PROPRIEDADES ELÉCTRICAS

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1 PROPRIDADS LÉCTRICAS 1 1. Ligação química e propriedades eléctricas 1.1. Condutores e isolantes 1.. Semicondutores intrínsecos 1.3. Semicondutores extrínsecos tipo n e p. Teorias da Condução.1. Modelo clássico de Drude e Lorentz.. Modelo quântico de Sommerfeld.3. Teoria das Bandas de Bloch-Brillouin 3. Densidade e mobilidade de portadores de carga 3.1. m metais (dependência da temperatura e impurezas) 3.. m semicondutores intrínsecos (dependência da temperatura) 3.3. m semicondutores extrínsecos (dependência da temperatura) 4. xemplos e Aplicações 4.1. Potencial de extracção e emissão termiónica 4.. Contacto metal-metal 4.3. Junção P-N

2 INTRODUÇÃO Condução - Movimento orientado de cargas eléctricas por acção de um campo eléctrico. Cargas eléctricas: electrões ou iões 1 1 Condutividade = σ = Resistividade ρ unidades de σ: Simmens/m (S/m ou 1/Ω m) σ = ne µ densidade de portadores de carga (portadores por unidade de volume) mobilidade dos portadores de carga Há portadores positivos e negativos σ = µ + µ ne e e np p p Condutor Semicondutor Isolante σ > 10 S/m 10 S/m > σ > 10 4 S/m σ < 10 4 S/m OBJCTIVOS Definir n e µ studar a variação de n e µ com a temperatura feito de impurezas nos condutores Fenómenos primários nos dispositivos electrónicos emissão termiónica junção metal-metal junção semicondutor p-semicondutor n (junção p-n)

3 1. Ligação química e propriedades eléctricas 1.1. Condutores e isolantes 3 Bandas de Bloch em Condutores Metais condutores N átomos, 9N Orbitais Cristalinas 9 OA np ns (n-1)d electrões condutores (que têm acesso a níveis vazios) N átomos Todos os electrões sentem o campo aplicado Um electrão só é condutor se puder adquirir mais energia. Só os electrões com acesso a níveis próximos vazios podem ser acelerados (adquirir energia cinética).

4 1.. Semicondutores Intrínsecos 4 Bandas de Bloch em Semicondutores Intrínsecos strutura cristalina dos semicondutores intrínsecos volução da energia da banda proibida BANDA D CONDUÇÃO BANDA PROIBIDA BANDA D VALÊNCIA

5 Semicondutores intrínsecos Grupo III + Grupo V 5 x: Arsenieto de gálio, AsGa Ga [Ar] 3d 10 4s 4p 1 [Ar] 3d 10 4sp 3 1 4sp 3 1 4sp 3 1 4sp 3 0 As [Ar] 3d 10 4s 4p 3 [Ar] 3d 10 4sp 3 4sp 3 1 4sp 3 1 4sp 3 1 4N Ga + 4N As Orbitais Cristalinas 4sp 3 Ga As 4sp 3 N Ga +N As electrões em 4N O.C. 8N = 3N(Ga) + 5N (As)

6 1.3. Semicondutores xtrínsecos 6 Semicondutores xtrínsecos tipo n Bandas de Bloch e Níveis de Impureza Níveis de energia para 1 átomo de arsénio rodeado por 4 de silício i(as) = 9.81 ev 4p 4OM σ* sp3 i(si) = 8.15 ev 3p 4s 4OM σ sp3 3s As As (sp 3 ) As(Si 4 ) Si (sp 3 ) Si Número total de átomos N x átomos de arsénio NÍVL D IMPURZA i(as) = 9.81 ev 4p BC 4N σ* sp3 4x i(si) = 8.15 ev 3p 4s BV 4N σ sp3 4x 3s As As (sp 3 ) As(Si 4 ) Si (sp 3 ) Si nº de electrões = 4(N-x) + 5x nº de níveis ligantes = 4N sobram x electrões no nível de impureza para 4x orbitais antiligantes localizadas id (AsSi) = ev (comparar com k B T = k B 98 = 0.06 ev)

7 Semicondutores xtrínsecos tipo p Bandas de Bloch e Níveis de Impureza 7 Níveis de energia para 1 átomo de gálio rodeado por 4 de silício i(ga) = 6.0 ev 4p 4OM σ* sp3 i(si) = 8.15 ev 3p 4s 4OM σ sp3 3s Ga Ga (sp 3 ) Ga(Si 4 ) Si (sp 3 ) Si Número total de átomos N x átomos de gálio NÍVL D IMPURZA i(ga) = 6.0 ev 4p 4OM σ* sp3 BC 4N σ* sp3 i(si) = 8.15 ev 3p 4s 4OM σ sp3 4x 3s BV 4N σ sp3 Ga Ga (sp 3 ) (N-x)Si + xga Si (sp 3 ) Si nº de electrões = 4(N-x) + 3x nº de níveis ligantes = 4N ficam x lacunas no nível de impureza ia (GaSi) = ev

8 . Teorias de condução em metais.1. Modelo clássico de Drude e Lorentz (1900).. Modelo quântico de Sommerfeld (198).3. Modelo das Zonas de Bloch-Brillouin 8.1. Modelo de Drude e Lorentz (1900) 1897 Thompson descobre o electrão 1860 Maxwell & Boltzmann Teoria cinética dos gases (clássica) Ideia base de Drude: spaço disponível para o electrão num metal. x: R(Na + ) = nm R(Na) = nm 15% do espaço ocupado 1) Os electrões deslocam-se num metal como as moléculas num gás. ) Chocam com os átomos da rede e com outros electrões. 3) Quando sujeitos a um campo eléctrico são acelerados na direcção do campo.

9 9 nergia do electrão 0 Partículas de um gás livre percurso médio interior do condutor choques elásticos Teoria Cinética dos gases Distribuição de velocidades (energias) de Maxwell-Boltzmann. Probabilidade, p, que uma partícula tenha uma velocidade v 3 m p= 4π v e π kt mv kt p T 1 Velocidade média <v> e energia cinética média, ε kt 3 v =, ε = kt m B v T >T 1 Frequência de colisão, ν, tempo médio entre colisões, τ, e livre percurso médio, λ. Condutividade σ = ne µ Número de portadores negativos n é o número de electrões de valência por unidade de volume. Mobilidade na presença de um campo eléctrico µ é possível determinar.

10 Mobilidade 10 Na ausência de campo aplicado os electrões deslocam-se aleatoriamente com velocidade média <v a > me va = kbt, para T = 98K va 10 cm/s Na ausência de campo eléctrico a velocidade média segundo X é zero mas os electrões estão em movimento aleatório. Aplicado um campo eléctrico,, os electrões são acelerados pelo campo, mas a velocidade não pode ser sempre crescente. Se os portadores fossem livres, eram acelerados pelo campo. Logo σ aumentava com t (tempo de aplicação do campo) drift velocity, v d, velocidade média na direcção do campo Na presença de campo aplicado a componente da velocidade sofre um ligeiro aumento segundo o campo (lacunas) ou contra o campo (electrões), que atinge, no seu máximo, uma velocidade média v d (velocidade de drift ). O tempo médio entre choques é τ ; e, se considerar a velocidade segundo X proporcional ao tempo, o livre percurso médio segundo X será λ = <v> τ A aceleração, g, dos electtões provém de uma força aplicada dv F = m = mγ = e dt

11 11 Densidade de corrente, J q carga que passa na área A durante o tempo t q = n v t Ae I = q = n v Ae t J = I = n v e A A (area) v v t Condutividade, σ, e mobilidade electrónica, µ Lei de Ohm: a densidade de corrente J = σ, e a condutividade σ = neµ v λ e λ = γτ= γ = v mv ne λ J = ne v = mv J σ = = ne λ mv σ = neµ µ = d d d eλ mv d d Modelo clássico virtudes e defeitos Prevê a lei de Ohm Quando T aumenta a velocidade média dos electrões aumenta (Maxwell-Boltzmann) Mas...não prevê a variação linear de ρ com a temperatura nos condutores nem a variação com T 5 para muito baixas temperaturas. Prevê ρ T Não explica os semicondutores nem portadores de carga positivos Não explica os supercondutores: λ

12 .. Modelo quântico de Sommerfeld (198) 1 lectrões quantificados (partículas) sem potencial aplicado numa caixa 3D. Níveis quantificados ( electrões por nível) T = 0 K o Nível de Fermi n F = N/ a nergia de Fermi para um condutor linear de comprimento L F h nf = m L T > 0 K Os electrões têm que se distribuir por níveis discretos de energia e não pode haver mais do que por nível. m vez de Maxwell- Boltzmann a distribuição de electrões por níveis obedece a uma estatística de Fermi-Dirac Distribuição de portadores de carga por níveis de energia (estatística Fermi-Dirac) Numa banda de Bloch constituída por orbitais cristalinas a separação entre níveis é muito inferior à energia de agitação térmica (k B T ) à temperatura ambiente. Separação entre níveis x: Separação de níveis num cubo de Cu de 1 mm de aresta d = 8.96 g/cm 3, M.A.(Cu) = g/mol logo, (8.96/63.55) N A = átomos/cm 3 = átomos/mm 3 Se 4β = 4 ev a separação de níveis é ev nergia de agitação térmica à temperatura ambiente Constante de Boltzmann = k B = J K -1 a 98 K, k B T = J = 0.06 ev (1 ev = J)

13 13 Distribuição de electrões (Fermiões) Fermi-Dirac A energia distribui-se pelos electrões de forma semelhante ao que acontece para a energia cinética das partículas de um gás (Maxwell- Boltzmann). Com diferenças: a. As energias estão quantificadas b. Não pode haver mais do que dois electrões por nível x.: No diagrama seguinte mostram-se 8 das 4 configurações possíveis para 0 electrões com uma energia total de 106 ev. IMPORTANT: As lacunas (ausência de electrões) são portadores positivos. m Drude e Lorentz não existiam. Os portadores positivos movem-se devido ao movimento dos electrões mas a mobilidade destes abaixo do nível de Fermi é menor (congestionamento de níveis). Logo, a mobilidade dos portadores positivos é menor. A probabilidade, P(), de que um nível de energia esteja ocupado à temperatura T Função de distribuição de Fermi-Dirac: P ( ) = 1 1+ e k T B F nergia de Fermi (nível de Fermi): 1 P= ( F) =

14 A função de distribuição de Fermi-Dirac a 150, 300 e 600 K. 14 Distribuição de electrões num Condutor 0 K >0 K F 0 K >0 K P() O casamento de Drude com Sommerfeld Drude teve que introduzir os choques com a rede para evitar que os electrões fossem indefinidamente acelerados (a corrente aumentasse com o tempo) Sommerfeld supõe o potencial constante no interior do metal (o que não é verdade) este potencial interage com os electrões. Para dar conta deste fenómeno introduz o conceito de massa efectiva

15 O conceito de massa efectiva (m*) Os electrões na zona de F comportam-se como electrões livres. Mas interagem com o campo periódico proveniente da rede cristalina. Isto acelera-os ou retarda-os. 15 V átomos da rede (catiões) Potencial de Sommerfeld Potencial real sentido pelos electrões ste efeito pode ser tido em conta mudando a massa do electrão m 0. Usam-se diferentes massas efectivas conforme o objectivo do cálculo: densidade de estados ou mobilidade electrónica. Tabela: Massa efectiva de portadores em Ge, Si e GaAs. Ge Si GaAs Band gap 300 K g (ev) m* el (dens estados) m*e / m m* p (dens estados) m*p / m m* el (cond) m*e / m m* p (cond) m*p / m

16 Velocidade dos electrões no nível de Fermi movimento aleatório com velocidades da ordem de 10 8 cm/s. 16 Velocidade de Fermi: 1 F = mevf, vf = m e F nergia de Fermi, e Velocidades de Fermi nergia de Fermi Velocidade de Fermi lemento ev x 10 6 m/s Li Na K Rb Cs Cu Ag Au Be Mg Ca Sr Ba Nb Fe Mn Zn Cd Hg Al Ga In Tl Sn Pb Bi Sb

17 Densidade de Portadores Os níveis de energia não estão uniformemente distribuídos. Há energias para as quais há mais níveis por ev do que outras. 17 Calcula-se a distribuição para partículas na caixa 3D. g ( ) = 4 π ( m e ) 3 h 3 A densidade de electrões dn em d será dn = g( ) P( ) d integrando em para 0 K, será: n 3 8 π ( m ) e 3 = 3 F h 3 A temperaturas superiores o número de portadores n num condutor é praticamente independente de T (aumenta <1%/100 K). Quantos portadores temos e qual a sua energia. 1 P() 0 Cte. x Ε Portadores Fermi - Dirac g() O número de portadores por unidade de volume, calculado por este método é quase idêntico ao que se obtém pela contabilização dos electrões de valência (viva Drude!).

18 Modelo de Sommerfeld virtudes e defeitos Virtudes não lhe faltam. A maioria dos conceitos podem ser usados no modelo mais elaborado de Bloch-Brillouin Porém, não prevê nada do que está relacionado com orbitais e interacção entre orbitais. Não prevê a existência de semicondutores e não prevê variações de densidades de estados dentro duma banda resultantes da estrutura electrónica dos átomos Modelo quântico de Bloch-Brillouin 1) Modelo quântico de fosso de potencial (como o de Sommerfeld). ) O fosso de potencial não é constante, tem em conta o potencial periódico criado pelos iões. 3) As repulsões inter-electrónicas são desprezadas. Como são retardados os electrões (massa efectiva, m*) em Bloch- Brillouin. m vez de choques com átomos interacções com vibrações de rede (fonões).

19 19 Como aparecem as bandas permitidas e proibidas em Bloch- Brillouin (interpretação de Bragg). INTRFRÊNCIA CONSTRUTIVA Reflecte na rede V Potencial de Sommerfeld átomos da rede (catiões) Potencial de Bloch-Brillouin INTRFRÊNCIA DSTRUTIVA Reflecte na rede V Nem todas as frequências (energias) são permitidas. Há bandas de níveis permitidos e bandas proibidas (interferência destrutiva). Bloch-Brillouin explica os semicondutores intrínsecos. Junto à banda proibida a densidade de estados diminui (a interferência começa a ser parcialmente destrutiva).

20 nergia de Fermi Dependência da temperatura Condutor 0 0 K >0 K F 0 K >0 K P() Semicondutor intrínseco (note-se que 0 K é uma temperatura teórica) 0 K >0 K 0 K 0 K F >0 K P() Condução por lacunas e electrões num semiconductor intrínseco

21 Semicondutor extrínseco tipo n 1 0 K >0 K >> 0 K F 0 K >> 0 K P()

22 3. Densidade e mobilidade de portadores de carga 3.1. Densidade e mobilidade de portadores de carga MTAIS Mobilidade dos Portadores A mobilidade das lacunas é inferior à dos electrões. A mobilidade dos portadores é: ρ T para T Θ D ρ T 5 para T Θ D (Θ D temperatura crítica de Debye) Dependência da Temperatura Comportamento metálico: ρ T para T Θ D (temperatura crítica de Debye) A variação de ρ resulta apenas da redução da mobilidade dos portadores causada pelas vibrações da rede (fonões). ρ (Ω m) ρ T ρ T 5 T (K) Θ D ρ (Ω m x10 6 ) Fe Pt Al Cu T (ºC)

23 feito de impurezas 3 Regra de Mattheison ρ = ρ + ρ 0 T ρ0 - resistividade residual (independente de T) ρ - resistividade térmica T ρ 0 resulta das impurezas. Relaciona-se com a concentração de impurezas pela Regra de Nordheim ( ) ρ = Ax 1 x, se x 1, ρ Ax 0 0 ρ 0 Ax + ρ T ρ (Ω m x10 8 ) ρ T 1.5 Ligas Cu:X a T = 98 K X = Si X = P X = Al X = Ag Cu puro % peso

24 3.. Densidade e mobilidade de portadores de carga SMICONDUTORS INTRÍNSCOS 4 Densidade de Portadores Densidade de estados 8π 3 g ( ) ( ) C = m, 3 e C h 8π 3 g ( ) ( ) V = m, 3 h V h Densidade de portadores n ( ) = g ( ) P ( ) C p ( ) = g( ) P ( ) V C V ( ) up n= g ( ) P( ) d N C C C 3 3 F C π ekb NC kbt h m T exp, = V p= g ( ) P( ) d N V low ( ) V 3 3 V F π hkb NV kbt h m T exp, = C F V

25 Localização do nível de Fermi (aproximadamente a meio da banda proibida) F C V F n= p NCexp = NV exp kbt kbt F + kt m = + ln m C V h e m m h e F C + V 5 Mobilidade dos Portadores µ = at, µ = bt e 3 3 h Dependência da Temperatura σ = neµ, n = p σ = σ + σ = neµ + peµ n p n p 3 G 3 G σ = σ0t exp T = σ0exp kt B kt B G 1 lnσ = lnσ0 k T B σ (S/m) log σ T (K) 1/T (K) T

26 3.3. Densidade e mobilidade de portadores de carga SMICONDUTORS XTRÍNSCOS 6 Densidade de Portadores 1) 0 K não há portadores ) ZONA XTRÍNSCA ou D IMPURZA - Temperaturas baixas kt B id ou kt B ia id = exp kt B 34 n nt 0 Nd ia = exp kt B 34 p p0t Na Onde N d,a é a concentração de impurezas. 3) ZONA D SATURAÇÃO A impureza ionizou mas kt B g 4) ZONA INTRÍNSCA TIPO n g n= NC exp kt B log n log p Zona intrínseca p Zona de saturação - g /k B T n Zona de extrínseca 34 id n= nt 0 Nd exp kt B 1/T (1/K) T (K)

27 7 Mobilidade dos Portadores Componente Intrínseca Vibrações térmicas atrasam o movimento dos portadores. µ = µ T np, 0 3 Componente devida às Impurezas Ratoeiras para electrões (poços de potencial) V Si Si Si As + As + nível que doou o electrão V Ga - nível que aceitou o electrão Ga - Si Si Si Ratoeiras para lacunas (poços de potencial) Quando T aumenta os portadores escapam-se das ratoeiras µ µ + = i T 0i 3 ρ = ρ + ρ imp intr = + σ σ σ imp intr = + µ µ µ imp imp intr µ µ µ = µ T µ imp intr intr T log µ regime impurezas +3/ regime intrínseco -3/ T (K)

28 Dependência da Temperatura 8 log σ Zona intrínseca Zona de saturação Zona de extrínseca 1/T (1/K) T (K) Alguns endereços Internet Introdução aos semicondutores: Introdução aos semicondutores com uma explicação invulgarmente clara do funcionamento de alguns devices.

29 4. xemplos e Aplicações Potencial de extracção e emissão termiónica Potencial de extracção, φ: nergia para retirar um electrão a um metal Num metal o nível de Fermi coincide com o último nível ocupado a 0K. φ = 0 - F electrões que se libertam 0 K >0 K x: φ (Ni) = 4.61 ev φ (W) = 4.5 ev 0 φ 0 K F >0 K P() missão Termiónica lectrões que se libertam (Richardson-Dushman) 1 g ( ) P ( ) d = cte d F 1+ exp kbt Integrada tendo em conta que = mv / (recordar Drude) F F e para F 1+ exp exp kt B kt B φ J = A0T exp kt B x: válvula díodo - + _

30 4.. Contacto metal-metal 30 Dois metais A e B com diferentes energias de Fermi quando em contacto criam uma diferença de potencial, φ. os electrões nivelam as F metal A metal B A B φ A > φ B + _ FA FB as energias das bandas mudam devido à mudança das repulsões electrónicas

31 4.3. Junção p-n 31 Dois semicondutores, um tipo n e outro tipo p 0 K >0 K >> 0 K 0 K >0 K >> 0 K F F Quando postos em contacto há uma redistribuição de cargas: 1º os electrões do semicondutor n vão ocupar as lacunas do p º a carga criada junto à interface repele os restantes electrões da banda de condução do semicondutor tipo p e as lacunas do tipo n m consequência, é criada uma zona sem portadores, portanto isolante, que não permite a passagem de electrões de p para n, potencial reverso. Pelo contrário, quando injectados electrões em n estes passam facilmente para p n p n p _ _ _ _ + +

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