2. MODELO MATEMÁTICO DO (DIA) E HIPÓTESES BÁSICAS PARA A ANÁLISE DE VARIÂNCIA. i = 1, 2,..., I j = 1, 2,..., J

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1 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das a. aula/ a. aula Delneamento nteramente Aleatorzado (DA). VANAGENS: Em relação aos outros a) é bastante flexível, pos o número de tratamentos e de repetções depende apenas do número de parcelas dsponíves. b) O número de repetções pode ser dferente de um nível de tratamento para outro (deal: mesmo número de repetções delneamentos balanceados). c) A análse estatístca é smples, mesmo quando o número de repetções por nível de tratamento é varável. d) O número de graus de lberdade para o resíduo é o maor possível. DESVANAGENS: a) exge homogenedade total das condções expermentas, tanto do materal como do ambente. b) pode conduzr a uma estmatva de varânca resdual bastante alta já que não utlza o prncípo do controle local.. MODELO MAEMÁCO DO (DA) E HPÓESES BÁSCAS PARA A ANÁLSE DE VARÂNCA - Modelo: j t ej,,, j,,, onde: j - valor observado na parcela que recebeu o -ésmo tratamento na j-ésma repetção; constante nerente a toda população; t - efeto do -ésmo tratamento; e - efeto dos fatores não controlados do -ésmo tratamento na j-ésma repetção. j - HPÓESES BÁSCAS PARA VALDADE DA ANVA a) ADVDADE os efetos dos fatores que ocorrem no modelo matemátco devem ser adtvos, sto é, ausênca de nteração. b) NDEPENDÊNCA os erros ( e j ) devem ser ndependentes. os efetos de tratamentos sejam ndependentes, que não haja correlação entre eles. Que uma parcela não nfluence a outra. sso sgnfca que não se pode dzer, em função da

2 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das resposta obtda numa parcela, que a(s) parcela(s) vznha (as) terá (ão) respostas mas alta(s) ou mas baxa(s), a pror. OBS.: sso não ocorre quando os tratamentos são doses crescentes de proteína, fósforo, fbra, adubos, nsetcdas, fungcdas, herbcdas, etc. ocasão em que a análse de varânca deve ser feta estudando-se a regressão. OBS.: sso também não é verdade quando medmos na mesma parcela dados ao longo do tempo. OBS.: O smples fato de aleatorzar (sortear) as parcelas que receberão os tratamentos dmnu a dependênca entre os erros. OBS.: O snal dos desvos no croqu expermental pode ndcar dependênca dos erros e j c) HOMOCEDASCDADE ou HOMOGENEDADE DE VARÂNCA - os erros ou desvos e j, devem possur uma varânca comum σ. Rep. σ σ σ e j j e j j ( t t méda do tratamento ) sto sgnfca que a varabldade das repetções de um tratamento deve ser semelhante à dos outros. d) NORMALDADE Os erros ( e j ) devem possur uma dstrbução normal de probabldades. f( e j ) ej ~ ND(, σ ) e j sto mplca em que as observações ( j ) se ajustam a uma dstrbução normal dentro de cada tratamento.

3 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das e) Não exsta outlers (dados dscrepantes). OBS.: Na prátca, é comum que uma ou mas dessas hpóteses não se verfque. deve-se transformar ( j ) ou verfcar se no modelo não falta algum termo, ou fazer análse não-paramétrca, ou assumr outras dstrbuções para os erros (ex. Exponencal, Posson, Bnomal, Gama, Beta etc.: Modelos Lneares Generalzados. Mas comum Não exste homocedastcdade. pos: a. HEEROCEDASCDADE RREGULAR ocorre quando certos tratamentos apresentam maor varabldade que outros. Ex.: Substtução do soro do lete na almentação bovna pode-se esperar que a medda que se aumenta a quantdade de soro, haja maor varabldade na resposta. Y po Megafone Soro b. HEEROCEDASCDADE REGULAR ocorre devdo à falta de normaldade dos dados expermentas, exstndo, freqüentemente, certa relação entre a méda e a varânca dos dversos tratamentos testados. ESE DE HARLEY (9) (ESE DA RAZÃO MÁXMA) utlzado para verfcação da homocedastcdade rregular PROCEDMENO: -tratamentos repetções. Calcular s s s varâncas s H c s máx mn. COMPARAR O VALOR DE H c COM SEU VALOR CRÍCO H (,)α DA ABELA

4 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das Se H c H(, )α, rejetamos a hpótese de homocedastcdade, e concluímos que não exste homogenedade de varâncas entre os tratamentos. Obs : Se os números de repetções forem dferentes, mas semelhantes, utlzar. Obs: Alguns sstemas computaconas utlzam a Méda Harmônca do número de repetções para realzar alguns testes estatístcos. Obs : O teste é efcente em detectar heterogenedade rregular para e (Ensaos balanceados) DESVANAGENS: - Não é sensível quando a estatístca teste é grande devdo a menor varânca ser pequena, mesmo se todas outras varâncas forem a mesma. sso é devdo a nstabldade que pode ocorrer na estatístca teste: H c. - É um teste sensível a não normaldade dos dados. Se os dados não se ajustam a normal, então o teste de Hartle não é aproprado. ESE DE COCHRAN (9)-possvelmente o mas útl. Usa como estatístca teste a razão da maor varânca pela soma das varâncas amostras. Ele está obvamente relaconado a varânca méda, assm esse teste é específco para uma varânca excessvamente grande, contornando assm, uma das desvantagens do teste de Hartle. maor S C S Com os dados em mãos, substtuímos S por s, as estmatvas da amostra para varânca de populações (ou tratamentos) amostradas. A dstrbução de freqüênca de C é tabulada sob H verdadera e as varâncas são guas e as populações são normalmente dstrbuídas. A tabela de C envolve, o número de tratamentos ou populações e (-) graus de lberdade em cada amostra. Note que deve ser o mesmo para todas as amostras. Se o teste de Cochran é sgnfcante, há evdênca de um problema potencal séro para qualquer análse subseqüente a análse da varânca. Exstem város procedmentos a fazer, uma vez que a heterogenedade de varânca tenha sdo dentfcada. É fato que a heterogenedade de varâncas conduz a excessvo erro tpo, na análse de amostras balanceadas, assm, resultados não sgnfcantes de uma análse podem ser perfetamente acetáves. Assm, pode-se afrmar que não há dferença entre os tratamentos quando na verdade há. SAS: LEVENE v. 6.8 (se os dados não se ajustam à dstrbução normal) BROWN FORSYHE v. 6. BARLE (se os dados ajustam-se à dstrbução normal)

5 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das - CASO HEEROCEDASCDADE REGULAR usar transformação normalzadora RANSFORMAÇÕES COMUMENE ULZADAS: a) RANSFORMAÇÃO RAZ QUADRADA - - freqüentemente utlzada para dados de contagens, que geralmente seguem a dstrbução de POSSON (méda varânca, utlzadas também para eventos raros). Ex.: - Número de anmas sobrevventes/parcela (não confundr com co-varável). - Número de moscas das pastagens capturadas em armadlhas lumnosas. - Número de vermes no ntestno de ovnos. - Número de carrapatos sobrevventes/anmal. Obs.: Se ocorrer zeros ou valores baxos, usar a transformação:, ou,, ou de modo geral, K b) RANSFORMAÇÃO ANGULAR arcsen( / ) - Recomendável para dados expressos em porcentagens, que geralmente seguem uma dstrbução bnomal. De modo geral, B(n, p), então arcsen ( / n ). Obs : Se as porcentagens estverem [% - 7%] não é precso transformar. Obs : Não transformar, por transformação angular, porcentagens obtdas por dvsão dos valores observados nas parcelas por um valor constante. Ex.: Médas das parcelas - Representatvas de concentração (eor de proteína ou gordura na carne, de N na folha, pureza da semente, etc. ) Não é uma varável com dstrbução bnomal. Obs : ransformar porcentagens provenentes de dados dscretos num total de casos. no. Ex.: Porcentagem de germnação de sementes germnadas no. total de sementes Porcentagem de anmas doentes no. no. de anmas doentes de anmas consderados c) RANSFORMAÇÃO LOGARÍMCA log () ou Ln () - Utlzada quando é constatada certa proporconaldade entre as médas e os desvos padrão dos dversos tratamentos.

6 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das Ex.: Caso de contagens de vermes no ntestno de anmas como ovnos, caprnos, bovnos: se a população é numerosa, as contagens serão altas tanto para a testemunha como para os tratamentos não efcentes (Ex.: varação de a vermes), ao passo que, para os outros tratamentos, que controlam melhor o verme, a ampltude de varação será baxa (Ex.: e vermes). emos médas altas, varâncas altas e médas baxas, varâncas baxas. ransformação nversa para apresentação das médas na escala orgnal. OBS.:, *, -Orgnal -ransformada * log( ) este Shapro Wlks (W) este SAS: Procedmento Potênca Ótma de Box de normaldade para normalzar dados e Cox (96) homogenezar varâncas - CASO HEEROCEDASCDADE RREGULAR deve-se elmnar os tratamentos dscrepantes ou, caso sto não seja possível ou recomendável, subdvdlos em grupos e testá-los separadamente, através de resíduos aproprados a cada grupo. d) RANSFORMAÇÃO DE DADOS PARA HOMOGENEZAR VARÂNCAS Consste em encontrar alguma função f( j ) dos dados tal que o modelo * * * * * f ( Yj ) t ej seja váldo e os e j ~N(, σ ), e j s são mutuamente ndependentes para todo j,, e,,,. Uma transformação aproprada pode geralmente ser e j encontrada se exstr uma clara relação entre a varânca do resíduo σ Var( ) e a resposta méda E ( Y j ) t, para,,,. Se a varânca e a méda aumentam juntas, como sugerda pela forma megafone do gráfco de resíduo ou se uma aumenta enquanto a outra dmnu, então a relação entre σ e ( t t é frequentemente da forma: σ k ) Em que k e q são constantes. Neste caso, a função f( j ) deve ser escolhda como: ( q / ) ( j ) se q, f ( Yj ) ln( j ) se q e todos j são não nulos ln( j ) se q e alguns j são nulos Aqu, ln denota o logartmo natural, o qual é o logartmo na base e. Usualmente, o valor de não é conhecdo, mas uma razoável aproxmação pode ser obtda emprcamente como segue. Substtundo as estmatvas de mínmos quadrados para os parâmetros na equação anteror o aplcando o logartmo a ambos os lados temos: ln( s ) ln( k) q(ln( )), que é uma regressão lnear por anamorfose. q

7 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das Dessa forma, o coefcente de nclnação q da reta obtda ao por no gráfco ln( s ) contra ln( ) fornece uma estmatva para q. O valor de q é algumas vezes sugerdo por consderações teórcas. Por exemplo, se a dstrbução normal assumda no modelo é na verdade uma aproxmação a dstrbução Posson, então a varânca deve ser gual a méda, e nesse caso q. A transformação raz quadrada / ( j f j ) ( ) podera ser aproprada.. OBENÇÃO DA ANÁLSE DE VARÂNCA (DA) Quadro Valores observados no expermento ratamentos Repetções j otas j j j j j j j j j j j j j j G O valor observado no -ésmo tratamento e na j-ésma repetção é t e j j de onde e j j t Estmando os parâmetros ( e t ) Método dos quadrados mínmos Consste tornar mínma a soma de quadrados dos desvos

8 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das j e j ( j t ) j f f( e t ) (, t ) ( j t ) j Para mnmzar, devemos dervá-la parcalmente em relação a cada um dos parâmetros e t (,,,) e gualar a zero. (, t ) f ( ˆ j tˆ ) ( ) j (, t ) f t ( ˆ j tˆ ) ( ) j (,,,) ˆ tˆ j j G ˆ tˆ (,,, ) j j Sstemas de Equações Normas ( ) equações ( ) ncógntas O sstema é ndetermnado A soma das equações de tratamentos é gual à prmera equação, ndcando que as equações não são ndependentes e o sstema apresenta nfntas soluções. Solução: mpor uma restrção uma boa restrção será aquela que nos possblta obter a estmatva da méda ndependentemente do efeto de tratamentos,.é., t ˆ ˆ G G ˆ ˆ tˆ tˆ ˆ Estmadores dos Parâmetros

9 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das CÁLCULO DAS SOMAS DE QUADRADOS a) S.Q. otal corresponde à soma dos quadrados dos desvos de todos os dados em relação a méda. S.Q. otal ( ) ˆ j j ( j ˆ j ˆ ) j j ˆ ˆ mas, j j j ˆ j j j j j j j ( ) j j j G j C correção para a méda j S.Q.otal j C j C b) S.Q. ratamentos (Entre) corresponde à soma dos quadrados dos efetos de todos os tratamentos. S.Q. rat. S.Q. rat. tˆ tˆ tˆ tˆ tˆ tˆ tˆ tˆ tˆ tˆ t t ( tˆ tˆ t ) ˆ ˆ ˆ ˆ

10 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das Desenvolvendo o quadrado, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ˆ ˆ mas, G ˆ ( ) ( ) G G G ( ) G G mas, C G S.Q. rat. C. Obs.: Se o ensao tem dferentes números de repetções: C S.Q.rat. Outra forma: S.Q. rat. j ˆ j ˆ ˆ ˆ G ˆ ˆ ˆ ˆG C G G

11 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das c) S.Q. Resíduo (Dentro) - Corresponde à soma dos efetos dos fatores não controlados S.Q. Resíduo S.Q.otal - S.Q. rat. C j j j j C Quadro geral da ANVA Fonte de Varação G.L. S.Q. Q. Médo F ratamentos - C S.Q. rat. Q.M. rat. - Q.M. Resíduo Resíduo ( ) Dferença S.Q. Resíduo - ( -) otal j C - - j Obs.: G.L. otal( )-, se houver desbalanceamento. Exemplo: Produção de mlho em kg/m segundo as varedades (Vera e Hoffmann, 989) VAREDADES A B C D otal Méda 7 6 Varânca 6, 7, 7, 6, ˆ 6, 7 Efetos de tratamentos: tˆ A -,7 tˆ B, tˆ C -,7 tˆ D, Note: tˆ tˆ tˆ tˆ A B C D

12 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das * * * Modelo de smulação: ˆ tˆ e, e ~ N(, σ ), com σˆ Q.M.Res. ESE DE HARLEY 6 s A j j j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , s B ( 7) ( 7) ( 8 7) ( 7 7) ( 7) ( ) 6 9 7, s C ( 6) ( 9 6) ( ) 7, s D ( ) ( 8 ) ( ) smáx 7, () H c, 8 s 6, mn 6, (), abela α ( ) -,6 () Conclusão: Como H c < H crítco, não rejetamos a hpótese de homocedastcdade da varânca e concluímos que exste homogenedade de varâncas entre tratamentos. Exemplo da transformação establzadora para os dados de mlho: data ; nput V LVlog(V); LMlog(M); s lnes; 6, , 7 ; proc reg data; 7, 6 model LVLM; LV 6, run; q-(

13 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das Cálculo dos resíduos ( ê j ) para os dados do exemplo de mlho segundo as varedades VAREDADES A B C D otal Méda Varânca Cálculo dos valores estmados ( ŷ j) à partr do modelo DA. Varedades A B C D 7 6 ŷ ˆ j tˆ Gráfco dos resíduos 6 Resíduos e j Y j Estmados Correção para a méda: ( 6 8) ( ) C., kg /m

14 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das Soma de Quadrados otal: S.Q.otal 6 8., 7, 7 kg /m Soma de Quadrados de ratamentos: S.Q. rat.., 6, 7 kg /m Soma de Quadrados de Resíduo: S.Q. Resíduo 7,7-6,7, kg /m ANVA Fonte de Varação G.L. S.Q. Q. Médo F Varedades 6,7,8 7,8 Resíduo 6 (,) 7, otal 9 7,7 σˆ 7 ESE F PARA A ANÁLSE DE VARÂNCA OBDO - test F (Fsher-Snedecor) FNALDADE - comparar estmatvas de varâncas Defnção - F c Q. M. Fator Q. M. Re síduo "Razão de Varâncas" SUPOSÇÕES - Q.M. Fator é ndependente Q.M. Resíduo gl. numerador gl. denomnador Sob H a : Q.M. Fator > Q.M. Resíduo tal F > (este unlateral à dreta)

15 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das HPÓESES ESADAS H : Q.M.Fator Q.M.Resíduo as amostras foram tradas da mesma população. "Não há dferença entre as médas dos tratamentos" H : t t t H a : Q.M.Fator > Q.M.Resíduo as amostras são provenentes de populações dferentes. "Pelo menos uma das médas dos tratamentos dfere das demas". : Pelo menos um efeto de tratamento dfere dos demas. H a abela F, α, n n 6, Como F C > FAB, rejetamos H o,.é, pelo menos uma das varedades dferem entre s, ao nível de % de sgnfcânca. α, valor-p P(F>F C ), F AB, F C 7,8 abela F, α, n n 6,9 Como F C > FAB, rejetamos H o,.é, pelo menos uma das varedades dferem entre s, ao nível de % de sgnfcânca. COEFCENE DE VARAÇÃO (C.V.) DE UM ENSAO - é uma medda de varabldade que mede percentualmente a relação entre o desvo padrão resdual e a méda artmétca ( ˆ )

16 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das QM Res C.V. "Mede a precsão do ensao" ˆ 7, C. V. ˆ 6, 7 C.V. 9,89% 6,7 Classfcação do C.V. para ensaos de campo segundo Pmentel Gomes 98: Baxos < Médos -- Altos -- Muto Altos > Obs. Essa classfcação não é unânme, depende do tpo de ensao ou mesmo da varável. RABALHO: Fazer uma revsão sobre a classfcação do C.V. na sua área de pesqusa. Outros resíduos: eˆ j a) Resíduos padronzados: dj Q. M.Re s. eˆ j b) Resíduos estudentzados: zˆ j, Q. M.Re s. v em que v j eˆ / N, e N é o número de undades expermentas ou dados observados no ensao. j eˆ j j j

17 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das EXERCÍCO: Os dados que seguem referem-se a força ( j ) em MegaPascal (Mpa) medda em dentes no Delneamento nteramente aleatorzado com 7 ratamentos ou grupos (G,., G7) com amostras por grupo totalzando 7 observações. Pede-se:. Calcular a méda, a varânca, o desvo padrão e o coefcente de varação do ensao.. Calcular a méda, a varânca, o desvo padrão e o coefcente de varação para cada tratamento.. Calcular os desvos em relação ao modelo ( ê j ) e construr um gráfco dos resíduos ( ê j ŷ j ) e dscutr.. Aplcar um teste de Homogenedade de varâncas e verfcar sua sgnfcânca.. Fazer a análse de varânca e dscutr o resultado. G.6 G 6. G 6.8 G 9. G.9 G 7.98 G 8. G 9.9 G 7.6 G 7.8 G 77.6 G 88. G 88.7 G 66.9 G 7.8 G 66.6 G.9 G 69.7 G 79.9 G 8.66 G. G 6.8 G 6.7 G 99.7 G 88.8 G 7.8 G. G 8. G 78.9 G 88.6 G 6.76 G.6 G 9. G 8.

18 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das G 6.6 G 9.79 G. G 77.8 G 8. G. G 7. G. G 6. G.7 G.89 G.68 G 6.6 G 8.8 G 76. G 8. G6 6. G6 7.7 G G6 6. G6 6.8 G6 6. G6 7. G6 9. G6.7 G6. G7 8.8 G G7.8 G7 6.8 G7 7. G7.7 G7 6.7 G7 9.7 G7. G7 8.6

19 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das EXPERMENOS NERAMAENE ALEAORZADOS COM NÚMERO DFERENE DE REPEÇÕES Consdere o caso de ensaos em que, por algum motvo, não se dspõe de gual número de parcelas para todos os tratamentos. Pode ter ocorrdo uma doença ou praga ou contamnação, destrundo toda a parcela ou não exstr materal sufcente para se ter o mesmo número de repetções em todos os tratamentos. É comum, também, consderar como parcelas perddas valores dscrepantes ( outlers ). Do ponto de vsta de cálculo, as parcelas perddas pouco alteram a elaboração de uma análse de varânca, no D..A. Porém a cada parcela perdda dmnu-se g.l. no otal e, conseqüentemente, no resíduo também. Assm, g.l. otal --p e g.l. Res.(-)-p, em que p é o número de parcelas ausentes. Ensaos desbalanceados. Modelo Matemátco e Esquema de Análse O modelo matemátco é o mesmo apresentado para o caso onde não há perda de parcela, ou seja, t e em que,,,,; j,,, (número de repetções para o tratamento ). ANVA Fonte de varação G.L. ratamento - Resíduo N- otal N- Em que N j Exemplo: Consdere os dados de enrazamento de estacas, já transformados em, (Déco, ) Repetções #Rep./rat. Médas Obtdas ratamentos otas Médas ransformação nversa A B C D,8,,,7,8,7,,8,,7,8,9,,9,7,,,9,8,8,9 j,7,6,7,8 6,66,6 Análse da varânca Fonte de Varação G.L. S.Q. Q.M. F ratamentos Resíduo,98,86 6,899,6 8,** - otal 6,6 - - A B C D,79,,997 9,6

20 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das Soma de quadrados: S.Q.otal j j C S.Q.otal(,8) (,) (6,6) -,6 7 S.Q.rat. C (,9) [(,8) (,9) ] (,8) C,98 S.Q.ResíduoS.Q.otal-S.Q.rat.,6-,98,86 Quadrados Médos: S.Q.rat.,98 Q.M.rat. 6, 899 g.l.rat. S.Q. Resíduo,86 Q.M. Resíduo, 6 g.l. Res. Q.M. rat. 6,899 n F 8, F tab,(%),7(%) Q.M. Res.,6 n Q.M. Resíduo,6 C.V. 6,% ˆ,6

21 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das ANÁLSE DE VARÂNCA NÃO-PARAMÉRCA NO DA ( AMOSRAS NDEPENDENES) Humberto de Campos/Montgomer A estatístca não-paramétrca nos permte estruturar testes que, trabalhando com as ordens (rank) das observações, consttuem os dretos competdores das análses de varâncas do campo paramétrco. Não muto raro, devdo as exgêncas do modelo matemátco dos delneamentos estatístcos no campo paramétrco (normaldade, homogenedade das varâncas de tratamentos, ndependênca dos erros, não exstênca de outlers ) seus competdores apresentam maor poder, permtndo, nestes casos, a obtenção de conclusões mas acuradas. este de Kruskal-Walls Esse teste fo ntroduzdo em 9, como um competdor ou substtuto ou uma alternatva do teste F do campo paramétrco. Fnaldade: averguar se amostras ndependentes são provenentes de uma mesma população ou de populações dêntcas, ou provêm de populações dstntas. Quando se consderam apenas duas amostras ndependentes () ele corresponde ao teste blateral de Wlcoxon. Para mas de duas amostras (>) podemos consderá-lo como uma extensão daquele teste. Admtndo-se tratamentos, o teste nos permte averguar se há dferença entre pelo menos dos deles; é, pos um teste de posção para amostras ndependentes. Pressuposções: Kruskal e Walls (9) apresentam apenas pressuposções geras a respeto do tpo de dstrbução das observações, ou seja: a. As observações são todas ndependentes; b. Dentro de uma amostra, todas as observações são provenentes da mesma população; c. As populações são aproxmadamente da mesma forma e contínuas. estes lvres de dstrbução. Hpóteses: De acordo com a estrutura do teste, podemos consderar: H : t t t (O que corresponde a dzer que todos os tratamentos são guas e provenentes de uma únca população) H a : pelo menos dos tratamentos dferem entre s. Método: Procedemos a classfcação conjunta das N observações, dando ordem à menor delas e ordem N à maor. Ex. Defnmos a estatístca: R H (N ), N(N )

22 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das em que R é a soma das ordens atrbuídas ao tratamento, é o número de repetções do tratamento. Para testarmos, ao nível α de sgnfcânca, H vs H a, rejetamos H se H h, em que P(H h) α A abela de Campos (979) nos dá os lmtes de h para 6 e. Cumpre observar que: a. Para empregamos o teste blateral de Wlcoxon; b. À medda que crescem, a dstrbução nula de H tende à dstrbução de χ, com (-) g.l. Portanto, para >6 aplcamos a aproxmação do teste qu-quadrado. c. Para >, aplca-se também a aproxmação qu-quadrado, com (-) g.l., sto é consultamos o nível de sgnfcânca, para o valor de H calculado numa, tabela comum de qu-quadrado. Empates: No caso de ocorrerem empates entre duas ou mas observações, procede-se ao desempate, consderando, para cada observação no grupo empatado, a méda das ordens que seram atrbuídas a elas se não houvesse o empate. O valor de H é afetado da segunte correção: g N N C g : é o número de grupos de empates t t t : é o número de observações empatadas no grupo. A estatístca teste fca: H H C Cumpre observar que, obtdo H, procede-se como usual, ou seja: a. Para grandes amostras, ou seja, >, H também tem uma dstrbução aproxmada de qu-quadrado com - graus de lberdade; b. Para e 6 os níves de sgnfcânca da abela, quando aplcados a H, são apenas aproxmados. Ex: Da,,, N,7,8,,7,,7,,,,6,7,6 R R R t t g C H H

23 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das Exemplo: Campos (977), cta uma pesqusa realzada sobre nfluênca do amanho do Dsco na Aração, em que foram testados três dâmetros dstntos, ou sejam: D 6cm; D 8cm; D cm. Os resultados parcas de esforço de tração, em kgf, para um solo argloso foram: Médas: Y D 97, Y D 78,76; Y D 798, D Varâncas: s 6, 88 s s D D 99,98 8, ; Relação: Houve dferença de comportamento dos tamanhos dos dferentes dscos, quanto ao esforço de tração? Solução: Aplcando o teste de Kruskal-Walls com as seguntes hpóteses: H :t t t H a : pelo menos dos tratamentos dferem entre s. Procedemos à classfcação conjunta das observações e desde que não houve empates, atrbuímos ordens de a da menor para a maor, obtemos: R ; R e R 8. Conseqüentemente: H () D D D 9, () 77, (), () 8, () 876, (7) 8,8 (6) 7, () 769, () 6, (),8 (), (9) 989, (8),8 () 7,8 () R R R 8 () () (8) (), Consderando ; e α,, a abela nos dá: h,6. desde que obtevese H,, acetamos H, sto é, os tratamentos, ao nível consderado, não dferem entre s. O n.m.s. sera α,7. Exemplo: Campos (977), cta exemplo (fctíco) Gomes (97) sobre almentação de suínos, em que se usaram quatro rações (A, B, C, D), cada uma fornecda a cnco anmas, escolhdos aleatoramente de um total de anmas dsponíves para a pesqusa. Os aumentos de peso observados em kg foram: A B C D (,) 9 () () () (,) (7) (,) 6 () (8) () 9 (6) 7 (6,) () 9 (9) (9) 7 (6,) () () 8 (8) (,) R A R B 8, R C, R D 8 Houve dferença no comportamento das quatro rações, quanto ao ganho de peso?

24 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das Solução: Os números entre parênteses representam as ordens das observações na classfcação conjunta. Então temos: R,; R 8,; R,; R 8, e, (,) (8,) (,) (8,) H () () 9,7 Como houve empates, procedemos ao cálculo da correção C, ou seja: t t t 6 t t t t t t C, 9977 N N 7.98 H 9,7 H 9,8 C,9977 g Pela abela, ao nível α, temos: χ 7, 8 ( ) Assm, H é sgnfcatvo ao nível de % de probabldade. O n.m.s. no qual rejetaríamos H sera α, (ver abela qu-quadrado com g.l.). Por outro lado, o autor aplcando o teste F encontrou F,99, também sgnfcatvo ao nível de % de probabldade. Neste caso, o n.m.s. é de aproxmadamente %. Observa-se uma excelente concordânca de resultados pelos dos testes. Exercíco: Num expermento sobre a efcênca de nsetcdas no fejoero, foram obtdos os seguntes resultados de produção (em kg/ha): estemunha Ekatn Daznon EPN t t t t Verfque, pelo teste de Kruskal-Walls, se houve dferenças entre os tratamentos. Obs.: Se aplcarmos o teste F aos postos ao nvés dos dados orgnas obtém-se a H( ) relação: F, como estatístca teste, Conover (98), p.7. Nota-se (N H)/(N ) que se H aumenta/dmnu, F também aumenta/dmnu. Assm, o teste de Kruskal- Walls é equvalente aplcar a ANVA usual aos postos.

25 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das ANÁLSE MULVARADA DE DADOS EXPERMENAS Seja o modelo Y X B E n p n k p n p E( Y) XB Var( Y) Var(vec( Y)) onde: Y - contém n observações aleatóras sobre p varáves dependentes B - matrz de parâmetros desconhecdos E - matrz de erros aleatóros tas que cada lnha de E é um vetor normal p-varado com vetor de méda zero e matrz de covarânca. p p - é assumda postva defnda. X - matrz de delneamento, de zeros e uns. Posto (X) r < k A solução das equações normas X XBX Y não é únca. A solução de mínmos quadrados é dada por: Bˆ g ( ) ( X X) X Y que depende de uma partcular escolha da nversa generalzada. Como resultado, a matrz B não é uncamente estmável.

26 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das Ex.: ratamentos VAR VAR VARp p p Observação genérca: j,,, (tratamento) j,,, (no. de amostras no -ésmo tratamento),,, p (varáves) p p p p p p p Seja Y j um vetor de observações no -ésmo tratamento e j -ésma amostra. ( p ),,, j,,, Y p Assumndo que τ τ Y j ~ N p, p τ p p onde p p

27 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das - é a matrz de covarâncas de p observações subamostras. p τ - é o efeto do -ésmo tratamento na p-ésma varável. O modelo fca: j j e τ ( ) ( ) ( ) p j j j p p j j j ε ε ε τ τ τ,,,,,,,,, j,,,,,, Assm, p n p P p p p n p n τ τ τ τ τ τ τ τ τ n onde ε j p j j j p ε ε ε

28 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das Exemplo: Consdere as seguntes amostras ndependentes com varáves. Pop. Pop. Pop Os tamanhos amostras são n, n e n Os pares de observação x ej estão arranjados em colunas 8 x x x x 8 Para a a. varável: x ej x x e x xej xe Pop. Pop. Pop. 9 6 observação 9 Méda geral Efeto de tratamento e resíduo n ˆ τ () ( ) ( ) e e 6 6 SQ SQ SQ SQ obs méda trat res SQ total ( corrgda) SQ obs SQ méda Para a a. varável:

29 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das Pop. Pop. Pop observação Méda Efeto de tratamento e resíduo n ˆ τ ( ) ( ) () e e SQ SQ SQ SQ obs méda trat res 7 8 para as varáves conjuntamente: produtos cruzados Méda: () () () 8 () 6 ratamento: () ()() ()() Resíduo: () ()( ) () (). () otal: 9() 6() 9(7) () (7) 9 PRODUO CRUZADO OAL CORRGDO PC OAL PCMÉDA 9 6 Fonte de Varação ratramentos Resíduo otal corrgdo Matrz de soma de quadrados e Graus de lberdade produtos cruzados 78 B g 8 W 8 g ne g e g n e 7 e

30 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das ESE DE HPÓESE Λ * W B W 88 () () 88(7) ( ) 7 9 6,,8 (Wlks) Com p varáves e g pop., um teste exato (assumndo normaldade e matrzes de covarâncas guas * exercíco de H : τ τ τ H pelo menos um τ está dsponível : e ESAÍSCA DO ESE ( n g ) * Λ e,8 8 8, 9 * Λ F calc ( g ) F ( ) ( ) F (,) 7, g ; n g ;8 e,8 Como F calc > F ;8;,, rejetamos H ao nível de, e concluímos que exste dferenças de tratamentos. Dados: n, n e n n 8 e e, S S 7 S 8, 8 x x x 8 nx nx nx Podemos obter: x n n n

31 Estatístca Expermental OC Carlos adeu dos Santos Das ( ) ( ) ( ) S S S S n S n S n W ( )( ) 8 8 x x n B e g e e e x x 8 8

32 Y Y Y Y É sufcente saber o número de dados N otal 6 N(N)/ Méda,, (N)/ Varânca,,6666, N(N)/