Exemplo. Lógica de 1ª ordem. Lógica de 1ª ordem. Lógica de 1ª ordem

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1 Lógica de 1ª ordem O mundo é representado em termos de objectos (entidades individuais) e propriedades que os distinguem de outros objectos. Entre os vários objectos existem relações. Quando numa relação existe apenas um valor para uma dada entrada esta é designada por função. 1 Exemplo Objectos : pessoas, casas, números, teorias, cores, jogos de futebol, séculos... Relações : irmão de, maior que, dentro, parte de, tem a cor, ocorreu depois de, possui... Propriedades : vermelho, redondo, primo... Funções : pai de, melhor amigo... 2 Lógica de 1ª ordem Lógica de 1ª ordem A lógica de primeira ordem permite expressar factos acerca de todos os objectos no universo. Isto permite-nos representar leis gerais ou regras tais como Nas caves adjacentes ao WUMPUS ouvem-se ruídos. A lógica de primeira ordem tem frases tal como a lógica proposicional, mas também tem termos que representam objectos. 3 4

2 Sintaxe da lógica de 1ª ordem FraseAtómica? Frase? FraseAtómica Frase Conector Frase Quantificador Variavel,... Frase Frase (Frase) Predicado(Termo,...) Termo = Termo Termo? Função(Termo,...) Constante Variável Sintaxe da lógica de 1ª ordem Conector? Quantificador? Constante? A X 1 Joaquim... Variável? a x s... Predicado? Antes TemCor EstaChover... Função? Mae BracoEsquerdoDo Constantes Cada constante refere-se a um e um só objecto. Nem todos os objectos necessitam de nomes. Alguns objectos têm mais de um nome. Predicados Referem-se a relações. As relações mantêm-se (hold) ou falham em manter-se. Num dado modelo, uma relação é definida por um conjunto de tuplos de objectos que a satisfazem. Um tuplo é uma colecção de objectos organizados numa dada ordem que são escritos entre < >. Relação entre dois irmãos é definida por : { <João, Ricardo>, <Ricardo, João> } 7 8

3 Termos Um termo é uma expressão lógica que se refere a um objecto. Símbolos constantes são termos. Ex : Um termo que é em simultâneo uma função : BI(João) Podemos raciocinar sobre os BI sem nunca definir o que é um BI. Se dissermos que o João é Português e que todos os Portugueses têm BI, poderemos deduzir que o João tem um BI. Frases atómicas Afirmam factos Irmão(Ricardo, João) Casado(Pai(Ricardo), Mãe(João)) Usualmente P(x, y) tem o significado de x é P de (com) y Frases complexas Podemos usar conexões lógicas para construir frases mais complicadas (da mesma forma que na lógica proposicional) Exemplos : Irmão(Ricardo, João) Irmão(João, Ricardo) MaisVelho(João, 30) MaisNovo(João, 30) MaisVelho(João, 30) MaisNovo(João, 30) Irmão(Ricardo, Ana) Quantificador Universal x Gato(x) Mamífero(x) Gato(Garfield) Mamífero(Garfield) Gato(Felix) Mamífero(Felix) Gato(João) Mamífero(João) Gato(Ricardo) Mamífero(Ricardo) 11 12

4 Quantificador Universal x Gato(x) Mamífero(x) Gato(Garfield) Mamífero(Garfield) Gato(Felix) Mamífero(Felix) Gato(João) Mamífero(João) Gato(Ricardo) Mamífero(Ricardo) Variáveis Como convenção todas as variáveis começam por minúsculas e todas as constantes por uma letra maiúscula. Uma variável é um termo por si só. Um termo sem varáveis é chamado um termo base (ground term) Quantificador Existencial x Irmão(x, Garfield) Gato(x) Quantificador Existencial x Irmão(x, Garfield) Gato(x) (Irmão(Garfield, Garfield) Gato(Garfield)) (Irmão(Felix, Garfield) Gato(Felix)) (Irmão(João, Garfield) Gato(João)) (Irmão(Ricardo, Garfield) Gato(Ricardo)) 15 (Irmão(Garfield, Garfield) Gato(Garfield)) (Irmão(Felix, Garfield) Gato(Felix)) (Irmão(João, Garfield) Gato(João)) (Irmão(Ricardo, Garfield) Gato(Ricardo)) 16

5 Quantificadores de quantificadores x,y Pai(x, y) Filho(y, x) x,y é equivalente a x y Toda a gente gosta de alguém: x y Gosta(x, y) Existe alguém de quem toda a gente gosta: y x Gosta(x, y) A ordem em que os quantificadores aparecem é muito importante. Quantificadores de quantificadores x Gato(x) ( x Irmão(Ricardo, x)) é idêntico a x Gato(x) ( z Irmão(Ricardo, z)) Relações entre e Relações entre e x Gosta(x, Exame) x Gosta(x, Gelado) é equivalente a é equivalente a x Gosta(x, Exame) x Gosta(x, Gelado) 19 20

6 Regras de Morgan x P x P x P x P x P x P x P x P P Q (P Q) (P Q) P Q P Q ( P Q) P Q ( P Q) Relações entre e Na verdade não necessitamos de e de em simultâneo, da mesma forma que não necessitamos de e. Mas o uso dos dois aumenta a clareza e facilidade de leitura Igualdade Pai(João) = Henrique Para dizermos que o Garfield tem pelo menos dois irmãos, fazemos: x, y Irmão(Garfield, x) Irmão(Garfield, y) (x = y) Nalguns livros (x = y) é substituído por x y Lógicas de ordem mais elevada O nome lógica de 1ª ordem deriva do facto de podermos quantificar apenas sobre os objectos (as entidades de 1ª ordem que existem no mundo). Em lógicas de ordem mais elevada, podemos quantificar também sobre relações ou funções

7 Lógicas de ordem mais elevada Numa lógica de maior ordem podemos por exemplo dizer que dois objectos são iguais se e só se todas as suas propriedades são equivalentes : x, y (x = y) ( p p(x) p(y)) Lógicas de ordem mais elevada Poderíamos também dizer que duas funções são iguais se têm o mesmo valor para todos os argumentos : f, g (f = g) ( x f(x) g(x)) Lógicas de maior ordem têm mais poder de expressividade. No entanto ainda existem poucos conhecimentos sobre a forma de raciocinar de forma efectiva sobre as frases destas lógicas !!x Rei(x) equivale a x Rei(x) y Rei(y) x = y Claro que se soubessemos de ínicio que havia apenas um reipoderiamos definir! Claro que se soubessemos de ínicio que havia apenas um reipoderiamos definir uma constante Rei emvez de utilizarmos o predicado Rei(x) Um exemplo mais complexo seria : p País(p)!x Dirigente(x, p) 27 28

8 Outras notações Domínio Um domínio é uma secção do mundo sobre a qual desejamos expressar algum conhecimento. Antes de nos debruçarmos outra vez sobre o mundo do WUMPUS vamos debruçar-nos sobre problemas com domínios mais simples Domínio familiar Predicados unários: Homem, Mulher Funções : Pai, Mãe Predicados binários: UmDosPais, Irmão, Irmã, UmDosIrmãos, Filho, Filha, UmDosFilhos, Esposo, Esposa, Casado, Avó, Avô, Neto, Primo, Tio, Tia m, c Mãe(c) = m Mulher(m) UmDosPais(m, c) m, h Esposo(h, m) Homem(h) Casado(h, m) x Homem(x) Mulher(x) p, f UmDosPais(p, f) = m UmDosFilhos(f, p) x Homem(x) Mulher(x) a, n Avô(a, n) p Pai(a, p) Pai(p, n) x, y UmDosIrmãos(x, y) (x y) p UmDosPais(p, x) UmDosPais(p, y) 31

9 Axiomas As frases iniciais da base de conhecimentos são designadas por axiomas. Como é que sabemos se escrevemos axiomas suficientes para especificar o domínio? Uma das formas é identificar os predicados básicos, através dos quais os outros possam ser definidos. No caso do domínio familiar UmDosFilhos, Casado, Homem e Mulher são candidatos razoáveis a predicados básicos. Axiomas Importa também considerar o problema da convergência. Teremos axiomas a mais? Ex: Será que necessitamos de um axioma do tipo: x, y UmDosIrmãos(x, y) UmDosIrmãos(y, x) Neste caso, por exemplo não necessitamos, a partir de UmDosIrmãos(João, Ricardo) podemos inferir que: p UmDosPais (p, João) UmDosPais(p, Ricardo) A partir daí podemos inferir que: UmDosIrmãos(Ricardo, João) Axiomas independentes Um axioma independente é uma axioma que não pode ser derivado de todos os outros axiomas. Axiomas independentes A base de conhecimentos normalmente para além do conjunto mínimo de axiomas independentes, contém ainda usualmente axiomas redundantes, com o objectivo de aumentar a eficiência do processo de prova

10 O domínio dos conjuntos Constantes ConjuntoVazio Predicados Membro, SubConjunto, Conjunto Funções Intercessão, Reunião, Adiciona O domínio dos conjuntos Os únicos conjuntos que existem são os vazios e aqueles que se obtêm ao adicionar elementos a outros conjuntos c Conjunto(c) (c = ConjuntoVazio) ( x, c 2 Conjunto(c 2 ) c = Adiciona(x, c 2 )) O domínio dos conjuntos x, c Adiciona(x, c) = ConjuntoVazio x, c Membro(x, c) c = Adiciona(x, c) x, c Membro(x, c) ( y, c 2 c = Adiciona(y, c 2 ) (x=y c Membro(x, c 2 )) O domínio dos conjuntos c 1, c 2 SubConjunto(c 1, c 2 ) x Membro(x, c 1 ) Membro(x, c 2 ) c 1, c 2 (c 1 = c 2 ) (SubConjunto(c 1, c 2 ) SubConjunto(c 2, c 1 )) 39 40

11 O domínio dos conjuntos x, c 1, c 2 Membro(x, Intercessão(c 1, c 2 )) Membro(x, c 1 ) Membro(x, c 2 ) x, c 1, c 2 Membro(x, Reunião(c 1, c 2 )) Membro(x, c 1 ) Membro(x, c 2 ) Questionar a base de conhecimentos TELL(KB, ( m, c Mãe(c) = m Mulher(m) UmDosPais(m, c)) TELL(KB, (Mulher(Ana) UmDosPais(Ana, João) UmDosPais(João, Carla)) ASK(KB, Avô(Ana, Carla)) Questionar a base de conhecimentos Pode dizer-me as horas? Sim. Uma base de conhecimentos é mais cooperativa. Quando fazemos uma questão que é quantificada existencialmente, tal como : ASK(KB, x Filha(x, João)) Questionar a base de conhecimentos Dependendo da implementação do ASK, poderiamos, no caso do João ter mais filhas, receber uma mensagem com todas as suas filhas. Recebemos uma mensagem dizendo que a Carla é filha do João

12 Agente baseado numa base de conhecimentos Mundo WUMPUS function AgenteKB(percepção) returns acção static : KB, uma base de conhecimentos t, um contador inicialmente a zero, que indica o tempo TELL(KB, CriaFraseAPartirPercepcao(percepção, t)) acção ASK(KB, CriaPerguntaAccao(t)) TELL(KB, CriaFraseAPartirAcção(Acção, t)) t t + 1 return acção Percepções : Percepção([Ruído, Brisa, Brilho, nada, nada], 5) Acções : Virar(Direita), Virar(Esquerda), IrFrente, Disparar, Apanhar, Largar, Subir Para determinar a melhor acção, fazemos uma pergunta do tipo : ASK(KB, a Acção(a, 5)) Agente de Reflexos r, b, c, g, t Percepção([r, b, Brilho, c, g], t) Acção(Apanhar, t) Agente de Reflexos r, b, c, g, t Percepção([r, b, Brilho, c, g], t) OuroPresente(t) b, o, c, g, t Percepção([Ruído, b, o, c, g], t) Barulho(t) r, o, c, g, t Percepção([r, Brisa, o, c, g], t) Vento(t) 47 48

13 Agente de Reflexos t OuroPresente(t) Acção(Apanhar, t) Modelo Interno Qualquer sistema que toma decisões com base nas suas percepções anteriores pode ser alterado de forma a usar um conjunto de frases sobre o estado do mundo actual, desde que essas frases sejam alteradas à medida que cada nova percepção é recebida e à medida que cada acção é tomada Cálculo situacional O cálculo situacional é o nome dado a uma forma particular de descrever na lógica de 1ª ordem a mudança. Concebe o mundo como sendo constituído por uma sequência de situações. As situações são geradas a partir de situações anteriores por via de acções. 51 Cálculo situacional Para lidarmos com a mudança em cada relação ou propriedade que muda ao longo do tempo é adicionado um argumento que especifica a situação. Por convenção o argumento que especifica a situação é sempre o último e as situações são representadas por S i. 52

14 Cálculo situacional Ex: Em vez de termos EstaEm(Agente, Posição), passamos a ter EstaEm(Agente, Posição, S i ). Poderemos assim ter frase do tipo : EstaEm(Agente, [1, 1], S 0 ) EstaEm(Agente, [1, 2], S 1 ) Cálculo situacional A função Resultado(Acção, Situação) é utilizada para identificar a situação resultante da aplicação de uma dada acção numa dada situação (original) Frente Virar(Direita) S 0 S 1 S 1 S 2 Resultado(Frente, S 0 ) = S 1 Resultado(Virar(Direita), S 1 ) = S 2

15 Cálculo situacional As acções são especificadas através dos seus efeitos. Isto é, especificamos as propriedades das situações que resultam da tomada de uma acção. Axiomas de efeito Transportável(Ouro) s OuroPresente(s) EstaPresente(Ouro, s) x, s EstaPresente(x, s) Transportável(x) Carregar(x, Resultado(Apanhar, s)) x, s Carregar(x, Resultado(Largar, s)) Axiomas de janela temporal (frame) x, s, a Carregar(x, s) a Largar Carregar(x, Resultado(a, s)) x, s, a Carregar(x, s) (a Apanhar (EstaPresente(x, s) Transportável(x))) Carregar(x, Resultado(a, s)) Descrição completa de como o mundo evolui em resposta às acções do agente = Axiomas de efeito + Axiomas de janela temporal (frame) 59

16 Axiomas de sucessor do estado <X é Verdadeiro> (<Uma acção que torna X verdade> (<X já era verdade <Não houve uma acção que tornou X falso>) Axiomas de sucessor do estado x, s, a Carregar(x, Resultado(a,s)) [(a = Apanhar EstaPresente(x, s) Transportável(x)) (Carregar(x, s) a Largar)] Axiomas de sucessor do estado São necessários para cada predicado que pode mudar ao longo do tempo. Deve listar todas as formas em que o predicado se pode tornar verdadeiro e todas as formas em que se pode tornar falso. Mundo do WUMPUS No mundo do WUMPUS a localização actual do agente é talvez uma das coisas mais importantes com que nos devemos preocupar. A localização não pode ser percebida directamente, mas o agente necessita de se lembrar onde esteve e o que viu

17 Mundo do WUMPUS Isso permite-lhe deduzir onde está o WUMPUS e onde estão os poços de forma a ter a certeza que faz uma exploração completa. Localização no mundo do WUMPUS Posição do agente : EstaEm(Agente, [1, 1], S 0 ) Orientação do agente (ângulo (em graus) em relação ao eixo x) : Orientação(Agente, S 0 ) = Localização no mundo do WUMPUS Posição do agente se este for em frente: x, y PosicaoFrente ([x, y], 0) = [x+1, y] x, y PosicaoFrente ([x, y], 90) = [x, y+1] x, y PosicaoFrente ([x, y], 180) = [x-1, y] x, y PosicaoFrente ([x, y], 270) = [x, y-1] a, p, s EstaEm (a, p, s) PosicaoFrenteAgente (p, s) = PosicaoFrente (p, Orientação(a, s) Localização no mundo do WUMPUS Adjacência: Paredes : p 1, p 2 Adjacente(p 1, p 2 ) a p 1 = PosicaoFrente(p 2, a) x, y Parede([x, y]) (x = 0 x = 5 y = 0 y = 5) 67 68

18 Axioma de sucessor do estado da localização x, p, a, s EstaEm(x, p, Resultado(a, s)) [(a = IrFrente p = PosicaoFrenteAgente(x, s) Parede(p)) (EstaEm(x, p, s) (a IrFrente Parede(PosicaoFrenteAgente(x, s)))] Axioma de sucessor do estado da orientação x, o, a, s Orientação(x, Resultado(a, s)) = o [(a = Rodar(Direita) o = Mod(Orientação(x, s))-90, 360)) (a = Rodar(Esquerda) o = Mod(Orientação(x, s))+90, 360)) (a Rodar(Esquerda) a Rodar(Direita) Orientação(x, s) = o)] Dedução das propriedades escondidas do mundo p, s EstaEm(Agente, p, s) Barulho(s) Barulhenta(p) p, s EstaEm(Agente, p, s) Vento(s) Ventoso(p) 71 Dedução das propriedades escondidas do mundo Depois de descobrir os locai barulhentos e ventosos (e, muito importante, os locais não barulhentos e não ventosos) o agente pode deduzir a localização do WUMPUS e dos poços. Pode ainda deduzir quais as localizações que são seguras e utilizar essa informação para recolher o ouro. 72

19 Regras de sincronismo Os axiomas que capturam a informação necessária para essas deduções são chamados regras de sincronismo. Existem dois tipos de regras de sincronismo: Causais; Diagnóstico. Regras causais p 1, p 2, s EstaEm(WUMPUS, p 1, s) Adjacente(p 1, p 2 ) Barulhenta(p 2 ) p 1, p 2, s EstaEm(poço, p 1, s) Adjacente(p 1, p 2 ) Ventoso(p 2 ) Os sistemas que raciocinam com base em regras causais são chamados sistemas de raciocínio baseados em modelos Regras de diagnóstico Inferem a presença de propriedades escondidas directamente da informação contida nas percepções. p, s EstaEm(Agente, p, s) Barulho(s) Barulhenta(p) p, s EstaEm(Agente, p, s) Vento(s) Ventoso(p) Regras de diagnóstico Para deduzir a presença de WUMPUS uma regra de diagnóstico pode apenas tirar conclusões fracas. p 1, s Barulhenta(p 1 ) ( p 2 EstaEm(WUMPUS, p 2, s) (p 1 = p 2 Adjacente(p 1, p 2 ))) 75 76

20 Regras de diagnóstico Embora pareça que as regras de diagnóstico disponibilizam a informação desejada mais directamente, é muito difícil de assegurar que a partir da informação disponível se derivem as conclusões mais fortes disponíveis. p 1, p 2, s EstaEm(Agente, p 1, s) Barulho(s) Vento(s) Adjacente(p 1, p 2 ) Segura(p 2 ) Sistemas de raciocínio baseados em modelos Mas mesmo quando existe vento ou barulho uma dada cave pode ser segura p, s ( EstaEm(WUMPUS, p, s) Poço(p)) Seguro(p) Regras Regra geral é boa ideia explorar as caves indo para quadrados seguros, mas não quando existe uma percepção de brilho. Neste caso deveríamos parar de explorar e apanhar o ouro. Assim as nossas regras de exploração deveriam mencionar o brilho. Regras Ao faze-lo as nossas regras deixavam de ser modulares. Uma regra não é modular se alterações nas crenças do agente acerca de certos aspectos do mundo requerem alterações nas regras relacionadas com outros aspectos

21 Regras modulares É mais modular separar os factos acerca das acções dos factos acerca dos objectivos. Desta forma o agente pode ser reprogramado, simplesmente dizendo-lhe para atingir outro objectivo. Objectivos Os objectivos descrevem o quão desejável é um dado estado independentemente de como estes são obtidos. Escala das acções para o mundo do WUMPUS: Óptima Boa Média Arriscada Escala das acções a, s Óptima(a, s) Acção(a, s) a, s Boa(a, s) ( b Óptima(b, s)) Acção(a, s) a, s Media(a, s) ( b Boa(b, s) Óptimo(b, s)) Acção(a, s) a, s Arriscada(a, s) ( b Media(b, s) Boa(b, s) Óptimo(b, s)) Acção(a, s) Objectivos Depois de apanhar o ouro é desejável que o agente deduza que o seu objectivo passa a ser ir para a localização [1,1]. s Carregar(Ouro, s) ObjectivoIrPara([1,1], s) 83 84

22 Objectivos A presença de um objectivo explicito permite ao nosso agente definir uma sequência de acções que lhe permitem atingir o objectivo. Existem várias maneiras de determinar essa sequência : Inferência; Procura; Planeamento. Engenharia do conhecimento O processo de criação de uma base de conhecimentos é designado por Engenharia do Conhecimento. Um engenheiro do conhecimento é alguém que investiga um domínio em particular, determina quais os conceitos importantes nesse domínio e cria uma representação formal dos objectos e relações do domínio Aquisição do conhecimento Levada a cabo antes e/ou durante a criação da representação formal. Entrevistas a peritos. Base de conhecimentos Deve ser clara e correcta. As relações importantes devem ser definidas e os detalhes irrelevantes retirados. Por vezes podemos fazer simplificações sacrificando alguma precisão de forma a ganhar clareza e legibilidade (trade-off)

23 Engenheiro do conhecimento Deve perceber o suficiente do domínio em questão para representar os objectos importantes e as suas relações. Deve perceber o suficiente da linguagem de representação de modo a codificar os factos de forma correcta. Deve perceber o suficiente sobre a forma em como o motor de inferência está implementado, de forma a que as questões sejam respondidas num tempo razoável. Metodologia para desenvolver uma base de conhecimentos Decidir sobre o que falar; Decidir sobre o vocabulário de predicados, funções e constantes; Codificar o conhecimento geral acerca do domínio (axiomas); Codificar uma descrição de uma instância especifica do problema. Obter respostas, questionando a base de conhecimentos, através do motor de inferência