MODELAGEM OTIMIZAÇÃO EM GAMS

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1 Aneirson Francisco da Silva Doutor em Engenharia Mecânica- UNESP Mestre em Engenharia de Produção- UNIFEI Pós Graduado em Economia e Planejamento Empresarial-UFU MODELAGEM OTIMIZAÇÃOEMGAMS

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3 1- Definir Índices e Conjuntos. 2- Definir os Parâmetros. 3- Definir as variáveis de Decisão. 4- Modelo Matemático de Otimização. 3

4 Exemplo Numérico Uma empresa pode fabricar dois produtos (1 e 2). Na fabricação do produto 1 a empresa gasta nove horas-homem e três horasmáquina (a tecnologia utilizada é intensiva em mão-de-obra). Na fabricação do produto 2 a empresa gasta uma hora-homem e uma hora-máquina (a tecnologia é intensiva em capital). A empresa dispõe de 18 horas-homem e 12 horas-máquina para um período de produção. Sabe-se que os lucros líquidos dos produtos são $4 e $1 respectivamente. 4

5 Forma Algorítmica Índices Etapa 1 i Produtos, i I, I= {1, 2}; j Recursos, j J, J= {1, 2}. Parâmetros Etapa 2 c i Preço de venda do produto i; a ij Matriz que determina o quanto o produto i consome do recurso j; b j Disponibilidade de cada recurso j; Variáveis Etapa 3 x i Quanto vender de cada produto i; 5

6 O modelo do problema Maximizar ci ii xi ii ai j xi b j, j J xi 0, i I 6

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8 Uma empresa, onde se fabrica motores especiais, recebeu recentemente R$ ,00 em pedidos de seus três tipos de motores. Cada motor necessita de um determinado número de horas de trabalho no setor de montagem e de acabamento. A empresa pode terceirizar parte da sua produção. A tabela 1 resume estes dados. A empresa deseja determinar quantos motores devem ser produzidos em sua fábrica e quantos devem ser produzidos de forma terceirizada para atender a demanda dos pedidos. 8

9 modelo Disponibilidade Demanda 3000 unid 2500 unid 500 unid Montagem 1hs 2hs 0,5hs 6.000hs Acabamento 2,5hs 1hs 4hs hs Custo de R$ 50,00 R$ 90,00 R$ 120,00 produção Terceirização R$ 65,00 R$ 92,00 R$ 140,00 9

10 Forma Algorítmica Índices i Produtos, i I, I= {P 1,P 2,P 3, }; j Recurso, j J, J= {Montagem, acabamento}; Parâmetros c j Disponibilidade do recurso j; a ij Matriz que determina o quanto o produto i consome do recurso j; b i Custo de produção do produto i; d i Custo de terceirização do produto i; e i Demanda do produto i; Variáveis x i Quanto produzir de cada produto i; y i Quanto terceirizar de cada produto i; 10

11 Modelo Matemático 11 I i yi xi I i e i y i x i J j a s I i j c xi j ai I i yi di xi bi 0, 0,, :., Z Maximizar

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13 M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 1 4,02 2,66 2,84 2,02 2,91 2 2,46 2,97 3,67 2,89 2,58 3 3,78 2,69 3,51 2,2 2,8 4 2,89 1,39 3,26 1,68 2, ,26 2, ,45 2,51 2,48 1,93 4,43 7 4,74 2,69 1,43 1,84 2,66 8 3,25 3,54 2,88 1,55 4,19 9 1,88 3,71 1,27 2,57 3, ,98 2,26 3,18 2,61 5,33 13

14 Forma Algorítmica- Rigor Matemático Índices i Funcionários, i I, I= {1, 2,..., 10}; j Máquinas, j J,J= {1, 2,..., 5}. Parâmetros a ij O tempo gasto pelo funcionário i na máquina j. Variáveis x ij Alocar funcionário i na máquina j. 14

15 MODELO 15., 0, 1, 1, Min Z J j I i j xi I i J j xij J j I i x ij I i J j a ij x ij

16 Casamento Um casal, Miranda e Sra-Miranda querem dividir suas tarefas domésticas (fazer compras, cozinhar, lavar louças e lavar roupas) entre eles, de tal maneira que cada um tenha 2 tarefas e o tempo total gasto para realizar tais tarefas seja mínimo. Suas eficiências sobre estas tarefas diferem de acordo com a tabela abaixo: Temponecessárioporsemana FazercomprasA CozinharB LavarLouçasC LavarRoupaD Miranda 4,5hs 7,8hs 3,6hs 2,9hs Sra- Miranda 4,9hs 7,2hs 4,3hs 3,1hs Formule o modelo de Programação Linear para este problema e Salve este casamento. 16

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18 Uma empresa de barcos precisa determinar quantos veleiros devem ser produzidos durante cada um dos 4 próximos trimestres. A demanda de cada um dos trimestres é: primeiro trimestre, 40 veleiros; segundo trimestre, 60 veleiros, terceiro trimestre, 75 veleiros, quarto trimestre, 25 veleiros. A empresa quer atender a demanda prontamente. No início do primeiro trimestre, a empresa tem 10 veleiros em estoque. No início de cada trimestre, a empresa precisa decidir quantos veleiros devem ser produzidos durante o trimestre. 18

19 Por simplicidade, assume-se que os veleiros são fabricados durante um trimestre podem ser usados para atender a demanda deste trimestre. Durante cada trimestre, a empresa pode produzir até 40 veleiros com sua mão de obra regular a um custo de R$ 400,00 por veleiros. Tendo de trabalhar com horas extras durante o trimestre, a empresa pode produzir veleiros a mais a um custo total de R$ 450,00 por barco. No final de cada trimestre após ter ocorrido a produção e a demanda do trimestre ter sido atendida, um custo de transporte ou armazenagem de R$ 20,00 por barco ocorre. 19

20 Forma Algorítmica Índices t Períodos, t T, T= {1, 2,..., 4}. Parâmetros a t Custo de produção em horas normais no período t; b t Custo de produção utilizando horas extras no período t; c t Custo de estocagem no período t; d t Demanda no período t; e t Capacidade de produção utilizando horas normais no período t. 20

21 Variáveis x t y t O quanto produzir no período t utilizando horas normais; O quanto produzir no período t utilizando horas extras; k t Nível de estoque no período t. 21

22 O modelo do problema Min s. a : Z tt x t a t y t b t k t c t x t e t, t T kt xt xt 0, yt t kt T 1 dt, t T yt 0, t T kt 0, t T 22

23 CASO: PO-ZEIROS A empresa Fenix está lançando sua nova coleção de sofás e poltronas para o próximo semestre, que inclui sofá de dois lugares, três lugares, sofá-cama, poltrona e puff. A Tabela 1 apresenta os dados de custos e capacidades de produção e armazenagem de cada produto que são constantes para todos os períodos. A demanda de cada produto para o próximo está listada na Tabela 2. O estoque inicial para todos os produtos é de 200 unidades. Determine o planejamento ótimo de produção e controle de estoques que minimize os custos totais de produção e estoque, atenda a demanda pretendida e respeite os limites de capacidades de produção e estoque. 23

24 Tabela 1- Custos e capacidades de produção e armazenagem para cada produto. Custo de produção [R$/Unidade] Custo de armazenagem [R$/Unidade] Capacidade de produção [unidades] Capacidade de Armazenagem [unidades] Sofá 2 Sofá 3 Sofá-cama Poltrona Puff

25 Tabela 2- Demanda por produto e período. Jan Fev Mar Abr Maio Junho Sofá Sofá Sofá-cama Poltrona Puff

26 s.a: Min Z Xit c i Yit di Yit Xit Yit X it I I ii i i tt Xitai I, t T. I, t T. Yitbi Y it 1 e it i I, t T. i i I, t T. I, t T. Este modelo apresenta 60 variáveis de decisão e 90 restrições e 206 variáveis não negativas. O domínio das variáveis são inteiros e positivos. 26

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30 PROBLEMA DE TRANSPORTE Minimizar o custo total do transporte de um bem único - a partir de m Origens com oferta o i (i=1 a m ) - para n Destinos com procura p j (j=1 a n) conhecendo o custo c ij do transporte, de uma unidade do bem, da Origem i para o Destino j 20 /ton 22 /ton Armazém 1 20 tons. batata 17 /ton Custo c ij do transporte, de uma tonelada de batata, da Origem i para o Destino j Armazém 2 12 tons de batata 9 /ton 8 /ton 30

31 Modelo Genérico de Transporte n m Min Z x i jc i j i1 j1 n s. a : x i j b j, j 1,2,..., m. i1 m x i j a i, i 1,2,..., n. j1 x i j 0, i 1,2,..., n, j 1,2,..., m. 31

32 Modelo Linear (transporte equilibrado) Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Oferta Armazém 1 x x 12 x TOTAIS Oferta=Procura (equilibrado) Armazém 2 x x 22 x Procura Variáveis de decisão não negativas x ij = quantidade de batata (tons) a transportar da Origem i=1,2 para o Destino j=1,2,3 Minimizar o Custo Total do transporte : Min f(x) = 20 x x x x x x 23 Restrições das Origens (oferta): x 11 + x 12 + x 13 = 20 x 21 + x 22 + x 23 = 12 Restrições dos Destinos (procura): x 11 + x 21 = 14 x 12 + x 22 = 7 x 13 + x 23 = 11 32

33 Solução Ótima: Min f(x)=485 Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Oferta Armazém Armazém Procura Armazém 1 20 tons. batata 6 7 Armazém 2 12 tons de batata 9 /ton 8 /ton 5 33

34 Forma Algorítmica Índices i Origens, i I, I= {1, 2} ; j Destinos, j J,J={1, 2, 3}; Parâmetros c ij Custo de transporte da origem i para o destino j; a i Capacidade máxima da origem i; d j Demanda do destino j; Variáveis x ij Quanto distribuir da origem i para o destino j; 34

35 Programação Linear: Estudo de caso J j I i j x i J j j d I i j x i I i a i J j j x i a s I i J j j j c i x i Z Min, 0,,, :. 35

36 Matriz de Transporte Custos desconhecidos Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Oferta Armazém 1 Armazém M M Big M (valor infinito) Procura /ton 22 /ton Armazém 1 20 tons. batata Armazém 2 12 tons de batata 8 /ton 36

37 Equilibrar Modelo com Oferta > Procura Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Cliente Fictº Oferta Armazém 1 x x 12 x 13 F Armazém 2 x x 22 x 23 F Procura Com Oferta = 42 tons e Procura =32 tons nos Armazéns ficarão (sobras) 10 tons Minimizar o Custo Total do transporte : Min f(x) = 20 x x x F x x x F 2 Restrições das Origens (oferta > procura): x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x Forma Padrão Simplex das Restrições das Origens: x 11 + x 12 + x 13 + F 1 = 30 x 21 + x 22 + x 23 + F 2 = 12 Nota : F 1 + F 2 =10 37

38 Equilibrar Modelo com Oferta < Procura Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Oferta Armazém Armazém TOTAIS Oferta < Procura (desequilibrado) Procura Oferta = 22 tons de batata ; Procura = 32 tons de batata Para Equilibrar considera-se: Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Oferta Armazém Uma Origem Fictícia com Oferta = 32-22=10 tons A partir desta Origem Fictícia os custos de transporte são nulos Armazém 2 Armazém Fictício Procura TOTAIS Oferta = Procura (equilibrado) 38

39 Exercícios 1. Uma empresa tem 3 fábricas e 4 clientes, com as seguintes capacidades de produção e demandas relativas a um produto de interesse: Fábrica Capacidade Cliente Demanda F C F C F 3 80 C 3 90 C 4 30 Total 380 Total

40 Exercícios Os custos de transporte ($/por unidade) são os seguintes: Clientes Fábricas C 1 C 2 C 3 C 4 F F F Com o objetivo de minimizar os custos de transportes, determinar o programa de embarque do produto de cada fábrica a cada cliente. 40

41 Exercícios 2. Uma companhia tem 3 depósitos e 4 clientes, com as seguintes capacidades mensais de estocagem e demanda para um dado produto: Depósito Capacidade Cliente Demanda D 1 30 C 1 10 D 2 90 C D 3 70 C 3 70 C 4 30 Total 190 Total

42 Exercícios No contrato com os Clientes foram incluídas multas ($/unidade de produto faltante) associadas a eventuais faltas dadas por: $1 se faltar para o Cliente 1, $3 se faltar para o Cliente 3 e $2 se faltar para o Cliente 4. Os custos de embarque ($/por unidade) são os seguintes: Sabendo-se que obrigatoriamente o cliente C 2 deve ser atendido completamente, encontrar o programa de embarque de mínimo custo. Formule um modelo de PL. 42

43 Exercícios 3. Uma empresa tem 3 fábricas e 4 clientes, referentes a um determinado produto, e conhece-se os dados abaixo: Capacidade Custo de Preço de Demanda mensal da produção venda Fábrica Cliente mensal produção ($/unidade) ($/unidade) F C F C F C C Total 250 Total

44 Exercícios Conhecem-se os custos de se manter o produto em estoque ($/unidade estocada) em cada Fábrica: $1 para estocagem na Fábrica 1, $2 para estocagem na Fábrica 2 e $3 para estocagem na Fábrica 3. Os custos de transporte ($/unidade) são: Local de Locais de Venda Fabricação C 1 C 2 C 3 C 4 F F F Encontrar o programa de distribuição que proporcione lucro máximo. Formule o modelo de PL. 44

45 Uma empresa está planejando expandir suas atividades abrindo dois novos Armazéns, sendo que há três Locais sob estudo para a instalação destes armazéns (ver figura abaixo). Quatro Clientes devem ter atendidas suas Demandas: 50, 100, 150 e 200. As Capacidades de Armazenagem em cada local são: 350, 300 e 200. Os Investimentos Iniciais em cada armazém são: $50, $75 e $90. Os Custos Unitários de Operação em cada armazém são: $5, $3 e $2. Admita que quaisquer dois locais são suficientes para atender toda a demanda existente, mas o Local 1 só pode atender Clientes 1, 2 e 4; o Local 3 pode atender Clientes 2, 3 e 4; enquanto o Local 2 pode atender todos os Clientes. Os Custos Unitários de Transporte do Local i ao Cliente j (C ij ) estão dados na Figura 1. Deseja-seselecionaroslocaisapropriadosparainstalação dosarmazénsqueformaminimizarcustototal. 45

46 Figura 1 C12=9 A1=350 C2 = 100 C11=13 C22=7 C14=12 C1 = 50 C21=10 A2 =300 C23=11 C32=2 C24=4 C3=150 C33=13 C4=200 C34=7 A3=200 46

47 Índices i Origens, i I, I= {1,2,3}; j Destinos, j J, J= {1,2,...,4}. Parâmetros c ij Custo de transporte da origem i para o destino j; b i Custo inicial do armazém i; a i Capacidade máxima da origem i; d j Demanda do destino j; f ij Rede entre a origem i e o destino j; Variáveis x ij Quanto distribuir da origem i para o destino j; y i Qual origem i a ser escolhida. 47

48 Programação Linear: Estudo de caso Min Z ii jj x i j c i j y i b i ii s. a : jj xi j fi j ci yi i I xij fij ii yi 2 ii y i d j j J 0,1, i I, j J x i j0, 48

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50 Destinos Origens MA 500 R$8 Transbordo R$2 R$1 BH 200 RE 300 R$7 R$6 SP R$10 RJ R$3 R$4 R$5 R$4 JV 250 RS

51 Forma Algorítmica Índices i j k Origens, i I, I= {MA,RE}; Destinos, j J, J= {BH, JV, RS}; Transbordos, k K, K= {SP, RJ}. Parâmetros a i Capacidade da Origem i. b j Demanda do destino j. C ik Custo de envio da origem i para o transbordo k. D kj Custo de envio do transbordo j para o destino j Variáveis: X ik Quanto enviar da origem i para o transbordo k. Y kj Quanto enviar do transbordo k para o destino j. 51

52 Programação Linear: Estudo de caso., 0,., 0,..,., :. J j K k j Y k K k I i X ik I i K k K k J j j Y k X ik k J j j b j Yk K k I i a i X ik a s I i K k K k J j j d k j Y k X ik c ik Z Min 52

53 Programação Linear: Estudo de caso 53

54 CRITICALPATHMETHOD: MÉTODODOCAMINHO CRÍTICO

55 Introdução

56 CPM O método CPM é um dos método de Planejamento e Programação mais conhecido e utilizado. Este método, desenvolvido nos anos 50, da especial atenção a otimização do binômio (redução de recursos e da duração dos projetos). Admite-se, conhecer rigorosamente o tempo necessário à realização das diferentes atividades de um projeto bem como a lei da variação daquele tempo em função dos recursos envolvidos. Características: Conhecer a sua designação; A duração da atividade; A lista de precedência (Atividades que só podem ser iniciadas, caso algumas tenham sido terminadas). 56

57 A 6 D C B 4 E F 57

58 Aplicação

59 Atividade A Descrição Predecessores imediatos Tempo [horas] Desligar e desaquecer estufa dinâmica - 6 B Avaliar rolamentos danificados - 4 C Trocar rolamentos danificados B, A 7 Avaliar e trocar resistências D danificadas A 8 E Limpar estufa internamente D 10 F Lubrificar trilho com grafite C 2 G Fazer inspeção final E, F 1 H Religar estufa G 2 59

60 Forma Algorítmica C C A B 6 4 ou C A 6 ou C B 4 60

61 61

62 62

63 63

64 64

65 Forma Algorítmica C C A B 6 4 ou C A 6 ou C B 4 65

66 Exercício 01

67 Elaboração do TCC Atividade Descrição Predecessores imediatos Tempo [semanas] A Definição do Tema e Escopo - 1 B Fundamentação Teórica A 8 C Texto Preliminar B 2 D Modelagem e Descrição do Problema C 2 E Análise dos Resultados C 3 F Conclusões e Recomendações D,E 2 G Banca Correções e impressão F 4 67

68 CPM A 6 B 8 2 C 2 E 3 D 2 F 4 G 68

69 Estudo de Caso

70 Considere a reconstrução de um depósito que será feito pela Você S/A. As atividades são: Atividade Descrição Predecessores imediatos Tempo [Dias] A Demolir o depósito - 2 B Comprar Materiais - 1 C Separar Material Reutilizável A 1 D Escavação da Fundações A 2 E Preparação do acesso ao depósito A 1 F FazerlistadeMaterial paracompra C 1 G FazerFundações deconcreto B,D 2 H FazerAcesso E 1 I Levantar ParedesdeAlvenaria B,G 8 J NivelarChãofazercontrapiso F,G 2 70

71 Considere a reconstrução de um depósito que será feito pela Você S/A. As atividades são: Atividade Descrição Predecessores imediatos Tempo [Dias] K Instalar FiaçãodoSistemaElétrico F,I 1 L AcabarParedes K, M,N 5 M FazerTelhado F,I 1 N AcabarPiso deconcreto J 5 O MontarCalhas etubulações F,M 1 P Limpar H,L,O 1 Pede-se (a) Crie a rede associada ao projeto de reconstrução. (b) Qual é o menor tempo para realização do projeto? Qual o caminho crítico. 71

72 Considere a reconstrução de um depósito que será feito pela Você S/A. As atividades são: Atividade Descrição Predecessores imediatos Tempo [Dias] K Instalar FiaçãodoSistemaElétrico F,I 1 L AcabarParedes K, M,N 5 M FazerTelhado F,I 1 N AcabarPiso deconcreto J 5 O MontarCalhas etubulações F,M 1 P Limpar H,L,O 1 A pessoa responsável pelo plano de atividades cometeu dois pequenos erros. Ela introduziu duas relações de precedência imediata redundante. Embora não cause problemas mais sérios na modelagem e solução, isso é uma falha conceitual e acontece nos planos de atividades mal feitos. Quais são as duas relações de precedência que não deveriam ter sido colocadas no plano? 72