o peso de matéria seca em três das cinco populações estudadas. Tabela 1. Análise de variância para peso de matéria seca do feijoeiro com desdobramento de períodos em cada população* FV GL SQ QM valor p Blocos , ,23 4,006 0,0227 População , ,38 5,446 0,0007 Períodos/ , ,20 3,238 0,0073 Períodos/ , ,72 1,250 0,2921 Períodos/ , ,50 2,347 0,0404 Períodos/ , ,81 1,787 0,1146 Períodos/ , ,88 8,874 < 0,0001 Erro , ,02 *Variável Matéria Seca Total calculada a partir da soma das variáveis: haste, folha vagem e grãos. Foi realizado o desdobramento de Período dentro de cada População com a finalidade de avaliar o comportamento da matéria seca total para cada população. As equações de regressão obtidas pelo ajuste dos modelos não lineares de Gompertz e Verhulst estão apresentadas na Tabela 2. As estimativas do parâmetro relativo ao peso assintótico indicam que a medida que se aumenta a população de plantas houve um aumento no acumulo de matéria seca e, isto é fácil de se ver pelo modelo de Verhulst. Já para o modelo de Gompertz por este parâmetro não foi possível fazer esta inferência, pois suas estimativas ficaram sobrestimadas. Maiores pesos assintóticos foram estimados nas populações de 215 e 285 mil plantas; estes resultados estão de acordo

4 com Alves et al. (2009), que verificaram que densidades de semeadura ao redor de 240 mil plantas garantem boas produtividade. Menores valores para o parâmetro r ocorreram nas populações de 215 e 285 mil plantas, indicando que as plantas demoram mais para atingir a maturação, ocorrendo desenvolvimento mais tardio das plantas e, é claro, podendo elas atingirem maiores pesos ou produções. Tabela 2. Equações de regressão ajustadas pelos modelos não lineares de Verhulst e de Gompertz para descrição do crescimento em matéria seca do feijoeiro, cv. Jalo em populações de plantas. População Modelo Equação ajustada 75 Verhulst ( ( )) 145 Verhulst ( ( )) 215 Verhulst ( ( )) 285 Verhulst ( ( )) 355 Verhulst ( ( )) De modo geral, observou-se que as estimativas do critério de Akaike, foram menores quando do ajuste do modelo de Verhulst, indicando que este modelo apresentou melhor qualidade de ajuste aos dados de feijão Jalo (Tabela 3). Tabela 3. Estimativas do valor do critério de Akaike (AIC) para os modelos de Gompertz e de Verhulst no ajuste da massa seca total do feijoeiro cv. Jalo, para cada população de plantas. Modelo População Gompertz 87, , , , ,2159 Verhulst 84, , , , ,5446

5 4. Conclusão Considerando o critério de Akaike e as propriedades de ambos os modelos, o modelo não linear de Verhulst apresentou melhor ajuste para todas as populações, sendo o mais adequado para descrever os dados de matéria seca total de feijão Jalo. 5. Referências [1] AKAIKE, H. A new look at the statistical model identification. IEEE Transactions on Automatic Control, Boston, v. 19, n. 6, p , [2] ALVES, A.F. et al. Densidades populacionais para cultivares alternativos de feijoeiro do norte de Minas Gerais. Ciência e Agrotecnologia, v.33, p , [3] BARBOSA, F. R.; GONZAGA, A. C. DE O.; Informações técnicas para o cultivo do feijoeiro-comum na Região Central-Brasileira: Santo Antônio de Goiás: Embrapa Arroz e Feijão, 2012, 247 p. [4] BASSANEZZI, R.C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, [5] BOYCE, W. E. e DE PRIMA, R. C.. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 5.ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, [6] DOMINGUES, J.S. Análise do Modelo de Gompertz no crescimento de tumores sólidos e inserção de um fator de tratamento. Biomatemática, v.21, p , Disponível em: [7] R Development Core Team (2013). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria.