v ( )m/s errado: viola regra B v ( )m/s errado: viola regra A Regras básicas

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1 Regras básicas 1) Os alunos devem chegar ao laboratório com cópia impressa do relatório, já tendo lido o guia e o relatório e percebido o objectivo e o conceito da medição. No início da aula terá lugar uma breve demonstração da parte mais prática da experiência (utilização da aparelhagem e do material). ) Caso seja patente que os alunos não prepararam o trabalho de acordo com os requisitos, o docente decidirá se os alunos poderão ou não realizar as tarefas. 3) A falta de indicação da unidade de medida numa quantidade física mencionada no relatório será considerada como erro grave na avaliação. 4) O nível de clareza, ordem e síntese na apresentação de resultados, comentários e conclusões será também um critério usado na avaliação. 5) Quando no relatório for pedida a apresentação dum resultado com erro experimental (a incerteza), é importante que a representação numérica do valor central e do erro seja consistente. O resultado final deve ser escrito na forma ( [valor central] ± [erro] ) [factor exponencial] [unidade], aplicando as seguintes três regras: A) Calcula-se o erro primeiro. O erro deve ser indicado com um ou no máximo dois algarismos significativos ( 1 ). De facto, mais algarismos significariam que temos grande confiança na precisão com quem o erro foi determinado, enquanto o erro é sempre uma estima aproximada e indicativa da nossa incerteza no valor numérico do resultado da medição. B) A seguir calcula-se o valor central, que deve ser escrito mantendo o mesmo número de algarismos decimais (não mais, nem menos) que o erro. C) Valor central e erro devem ter em comum o mesmo factor exponencial (quando existir), escrito fora de parênteses. Exemplos: v ( )m/s OK v (11 3)m/s OK v ( ) 10 m/s OK v (11.3 3)m/s errado: viola regra B v ( )m/s errado: viola regra A v m/s 3 m/s muito errado 3 v 11.3 m/s m/s muito errado. Estes últimos dois exemplos violam as três regras. O resultado é de difícil leitura. Em particular, não se percebe imediatamente quanto é grande o erro em relação ao valor central (ou seja qual é a precisão relativa da medição). 1 Mecânica e Ondas Cordas Vibrantes (º semestre 013/14) 1

2 Mecânica e Ondas Trabalho de Laboratório Ondas estacionárias em cordas vibrantes Objectivo Estudo das ondas estacionárias numa corda vibrante. Variação da frequência com a tensão e o comprimento da corda. Determinação da densidade linear da corda. 1. Introdução Figura 1: Montagem associada ao trabalho de cordas vibrantes Este trabalho utiliza uma montagem que permite ajustar a tensão e o tipo de excitação a que se sujeitam cordas metálicas do género das utilizadas em guitarras. As cordas são montadas num banco onde a tensão é controlada através do correcto posicionamento de um peso numa das extremidades da corda (na figura 1 pode-se ver esse peso no canto inferior direito). A corda pode ser submetida a vários tipos de força excitadora (ex: toque com um objecto, força magnética). A vibração da corda é detectada com um sensor magnético constituído por uma pequena bobine posicionada noutro ponto do banco da montagem. Como a corda se encontra fixa nas duas extremidades, as ondas que se podem Mecânica e Ondas Cordas Vibrantes (º semestre 013/14)

3 observar designam-se por ondas estacionárias e permanecem enquanto durar a força excitadora. A montagem utilizada pode ser esquematizada como na figura. Figura : Esquema da montagem de suporte e excitação da corda vibrante. A vibração que ocorre na corda pode ser esquematizada como na figura 3. Figura 3: Um dos modos de vibração na corda com as extremidades fixas. No momento inicial a corda tem o comprimento dado pelo afastamento entre as duas extremidades de suporte. Para sabermos qual é a função matemática que descreve a vibração temos de elaborar o modelo matemático do sistema. Consideremos o que acontece a um pequeno segmento de uma corda elástica perfeitamente uniforme com uma determinada massa por unidade de comprimento, que não ofereça resistência a movimentos de flexão, submetida a uma tensão T muito superior à força de gravidade. Mecânica e Ondas Cordas Vibrantes (º semestre 013/14) 3

4 Figura 4: Pequeno segmento da corda sujeito a duas tensões. Se as amplitudes de oscilação forem pequenas então, com o auxílio da figura 4, podemos escrever as seguintes equações de equilíbrio: T cos T cos T, (1) 1 y F F1 Tsin T1sin F ma x. () t T T Como T e T1 então a equação () pode escrever-se da forma cos cos sin sin y T T x. (3) cos cos t Atendendo a que a tangente de se pode obter do declive do segmento da corda no ponto x, tan y, e que a tangente de se pode obter do declive do segmento da corda no x x ponto x+ x, tan y, a expressão (3) toma a forma x x x 1 x x x x x x T t y y y. (4) No limite x 0, i.e. quando o segmento for infinitesimal, temos que o lado esquerdo da equação (4) é a ª derivada de y em ordem a x, e portanto Mecânica e Ondas Cordas Vibrantes (º semestre 013/14) 4

5 y y. (5) x T t Facilmente se verifica que tem dimensões do inverso do quadrado de uma velocidade T v. A equação (5) tem então a forma final com y x 1 y v t, (5a) T v. (5b) A equação 5a tem a designação de equação de onda plana uma vez que as suas soluções são funções de onda do tipo t x y( xt, ) ym sin ym sin t kx, (6) onde k é o número de onda, é a velocidade angular, é o comprimento de onda, τ o período e y M a amplitude da oscilação. Se utilizar a identidade (6) na equação (5) verificamos que v. (7) k A equação (5) diz-nos que a perturbação que se observa na corda propaga-se ao longo da corda com a velocidade v. Na situação em que a corda está fixa nas duas extremidades, a perturbação é reflectida nas duas extremidades. Num determinado ponto da corda, num determinado instante, teremos que somar as duas perturbações que aí se encontram vindas de sentidos opostos. Se considerarmos que não houve atenuação da amplitude da perturbação, temos y(x,t) y 1 y y M sin t kx y M sin t kx. (8) Como sin A sinb sin A B cos B A então a equação (8) pode escrever-se da forma yxt (, ) y sin kxcos t. (9) M A equação (9) designa-se por onda estacionária e tem duas características interessantes: 1. Num determinado instante de tempo t 0 (imagine-se uma fotografia instantânea da corda) a corda apresenta a forma de uma sinusóide descrita por Mecânica e Ondas Cordas Vibrantes (º semestre 013/14) 5

6 y t sin kx ( x) ym cos. (10) t0 0 constante. Se observarmos uma determinada posição da corda x 0, verificamos que a posição vertical da corda nessa posição varia ao longo do tempo de acordo com a equação y kx cos t ( t) ym sin. (11) x0 0 constante Se fizermos um filme das oscilações da corda e sobrepusermos todas as imagens obtemos uma figura com o aspecto, por exemplo, da figura 3. A equação (10) diz-nos que nas posições que verificam a expressão kxn n, n 0,1,, 3,... temos amplitudes de oscilação nulas, ou seja x n n. Se a distância entre os dois pontos de fixação da corda for L então temos que tem de verificar a equação L n. (1) A equação (1) indica-nos que existem n modos de oscilação da corda compatíveis com a distância L entre os pontos de fixação das extremidades da corda. A partir das equações (7) e (1) verificamos que n v vn n v L n fn n L L (13) e se atendermos à (5a) obtemos que as possíveis frequências de oscilação são f n n T L. (14) Verifica-se assim que dependendo da tensão T aplicada à corda, da sua massa por unidade de comprimento, do seu comprimentos em repouso L, poderão ser observados modos de vibração de acordo com a expressão (14) para valores de n = 1,, 3, 4 Estes modos de vibração podem ser excitados externamente e correspondem a situações em que a amplitude de oscilação é máxima. As frequências f n designam-se por frequências de ressonância. O modo de frequência mais baixo designa-se por modo fundamental de ressonância. Mecânica e Ondas Cordas Vibrantes (º semestre 013/14) 6

7 . Trabalho experimental Equipamento 1 base: inclui uma escala graduada, um aparelho de força constituído por um braço e um parafuso de ajuste da tensão na corda suportes 1 corda de guitarra bobinas: - DRIVER, que permite induzir oscilações de várias frequências na corda e excitar os seus diferentes modos de vibração - DETECTOR, que permite analisar frequência e amplitude dos modos de vibração da corda 1 massa de valor conhecido 1 gerador de sinais 1 osciloscópio Figura 5: Montagem experimental.1 Estudo da variação da frequência de ressonância fundamental com a tensão da corda e determinação da sua densidade linear 1) Verifique o esquema de ligações e monte a experiência como indicado na Fig. 5. ) A corda está instalada sobre a base da experiencia, presa de um dos lados ao cilindro cuja posição é controlada pelo parafuso e do outro ao braço onde suspenderá a massa. A corda fica apoiada em dois suportes sobre a escala graduada. Coloque inicialmente os suportes espaçados de 60 cm. 3) Coloque as bobinas sobre o suporte. Posicione a bobine DETECTOR no ponto médio da corda entre os apoios e a bobine DRIVER a uns centímetros (por exemplo 5 cm) de um dos suportes (longe do detector, para evitar Mecânica e Ondas Cordas Vibrantes (º semestre 013/14) 7

8 interferência). O DRIVER e o DETECTOR estão ligados respectivamente aos canais 1 e do osciloscópio. Figura 6: Tensão na corda em função da posição da massa. g é a constante de aceleração gravítica (ver Apêndice). Figura 7: Imagens do gerador e do osciloscópio utilizados no trabalho. O osciloscópio mostra uma figura de Lissajou com forma de elipse, o que significa que os dois sinais eléctricos sinusoidais (canal 1: eixo horizontal; canal : eixo vertical) têm a mesma frequência. 4) Ligue o gerador de sinais e o osciloscópio. Seleccione o gerador de sinais para ondas sinusoidais com uma frequência próxima aos 150 Hz (amplitude ~10V p-p ) e ajuste a escala do osciloscópio para aproximadamente 0.V/divisão (canal 1) e 5 mv/divisão (canal ) (valores indicativos). Coloque o osciloscópio em modo X-Y (consulte a breve nota introdutória ao funcionamento do osciloscópio). O sinal no Mecânica e Ondas Cordas Vibrantes (º semestre 013/14) 8

9 eixo horizontal representa amplitude e frequência da força aplicada pelo gerador sobre a corda, o sinal no eixo vertical representa amplitude e frequência de oscilação da corda (como medidas pelo detector no ponto em que está colocado). 5) Coloque a massa de maior valor na posição 5, onde efectua a maior tensão sobre a corda. 6) Ajuste o parafuso de forma a que o braço da base onde suspendeu a massa esteja horizontal. Repita este procedimento cada vez que mudar a posição da massa. 7) Tome nota da tensão da corda. 8) Coloque a corda em vibração dedilhando-a muito suavemente no ponto médio, junto ao detector. 9) Ajuste a frequência do gerador, aumentando-a ou diminuindo-a, até observar uma elipse no osciloscópio, ou seja, até quando a frequência da força produzida pelo gerador é igual (ressonância) à frequência própria de oscilação da corda. 10) Registe a frequência de ressonância f 1. 11) Repita os pontos 5-10 mais vezes mudando a posição de apoio da massa no aparelho de tensão, para um total de 10 medições de frequências de ressonância. 1) Por cada ponto experimental calcule um valor da densidade linear ρ da corda, usando a equação (14) com n = 1 (frequência fundamental): T /(4 f L ). O 1 valor central da medição final de ρ será a média dos valores obtidos. Da distribuição destes valores obtenha uma estima aproximada do erro da medição: ( )/. max min. Estudo da variação da frequência de ressonância fundamental com o comprimento da corda e segunda determinação da densidade linear O procedimento para esta parte do trabalho é idêntico ao anterior excepto que agora mantém-se uma corda com a tenção constante (a massa na mesma posição) e variamos a posição dos suportes da corda, ou seja, o comprimento L da corda. Utilize a mesma massa que utilizou na experiência anterior, sempre, por exemplo, na posição p = 1 (evitem usar as últimas posições porque as frequências de ressonância poderiam tornar-se, quando o comprimento da corda for reduzido, maiores da máxima frequência do gerador). Varie as posições dos suportes da corda para obter comprimentos da corda vibrante entre 40 e 60 cm, andando de em cm (10 medições). Coloque cada vez o detector no ponto médio da corda entre os apoios e o driver longe do detector e a mais ou menos 5 cm duma das extremidades fixas. Por cada ponto experimental calcule um valor da densidade linear ρ da corda. Também para esta segunda medição de ρ calcule valor central e erro experimental como média e metade da dispersão dos valores obtidos. Compare com o resultado obtido anteriormente e com os resultados dos outros grupos. As cordas usadas pelos diferentes grupos são todas semelhantes ou há com certeza umas cordas diferentes dos outras? Mecânica e Ondas Cordas Vibrantes (º semestre 013/14) 9

10 .3 Visualização das harmónicas de vibração de ordem superior a) Comece por obter novamente a frequência de vibração fundamental da corda numa das condições dos pontos anteriores e especifique essa condição no relatório. b) Aumente a frequência do gerador para o dobro. O que observa no osciloscópio quando o detector está colocado na posição de meio? Desloque o detector até uma posição a ¾ da distância entre os apoios. O que muda? No geral, o que acontece quando a posição do detector muda para outras posições? Porquê? O que está a observar? Lembre-se que o detector fornece um sinal cuja amplitude corresponde à amplitude de oscilação da corda no ponto em que está colocado. Por cada diferente posição do detector, ajuste muito ligeiramente a frequência do gerador para verificar que as suas conclusões não dependem da incerteza experimental na determinação da exacta frequência de ressonância. c) Aumente a frequência do gerador até o triplo da frequência fundamental e desloque o detector até a 5/6 da distância L e até outras distâncias. Repita as observações do ponto anterior. d) Observando o modo de vibração da corda para as situações a) fundamental, b) ª harmónica e c) 3ª harmónica esboce a forma da corda a vibrar (nodos e ventres) correspondentes a essas oscilações. Bibliografia An introduction to error analysis: the study of uncertainties in physical measurements, J. R. Taylor, Second Edition, University Science Books, Contribuição para o Desenvolvimento do Ensino da Física Experimental no IST, A. Ribeiro, P. Sebastião, F. Tomé, Departamento de Física do IST (1996). Tratamento e Apresentação de Dados Experimentais, M. R. da Silva, DF, IST, 003 Introdução à Física, J. Dias de Deus, M. Pimenta, A. Noronha, T. Peña, P. Brogueira, McGraw-Hill (199). Physics, For Scientists and Engenieers with Modern Physics, 5 ed. Raymond A. Serway, Robert J. Beichner, Saunders College Publishing, 000, ISBN: University Physics, H. Young, R. Freedman, 9th ed., Addison-Wesley, New York, The Art of Experimental Physics, D. Preston, E. Dietz, Jhon Wiley, New York, Mecânica e Ondas Cordas Vibrantes (º semestre 013/14) 10

11 Apêndice Figura 1: Aparelho de força para o ajuste da tensão da corda. O aparelho de força que permite ajustar a tensão do fio da figura 1 em equilíbrio estático verifica a seguinte equação de equilíbrio dos momentos das forças aplicadas: i Mgeˆ (1) i 0 1 r1 Te r em que T e é a tensão da corda, M é a massa e g a aceleração da gravidade. r 1 e r encontram-se indicados na figura numa situação geral em que o eixo dos x, paralelo ao braço do aparelho de força da montagem, não se encontra paralelo ao banco da montagem (horizonal). z Figura : Esquema da montagem com diagrama de forças aplicadas. Mecânica e Ondas Cordas Vibrantes (º semestre 013/14) 11

12 Em módulo podemos verificar que (1) se pode escrever da forma r 1 T e sin(90 1 ) Mgr sin(90 ) r 1 T e cos( 1 ) Mgr cos( ), () donde r cos( ) Te M g pm ' g r1 cos( 1), (3) em que se assume r pr 1, sendo p = 1,, 3, 4, 5 um factor multiplicativo correspondente à posição em que se coloca a massa no aparelho de força. Facilmente se verifica que se 1, 0 a tensão da corda é pmg. Em geral considerar que T e pmg é uma aproximação razoável. Por exemplo, se 0 e 1 10º, a aproximação T e pmg tem um erro sistemático de cerca 1.5%, o que, para uma massa real de cerca de M = 1kg, corresponde a uma massa efectiva M menor de cerca 15g. Mecânica e Ondas Cordas Vibrantes (º semestre 013/14) 1

13 Mecânica e Ondas Relatório (destaque para entregar no fim da aula ao docente) Cordas Vibrantes Nº Nome Curso Data Turno (dia/hora) Grupo 1. Objectivo deste trabalho: Mecânica e Ondas Cordas Vibrantes (º semestre 013/14) 13

14 . Estudo da variação da frequência fundamental da corda com a tensão e determinação da densidade linear Massa suspensa M = Comprimento corda L = Medição nº Posição p Tensão T [ ] Frequência f 1 [ ] Densidade ρ [ ] Descrição/notas: Média: ρ = ( ± ) Mecânica e Ondas Cordas Vibrantes (º semestre 013/14) 14

15 3. Estudo da variação da frequência fundamental da corda com o comprimento e segunda determinação da densidade linear Massa suspensa Posição massa Tensão M = p = T = Medição nº Comprimento L da corda Frequência f 1 [ ] Densidade ρ [ ] Descrição/notas: Média: ρ = ( ± ) Observações: Mecânica e Ondas Cordas Vibrantes (º semestre 013/14) 15

16 4. Comparar os resultados obtidos usando os dois métodos com os que foram obtidos pelos outros grupos Grupo (nome arbitrário) 1º método ρ [ ] º método ρ [ ] 1) ± ± ) ± ± 3) ± ± 4) ± ± 5) ± ± 6) ± ± 5. Conclusões Mecânica e Ondas Cordas Vibrantes (º semestre 013/14) 16

17 6. Exercício: visualização das harmónicas de vibração de ordem superior Para os três casos seguintes esboce no espaço livre da página a forma de onda correspondente à oscilação da corda entre os pontos de apoio, indicando nodos e ventres. A) Harmónica fundamental Frequência de vibração da corda: B) Segunda harmónica Frequência de vibração da corda: C) Terceira harmónica Frequência de vibração da corda: Mecânica e Ondas Cordas Vibrantes (º semestre 013/14) 17