Retroacção Linear de Variáveis de Estado

Transcrição

1 Retroacção Linear de Variávei de Etado J. Miranda Lemo Profeor Catedrático do IST

2 Plano.Motivação para o controlo por retroacção linear de variávei de etado.controlabilidade e Obervabilidade 3.Realimentação linear de variávei de etado (regulação 4.Obervadore aimptótico 5.Teorema de eparação 6.Seguimento de referência e incluão do efeito integral

3 3.Motivação para retroacção linear de variávrei de etado Objectivo: Motivar o projecto de controladore com bae no modelo de etado e apreentar o principai problema que eta abordagem coloca, relacionandoo com o conceito de controlabilidade e obervabilidade.

4 4 Eemplo: O controlo da upenão magnética reviitado r + - k u y Em cadeia fechada: j k Y( k k j k O itema em cadeia fechada com controlo proporcional fica empre ocilatório não amortecido.

5 5 Retroacção da velocidade u y + - r K k + + k u y + - r +k ( ( ( R k K K Y Equação caracterítica da cadeia fechada: K Kk Por ajute do coeficiente podemo colocar o pólo arbitrariamente.

6 6 Por eemplo, e quiermo colocar o pólo em caracterítico deve er j, o polinómio ( Compare-e ete polinómio com o que e obtém realimentando a velocidade: Kk K Igualando o coeficiente, obtém-e o eguinte itema de equaçõe que permite calcular o ganho que levam o pólo à poição deejada: Kk K Quetão importante: Será que ete itema de equaçõe tem empre olução?

7 7 Concluão: A retroacção linear de toda a variávei de etado permite aumentar a fleibilidade no projecto do controlador (pelo meno aparentemente, dado que temo um procedimento itemático para colocar o pólo da cadeia fechada. Levantam-e quetõe importante: Aceibilidade do etado. O etado nem empre etá aceível para medida directa, por eemplo devido a limitaçõe tecnológica ou de cuto do enore; Eitência de olução da equaçõe. Ito levar-no-á ao conceito de controlabilidade

8 8 Etimação do etado Quando o etado não etá aceível uma poibilidade é ubtitui-lo por uma etimativa. Etimador em cadeia aberta: r + - K u v Modelo v^ y y^ Eta olução não é boa: Leva-no a um controlador em cadeia aberta. A perturbaçõe e o erro de modelação não ão k + + atenuado.

9 9 Solução com obervador aimptótico r + - K u v y + Quetõe importante: Será empre poível determinar L e L por forma a que o erro de L L - etimação tenda para zero? OBSERVABILIDADE v^ y^ Qual o efeito da incerteza no modelo? Limitaçõe no valore k + + de L e L

10 Um outro eemplo: Compenador em cadeia aberta de um itema Kailath, Linear Sytem, p. 3 (cap. intável r - + u - y Compenador Proceo Será que ete controlador funciona quando o cancelamento é matematicamente eacto?

11 Começamo por contruir um modelo de etado do itema. Para tal, reparee que O diagrama de bloco pode poi er deenhado na forma eguinte, em que e indicam a variávei de etado e : r u - y= + Modelo de etado: d dt d dt ( r r

12 A reolução deta equaçõe (faça! conduz a ( ignifica convolução : t t ( t e e r( t t t t t y( t e ( e e e r( t Concluão: Memo quando o cancelamento é eacto, o itema ó é etável quando. Repare-e que é frequente afirmar que o itema não funciona porque, na prática, o cancelamento não é nunca matematicamente eacto. Ito é verdade, ma mai importante ainda é que, memo que haja cancelamento perfeito, há modo naturai (aociado à condiçõe iniciai que tendem para infinito.

13 3 A neceidade de uma decrição interna do itema Ete eemplo ilutra a importância de termo uma decrição interna do itema, que clarifique a quetõe relativa ao cancelamento de pólo e zero. Ito vai conduzir-no uma vez mai ao conceito de Controlabilidade e Obervabilidade.

14 4 O método para o projecto de itema de controlo baeado no modelo de etado naceram no ano 6 no USA, aociado ao problema poto pela Engenharia Aeroepacial (a célebre apota de Kennedy obre a ida à Lua data dee período. Têm no entanto raíze mai antiga (e importante no trabalho de Poincaré e Lyapunov (que já conideravam problema não-lineare. Uma boa parte do fundamento da teoria do controlo em epaço de etado é devida a R. Kalman (que viu muito do eu trabalho rejeitado em revita de Electricidade, o que o levou a publicar em revita de Mecânica. Na Europa o problema era diferente: Apó a detruição cauada pela II Guerra Mundial a prioridade ia para o deenvolvimento da indútria de ben de conumo. Aqui, ao contrário da indútria Aeroepacial, é muito difícil contruir modelo de etado a partir de princípio báico, o que levou a um maior deenvolvimento do modelo entrada/aída. Nome como V. Peterka (na Checolováquia, onde a indútria do aço adquiriu grande importância ou K. Atrom (na Suécia, com trabalho ligado à indútria do papel ilutram eta afirmação. A partir do ano 8 compreendeu-e progreivamente melhor (não em que ante tivee havido debate aceo que a dua abordagen ão, de facto, a dua face da mema moeda, dando ponto de vita complementare obre virtualmente toda a quetõe.

15 5.Controlabilidade e Obervabilidade Objectivo: Introduzir o conceito de obervabilidade, controlabilidade, recontrutibilidade e atingibilidade. Critério de controlabilidade e obervabilidade. Relação da propriedade de controlabilidade e obervabilidade do modelo de etado com a função de tranferência.

16 6 Quetão (relacionada com a Controlabilidade: Dado o itema decrito pelo modelo de etado contínuo ( t A( t bu( t erá poível, partindo da origem ( ( levar o etado a um valor epecificado arbitrário por ecolha conveniente da entrada? A repota a eta quetão depende do par de matrize ( A, b Uma quetão relacionada com eta é: Como ecolher a entrada por forma a levar o etado ao ponto epecificado? Pode colocar-e uma quetão análoga para itema dicreto.

17 7 Controlabilidade (definição itema contínuo A realização de etado contínua ( t A( t bu( t diz-e completamente controlável e, dado um etado inicial na origem (, e qualquer f, eitir um intante finito t f e uma função de entrada tal que ( t f f. u (t, t t f f (=

18 8 Nota obre o conceito de controlabilidade Para itema contínuo a definição de controlabilidade é equivalente a impôr que de qualquer etado e atinja a origem num intervalo de tempo finito por ecolha conveniente da entrada. É eta a definição dada em [Rugh]. A definição dada no acetato anterior é normalmente referida como atingibilidade. Para itema contínuo a dua definiçõe ão equivalente ma para itema dicreto não. Referência: Rugh (996. Linear Sytem Theory. Kailath (98. Linear Sytem.

19 9 Critério de controlabilidade (itema contínuo O itema contínuo ( t A( t bu( t é completamente controlável e a matriz C A B b Ab A b A b n, dita matriz de controlabilidade, tiver caracterítica n dim. Ete facto, que neceita demontração, proporciona-no um critério de controlabilidade.

20 Eemplo de um itema não completamente controlável u(t Trajectória poívei (t (t / / - - A partir do diagrama de bloco conclui-e, dado que a entrada não afecta a variável que não podem er atingido ponto do epaço fora do eio. d dt d dt u u

21 u, ( Ab b A b C, ( n A b C car Logo a realização de etado coniderada não é controlável. Apena podem er atingido ponto num ubepaço de dimenão, ( A b C car do epaço de etado (que tem dimenão.

22 Outro eemplo de um itema não completamente controlável u(t / - / (t (t = Trajectória poívei - Repare-e que o valore próprio ão iguai. d dt d dt u u Com condiçõe iniciai nula é t ( t t ( t e u( ( d Apena podem er atingido ponto obre a recta

23 3 Vejamo o que diz o critério de controlabilidade: b A, ( b A C Como, ( n A b C car o critério permite poi concluir que o itema é não controlável e que apena e podem atingir a partir da origem ponto do epaço de etado que etão num ubepaço de dimenão.

24 4 Interpretação em termo de itema diagonai (contínuo ( ( ( t bu t z t z,,, ( n diag n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b C, ( Para que eta realização de etado eja controlável, tem de er i i b para que nenhuma linha e anule e ainda j i j i para que não haja linha proporcionai.

25 5 Interpretação da condiçõe de controlabilidade de itema diagonai: b / z (t Se houver b i nulo, a entrada não afecta o repectivo etado, que não u(t b / z (t airá da origem. Se houver valore próprio iguai, o correpondente etado erão empre proporcionai. b n / z (t n n

26 6 Definição de Controlabilidade (Sitema dicreto A realização de etado de ordem n : ( k A( k bu( k diz-e completamente controlável e para para uma condição inicial ( e f qualquer, eite N finito e uma equência de entrada u(, u(,, u( N tal que ( N f

27 7 Critério de controlabilidade (itema dicreto O itema contínuo ( k A( k bu( k é completamente controlável e a matriz C( A, b b Ab A b A n b dita matriz de controlabilidade, tiver caracterítica n dim.

28 8 Para demontrar o critério de controlabilidade para realizaçõe de etado de itema dicreto, preciamo do eguinte lema: Lema N n tem-e: car b Ab A b A b carb Ab A b n N n A demontração é uma conequência do Teorema de Cailey-Hamilton. (Tente fazê-la.

29 9 Demontração do Lema Seja a n n ( det( I A a an o polinómio caracterítico da matriz A. Pelo teorema de Cailey-Hamilton a matriz verifica a condição A n a n A ani Multiplicando à direita por b : n A b a n A b anb ou eja, A n b é uma combinação linear de A n b,, b. A demontração de que A n i b i n indução. também é uma combinação linear do memo vectore é feita por

30 3 Ajuda na demontração do lema: O teorema de Cailey-Hamilton Dada uma matriz quadrada A com polinómio caracterítico a( n n n a a an det( I A a matriz verifica a equação: A n a n n A aa ani Com abuo de linguagem diz-e que a matriz verifica a ua equação caracterítica. Referência: Strang (98. Linear Algebra and it Application. Academic Pre.

31 3 Demontração do critério de controlabilidade (dicreto Pela fórmula de variação da contante e tendo em conta que a condição inicial é nula, o etado ao fim de ( N A N bu( A N n pao vem dado por N bu( bu( N O ponto do epaço de etado que podem er atingido a partir da origem ão poi o que e podem obter como combinação linear de b, Ab,, A b, A N N Pelo lema, o ubepaço gerado por ete vectore é igual ao gerado pelo vectore b, Ab,, A b, A n n b b

32 3 Conidere o itema dicreto Problema ( k ( k ( k u( k ( k a Motre que o itema não é controlável, i.e. que nem empre é poível tranferir a origem para um etado arbitrário; b Motre que partindo de um etado genérico (,, dado, eite uma lei de controlo que leva o etado à origem em pao (i.e., eite u ( função de, tal que (.

33 33 a O itema não é controlável. Com efeito: C ( A, b b Ab car C( A, b dim De acordo com o critério de controlabilidade, há etado que não podem er atingido partindo da origem.

34 34 b Como: ( u ( deve verificar o itema de equaçõe ( Ete itema tem por olução u ( ( u

35 35 Controlabilidade para a origem e Controlabilidade Tal como o problema anterior motra, no itema dicreto o conceito de controlabilidade para a origem (er capaz de atingir a origem a partir de qualquer etado e controlabilidade (er capaz de atingir a origem a partir de qualquer etado não ão equivalente. Ito leva a que a controlabilidade como a definimo eja também deignada por atingibilidade. No itema contínuo o doi conceito ão equivalente. Repare-e que o critério relativo à caracterítica da matriz de controlabilidade e refere à atingibilidade (=controlabilidade e não à controlabilidade para a origem.

36 36 Influência de uma tranformação linear do etado na Controlabilidade Dado o modelo de etado A bu Conidere o modelo de etado na coordenada tranformada Tz. a Sendo a matriz T invertível, motre que e o par ( A, b é controlável, a realização de etado na nova coordenada também é controlável. Ecreva a matriz de controlabilidade na nova coordenada, b Relacione z C e ( A, b c Eprima T em z C. C e C ( A, b C z.

37 37 Sugetão: Obtenha o modelo de etado para z ; Calcule a matriz de controlabilidade na nova coordenada Relacione-a com a matriz de controlabilidade original.

38 38 Tz Tz z T ( A bu T ATz T bu z T ATz T C z T b ( T AT T b ( T AT ( T AT T b bu C z T b Ab A b A n b C z T C( A, b T C( A, b C z

39 39 Provou-e o eguinte facto: Dada dua realizaçõe de etado controlávei e com a mema dimenão, A b u e z A z b u ela ão emelhante, endo a tranformação de emelhança T que leva de uma para outra dada por Tz z z T C( A, b C ( A z, b z

40 4 Eemplo Forma canónica do controlador b b u -a c c c3 b 3 y G( 3 b b b 3 a a a 3 -a -a 3

41 4 b u A c c c c c c c y 3 a a a A c b c 3 b b b c c Matriz de controlabilidade: a a a C c

42 4 Tranformação que leva à forma canónica do controlador: T c a a a C T n Eta tranformação erá útil poteriormente para a dedução de uma fórmula para o cálculo do ganho do controlador.

43 43 Quetão (relacionada com a obervabilidade Dado a realização de etado ( t A( t y( t C( t ( t condição inicial deconhecida Será poível determinar a condição inicial (e portanto ( t t por obervação da aída? A repota depende de ( A, C Uma quetão relacionada é: Como etimar o etado a partir da obervaçõe da aída?

44 44 Definição de obervabilidade (itema contínuo O itema contínuo ( t A( t y( t C( t diz-e completamente obervável e eitir t tal que o conhecimento da aída y (t para t t é uficiente para determinar a condição inicial do etado, (.

45 45 Critério de obervabilidade (itema contínuo A realização de etado ( t A( t y( t C( t é completamente obervável e a matriz de obervabilidade tiver caracterítica n dim. O( A, C C CA CA n CA

46 46 Interpretação em termo de itema diagonai Dado o itema,, z( t z( t y( t Cz( t diag n a Motre que ele é obervável e i j i j,, n c i i,, n b Dê uma interpretação deta condiçõe em termo de um diagrama de bloco.

47 47 Controlabilidade e obervabilidade conjunta Conidere-e o itema diagonal ( ( ( t bu t t diag n,, ( ( t C t y Função de tranferência n i i i i n n n c b b b c c b A I C H ( (

48 48 Função de tranferência: H( n i cibi i O omatório terá meno de n termo e houver i para o qual: b i perda de controlabilidade; c i perda de obervabilidade; i repetido perda de controlabilidade e obervabilidade Concluão: Haverá cancelamento de pólo e zero e o itema não fôr controlável ou obervável. Ete facto, que demontrámo para itema diagonai, é válido em geral.

49 49 Decompoição de Kalman Em geral, é poível levar um itema à repreentação de etado: ( t A A 3 A A A A 3 4 A 33 A A ( t b u( t b 3 u S oc S oc S oc y c c ( y( t t S oc ' oc ' oc ' oc ' oc ' A função de tranferência depende apena da parte controlável e obervável: G ( c ( I A b

50 5 Recontructibilidade e Detectabilidade Doi conceito importante relacionado com a obervabilidade ão: Se a partir da obervaçõe da aída fôr poível obter o último valor do etado (ma não neceariamente a condição inicial, a realização diz-e recontruível. Se a parte não obervável do etado fôr aimptoticamente etável, a realização diz-e detectável.

51 5 Problema (Interpretação da controlabilidade e da obervabilidade Conidere o itema definido pelo eguinte diagrama de bloco: u =y Contrua um modelo de etado, utilizando a variávei indicada. Diga para que valore do parâmetro é que a realização de etado que obteve é: a Controlável. b Obervável Dê uma interpretação em termo da função de tranferência.

52 5 Solução Equaçõe de etado: U X U X X u dt d u dt d ( A b c, ( b A C ( (, ( det A b C

53 53 Repare-e que: det C ( A, b ( ( Há perda de controlabilidade para: a não é afectada por u e urge um zero na origem que cancela o pólo na origem; b Surge um zero em que cancela um pólo. O( A, c O itema é empre obervável.

54 54 Problema (Interpretação da controlabilidade e da obervabilidade Conidere o itema decrito pelo modelo de etado ( ( ( ( ( t u t t t t ( ( ( t t t y Para que valore de, e é que o itema é: a Controlável; b Obervável. Dê uma interpretação em termo da função de tranferência.

55 55, ( b A C pelo que a realização é controlável empre que. Ete facto interpreta-e facilmente em termo da função de tranferência: b A I C H ( ( A A I T ( det( ( H ( Logo, para o ganho da FT anula-e. O Como a matriz é quadrada, podemo tetar a obervabilidade a partir do determinante. Quando, ( det( A c O a realização deia de er competamente obervável.

56 56 det( O ( A, c Há perda de obervabilidade e ou eja e. Neta condiçõe (i. e. quando há perda de obervabilidade, o pólo áo a raíze de. Eta equação é atifeita por pelo que quando há perda de obervabilidade há um pólo que cancela o zero.

57 57 3.Realimentação linear de variávei de etado Objectivo: Projectar um regulador de colocação de pólo por realimentação linear de toda a variávei de etado. Demontração da fórmula de Ba-Gura.

58 58 Problema (Projecto de um regulador por RLVE Dada uma realização de etado controlável e obervável com polinómio caracterítico ( t A( t bu( t y C( t a( det( I A n a n a n Lei de controlo admiível: u( t r K( t Começaremo por coniderar r (problema de regulação. Determinar o vector de ganho K de modo a que o polinómio caracterítico da cadeia fechada eja ( n n n

59 59 r + b + ẋ (t C y - + A K ( t A( t bu( t u( t r K( t Sitema em cadeia fechada: ( t ( A bk ( t br( t

60 6 Polinómio caracterítico do itema em cadeia fechada: a k Objectivo: Determinar K por forma a que ( det( I A bk a K ( ( Podemo ajutá-lo por ecolha do ganho K Polinómio caracterítico do itema realimentado. Depende do ganho K Polinómio caracterítico epecificado

61 6 Método do coeficiente indeterminado A equação a reolver é det( I A bk ( a K ( Polinómio caracterítico que e obtém para um dado K Polinómio caracterítico epecificado. Traduz a dinâmica pretendida para a cadeia fechada n a K n a n K n n n

62 6 n n n n K n K n a a Igualando o coeficiente do monómio do memo grau em ambo o polinómio obtém-e o itema de equaçõe lineare verificado pelo ganho K : n n K K a a Quando é que ete itema tem olução n,,? Veremo que eite empre olução e o par, ( b A fôr controlável.

63 63 Fórmula de Ba-Gura Poicionamento arbitrário do pólo da cadeia fechada e, ( b A é controlável. Neta condiçõe, o vector de ganho é calculado por ( C M a K T em que b A b A Ab b A b C C n, ( é a matriz de controlabilidade aociada ao par, ( b A e n a n a a a a a a M n

64 64 Eercício (fórmula de Ba-Gura Conidere o itema definido pelo diagrama de bloco: u a Obtenha uma realização de etado com variávei de etado e. b Atravé da fórmula de Ba-Gura determine o ganho de um controlador de realimentação de variávei de etado que coloque o pólo em j. c Reolva o memo problema pelo método do coeficiente indeterminado.

65 65 u u, ( Ab b A b C / /, ( A b C Polinómio caracteríticop aociado à matriz A : det( ( A I a (como era de eperar! Recorde-e a nomenclatura: ( a a a donde a a a

66 66 a M T M Polinómio caracterítico deejado: ( (pólo em j A aplicação da fórmula de Ba-Gura conduz ao ganho, ( ( A b C M a K T K

67 67 Problema (que no conduzirá à demontração da fórmula de Ba-Gura: Há alguma realização de etado em que o cálculo do ganho eja trivial? Sugetão: Conidere a forma canónica do controlador b b G( 3 b b b 3 a a a 3 u c c c3 b 3 y Deenhe obre ete o -a diagrama de bloco com a -a realimentação da variávei -a 3 de etado.

68 68 b b u c c c3 b 3 y -a - -k Concluão: -a - Na forma canónica do controlador -k o cálculo do ganho é feito -a 3 -k 3-3 implemente por K c a

69 69 Realização de etado ( A, b, c Tranformação de coordenada T T C( A, b M c T Forma canónica do controlador ( A c, bc, cc Difícil (Objectivo Fácil Ganho na realização original Ganho na forma canónica do controlador Como inverter a tranformação para o ganho?

70 7 Sugetão para relacionar o ganho na coordenada originai e da forma canónica do controlador, c : Eprimir o controlo u como retroacção de e eprimir em c para obter uma relação entre K e K c. u K KT c K c

71 7 Realização de etado ( A, b, c Tranformação de coordenada T T C( A, b M c T Forma canónica do controlador ( A c, bc, cc Difícil (Objectivo Fácil Ganho na realização original Ganho na forma canónica do controlador K Kc T Tranformação invera aplicada ao ganho K c a

72 7 Fórmula de Ackerman Alternativamente, o vector de ganho do controlador pode er cálculado pela fórmula de Ackerman, que não neceita do conhecimento eplícito do polinómio caracterítico do itema em cadeia aberta: K C ( A, b ( A Última linha da invera da matriz de controlabilidade Polinómio caracterítico deejado calculado para A

73 73 Eemplo (integrador duplo Retome-e o problema do acetato 8. A última linha da invera da matriz de controlabilidade é /. ( A A A I O ganho calculado pela fórmula de Ackerman ão aim: K / que (como era de eperar coincidem com o obtido com a fórmula de Ba- Gura.

74 74 Quetão (prática e da maior importância! Porque não podemo tranformar um FIAT PUNTO num Ferrari por retroacção da velocidade com um ganho muito elevado? C V Infelizmente (! a fórmula de Ba-Gura motra que o ganho ão tanto maiore quanto o delocamento do pólo, o que para ganho muito elevado leva a uma aturação da entrada manipulada.

75 75 4.Obervadore aimptótico Objectivo: Projecto de obervadore aimptótico de ordem completa.

76 76 Problema: Etimação do etado Dada a realização de etado A, b, c de um itema: ( t A( t bu( t y( t c( t Determinar uma etimativa ˆ( t de (t por obervação da entrada e da aída. Eta etimativa deve er recuriva, i.e. definida por uma equação diferencial cuja integração produza ˆ( t para todo o t. u(t SI STEMA y(t OBSERVADOR (t ^

77 77 ª SOLUÇÃO: Obervador em cadeia aberta Réplica do itema, ecitada pela mema entrada: u(t SI STEMA y(t b (t ^ A Será que funciona?

78 78 Erro de etimação no obervador em cadeia aberta ~ Qual a equação atifeita pelo erro de etimação ˆ? Subtraindo a equação do etimador à do etado do itema: ˆ A bu Aˆ bu ˆ A( ˆ bu bu donde ~ A~ Concluão: Com o obervador em cadeia aberta, o erro de etimação do etado apena tende para zero para itema etávei em cadeia aberta e com uma taa que depende do valore próprio de A.

79 79 ª SOLUÇÃO: Obervador em cadeia fechada (aimptótico u(t SI STEMA y(t ˆ ( t Aˆ( t bu( t L y( t Cˆ( t b L y(t-y(t ^ (t ^ C + - y(t ^ Vector coluna com dim L= dim Quando a etimativa é a correcta, o termo de A correcção y cˆ anula-e e a etimativa egue a dinâmica do itema verdadeiro. Qual a nova equação atifeita pelo erro? Sugetão: Ecreva a equaçõe do itema e do obervador e ubtrai-a uando a equação para y(t.

80 8 A bu ˆ Aˆ bu L ˆ A( ˆ bu bu L y cˆ y cˆ y=c Concluão: Para o obervador em cadeia fechada, a equação diferencial que traduz a evolução no tempo do erro de etimação é ~ ( t ~ ( t A Lc

81 8 Dinâmica do erro do obervador aimptótico ~ ( t ~ ( t A Lc Se o par ( A, c fôr obervável, podemo poicionar arbitrariamente o valore próprio da matriz A Lc. Pelo facto de (para realizaçõe obervávei o ganho L poder er dimenionado por forma a que o erro tenda aimptotiocamente para zero, ete tipo de obervadore diz-e aimptótico.

82 8 Eemplo: Obervador para o integrador duplo Conidere o itema (integrador duplo: u =y. Deenhe um diagrama de bloco de um obervador aimptótico do etado dada a obervaçõe da aída. Dimenione o vector de ganho do etimador por forma a que a matriz da dinâmica do erro tenha o valore próprio em. Sugetão: Determine a matrize A, b, c do itema; Ecreva a matriz A-Lc e determine o eu polinómio caracterítico para L genérico; Dimenione L aplicando o método do coeficiente indeterminado.

83 83 u =y y u y u L L L L LC A det( L L L L Lc A I Pretendemo o valore próprio da dinâmica do erro do obervador na raíze do polinómio ( Pelo método do coeficiente indeterminado: L L

84 84 Ecolha do valore próprio da dinâmica do erro A ecolha do valore próprio de A Lc reulta do eguinte compromio: Não podem er muito pequeno, para que o erro não tenda lentamente para zero; Não podem er muito grande poi, e o etimador fôr muito rápido, pode er enganado pelo erro de modelação. Em particular, o ganho de malha reultante quando e fecha a cadeia realimentando a etimativa do etado deve repeitar a condição de etabilidade robuta.

85 85 Fórmula de Ba- Gura para o cálculo do ganho do Obervador Demontre o correpondente à fórmula de Ba-Gura para o dimenionamento do ganho do obervador. Sugetão: Ecreva uma equação verificada pelo erro na etimativa do etado com um obervador aimptótico e faça a tranformação de coordenada que a leve à forma canónica do obervador: o T T MO( A, C M a an a

86 86 O a i ão o coeficiente do polinómio caracterítico do itema em cadeia aberta. A forma canónica do obervador é tal como e motra na figura eguinte: u b3 b b 3 / / / =y -a3 -a -a

87 87 5.Teorema de Separação Objectivo: Motrar que o obervador e o controlador por realimentação da etimativa do etado podem er projectado independentemente.

88 88 Quando o etado não etá aceível para medida directa, uma ideia natural conite em realimentar a etimativa produzida por um obervador aimptótico. Tem-e a etrutura do compenador (a maneira correcta de introduzir a referência erá dicutida poteriormente: r + - u(t b + + A (t c Sitema y(t Sitema: ( t A( t bu( t y( t c( t Obervador: K (t ^ b A c + + L Compenador ˆ ( t ( A Lc ˆ( t Lcy( t bu( t Lei de controlo: u( t Kˆ( t O itema compenado é de ordem n.

89 89 Teorema de Separação O polinómio caracterítico do itema global (itema em cadeia aberta e obervador, com realimentação da etimativa do etado é o produto do polinómio caracterítico de A bk e de A Lc. Ete teorema diz-no que podemo projectar o vector de ganho K como e realimentáemo o etado e não a ua etimativa, e o vector de ganho do obervador L como e etimáemo o etado em cadeia aberta. O obervador e o controlador podem poi er projectado eparadamente.

90 9 Nota obre o Teorema de Separação: Em geral, para itema não lineare, o controlador e o obervador não podem er projectado eparadamente. Ito acontece porque a variável de controlo tem um efeito chamado dual: Por um lado, permite efectuar a acção de regulação da aída; por outro lado proporciona a ecitação uficiente para e etimar o etado. Ete doi efeito conflituam e a ecolha do controlo deve er feito como um compromio entre ambo. O efeito de dualidade é conhecido (no âmbito do Controlo Adaptativo dede o ano 5, pelo trabalho de Feld baum. No cao linear, o conflito não eite, tendo lugar o teorema de eparação. Há clae de itema não lineare para o quai é poível demontrar teorema de eparação. Ito contitui um tema de invetigação actual.

91 9 Lema Sejam A, C matrize quadrada. Então: A B C A C Demontração: Tem-e: I C C e ainda A B I A A B I A B Como C C I o reultado conclui-e por o determinante de um produto de matrize er o produto do determinante do factore.

92 9 Demontração do teorema de eparação Equaçõe do itema e do controlador/obervador: ( t A( t bu( t y( t c( t ˆ ( t ( A Lc ˆ( t Lcy( t bu( t u( t Kˆ( t Em termo do etado do itema a controlar e do etado ˆ do obervador, eta equaçõe ecrevem-e ( t A( t bkˆ( t ˆ ( t Lc( t ( A Lc bk ˆ( t

93 93 ˆ ( t ( t A( t bkˆ( t Lc( t ( A Lc bk ˆ( t Convém trabalhar com o erro de etimação ~ ( t ( t ˆ( t e não com a etimativa do etado. Ito correponde a fazer uma tranformação invertível de coordenada no etado, pelo que o valore próprio do itema global não ão alterado. Subtraindo a dua equaçõe anteriore, obtém-e ~ ( t ( A Lc ~ ( t O itema global é poi decrito pela equaçõe ( t ( A bk ( t bk ~ ( t ~ ( t ( A Lc ~ ( t

94 94 Equaçõe do etado do itema global: ( t ( A bk ( t bk ~ ( t ~ ( t ( A Lc ~ ( t Na forma matricial: ~ A bk bk A Lc ~ Pelo lema anterior, o polinómio caracterítico deta matriz (dinâmica do itema global é: I A bk I bk A Lc det( I A bk.det( I A Lc controlador obervador

95 95 Concluão: A frequência naturai agrupam-e em doi tipo de termo: Uma parte dependem apena do ganho K do controlador, como e foe feita uma retroacção do etado e não da ua etimativa. A outra parte pedende apena do ganho L do obervador, como e o controlador etivee auente.

96 96 Eemplo: Pêndulo invertido m Lin f f z ( ( ( t L t t g f f ( in ( ( ( in ( t L t t z t mg t mz f f Modelo linear válido para ângulo pequeno: f f in ( ( ( ( ( t L t t z t g t z f f

97 97 gf( t ( t L f ( t Definam-e: Variávei de etado: f f Entrada manipulada: u / L Obtém-e o modelo de etado: u g L / y Para concretizar toma-e g / L 9.

98 98 u 9 y Projecto do controlador upondo aceo ao etado: 9 9 k k k k bk A (9 9 det( k k k k bk A I Polinómio caracterítico epecificado: ( Comparando o coeficiente do doi polinómio, obtém-e k k

99 A etrutura do obervador é uma réplica do itema com a derivada do etado adicionada do erro da aída amplificado pelo ganho L e L : u - + / / 9 y 99 L L ^ / / 9 ^ -

100 Para o dimenionamento do ganho do obervador, temo de poicionar o valore próprio da matriz Lc A. 9 9 L L L L Lc A 9 9 det( L L L L Lc A I Se deejarmo o valore próprio na raíze de ( ( o O ganho do obervador devem er 4 8 L L

101 O controlador é obtido realimentando a etimativa do etado: - u - + / / 9 y L L ^ / / 9 ^ - k k

102 Repota na regulação de uma condição inicial não nula

103 3 Função de tranferência do compenador Modelo do proceo em cadeia aberta: y A bu c G p ( c( I A b Modelo de etado do obervador: ˆ ( A Lc ˆ bu Ly ˆ ( A Lc u Kˆ bk ˆ Ly u Kˆ

104 4 ˆ ( A Lc bk ˆ Ly u Kˆ O compenador (conjunto obervador+retroacção da etimativa do etado é decrito, por eta equaçõe, como tendo dinâmica A Lc bk, entrada y e aída u. A função de tranferência do compenador é poi G c ( K( I A Lc bk L u G ( p Proceo G ( c Compenador y

105 5 Eemplo: Função de tranferência do compenador y u ( G p Pólo da cadeia fechada deejado, dado pela raíze do polinómio ( Ganho do controlador: K Dinâmica do erro do obervador: ( Ganho do obervador 5 5 L Função de tranferência do compenador: ( ( j G c

106 6 Como e vê, a função de tranferência do compenador e, por coneguinte o ganho de malha, dependem do ganho K e L. Ete ganho podem poi er encarado como botõe de ajute que permitem moldar o ganho de malha por forma a atifazer epecificaçõe.

107 7 6.Seguimento de referência e efeito integral Objectivo: Motrar como é poível modificar o regulador de retroacção de variávei de etado por forma a eguir referência não nula, incluindo ou não efeito integral.

108 8 Seguimento de referência não nula Temo coniderado até agora o problema de projectar controladore que levem o etado do proceo para zero, rejeitando aim perturbaçõe que tenham cauado condiçõe iniciai não nula. Ete problema é conhecido como problema de regulação. Em geral, no entanto, pretendem eguir-e referência não nula, eventualmente variávei. Nete último cao o problema diz-e problema do ervomecanimo (ito é uma herança do tempo em que o controladore viavam movimentar itema mecânico, por eemplo leme de navio ano ou canhõe ano 4.

109 9 Poibilidade de incluão da referência Modelo do proceo: Controlador: A bu y c ˆ ( A bk Lc ˆ Ly Mr u Kˆ Nr Há vária poibilidade para a ecolha de M (vector e N (ecalar. De acordo com eta poibilidade reultam vário tipo de repota à referência. Vamo coniderara dua hipótee.

110 a Ecolher M e N por forma a que a equação de erro não dependa da referência r Com a lei de controlo incorporando a referência, o erro atifaz ˆ A B( Kˆ ( A bk Nr Lc ˆ Ly Mr ou eja ~ ( A Lc ~ ( bn M r Para que ete termo e anule, deve ecolher-e M bn

111 Com eta ecolha ( M Nb, tem-e: ˆ ( A bk Lc ˆ Ly Nbr Reagrupando: ˆ ( A Lc ˆ b( Kˆ Nr u Ly Ou eja, a equaçõe do controlador podem ecrever-e: ˆ ( A Lc ˆ bu Ly u Kˆ Nr

112 Etrutura do controlador por forma a que o erro de etimação do etado não dependa da referência ˆ ( A Lc ˆ bu Ly u Kˆ Nr r N + - u Proceo y K ^ Obervador

113 3 b Ecolher M e N por forma a que o erro de eguimento e r y eja uado no controlador ˆ ( A bk Lc ˆ Ly Mr u Kˆ Nr Ecolhendo N M L O controlador fica definido pela equaçõe ˆ ( AbK Lc ˆ Le u Kˆ

114 4 Etrutura do compenador por forma a uar o erro de eguimento ˆ ( AbK Lc ˆ Le u Kˆ r + - e Obervador ^ K u Proceo y

115 5 Incluão de efeito integral Uma maneira de introduzir o efeito integral é aumentar o etado do proceo com o etado I do integrador do erro. Repare-e que derivando t I d r y t ( ( ( para. cont r, obtém-e ( ( t C t I O conjunto itema+integrador é poi decrito pelo modelo de etado aumentado: r u b c A I I

116 6 r u b c A I I A ete modelo podem er aplicada a técnica etudada ante. Em particular, e o etado fôr aceível e com r I I k K u e tem-e a etrutura eguinte para o controlador r - + -k -k Proceo y I o I + +

117 7 O modelo de etado aumentado u b c A I I é controlável ma não é obervável (demontre!. Podemo no enatnto etimar apena o etado com um obervador, e uar a medida directa do etado do integrador I (dado que é gerado pelo computador de controlo. Neta condiçõe continua a er válido o teorema de eparação (demontre!.

118 8 Um outra maneira de introduzir efeito integral: integrador em érie Incluir um integrador em érie à entrada do itema: u u= I. =A+bu y=c y I Modelo de etado aumentado (controlável e obervável: I A b I u c y I Projectar o controlador uando o modelo de etado aumentado.