Material Didático do Curso de Engenharia Mecânica da UniEVANGÉLICA

Transcrição

1 Material Didático do Crso de Engenharia Mecânica da UniEVANGÉLICA Disciplina: Cálclo II Docentes: Carlos Edardo Fernandes Cládia Gomes de Olieira Santos Ricardo Wobeto Volme 1 18

2 Centro Uniersitario de Anápolis - UniEVANGÉLICA Associação Edcatia Eangélica Conselho de Adiministração Presitente Ernei de olieira Pina 1º Vice-Presidente Cicílio Ales de Moraes º Vice-Presidente Ian Gonçales da Rocha 1º Secretário Geraldo Henriqe Ferreira Espíndola º Secretário Francisco Barbosa de Alencar 1º Tesoreiro Agsto César da Rocha Ventra º Tesoreiro Djalma Maciel Lima Centro Uniersitário de Anápolis Chanceler Ernei de Olieira Pina Reitor Carlos Hassel Mendes da Sila Pró-Reitor Acadêmico - Cristiane Martins Rodriges Bernardes Pró-Reitor de Pós-Gradação Pesqisa Etensão e Ação Comnitária - Sandro Dtra e Sila Coordenadora da Pesqisa e Inoação - Brno Jnior Nees Coordenador de Etensão e Ação Comnitária - Fábio Fernandes Rodriges Eqipe Editorial Diretor - Hélio de Soa Qeiro Coordenador de Pesqisa Rosemberg Fortes Nnes Rodriges Coordenador Pedagógico - Wilson de Pala e Sila Coordenador de Planejamento e Inoação - Ricardo Wobeto Coordenador de Laboratórios e de Atiidades de Etensão - Sérgio Mates Brandão Coordenador de Estágio Sperisionado - Marcio José Dias

3 CÁLCULO II ENGENHARIAS AULA 1 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA FUNÇÕES IMPLÍCITAS E EXPLÍCITAS Até agora estdamos nções qe enolem das ariáeis qe se apresentam de orma eplícita: isto é ma das ariáeis é ornecida de orma direta eplícita em termos da otra 4-5 Por eemplo: s -5t² - 18t 9w 5w² Nelas diemos qe s e são nções de t e w EXPLICITAMENTE Mitas nções porém apresentam-se na orma implícta eja o eemplo abaio: Ache a deriada d da nção 1 d d : Deriada de em d relação à RESOLUÇÃO: Nesta eqação esta deinida IMPLICITAMENTE como ma nção de Podemos obter portanto a eqação em relação à e daí dierencia-la 1 Forma implícita 1 Escreer a relação em nção de 1 Escreer sob noa orma d - Deriar em relação a d d 1 - d Simpliicar Este processo só é possíel qando podemos eplicitar acilmente a nção dada o qe não ocorre por eemplo com 4 ln Para tanto podemos tiliar m método chamado DERIVAÇÃO OU DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA qe nos permite deriar ma nção sem a necessidade de eplicitá-la

4 4 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Esta deriação é eita em relação a Resolendo normalmente as deriadas qe enolam apenas Qando deriamos termos qe enolem aplicaremos a Regra da Cadeia ma e qe é ma nção de Eemplos: 1 ³ Sendo ma nção de deemos aplicar a regra da cadeia para dierenciar em relação a daí : d d d d d d d d d d d d d 1 d d d ² d d 1 d d d d 4 4² 9² 6 d d 4 9 d d d 8 d d d d 18 d ² ² 1 6 ² 5 7 ² ² 1 8 ² 5³ ³ - ³ - 4

5 5 1 ² ³ - 11 ² 4² 4 1 ³ ² - 5 ² ³³ tg 17 e 18 acos² b 19 ln EXTRA :

6 6 CÁLCULO II ENGENHARIAS AULA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA Fnção na orma paramétrica Sejam I t t das nções da mesma ariáel t com t [ a b ]; a cada alor de t temos e deinidos Caso as nções t e t sejam contínas qando t aria de a b; o ponto P t t decree ma cra no plano onde t é o parâmetro Eemplo : t P a b t t Sponhamos a nção t inersíel temos t t a inersa de t e podemos escreer [t] e deine-se como nção de na FORMA PARAMÉTRICA Eliminamos t de I e obtemos na FORMA ANALÍTICA sal Eemplos : t em nção de t 1 t 1 1 a 4t Aplicando t em temos :

7 7 acost b ; t [ ; ] com centro asent e raio a Eqação da Circnerência Eleando-se ambas as as eqações ao qadrado e somando temos : ² ² a² cos²t a²sen²t ² ² a² cos²t sen²t ² ² a² 1 ² ² a² Nota-se qe a eqação acima NÃO É UMA FUNÇÃO na orma paramétrica acost não é inersíel em [ ] Daí amos obter ma o mais nções do tipo na orma paramétrica ao restringirmos o domínio Logo temos : acost asent acost ; t [ ; ] OU ; t [ ; ] asent a a

8 8 Deriada de ma nção na orma paramétrica Seja ma nção de deinida pelas eqações paramétricas : t A órmla qe perrmite calclar a deriada ; t [ a; b ] temos d t d sem conhecer eplicitamente como t d t d nção de Eemplos : d 1 Calcle da nção deinida na orma paramétrica pelas eqações : d a t 1 4t b t 1 9t 6t d ' t a d ' t 4t ' t 1' 4 d ' t b d ' t 9t 6t' t 1' 18t 6 18t 6 6t OBS : Noteno item b qe a resposta está em nção de t caso qisermos a deriada d em nção de deemos determinar t t e sbstitir em daí temos : d t 1 1 t t epressão portanto ; sbstitindo t em obtemos a seginte d d

9 9 Idem para 4cos 4sen t t ; t d ' t d ' t 4sen t' 4cos t' 1sen tcost sen t 1cos tsen t cost d d - tgt OBS : Temos qe tomar mita atenção qanto aos interalos de alidade das respostas obtidas Note qe t dee ser dierente de ero pois está operando como denominador da epressão acima portanto conclímos qe para aermos as simpliicações indicadas temos qe considerar t e t pois sen e cos note qe apesar de t pertencer ao interalo alores de t já mencionados t eetiamente estão eclídos os EXERCÍCIOS : d Calclar a deriada das segintes nções deinidas na orma paramétrica d Para qais alores de t a deriada está deinida? t² cos³t 1 ; t ] ; [ 4 ; t ] - ; [ t³ sen³t cost cost ; t [ ; ] 5 ; t [ ; ] 4sent sent t 1 8cos³t ; - < t < 6 ; t [; ] t³ 5 8sen³t

10 1 CÁLCULO II ENGENHARIAS AULA FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Introdção : Consideremos os segintes ennciados : 1 O olme V de m cilindro é dado por V r h onde r : raio e h : altra A eqação de estado de m gás é dada por P : Pressão V : Volme n : Massa gasosa em moles r : Constante molar do gás T : Temperatra n r T P onde temos : V Nma bree análise destes ennciados eriicamos qe as nções enolidas reqerem o so de das o mais ariáeis independentes Em 1 Temos V : Vr h r h Temos P : Pn T V n r T V Lembrar qe r é constante Graicamente : R R h V V P Par ordenado r h no plano R R R r R R n T R Terna ordenada n T V em R R R R

11 11 OBS : O estdo das nções de três o mais ariáeis diere poco do estdo de nções de das ariáeis logo amos trabalhar mais com estas salientando as dierenças Fnção de árias ariáeis Deinição : Seja A m conjnto do espaço n-dimensional A R n isto é os elementos de A são n-plas ordenadas 1 n de números reais se a cada ponto P do conjnto A associamos m único elemento R temos a nção a qal está deinida como : A R n R A R n Essa nção é chamada de Fnção de n ariáeis reais e denotamos : P o 1 n O conjnto A é denominado Domínio da nção P As notações são em geral do tipo : ² e Das ariáeis Três ariáeis Para eetar cálclos temos por eemplo : para ² - ² ² - ² para e e -1 4 GRÁFICOS Uma nção de das ariáeis pode ser representada graicamente como ma sperície no espaço aendo-se Ao aer o gráico de ma nção de e tenha em mente qe embora o gráico seja tridimensional o domínio da nção é bidimensional consiste nos pontos do plano para os qais a nção é deinida Eemplos : 1 Determine o domínio e a imagem da nção 64 Resolção: D R : Temos pois : ² ² 8² círclo logo Im R : 8 64 o Im [ ; 8 ]

12 1 Gráico da nção 8 Centro e raio 8 HEMISFÉRIO SUPERIOR Gráico do Determine o Domínio para g 16 domínio Resolção: e esboce o gráico do D R 16 Gráico do Domínio : Nota-se qe o gráico da nção seria qadridimensional não podendo portanto ser esboçado Idem para w > e > A

13 1 ² - ² > > OU < e < B Logo : Dw R Gráico do Domínio : - B < > A - < - > 5 4 Ache o domínio da nção w R Para w pertencente a R temos logo : Dw { R } Eercícios : 1 Determine o domínio das segintes nções : a 1 b w c d 1 1 e 1 ln 4

14 14 g e h 1 1 i w 9 1 j ln

15 15 CÁLCULO II ENGENHARIAS AULA 4 DERIVADAS PARCIAIS As aplicações das nções de árias ariáeis procram determinar como ariações de ma das ariáeis aetam os alores das nções Por eemplo m economista qe deseja determinar o eeito de m amento de impostos na economia pode aer ses cálclos tiliando dierentes taas de imposto mantendo constantes otras ariáeis como desemprego etc Analogamente determinamos a taa de ariação de ma nção em relação a ma de sas ariáeis independentes qe nada mais é qe achar a deriada de em relação a ma de sas ariáeis independentes Este processo chama-se DERIVADA PARCIAL Uma nção de árias ariáeis tem tantas parciais qantas são sas ariáeis independentes FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Deriadas parciais Se então deriadas parciais de primeira ordem de em relação a e são nções e deinidas como sege : lim lim constante constante Eetiamente ao deriarmos parcialmente ma nção deria-se em relação a ma ariáel considerandose as demais constantes!!!

16 16 Eemplos : 1 Calcle e para a nção ²² ³ -² 6² - ² ³ Idem para g g 1 g 1 Idem para sen cos cos cos 1 cos

17 17 4 Idem para ² ² ² - 4 ² 6 5 Idem para ; ; 5 PARA PARA

18 18 5 lim lim ' H L 5 lim lim ' H L Resmindo : ; ; ; ; NOTAÇÕES : Deriadas parciais de primeira ordem : Seja : Os alores das deriadas parciais de primeira ordem no ponto a b

19 19 a b a b a b a b

20 CÁLCULO II ENGENHARIAS AULA 5 DERIVADAS PARCIAIS DE SEGUNDA ORDEM Deriada parcial de ª ordem em relação a Deriada parcial de ª ordem em relação a Deriadas parciais de ª ordem mistas OBS : Qando a nção é contína então

21 1 Eemplo : Determine as deriadas parciais de ª ordem de ln ² ² ** * 4 ** * 4 ** * 4 ** * 4 Eercícios : Calcle as deriadas parciais de ª ordem das nções abaio : 1 e cos arctg ² ² 4

22 CÁLCULO II ENGENHARIAS - AULA 6 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS 1 Regra de Laplace Laplaciano Seja ma nção de das ariáeis e sas parciais de segnda ordem chamamos de LAPLACIANO a seginte epressão : Analogamente para w temos o LAPLACIANO : w w w w Nestes casos diemos qe e w Respectiamente satisaem a Regra o Eqação de Laplace Eemplos : Veriiqe se as nções dadas satisaem a Regra o Eqação de Laplace a w ² -² ² ** * w 4 4 ** * w 4 w w w w ** * w Logo w satisa à Laplace

23 b Idem para e sen * e * sen e ** sen e e sen e sen e e sen ** cos e cos cos e sen e sen e sen e sen ; logo satisa à Laplace Eercício : Idem para w

24 4 Dierencial Total o Deriada Total Seja ma nção de das ariáeis e as parciais de chamamos de Dierencial o Deriada Total a seginte epressão : OU d dt d d dt dt Analogamente para w temos : w w w w OU dw w d w d w dt dt dt t Eemplos : Calcle a epressão do Dierencial Total de : 1 ² ln ²³ 6 6 ² ² d dt d 6 dt d dt

25 5 Idem para dt d dt d dt d 6 6 Eercícios : 1 Idem para ³e 4² Idem para ²sen Idem para sec ² ³

26 6 Vetor Gradiente Seja ma nção de das ariáeis e as parciais de Seja Po o o m ponto do plana e P o P as deriadas calcladas no o ponto Po chamamos de Vetor Gradiente ao seginte etor : P o P o P o P o o o Po O Vetor Gradiente aponta para onde tem maior elocidade

27 7 Eemplos : Determine o etor gradiente das nções abaio no ponto Po 1 ln ² ² em Po sen em Po 1 1sen sen sen sen cos cos 1cos cos 1 Eercícios : 1 Idem para ²³e em Po 1-1

28 8 Idem para em Po -1 1

29 9 CÁLCULO II ENGENHARIAS AULA 7 DERIVADA DIRECIONAL Inclinação Se é ma nção dierenciáel de e com 1i j m etor nitário então a deriada direcional de na direção de é denotada por : D 1 I Seja o etor gradiente temos qe a deriada direcional é a direção assmida pelo etor gradiente qando aplicado no etor nitário logo para calclarmos a deriada direcional temos o etor decomposto em P i j e combinado com a eqação I chegamos em : D P Prodto Escalar Eemplos :

30 1 Ache a deriada direcional de ² no ponto 1 na direção a i 4j Como a não é etor nitário temos qe normalia-lo daí : 1 a i 4 j i 4 j i 4 j 4 a i a a a a j Logo : 1 1 i 1 j 6 1 i 1 j 61 i 1 j 1 1i j Portanto : D P 1i j i j D 5 Ache a deriada direcional de ³² no ponto -1 na direção a 4i - j Como a não é etor nitário temos qe normalia-lo daí : 1 a 4i j 4i j 4i j 4 a i a a a a j Logo : 1 1 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 1i 4 j Portanto : D P 1i 4 j i j 1 4 D Eercícios : 1 Ache a deriada direcional de e P 4 e 4 i j 5 5

31 1 Idem para ² - 5 ² P -1 e i j Idem para P - e a i 5j 4 Idem para cos² P 4 a < 5 1 > 5 Idem para arctg P 4-4 a i j 6 Idem para 4 P 1 a i 4j JACOBIANO

32 Estdando tramente no Cálclo IV as integrais múltiplas eriicamos qe m dos tópicos abordados é a chamada mdança de ariáeis onde é tratado m conceito mito importante denominado JACOBIANO Não aremos sa demonstração agora porém mostraremos o JACOBIANO como sendo mais ma aplicação das deriadas parciais estdadas em Cálclo III Sendo a mdança de ariáel mencionada anteriormente dada pela transormação T do plano no plano : T Resltamos sem maiores demonstrações no prodto etorial : r r k k k j i Onde r e r são etores tangentes à ma sperície S pertencente ao plano Chamamos pois de JACOBIANO da transormação T com e g à eqação : OBS: Se T or ma transormação de espaços temos o JACOBIANO w análogo Eemplos : Calcle os jacobianos para os casos abaio : a 4 5

33 Cosseno da dierença b ² ² c sen cos -cos sen cos sen sen cos cos sen sen cos cos d e - ²e - e e e e e e e e 1 1 e e e e Eercícios : Calcle os jacobianos para os casos abaio :

34 4 a b ² - ² c

35 5 CÁLCULO II ENGENHARIAS AULA 8 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS TEOREMA DO VALOR EXTREMO Da mesma orma estdada no Cálclo II amos citar o Teorema do Valor Etremo para nções de das ariáeis Seja ma nção contína em m conjnto echado e limitado R então possi tanto máimo qanto mínimo absoltos em R EXTREMOS No crso de Cálclo II aprendemos a determinar MÁXIMOS e mínimos de nções de ma ariáel Hoje amos tiliando técnicas análogas começar a aprender a determina-los a partir de nções de DUAS ariáeis Analisando m gráico de ma nção de das ariáeis podemos notar pontos altos e baios em sas iinhanças imediatas Tais pontos são chamados de máimos e mínimos relatios de respectiamente O mais alto máimo dentro do domínio de é chamado de máimo absolto O mais prondo mínimo dentro do domínio de é chamado de mínimo absolto Vamos deini-los portanto da seginte maneira : Seja a nção diemos qe ela possi máimo relatio em m ponto P se eiste m círclo centrado em P de modo qe para todo ponto do domínio de no interior do círclo analogamente ela possi m máimo absolto em P se para todos os pontos do domínio de Seja a nção diemos qe ela possi mínimo relatio em m ponto P se eiste m círclo centrado em P de modo qe para todo ponto do domínio de no interior do círclo analogamente ela possi m mínimo absolto em P se para todos os pontos do domínio de Obs : Complementando o qe já oi deinido se a nção possi máimo o mínimo relatio diemos qe ela possi etremo relatio no ponto e se ela possi máimo o mínimo absolto di-se qe ela possi etremo absolto no ponto DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS Para determinarmos os etremos relatios eriicamos qe a nção tem deriadas parciais de primeira ordem contínas em e qe é etremo relatio de daí tem-se o plano tangente ao gráico de em paralelo ao plano com eqação

36 6 Os pontos críticos de são aqeles onde as parciais de primeira ordem são ero o não é dierenciáel daí temos a deinição : Seja ma nção de das ariáeis o ponto é chamado de crítico se e o se ma o ambas deriadas parciais de primeira ordem não eistirem em Eemplo : Seja 1 ² ² com ² ² 4 Ache os etremos de Temos ² ² 4 o disco echado R de raio e centro no plano Daí pela última deinição : Único logo 1 Etremo Relatio Veja o gráico : PONTO DE SELA

37 7 Um ponto P o é chamado de Ponto de Sela se mas porém a nção não possi nem mínimo nem máimo relatio no ponto pois nma direção ele se comporta como máimo e notra como mínimo Veja o gráico abaio da nção ² - ² no ponto P temos comportando-se como máimo na direção de e como mínimo na direção de e note o ormato do gráico qe lembra ma sela TESTE DA SEGUNDA DERIVADA Para etremos relatios o locais Seja ma nção de das ariáeis dotada de deriadas parciais de segnda ordem contínas em m círclo centrado em m ponto crítico temos o discriminante D D o Se D > e D > e > então tem mínimo relatio em < então tem máimo relatio em D < então tem ponto de sela em D então nada podemos conclir Eemplos : 1 Determine todos os pontos etremos e pontos de sela da nção ² - ² - 8

38 8 6 8 Sbstitindo da primeira deriada na segnda Sbstitindo em da primeira deriada 6 portanto temos P P 6 Único Ponto Crítico 6 6 ** * 8 ** * 8 ** * D D 8 D 8 > Temos portanto Mínimo Relatio 6 > Logo 6-4 então o ponto P 6-4 é Ponto de Mínimo Relatio de Idem para

39 9 4 4 Sbstitindo da primeira deriada na segnda o o 8 1 Logo temos para P -1-1 Por tanto temos os pontos críticos : Q S 1 1 * ** * ** * ** Como temos mais do qe m ponto crítico amos montar ma tabela Ponto Crítico D Conclsão < ² 18 >

40 4 Máimo Relatio 4 4² -16 < Ponto de Sela < ² 18 > Máimo Relatio P -1-1 Ponto de Máimo Relatio Aplicando os pontos críticos na nção temos : Q Ponto de Sela S 1 1 Ponto de Máimo Relatio NOTA : Vimos nos Eemplos 1 e qe ao determinarmos os pontos de máimo e mínimo relatios encontráamos m ponto P R² Na erdade o qe ocorre é qe para este P amos associar m ponto P onde é o erdadeiro etremo máimo o mínimo Daí : No eemplo 1 temos : ² - ² - 8 Mínimo Relatio em P 6 Logo temos : 6 ² - 6 6² portanto temos m ponto no espaço P 6-4 com 6-4 MÍNIMO RELATIVO No eemplo temos : Máimo Relatio em P -1-1 Sela em Q Máimo Relatio em P 1 1 Logo : Para P -1-1 temos

41 41 P -1-1 é PONTO DE MÀXIMO RELATIVO de Para Q temos Q é PONTO DE SELA Para S 1 1 temos S 1 1 é PONTO DE MÀXIMO RELATIVO de EXERCÍCIOS : Baseando-se nestas adaptações amos aer os eercícios segintes 1 Localie todos os máimos e mínimos relatios e pontos de sela de : a 1 b - 1 c 5 Idem para Idem para EXERCÍCIOS EXTRAS : RESPOSTAS : 1 Idem para P Pto Mín Rel Idem para P 1-1 Pto De Sela Idem para - P -1 - Pto Mín Rel 4 Idem para -1-1 P e Q Ptos Mín Rel 5 Idem para - e P -1 Pto Sela 6 Idem para e sen Não eiste Má o Mín Rel 7 Idem para e -²² P -1 e Pto Má Rel

42 4 CÁLCULO II ENGENHARIAS AULA 9 DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS ABSOLUTOS EM CONJUNTOS FECHADOS E LIMITADOS Seja ma nção contína de das ariáeis em m conjnto echado e limitado R então possí etremo máimo absolto e mínimo absolto para algm ponto de R para nções de das ariáeis Teorema do Valor Etremo Os pontos etremos absoltos de ma nção como mencionada no teorema acima ocorrem em pontos críticos da nção qe se localiam no interior do conjnto Região R o em pontos na ronteira de R Vamos indicar a segir m método para determinar os máimos e mínimos absoltos em conjntos echados e limitados R I Determine os alores de nos pontos críticos de em R II Determine todos os alores etremos de ronteira de R III O maior alor encontrado resltante de I e II é o alor máimo absolto; o menor alor encontrado resltante de I e II é o alor mínimo absolto Eemplos : 1 Determine os alores de máimo e mínimo absolto de 6 7 sobre a região trianglar R com értices e 5 Veja a igra : 5 P R 1

43 4 6 1 P 1 é Único Ponto Crítico no interior de R Vamos determinar os pontos de ronteira de R onde poderá ocorrer alores etremos : Analisando cada segmento de reta limitado pelos értices Para o segmento até temos para portanto não há ponto crítico em logo os etremos de ocorrem nos pontos e Para o segmento até 5 temos para portanto não há ponto crítico em logo os etremos de ocorrem nos pontos e 5 5 Para o segmento até 5 no plano ma das eqações é 5 ; w w os w sbstitindo em 5 temos logo temos 5 etremos ocorrendo nos pontos 5 e no ponto crítico 7 8 5

44 44 O último procedimento agora é montar ma tabela para indicarmos os Etremos Absoltos Finalmente Ponto de Máimo Absolto 7 Ponto de Mínimo Absolto -11 EXERCÍCIOS : 1 Idem para sobre a região R trianglar com értices 5 e 4 Idem para - 6 sobre a região R qadrada com értices e Idem para sobre a região R trianglar com értices 4 e 4 5 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES : 1 Determine as dimensões de ma caia retanglar aberta no topo cja área total é de 1 m² para qe ela possa m olme máimo Determine as dimensões de ma caia retanglar aberta no topo com m olme de cm e qe sabendo-se qe será tiliada a mínima qantidade de material para sa constrção Qal a área máima qe m retânglo pode ter se se perímetro é de cm?

45 45 CÁLCULO II ENGENHARIAS AULA 1 REGRA DA CADEIA Deriada total Sejam g t h t a Deriada Total de é dada por : d dt d d dt dt Eemplos : 1 t t 1 t t 4 d determine dt d dt 1 d dt 1 Portanto d d d 1 1 t 4 t 1 dt dt dt d t 4 t 4t 7 dt

46 46 sen 5 cost sen t d determine dt cos 5 cos 5 5 d d cost dt dt sen t d d d dt dt dt coscos t 5sen tsen t 5coscos t 5sen t cost d sen t 5costcoscost 5sen t dt Portanto cos 5 sen t 5cos 5cost Eercícios : Dê a epressão da Deriada Total das nções : a 5 t 1 t d tg t t b ln t t e 5 sen t cost c ln t 1 4t 5

47 47 PLANO TANGENTE Dada a a nção o Plano Tangente ao gráico desta nção passando pelo ponto Po com dierenciáel em é dado pela eqação : onde Tal plano é perpendiclar ao etor 1 e considerando a reta r qe passa pelo ponto P e é paralela ao etor temos qe r é denominada Reta Normal ao gráico de e tem como eqação : r : 1 ; R Graicamente Reta Normal Plano P

48 48 Eemplos : 1 Dê a eqação do plano tangente e da reta normal à cra no ponto P Portanto Eq do plano tangente r : -1 1 r : ; R ; R r : ; R Eq da reta normal Dê a eqação do plano tangente e da reta normal à cra no ponto P 1 1

49 Portanto Eq do plano tangente r : r : ; R ; R r : ; R Eq da reta normal Eercícios : 1 Idem para em P 1 1 Idem para 4 9 em P - -1 Idem para ln em P 1

50 5 BIBLIOGRAFIA ÁVILA G: Cálclo olmes LTC 1994 AVRITZER D & CARNEIRO M J D : Lições de Cálclo Integral em Várias Variáeis CAED-UFMG 1 Link para o arqio pd GUIDORIZZI H: Um Crso de Cálclo 4 olmes LTC 1 LEITHOLD L: O Cálclo com Geometria Analítica olmes Harbra 1994 MARSDEN JE and TROMBA AJ: Vector Calcls 4ª edição WHFreeman and Co 1996 PINTO D e MORGADO MCF : Cálclo Dierencial e Integral de Fnções de Várias Variáeis Editora UFRJ 1999 PISKUNOV N: Cálclo Dierencial e Integral olmes 6ª edição MIR 198 SIMMONS G F: Cálclo com geometria Analítica olmes McGraw-Hill 1987 SPIVAK M: Calcls ª edição Pblish or Perish 1994 STEWART J: Cálclo - Vol 6ª edição Editora Pioneira Thomson Learning 9 ANTON H: Cálclo Um Noo Horionte - Vol 6ª edição Editora Bookman THOMAS G: Cálclo Vol 1 a edição Editora Addison Wesle