11º ANO DE ESCOLARIDADE ANO LETIVO Ficha de revisão nº 1

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1 11º AN DE ESCLARIDADE AN LETIV Ficha de revisão nº 1 1. bserve a figura. É desnecessário atravessar o rio para medir a sua largura. Com um aparelho de medida de ângulos teodolito medem-se os ângulos α e β. Sejam α = º ; β = º e l = 0m. Calcule, com aproximação ao centímetro, a largura do rio. π π. Sabe-se que x e sen x =..1. Represente x no círculo trigonométrico... Calcule os números reais seguintes:..1. cos x.... sen( x + π ) π... cos x +... cos( π x). Considere o vetor z com coordenadas (, )..1. Calcule a norma de z.. Mostre que o vetor 1 z tem norma 1.. Indique as coordenadas de um vetor perpendicular a z com norma 1.. No triângulo retângulo [ABC], M e N são os pontos médios de [AB] e C B [AC], respetivamente. Mostre que:.1. e [ ] [ ] 1 MN = BC MN // BC ; N M.. AB AC = AM AN ; A Rosa Canelas 01-01

2 . Considere, num referencial ortonormado (,i, j,k ), os pontos de coordenadas A (,,1 ), B( 1,,0 ) e C(,1, )..1. Demonstre que A, B e C definem um plano... Determine a de modo que ( a,1, ), represente um ponto do plano ABC.. Estude a posição relativa dos planos α, βe π em cada um dos casos seguintes: α : x + + z = 0 α : x + + z = 1.1. β : x + + z =.. β : x z = π : 7x z = 11 π : x z = 7. btenha gráfica e analiticamente os pontos do polígono cujas coordenadas tornam máximo e mínimo o parâmetro z de cada uma das equações: 7.1. z = x + (,7) (7,) 7.. z = x z = x + (,) (,1) x Rosa Canelas 01-01

3 11º AN DE ESCLARIDADE AN LETIV Ficha de revisão nº 1 Proposta de resolução 1. bservemos a figura. É desnecessário atravessar o rio para medir a sua largura. Com um aparelho de medida de ângulos teodolito medem-se os ângulos α e β. Sejam α = º ; β = º e l = 0m. Calculemos, com aproximação ao centímetro, a largura do rio. AB = largura dorio AH tgº AH 0 tgº 0 = = BH tgº AH 0 tgº 0 = = AB = BH AH = 0 tgº 0 tgº A largura do rio é,0 m π π. Sabe-se que x e sen x =..1. Representámos x no círculo trigonométrico ao lado.. Calcule os números reais seguintes:..1. cos x cos x = 1 cos x = 1 cos x = ± 1 1 x x e porque x pertence ao º quadrante será... sen( x + π ) sen( x + π ) = senx = π... cos x + π cos x + = senx = cos x = 7 Rosa Canelas 01-01

4 ... cos( π x) ( ) cos π x = cos x = 7. Considere o vetor z com coordenadas (, )..1. Calcule a norma de z z = + =.. Mostre que o vetor 1 z tem norma 1 1 z =, 1 = + =.. Indique as coordenadas de um vetor perpendicular a z com norma 1. Um vetor perpendicular a z e com norma 1 pode obter-se trocando as coordenadas de 1 z e o sinal a uma delas. Assim um vetor nessas condições pode ser o vetor de coordenadas,.. No triângulo retângulo [ABC], M e N são os pontos médios de [AB] e [AC], respetivamente. Mostremos que: e [ ] [ ] 1.1. MN = BC MN // BC ; ( ) MN = MA + AN = BA + AC = BA + AC = BC Sendo [ MN ]// [ BC ]. 1 MN = BC isso significa que os vetores MN.. AB AC = AM AN ; AB AC = AM AN = AM AN = AM AN ( ) C N A e BC são colineares pelo que M B. Considere, num referencial ortonormado (,i, j,k ), os pontos de coordenadas A (,,1 ), B( 1,,0 ) e C(,1, )..1. Demonstremos que A, B e C definem um plano, provando que não são colineares. AB = B A = ( 1,,0 ) (,,1) = (,0, 1) AC = C A =,1,,,1 = 0, 1, ( ) ( ) ( ) Rosa Canelas 01-01

5 Manifestamente estes dois vetores não são colineares por não existir um número real que multiplicado por um deles dê o outro... Determinemos a de modo que ( a,1, ), represente um ponto do plano ABC. Vamos começar por encontrar uma equação do plano ABC procurando um vetor que seja normal aos dois vetores que formámos: n( x,,z) (,0, 1 ). z ( x,,z ) 0 AB n = 0 = x z = 0 x = Fazendo z = podemos AC n = 0 ( 0, 1, ) ( x,,z) = 0 z = 0 = z n 1,, definir um valor normal ( ) Uma equação do plano será da forma x + z = D e como o ponto A pertence ao plano terá de ser + 1= D D = 1 Uma equação do plano será x + z = 1 Finalmente para que ( a,1, ), represente um ponto do plano ABC terá de ser a + 1 = 1 a = 1. Estudemos a posição relativa dos planos α, βe π em cada um dos casos seguintes: α : x + + z = 0.1. β : x + + z = π : 7x z = 11 Não sendo colineares os vetores normais aos planos passemos a resolver o sistema para sabermos se se intersetam num ponto, numa reta ou apenas dois a dois. x + + z = 0 x = z x = z x = z x + + z = ( z) + + z = z + + z = + z = 7x z 11 7( z) z z z 11 = = = 11 z = 11 x = z x = z x = z x = z x = 1 + z = 1 = 1 z = 1 z = 1 z = 1 11 z 11 11( 1 z) z z z 11 1z 0 = = + = = z = 0 Então os três planos intersetam-se no ponto de coordenadas ( 1,1,0 )... α : x + + z = 1 β : x z = π : x z = Como os vetores normais aos três planos são colienares pois sendo α = 1,1,1, β =,, e π =,, podemos concluir que π = α e β = α, ( ) ( ) ( ) considerando ainda que os termos independentes das equações mantêm a proporção dos Rosa Canelas 01-01

6 coeficientes as três equações são equivalentes pelo que representam o mesmo plano. Assim α, βe π são coincidentes. 7. btenha gráfica e analiticamente os pontos do polígono cujas coordenadas tornam máximo e mínimo o parâmetro z de cada uma das equações: 7.1. z = x + Graficamente o máximo e o mínimo: f( x) = -1 ( ) x (7,) Analiticamente: (,7) (,) (,1) x Assim o máximo é obtido quando x = 7 e = e o mínimo quando x = e = z = x + Geometricamente f( x) = -1 ( ) x l: = -0.17x+. (7,) (,7) Analiticamente (,) (,1) l x máximo é atingido quando x = 7 e = e o mínimo quando 1 7 x e = x + Rosa Canelas 01-01

7 7.. z = x + Geometricamente f( x) = - x Analiticamente (7,) (,7) (,) (,1) x máximo é atingido quando x = 7 e = e o mínimo quando x = e = Rosa Canelas 01-01