Sobre a estimação de limiares em processos contínuos com regimes

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1 Acta do XIII Congreo Anual da SPE 1 Sobre a etimação de limiare em proceo contínuo com regime Pedro P. Mota Departamento de Matemática e CMA da FCT/UNL Manuel L. Equível Departamento de Matemática FCT/UNL e CMAF/FC/UL Reumo: Conideramo proceo etocático definido por equaçõe diferenciai etocática em que o coeficiente de tendência (drift) ofre uma mudança de um regime com tendência poitiva para um regime com tendência negativa quando a trajectória atinge um limiar uperior M e ofre uma mudança de um regime com tendência negativa para um regime com tendência poitiva quando a trajectória atinge um limiar inferior m. Em etudo anteriore 5, implementámo um procedimento para etimar o limiare M e m quando a equação diferencial etocática em quetão é a dada pelo proceo browniano com tendência e demontrámo a conitência do etimadore quando o proceo é obervado em contínuo. Nete trabalho, em que tratamo o cao da obervação em tempo dicreto do proceo e quando o intervalo de dicretização tende para zero, propomo um procedimento de etimação, apreentamo um etudo de imulação com trê exemplo (Browniano com tendência, Browniano geométrico e proceo de Orntein-Uhlenbeck) e demontramo a conitência do etimadore. Palavra chave: proceo com alternância de regime, limiar, etimador do mínimo quadrado Abtract: We conider tochatic procee defined by tochatic differential equation in which the drift witche from a poitive value to a negative value a the trajectory hit an upper threhold M and witche from a negative value to a poitive value a the trajectory hit a lower threhold m. In previou tudie 5 we implemented a threhold etimating procedure for M and m when the tochatic differential equation under crutiny wa the one defining the Brownian proce with drift and we proved the conitency of the etimator when the trajectorie were continuouly oberved. In thi work, dealing with the dicretely oberved trajectorie when the length of the interval between obervation goe to zero, we propoe an etimation procedure, we preent a imulation tudy with three example (Brownian with drift, geometric Brownian motion, and Orntein-Uhlenbeck proce) and we prove the etimator conitency. Keyword: regime witching proce, threhold, leat quare etimator.

2 2 P. P. Mota, M. L. Equível/Etimação de limiare 1 Introdução O modelo auto-regreivo com limiare (threhold-tar) etá bem documentado e etudado no cao de érie temporai, veja-e, por exemplo, 8, 6, 2 ou 3. Quetõe do memo tipo, para proceo em tempo contínuo, foram abordada em 4 uando obervaçõe do proceo num intervalo de tempo fixo e recorrendo ao etimador da máxima veroimilhança para o limiar. Nete trabalho centramo o noo etudo em proceo cujo regime (regime com tendência poitiva e regime com tendência negativa) ão definido a partir do limiare, ito é, partindo de um proceo com tendência poitiva, haverá uma mudança de regime que e traduz por uma alteração da tendência do proceo (para um valor negativo) quando o proceo atinge um limiar uperior que iremo deignar por M. Quando o proceo e encontra no regime cuja tendência é negativa a mudança de regime ocorrerá quando o proceo atinge um limiar inferior deignado por m, paando o proceo de novo ao regime de tendência poitiva. O noo principal objectivo é o de introduzir um procedimento de etimação do limiare, m e M, coniderando conhecido o outro parâmetro do modelo e demontrar a conitência do etimadore daí reultante quando o proceo é obervado em tempo dicreto e o intervalo de dicretização tende para zero. De referir que em 5 o memo problema já foi abordado com uceo ma apena para o proceo browniano com tendência e quando o proceo é obervado em contínuo. O modelo em análie pode er repreentado pela equação diferencial etocática (EDE), onde dx t = a(µ(t), X t )dt + b(σ, X t )db t, X 0 = x 0 m, M, (1) µ(t) = k 0 µ1 I τ2k,τ 2k+1 (t) + µ 2 I τ2k+1,τ 2k+2 (t), µ 1, µ 2 R em que 0 = τ 0 < τ 1 <... < τ j <... ão o intante (aleatório) em que a trajectória atingem o limiare. Supomo que o proceo pode er obervado no intante da forma j n, j = 0,..., N onde n é o intervalo de dicretização, ou eja, a ditância temporal entre dua obervaçõe conecutiva. Para efeito de etudo aimptótico iremo upor que n decrece para zero e que o número de obervaçõe N = N(n) verificará a relação N = 1/ 2 n. Ito ignifica que, para cada n, obervaremo o proceo no intervalo 0, N. No que e egue ecreveremo f(t ) = f(t ) O( t ) para repreentar que lim t 0 t = C, com 0 < C < (e lim t 0 f( t ) = 0) e conideraremo para cada N e = 0,..., N, a álgebraσ, F N = σ ({X 0, X n,..., X n } {τ 1,..., τ Kn }).

3 Acta do XIII Congreo Anual da SPE 3 2 Procedimento de Etimação A ideia bae na determinação do etimadore do limiare paa por implementar um procedimento de minimização da oma do quadrado do erro, ito é, para cada N e n o procedimento erá implementado da eguinte forma. 1. Para limiare fixo m e M, claificaremo a obervaçõe em regime, R 1 (m, M) e R 2 (m, M) correpondente ao regime, do proceo inicial, com tendência µ 1 e com tendência µ 2, repectivamente. De eguida, e com bae neta claificação, calcularemo a oma do quadrado do erro (condicionai), LSE N (m, M) = = { (X(j+1) n E µ1 X (j+1) n X j n ) 2 I( br1 br1) ((X j n, X (j+1) n )) + ( X (j+1) n E µ2 X (j+1) n X j n ) } 2 I( R2 b R b ((X 2) j n, X (j+1) n )), onde E µp X (j+1) n X j n repreenta o valor eperado de X (j+1) n dado X j n quando a tendência do proceo é função de µ p, ou eja, quando a(µ, x) = a(µ p, x), temo também que I ( Rp b R b ((X p) j n, X (j+1) n )) ignifica que X j n e X (j+1) n ) etão ambo claificado no regime p com p = 1, Ecolheremo para etimadore do limiare, o valore de ( m N, M N ) que minimizam LSE N (m, M), ou eja, (2) ( m N, M N ) = argmin (m,m) LSE N (m, M). (3) Obervação 2.1 A claificação em regime é feita da eguinte forma: fixando (m, M), a obervaçõe vão endo claificada no regime 1 até encontrarmo a primeira obervação que é maior ou igual a M, endo ea obervação claificada no regime 1 e imultaneamente no regime 2; toda a obervaçõe daí em diante erão claificada no regime 2 até encontrarmo uma obervação que eja menor ou igual a m endo ea obervação claificada, ainda, no regime 2 ma imultaneamente no regime 1; o proceo de claificação continua até toda a obervaçõe etarem claificada. De referir ainda, que cao o parâmetro µ 1 e µ 2 ejam deconhecido é poível proceder à ua etimação (condicionada) com bae na obervaçõe claificada em cada regime. Poteriormente calcula-e a oma LSE N (m, M), onde figurarão o etimadore em vez do parâmetro. O etimadore do limiare m 0 e M 0 erão então definido da mema forma que no cao em que µ 1 e µ 2 ão conhecido e definem-e o etimadore de µ p por µ p,n = µ p,n ( m N, M N ), p = 1, 2.

4 4 P. P. Mota, M. L. Equível/Etimação de limiare 3 Exemplo de aplicação a dado imulado e dado reai Neta ecção decrevemo o reultado da implementação do método de etimação propoto atravé da aplicação a dado imulado e a dado reai. A implementação foi realizada num computador Pentium IV a 2.4Ghz. A demontração da conitência do etimador erá efectuada na ecção 4. Para cada um do exemplo eguinte foi previamente verificada a convergência do etimador. 3.1 Um proceo do tipo Browniano com drift O proceo que conideramo a eguir obtem-e a partir do proceo Browniano adicionando-lhe uma tendência que pode tomar doi valore ditinto imétrico. A EDE é: dx t = µ(t)dt + σdb t, X 0 = x 0. (4) Por uma quetão de implicidade aumimo que a mudança de regime e traduz numa mudança no inal do parâmetro de drift, ito é, vamo coniderar µ 1 = 1, µ 2 = 1, m = 2 e M = 2, e σ =.9. O reultado obtido pela imulação ão baeado no eguinte preupoto, o pao de dicretização é dado por n = 1/2 n com n = 4,..., 9. Calculou-e a oma LSE para valore de (m, M) 2.8, , 2.8 colocado numa grelha com pao.05 tendo-e depoi refinado a buca para (m, M) 2.05, , 2.05 com pao.01. Obtiveram-e o reultado explicitado na tabela eguinte, Tabela 1: Etimativa do limiare ( 2, 2) para o Browniano com drift. n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 n = 9 m N M N Pode-e concluir que memo com um número reduzido de obervaçõe a etimativa devolvem valore do limiare com boa aproximação. 3.2 Um proceo do tipo Browniano geométrico A EDE nete cao é: dx t = µ(t)x t dt + σx t db t, X 0 = x 0. (5) Coniderou-e, µ 1 = 1, µ 2 = 1 e σ =.6, para o limiare m = 5 e M = 15. Calculou-e LSE para valore de (m, M) 4, 6 14, 16 numa grelha com pao 0.1. Nete cao, a etimativa obtida ó têm uma boa aproximação quando o número de obervaçõe é o máximo coniderado no etudo (da ordem de 2 9 ), como pode er verificado na tabela eguinte:

5 Acta do XIII Congreo Anual da SPE 5 Tabela 2: Etimativa do limiare (5, 15) para o Browniano geométrico. n = 4 n = 5 n = 6 n = 7 n = 8 n = 9 m N M N Um fundo internacional Conideramo agora um conjunto de dado reai repeitante ao fundo Converging Europe Bond da emprea Schroder. O dado coniderado ão cotaçõe diária repeitante ao ano de Não procedemo a nenhum tipo de tete de Figura 1: Cotaçõe diária do fundo Converging Europe Bond da Schroder ajutamento do proceo e optámo por aplicar o procedimento ao doi modelo coniderado anteriormente. Calculou-e LSE para valore de (m, M) 1364, , 1401 numa grelha com malha.5, e obteve-e: Tabela 3: Etimativa do limiare para o fundo Converging Europe Bond m N MN LSE BM D GBM O reultado obtido para o etimadore do limiare não diferem de um modelo para outro, o que no leva a upeitar que memo que não e conidere o modelo mai correcto pode-e obter bon etimadore para o limiare dede que e conidere um modelo que poa ter um ajutamento aceitável. O valore de LSE erão de interee apena para no dar uma indicação de qual modelo melhor e ajuta ao dado. Nee entido o modelo que melhor parece ajutar-e é o browniano geométrico endo o pior o browniano com tendência.

6 6 P. P. Mota, M. L. Equível/Etimação de limiare 4 Sobre a conitência do etimador O proceo ao quai e aplica o reultado principal deta ecção deverão atifazer um conjunto de condiçõe que explicitamo a eguir. Condição 4.1 X t verifica a condiçõe uuai para a exitência e unicidade de olução para a equação diferencial etocática que o define (EDE) (1) em ambo o regime, a(µ, x) + b(σ, x) C(1 + x ), para µ {µ 1, µ 2 }. Condição 4.2 up t 0 E X t r < para r definido de forma mai adequada para cada cao (no cao em etudo r = 4). A condiçõe técnica eguinte ão uficiente para não complicar demaiadamente a demontração e ao memo tempo definem uma clae de proceo uficientemente ampla para comportar, genericamente, o exemplo tratado anteriormente. Condição 4.3 E µ X t X = X +f 1 (X )f 2 (t, µ) com f 1 (X ) C 1 (1+ X p ) e f 2 (t, µ) = O(t ), µ = µ 1, µ 2. Condição 4.4 V µ X t X = g 1 (X )g 2 (t, µ) com g 1 (X ) C 2 (1 + X q ) e g 2 (t, µ) = O(t ), µ. Podemo agora enunciar o principal reultado dete trabalho. Teorema 4.5 Sob a condiçõe de (4.1) a (4.4), o etimador N N, ( m N, M N ) = argmin (m,m) LSE N (m, M), com LSE N como em (2), é fracamente conitente (converge em probabilidade). ( Demontração. A ideia principal da demontração é motrar que e a uceão ( m N, M ) N ) não converge para (m 0, M 0 ), então não poderemo etar perante uma uceão de valore que minimiza a oma do quadrado do erro. N N Podemo decompor a expreão LSE introduzindo a correcta claificação em regime e correpondente termo de eperança condicional, obtendo-e, LSE N ( m N, M N ) = = { (X(j+1) n E µ1 X (j+1) n X j n ) 2 I(R1 R 1)((X j n, X (j+1) n )) + ( X (j+1) n E µ2 X (j+1) n X j n ) } 2 I(R2 R 2)((X j n, X (j+1) n )) + k N j=1 { (X(nj+1) n E µ2 X (nj+1) n X τj ) 2 I(R1 R 2)((X nj n, X (nj+1) n )) + ( X (nj+1) n E µ1 X (nj+1) n X τj ) } 2 I(R2 R 1)((X nj n, X (nj+1) n )) (6)

7 Acta do XIII Congreo Anual da SPE 7 mai o termo { 2(X(j+1) n E µ1 X (j+1) n X j n )(E µ1 X (j+1) n X j n E µ2 X (j+1) n X j n )I ( R2 b R b 2) (R 1 R 1) +2(X (j+1) n E µ2 X (j+1) n X j n )(E µ2 X (j+1) n X j n } E µ1 X (j+1) n X j n )I ( R1 b R b 1) (R 2 R 2) + k N j=1 { 2(X(nj+1) n E µ2 X (nj+1) n X τj ) (E µ2 X (nj+1) n X τj E µ1 X (nj+1) n )I ( R1 b R b 1) +((E µ2 X (nj+1) n X τj E µ2 X (nj+1) n )I ( R2 b R b 2) I (R1 R 2) + 2(X (nj+1) n E µ1 X (nj+1) n X τj ) (E µ1 X (nj+1) n X τj E µ1 X (nj+1) n )I ( R1 b R b 1) } +((E µ1 X (nj+1) n X τj E µ2 X (nj+1) n )I ( R2 b R b 2) I (R2 R 1) e o quadrado, { (E µ1 X (j+1) n X j n E µ2 X (j+1) n X j n ) 2 I ( b R2 b R 2) (R 1 R 1) +(E µ2 X (j+1) n X j n E µ1 X (j+1) n X j n ) 2 I ( b R1 b R 1) (R 2 R 2) + k N j=1 { (E µ2 X (nj+1) n X τj E µ1 X (nj+1) n ) 2 I ( b R1 b R 1) +((E µ2 X (nj+1) n X τj E µ2 X (nj+1) n ) 2 I ( R2 b R b 2) + (E µ1 X (nj+1) n X τj E µ1 X (nj+1) n ) 2 I ( R1 b R b 1) +((E µ1 X (nj+1) n X τj E µ2 X (nj+1) n ) 2 I ( b R2 b R 2) } I (R1 R 2) I (R2 R 1) }, (7) (8) onde k N é o número de intante de contacto (ou de mudança de regime) no intervalo 0, N, o n j ão tai que n j n τ j < (n j + 1) n e E µq X (nj+1) n X τj = E µp,µ q X (nj+1) n, τ j, é o valor eperado de X (nj+1) n dado X nj n e o facto que ocorreu uma mudança do regime p para o regime q no intante τ j n j n, (n j + 1) n, com p, q = 1, 2, p q.

8 8 P. P. Mota, M. L. Equível/Etimação de limiare Afirmação 4.6 A oma em (7) tende para zero quando N ou n 0. Demontração. Em (7) temo a eguinte oma, 2(X (j+1) n E µp X (j+1) n X j n ) ( E µp X (j+1) n X j n E µq X (j+1) n X j n ) (9) I (Rp R p) ( R b q R b, q) k N j=1 2(X (nj+1) n E µq X (nj+1) n X τj ), ( E µq X (nj+1) n X τj E µr X (nj+1) n ) I (Rp R q) ( b R r b R r), (10) com p, q, r = 1, 2, p q, e iremo motrar que eta oma convergem para zero. Começando com Y j n = X (j+1) n E µp X (j+1) n X j n, pela condição (4.3) podemo ecrever a primeira oma, ( Y j n Eµp X (j+1) n X j n E µq X (j+1) n X j n ) I (Rp R p) ( R b q R b q) = = (f 2 ( n, µ p ) f 2 ( n, µ q )) Repare-e que para i < j, Y j n f 1 (X j n )I (Rp R p) ( R b q R b q). EY i n f 1 (X i n )Y j n f 1 (X j n ) = EY i n f 1 (X i n )f 1 (X j n )EY j n F N j = 0, uma vez que EY j n Fj N = 0. Teremo então, uando Chebyhev e o facto de (f 2 ( n, µ p ) f 2 ( n, µ q )) = O( n ), para µ = µ 1, µ 2, que, P O( 2 n) Y j n f 1 (X j n ) > ε O( 2 n) ε 2 E Y j n f 1 (X j n ) = O( 2 n) ε 2 ma também temo, E (Y j n f 1 (X j n )) 2, EY 2 j n f 2 1 (X j n ) = Ef 2 1 (X j n )EY 2 j n F N j = Ef 2 1 (X j n )VY j n F N j, (11) com VY j n Fj N a variância condicional.

9 Acta do XIII Congreo Anual da SPE 9 Uma vez mai, uando a condição (4.3), virá VY j n Fj N (X(j+1) n = E E µp X (j+1) n X j n ) 2 F N j (X(j+1) n ) 2 2E X j n F N j + 2E f1 2 (X j n )f2 2 ( n, µ) Fj N (12), repare-e ainda que uando a condiçõe (4.3) e (4.4) em conjunto com o facto de E X(j+1) 2 n Fj N = V 2, X (j+1) n Fj N + E X(j+1) n Fj N e tem que: (X(j+1) n ) 2 E X j n F N j = = E pelo que, X 2 (j+1) n F N j 2X 2 j n 2X j n f 1 (X j n )f 2 ( n, µ) + X 2 j n = = g 1 (X j n )g 2 ( n, µ) + X 2 j n + 2X j n f 1 (X j n )f 2 ( n, µ)+ + f 2 1 (X j n )f 2 2 ( n, µ) X 2 j n 2X j n f 1 (X j n )f 2 ( n, µ) = = g 1 (X j n )g 2 ( n, µ) + f 2 1 (X j n )f 2 2 ( n, µ) Em conequência, VY j n F N j 2g 1 (X j n )g 2 ( n, µ) + 4f 2 1 (X j n )f 2 2 ( n, µ). EY 2 j n f 2 1 (X j n ) Ef 2 1 (X j n )(2g 1 (X j n )g 2 ( n, µ) + 4f 2 1 (X j n )f 2 2 ( n, µ)) = 2g 2 ( n, µ)ef 2 1 (X j n )g 1 (X j n ) + 4f 2 2 ( n, µ)ef 4 1 (X j n ) = O( n ), tendo em atenção que pela condiçõe (4.3) e (4.4), f 1 (X j n ) C 1 (1+ X j n p ), f 2 ( n, µ) = O( n ) e g 1 (X j n ) C 2 (1+ X j n q ) e g 2 ( n, µ) = O( n ), e ainda porque (C 1 (1 + X j n p )) 2 (C 2 (1 + X j n q )) 2C 1 C2(1 2 + X j n 2p + X j n q + X j n 2p+q ) e (C 1 (1 + X j n p )) 4 C1( X j n p + 6 X j n 2p + 4 X j n 3p + X j n 4p ) pelo que o facto de up t 0 E X t r <, com r = max(4p, 2p + q) er uficiente para e obter que ( P Yj n Eµp X (j+1) n X j n E µq X (j+1) n X j n ) I (Rp R p) ( b R q b R q) > ε = O( 3 n) ε 2 2 n 0, n 0. (13) Obervação 4.7 A egunda oma conite numa oma de um número de termo proporcional a N, ito é, I (R p R q) ( b R r b R r) N, porque o número de mudança de regime num intervalo 0, N não e altera pelo efeito do aumento do número de obervaçõe nee intervalo (N obervaçõe) devido à diminuição de n ma im pelo aumento da amplitude do intervalo ( N).

10 10 P. P. Mota, M. L. Equível/Etimação de limiare Para a egunda oma, com Y τj = X (nj+1) n E µq X (nj+1) n X τj, teremo, uma vez mai, pela condição (4.3), = ( Y τj Eµq X (nj+1) n X τj E µr X (nj+1) n ) I (Rp R q) ( R b r R b r) = + Y τj (X τj X nj n )I (Rp R q) ( b R r b R r) Y τj f 1 (X τj )f 2 ((n j + 1) n τ j, µ q )I (Rp R q) ( R b r R b r) Y τj f 1 (X nj n )f 2 ( n, µ r )I (Rp R q) ( R b r R b r) Obervação 4.8 Pode-e reecrever a terceira oma tendo em atenção que f 2 ( n, µ r ) não depende de j. Repare-e que, analogamente ao que foi feito anteriormente e uma vez que EY τj F N n j = 0, para i < j temo, EY τi f 1 (X τi )f 2 ((n i + 1) n τ i, µ q )Y τj f 1 (X τj )f 2 ((n j + 1) n τ j, µ q ) = = EY τi f 1 (X τi )f 2 ((n i + 1) n τ i, µ q ) f 1 (X τj )f 2 ((n j + 1) n τ j, µ q )EY τj F N n j = 0, EY τi f 1 (X ni n )Y τj f 1 (X nj n ) = EY τi f 1 (X ni n )f 1 (X nj n )EY τj F N n j = 0, EY τi (X τi X ni n )Y τj (X τj X nj n ) = = EY τi (X τi X ni n )(X τj X nj n )EY τj F N n j = 0 Teremo então, uando Chebyhev, e o facto de f 2 ( n, µ) = O( n ), que P Y τj f 1 (X τj )f 2 ((n j + 1) n τ j, µ q ) >ε O( 2 n) ε 2 E Yτ 2 j f1 2 (X τj ), P O( n) Y τj f 1 (X nj n ) > ε O( 2 n) ε 2 E Yτ 2 j f1 2 (X nj n ), P Y τj (X τj X nj n ) > ε 1 ε 2 E Yτ 2 j (X τj X nj n ) 2, de forma análoga ao que foi feito anteriormente prova-e que, EY 2 τ j f 2 1 (X j n ) = O( n ), e EY 2 τ j f 2 1 (X τj ) = O( n ). (14)

11 Acta do XIII Congreo Anual da SPE 11 Por outro lado, EY 2 τ j (X τj X nj n ) 2 = E(X τj X nj n ) 2 EY 2 τ j F N n j 2g 2 ( n, µ)g 1 (X τj )E(X τj X nj n ) f 2 2 ( n, µ)f 2 1 (X τj )E(X τj X nj n ) 2 = O( 2 n), porque EX τj X nj n ) 2 = O( n ) (lema (5.1)) e uma vez mai por X τj {m, M}. Pode-e concluir que cada uma da oma tende para zero, completando-e a prova. Afirmação 4.9 A oma em (8) é um O(1). Demontração. Será uficiente motrar que, para p, q = 1, 2, p q (E µp X (j+1) n X j n E µq X (j+1) n X j n ) 2 I (Rp R p) ( R b q R b > 0. (15) q) Pela condição (4.3) podemo ecrever (E µp X (j+1) n X j n E µq X (j+1) n X j n ) 2 I (Rp R p) ( R b q R b = q) = (f 2 ( n, µ p ) f 2 ( n, µ q )) 2 Pelo que o reultado egue tendo em conta que f 2 1 (X j n )I (Rp R p) ( b R q b R q), (16) (f 2 ( n, µ p ) f 2 ( n, µ q )) 2 = O( 2 n) e I (Rp R p) ( R b q R b N = 1 q) 2. n Finalmente, em (6) temo LSE N (m 0, M 0 ), em (7) temo uma oma que converge para zero (afirmação (4.6)), a oma em (8) é um O(1) (afirmação (4.9)). De referir ainda que aimptoticamente (m 0, M 0 ) anulará a oma (8) uma vez que no limite apena (m 0, M 0 ) leva à correcta claificação em regime pelo que (m 0, M 0 ) = argminlse (m, M) e (m 0, M 0 ) ão único. Todo ete facto implicam que, para N uficientemente grande, etamo perante uma contradição à ecolha de ( m N, M N ) como o etimador que minimiza a oma do quadrado do erro. 5 Reultado auxiliare Ete reultado foi utilizado na demotração da conitência do etimadore.

12 12 P. P. Mota, M. L. Equível/Etimação de limiare Lema 5.1 Sob a condiçõe (4.1) e (4.2), temo que < t, E X t X 2 = O( t ). (17) Demontração. Como (a + b) 2 (a + b) 2 + (a b) 2 = 2a 2 + 2b 2 e por aplicação da iometria de Ito, E ( X t X 2 t 2 t ) 2 E a(µ, X u )du + E b 2 (σ, X u )du. Pela deigualdade de Hölder podemo ecrever, t t a(µ, X u ) du L a(µ, X u ) 2 du Então, E X t X 2 2 ( t t 1/2 E a(µ, X u ) 2 du +, com L = t 1/2. t E b(σ, X u ) 2 ) du. Como conequência da condiçõe (4.1) e (4.2) podemo concluir que t E a(µ, X u ) 2 t du = O(t ) E b(σ, X u ) 2 du = O(t ) e que, E X t X 2 = O( t 2 ) + O( t ) = O( t ). Com ito conclui-e a prova do lema. Referência 1 Adam, M. Guillemin, V. (1996). Meaure theory and probability. Birkhäuer. 2 Chan, K. S. (1993). Conitency and limiting ditribution of the leat quare etimator of a threhold autoregreive model. The Annal of Statitic 21(1), Chan, K.S. Tay, R. S. (1998). Limiting propertie of the leat quare etimator of a continuou threhold autoregreive model. Biometrika 85(2), Freidlin, M. Pfeiffer, R. (1998). A threhold etimation problem for procee with hyterei. Statitic & Probability Letter., Vol.36, p Mota, P. P. (2004). A etimation procedure for the brownian motion (with drift) threhold model. Stochatic Finance Petruccelli, J. D. (1986). On the conitency of leat quare etimator for a threhold AR(1) mode. Journal of Time Serie Analyi vol. 7, n-4, Prakaa Rao, B.L.S. (1999). Statitical inference for diffuion type procee. Arnold Publiher. 8 Tong, H. (1990). Non-linear Time Serie - A dynamical ytem approach. Oxford Univerity Pre. 9 William, D. (1991). Probability with martingale. Cambridge Univerity Pre.