Estabilidade Linear e Exponencial de Semigrupos C 0

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1 Estabilidade Linear e Exponencial de Semigrupos C e Aplicações Francis Félix Córdova Puma Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação do Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Matemática Pura. Orientador: Jaime E. Muñoz Rivera Rio de Janeiro julho de 21

2 Estabilidade Linear e Exponencial de Semigrupos C e Aplicações Francis Félix Córdova Puma Orientador: Jaime E. Muñoz Rivera Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-graduação do Instituto de Matemática, da Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Matemática Pura. Aprovada por: Presidente, Prof. Jaime E. Muñoz Rivera - IM/UFRJ Prof. Hugo Fernandez Sare - IM/UFRJ Prof. Marcelo Cavalcanti - UEM Prof. Mauro de Lima Santos - UFPA Prof. Wladimir Neves - IM/UFRJ Rio de Janeiro Julho de 21

3 Aos meus pais Viviana Puma e Felipe Córdova. Aos meus irmãos Antonio, Maykol e Henry.

4 Ficha Catalográfica Francis Félix Córdova Puma. Estabilidade Linear e Exponencial de Semigrupos C e Aplicações /Francis Félix Córdova Puma.- Rio de Janeiro: UFRJ/ IM, 21. Orientador: Jaime E. Muñoz Rivera Dissertação (mestrado) - UFRJ/ IM/ Programa de Pósgraduação do Instituto de Matemática, 21. Referências Bibliográficas: f Estabilidade Exponencial. 2. Semigrupo C. 3. Misturas viscoelástica e com dissipação friccional. Instituto de Matemática, Programa de Pós-graduação do Instituto de Matemática. III. Título.

5 Estabilidade Linear e Exponencial de Semigrupos C e Aplicações Francis Félix Córdova Puma Orientador: Jaime E. Muñoz Rivera Neste trabalho investigaremos o comportamento assintótico e analiticidade das soluções dos problemas de valor inicial e fronteira da teoria unidimensional para mistura de dois sólidos: viscoelástica e com dissipação friccional. Em cada caso, mostramos a existência e unicidade de soluções globais fortes. Nosso principal objetivo é apresentar as condições que asseguram a estabilidade exponencial, a analiticidade e a falta de analiticidade do semigrupo correspondente. A ferramenta utilizada é a teoria de semigrupos e operadores dissipativos em espaços de Hilbert. Especificamente o resultado de Pruss [23] sobre estabilidade exponencial de um semigrupo, o resultado de Renardy [25] sobre estabilidade linear e a caracterização de semigrupos analíticos desenvolvido por Liu e Zheng em seu livro [12]. palavras-chave: Estabilidade Exponencial; Estabilidade linear; Analiticidade; Semigrupo C ; Misturas viscoelástica e com dissipação friccional.

6 Linear and Exponential Stability of C -semigroups and Applications Francis Félix Córdova Puma Supervisor: Jaime E. Muñoz Rivera In this work we investigate the asymptotic behavior and analyticity of solutions to the initial boundary value problem for a one-dimensional theory of mixtures of viscoelastic and frictional solids. In each case, we show the existence and uniqueness of global strong solutions. Our main goal is to present conditions which insure the exponential stability, the analyticity and the lack of analyticity of the corresponding semigroup. The tool used is the theory of semigroups and dissipative operators in Hilbert spaces. Specifically the result of Pruss [23] on exponential stability of a semigroup, the result of Renardy [25] on linear stability and the characterization of analytical-semigroups developed by Liu and Zheng [12]. keywords: Exponential stability; Linear stability; Analyticity; C -semigroup; frictional and viscoelastic mixtures.

7 Conteúdo Introdução 2 1 Preliminares Espaços de Sobolev e Resultados Básicos Teoria de Semigrupos e algumas definições Semigrupos C gerados por operadores dissipativos Resultados sobre propriedades assintóticas de um semigrupo Mistura de Sólidos com dissipação Friccional Introdução Existência e Unicidade Estabilidade Linear Estabilidade Exponencial Análise Espectral do operador A Análise espectral - Estabilização exponencial Soluções Particulares Modelos de Mistura Viscosa Introdução vii

8 3.2 Existência e Unicidade Analiticidade Não Analiticidade Conclusões 79 Referências 83 viii

9 Notações C([, ); X) denota o espaço das funções contínuas de [, ) em X. C (Ω) denota o espaço das funções infinitamente diferenciáveis e de suporte compacto em Ω. ρ(a) = {λ C; (λi A) 1 L(X)} é o conjunto resolvente do operador A. σ(a) = C\ρ(A) é o espectro de A. R(λ; A) = (λi A) 1 é o operador resolvente. I ou I representam o operador identidade. e At denota o semigrupo C gerado pelo operador A. u t = u t. u x = u x. ρ j > representa a densidade de massa do material componente de uma mistura de sólidos. A denota, para uma matriz A, a propriedade de ser definida positiva. Q A (, ) denota a forma quadrática associada à matriz A. B denota, para uma matriz B, a propriedade de ser semidefinida positiva. 1

10 Introdução Seja X um espaço de Banach complexo munido da norma. X e seja A o gerador infinitesimal do semigrupo de classe C, e At, em X. Seja w (A) o tipo do semigrupo e w σ (A) a cota espectral. Um dos problemas mais importante dentro da teoria de estabilização de semigrupos é saber quando o sistema apresenta decaimento exponencial. Em caso afirmativo, o problema seguinte é obter uma taxa ótima de decaimento, um caminho para tal fim é obter uma descrição do espectro σ(e At ) de e At em termos do espectro σ(a) de A. Tal descrição tem como consequência o princípio de estabilidade linear para e At, isto é, w (A) = w σ (A). Tal igualdade também é chamada propriedade de crescimiento determinada pelo espectro (PCDE). Em geral, sabemos que a inclusão e σ(a)t σ(e At ) se verifica para todo gerador A (ver [22], [5]), mas tal inclusão pode ser estrita, ver por exemplo [5]. Este fato não permite relacionar diretamente os espectros do operador A e dos operadores e At para t. No entanto, existem várias classes de geradores A para os quais o espectro de e At pode ser descrito em termos de σ(a). Por exemplo, se A é limitado, então σ(e At ) = e σ(a)t. X é um espaço de Hilbert e A é um operador normal, isto é, A e seu operador adjunto comutam, então σ(e At ) = e σ(a)t. e At é contínuo em L(X) para todo t > t, então σ(e At )\{} = e σ(a)t. onde L(X) denota o espaço dos operadores lineares limitados em X munido com a norma usual. Em particular, o último item inclui os semigrupos de classe C, e At, tais que e At é compacto para todo t > t e os semigrupos diferenciáveis para todo t > t. Prüss [23] mostrou uma caracterização do espectro σ(e At ) para semigrupos (não necessariamente de contrações) em espaços de Hilbert. Desta caracterização surgiram várias consequências 2

11 importantes. Algumas destas consequências são: Caracterização da estabilidade exponencial de e At, ver teorema (1.4.5). Caracterização dos semigrupos que possuem a propriedade (PCDE) que, como consequência obtem-se que os semigrupos analíticos têm tal propriedade. Condições suficientes para que uma classe de semigrupos apresente a propriedade (PCDE). Esta última foi demonstrada por Renardy [25]. Como w (A) < é equivalente à estabilidade exponencial do semigrupo, a propriedade (PCDE) fornece um critério prático para verificar a estabilidade exponencial de um sistema de evolução dado. Pois neste caso é mais simples analisar o espectro do operador do que calcular o tipo do semigrupo w (A). Assim, obtemos diferentes aplicações para as equações diferenciais parciais. Este trabalho está baseado nos artigos rescentes de J. Pruss [23] e [24] onde se descrevem caracterizações da estabilidade exponecial e polinomial de semigrupos respectivamente. Finalmente usamos o artigo de Renardy [25] para obter os resultados de estabilidade linear, isto é as condições que deve satisfazer o gerador A para que o tipo do semigrupo e At seja igual à cota superior do espectro de A. Usaremos estes resultados para obter resultados de estabilização linear e exponencial para modelos de misturas de dois sólidos. Incluimos alguns resultados inéditos na estabilização exponencial de modelos de misturas com dissipação friccional e viscoelástica. O trabalho está dividido em 4 capítulos. No primeiro deles apresentamos os resultados clássicos de análise funcional e semigrupos que serão utilizados no trabalho. No capítulo 2 faremos uma análise detalhada do comportamento assintótico do modelo de mistura de sólidos com dissipação friccional, ressaltamos a relação entre o espectro do operador e o decaimento exponencial das soluções. No Capítulo 3 estudaremos a analiticidade do semigrupo associado ao modelo de mistura viscoelástica. No capítulo 4 estabeleceremos as conclusões dos resultados obtidos e observações relevantes à teoria de mistura de sólidos. 3

12 Capítulo 1 Preliminares Neste Capítulo daremos algumas definições e estabeleceremos alguns resultados e notações que utilizaremos no decorrer deste trabalho. Os detalhes podem ser encontrados nos livros ou artigos mencionados nas referências. 1.1 Espaços de Sobolev e Resultados Básicos Seja X um espaço vetorial normado. Definição (Sequência de Cauchy) Uma sequência {x n } n N no espaço normado X é chamada de Cauchy, quando a cada ɛ > corresponde um número natural N tal que x n x m X < ɛ para todo n, m > N. Definição (Espaços de Banach e Hilbert) O espaço X é dito de Banach se é completo, isto é, toda sequência de Cauchy em X é convergente em X. Além disso, X é dito espaço de Hilbert se é um espaço vetorial com produto interno (, ) e completo com respeito à norma = (, ) 1/2. Teorema (Teorema da Aplicação Aberta) Denotemos por E e F dois espaços de Banach e seja T um operador linear contínuo e sobrejetivo de E em F. Então existe uma constante c > tal que T (B E (, 1)) B F (, c) 4

13 onde B X (a, r) é a bola aberta em X de centro a e raio r, isto é, B X (a, r) = { y X ; y a < r } Demonstração. Ver [3]. Corolário Sejam E e F espaços de Banach e seja T um operador linear contínuo e bijetivo de E sobre F. Então T 1 é contínuo de F em E. Demonstração. Ver [3]. Definição (Operador Fechado) Sejam E e F espaços vetoriais normados e T : D(T ) E F um operador linear. Diremos que T é um operador fechado se seu gráfico G(T ) = { (x, y) ; x D(T ), y = T x } for um subconjunto fechado de E F. Teorema (Teorema do Gráfico Fechado) Sejam E e F espaços de Banach e T um operador linear de E em F. Suponha que o gráfico de T, G(T ), seja fechado em E F. Então T é contínuo. Demonstração. Ver [3]. Corolário Sejam E e F espaços de Banach, T : D(T ) E F, D(T ) fechado em E. Se T é contínuo, então T é fechado. Demonstração. Ver [3]. No que segue, seja Ω um aberto limitado de R n dotado da medida de Lebesgue. Suponhamos conhecidos os conceitos de função integrável, mensurável, conjunto de medida nula, etc.; ver, por exemplo, [26]. Denotamos por L 1 (Ω) o espaço das funções integráveis sobre Ω, e escrevemos f L 1 = f(x) dx como a norma L 1 (Ω) da função f. Teorema (Teorema da Convergência Monótona). Seja (f n ) uma sucessão crescente de funções L 1 (Ω) tal que sup n N Ω f n(x)dx <. Então f n (x) converge quase sempre em Ω para um limite finito denotado por f(x). Além disso f L 1 (Ω) e f n f L 1. 5 Ω

14 Demonstração. Ver [3]. Teorema (Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue) Seja (f n ) uma sucessão de funções L 1 (Ω). Suponha que (a) f n (x) f(x) quase sempre em Ω. (b) Existe uma função g L 1 (Ω) tal que, para cada n N, f n (x) g(x) quase sempre em Ω. Então f L 1 (Ω) e f n f L 1. Demonstração. Ver [3]. Definição Denotaremos como C c (Ω) o espaço das funções contínuas em Ω com suporte compacto, isto é, C c (Ω) = { f C(Ω) ; f(x) = x Ω\K onde K Ω é compacto }. Teorema (Teorema de Densidade) O espaço C c (Ω) é denso em L 1 (Ω), isto é, f L 1 (Ω) e ɛ >, f 1 C c (Ω) tal que f f 1 L 1 < ɛ. Demonstração. Ver [3]. Seja agora Ω um subconjunto aberto limitado do R n. Definimos, para 1 p <, o espaço L p (Ω) como o espaço das funções reais u, mensuráveis em Ω, tais que u p é integrável a Lebesgue em Ω. Em L p (Ω) definimos a norma u p L = u(x) p dx ; 1 p < p Ω com a qual L p (Ω) resulta ser um espaço de Banach. No caso p =, L p (Ω) representa o espaço de todas as funções essencialmente limitadas em Ω com a norma u L = supess u(x). x Ω Também neste caso L (Ω) é um espaço de Banach. Para os espaços L p (Ω) é possível mostrar também um resultado análogo ao Teorema (1.1.11). Quando p = 2, L 2 (Ω) é um espaço de Hilbert com produto interno (u, v) = Ω 6 u(x)v(x)dx

15 e norma induzida u 2 = Ω u(x) 2 dx. Além disso, seja α = (α 1, α 2,..., α n ) N n, x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, α = n i=1 α i e denotamos por D α o operador derivação de ordem α definido por D α = Quando α = (,..., ), definimos D α u = u. α x α 1 1 x α x α n n Com estas notações definimos o espaço W m,p (Ω) como o espaço de todas as funções reais u L p (Ω) tais que a derivada D α u L p (Ω) para todo α m. A derivada considerada no sentido das distribuições. Definimos, em W m,p (Ω), a norma u p m,p = α m Ω D α u(x) p dx com a qual W m,p (Ω) é um espaço de Banach. O espaço W m,p (Ω) é chamado espaço de Sobolev de ordem m. Além disso, definimos o espaço de Banach W m,p (Ω) como o fecho do espaço C em W m,p (Ω), isto é, W m,p (Ω) = C (Ω) W m,p (Ω). Quando p = 2, W m,2 (Ω) é denotado por H m (Ω) e este espaço é um espaço de Hilbert com produto interno definido por e norma dada por (u, v) m,2 = α m u 2 m,2 = α m Ω Ω D α u(x)d α v(x)dx D α u(x) 2 dx. No caso particular em que m = 1, tem-se o espaço H 1 (Ω) definido por H 1 (Ω) := { u L 2 (Ω) ; u x i L 2 (Ω) ; i = 1, 2,...n } e também é possível identificar via teorema do traço, os espaços Ver [3]. H 1 (Ω) := { u H 1 (Ω) ; u = em Ω }. Além disso, em H 1 (Ω) temos o seguinte produto interno: ((u, v)) = u(x)v(x)dx + u(x) v(x)dx Ω 7 Ω

16 e a norma induzida u 2 = u(x) 2 dx + u(x) 2 dx. Ω Ω Num espaço de Banach X, para todo T >, podemos definir também o espaço L p (, T ; X), com 1 p <, formado por todas as funções vetoriais u : [, T ] X mensuráveis e tais que u(t) p X é integrável em (, T ). Em Lp (, T ; X), definimos a norma T u p L p (,T ;X) = u p X dt. A norma em L (, T ; X) é definida por u L (,T ;X) = sup ess u(x) X. <t<t Desta forma, L p (, T ; X) para 1 p é um espaço de Banach. Citaremos agora alguns resultados dos espaços L 2 (Ω) e dos espaços de Sobolev que serão usados neste trabalho. Teorema (Desigualdade de Hölder) Sejam f L p (Ω) e g L q (Ω) com p e q satisfazendo 1 p, q e 1 p + 1 q = 1. Então fg L1 (Ω) e f(x)g(x) dx f L p g L q Ω Demonstração. Ver [3]. Seja H um espaço normado com norma. A aplicação denotada por a(, ) : H H C é chamada (i) Sesquilinear se, para todo α 1, α 2, β 1, β 2 C e para todo u, v, w H, se verifica a(α 1 u + α 2 v, w) = α 1 a(u, w) + α 2 a(v, w) e a(u, β 1 v + β 2 w) = β 1 a(u, v) + β 2 a(u, w). (ii) Contínua se existe uma constante c tal que a(u, v) c u v, para todo u, v H. (iii) Positiva se existe uma constante α > tal que a(v, v) α v 2, para todo v H. 8

17 Observação Se a(, ) : H H R, então o conceito de sesquilinearidade é equivalente a bilinearidade. Além disso, dizemos que a aplicação denotada por ϕ( ) : H C é Antilinear, se ϕ(αu) = αϕ(u), para todo α C e para todo u H. Lema (Lema de Lax-Milgran) Seja a(, ) uma forma sesquilinear, contínua e positiva. Então, para toda aplicação antilinear ϕ : H C, existe uma única u H tal que a(u, v) = ϕ, v, v H Demonstração. Ver [27]. Lema (Desigualdade de Poincaré) Seja Ω um aberto limitado de R n. Então existe uma constante positiva c p que depende univocamente de Ω e n tal que onde c p é a constante de Poincaré. u L p (Ω) c p u L p (Ω), u W 1,p (Ω) Demonstração. Ver [3]. 1.2 Teoria de Semigrupos e algumas definições De modo geral, um sistema dinâmico é uma família {T (t)} t de mapeamentos sobre um conjunto X satisfazendo T (t + s) = T (t)t (s) t, s, T () = I. Aqui X é o conjunto de todos os estados de um sistema, t R + representa o tempo e T (t) representa o mapeamento que descreve a mudança de um estado x X para o estado T (t)x no tempo t. No contexto linear o espaço X é um espaço vetorial e cada T (t) é um 9

18 operador linear em X, logo {T (t)} t é chamado um semigrupo de operadores. A situação normal em que tais semigrupos de operadores aparecem naturalmente são os chamados problemas de Cauchy abstrato (ACP) du (t) dt = Au(t) t >, u() = x, onde A é um operador linear em um espaço de Banach X. Em algumas situações concretas particulares a relação entre T (t) e A é dada pelas fórmulas T (t) = e At A = dt (t) dt. t= Em geral, tal relação parece estar fora de alcance. No entanto, um simples pressuposto de continuidade no semigrupo (veja definição 1.2.1) produz que T (t) se comporte como uma exponencial do operador A em espaços de Banach. Logo, uma teoria rica com um vasto campo e quase universal de aplicações. É o objetivo desta secção resumir esta teoria e apresentar algumas definições relevantes para este trabalho. Definição Uma família parametrizada T (t) ( t < ) de operadores lineares limitados num espaço de Banach X, é chamado semigrupo fortemente contínuo se (i) T () = I, (I é o operador identidade em X), (ii) T (s + t) = T (s)t (t) para todo t, s (propriedade de semigrupos), (iii) Para cada x X, T (t)x é contínua em t sobre [, ). Definição O operador linear A definido como em que Ax = T (t)x x lim t + t D(A) = { x X : = d+ T (t)x dt para todo x D(A), t= T (t)x x lim t + t existe } é o domínio de A, é o gerador infinitesimal do semigrupo T (t). Chamaremos de semigrupo de classe C ou simplesmente semigrupo C a um semigrupo fortemente contínuo. Algumas vezes denotaremos T (t) por e At. 1

19 Definição Um semigrupo de operadores lineares limitados, T (t), é dito uniformemente contínuo se lim T (t) I =. t + Teorema Um operador linear A é o gerador infinitesimal de um semigrupo uniformemente contínuo se, e somente se, A é um operador linear limitado. Demonstração. Ver [22]. Teorema Sejam T (t) e S(t) semigrupos fortemente contínuos de operadores lineares limitados. Suponha que T (t) I lim t + t = A = lim t + S(t) I t então T (t) = S(t) para todo t. Demonstração. Ver [22]. Teorema Sejam T (t) um semigrupo de classe C e A seu gerador infinitesimal. Então se verificam: (a) Para todo x X, temos que 1 lim h + h t+h t T (s)xds = T (t)x. (b) Para todo x X, t T (s)xds D(A) e ( t ) A T (s)xds = T (t)x x. (c) Para todo x D(A), T (t)x D(A) e d T (t)x = AT (t)x = T (t)ax. dt Em particular, a função u = T (t)x satisfaz d dt u = Au. Demonstração. Ver [22]. 11

20 Observação Sejam T (t) um Semigrupo C em um espaço de Banach X e A seu gerador. Os teoremas (1.2.5) e (1.2.6) implicam que a aplicação u := T (t)x é a única solução para o problema de Cauchy abstrato du = Au dt u() = x. (1.1) Com regularidade u C([, ); X), x X (1.2) u C([, ); D(A)) C 1 ([, ); X), x D(A). (1.3) Definição Um semigrupo T (t), t <, de operadores lineares limitados em X é dito semigrupo de contrações se T (t) 1 para todo t. Definição Dizemos que um semigrupo C, T (t), é exponencialmente estável se existe uma constante positiva µ e M 1 tal que T (t) Me µt, t. (1.4) Figura 1.1: Região de Analiticidade Definição Dizemos que T (t) é analítico se admite uma extensão T (λ) para λ θ, onde θ = {λ C; arg(λ) < θ} para algum θ > tal que λ T (λ) é analítica e (a) lim λ T (λ)z z =, z X, λ θ, (b) T (λ + µ) = T (λ) T (µ), para todo λ, µ θ, ou equivalentemente (ver Pazy [22]), existe uma constante K > tal que A T (t) Kt 1, t >. 12

21 Dado o operador A gerador de algum semigrupo C em um espaço de Hilbert X, para recuperar o semigrupo T (t) := e At, é necessário introduzir outro objeto, λ (λi A) 1 L(X), (1.5) definiremos a seguir o domínio para que esta aplicação tenha sentido. Definição (Resolvente e Espectro) Seja A um operador linear em X não necessariamente limitado. Definimos o conjunto resolvente de A, denotado por ρ(a), como o conjunto de todos os números complexos λ para os quais λi A é um operador inversível, isto é, (λi A) 1 é um operador linear e limitado em X. Além disso, definimos o Espectro de A, denotado por σ(a), como o complemento do resolvente de A, isto é, σ(a) = C\ρ(A). É importante ressaltar que o espectro de A é formado por três subconjuntos disjuntos: o Espectro Pontual σ p (A), o Espectro Contínuo σ c (A) e o Espectro Residual σ r (A). Estes subconjuntos são definidos da seguinte forma: λ σ p (A) se λi A não é injetivo; λ σ c (A) se λi A é injetivo, λi A não é sobrejetivo mas a imagem de λi A é densa em X e, finalmente, λ σ r (A) se λi A é injetivo e sua imagem não é densa em X. Destas três definições segue que σ p (A), σ c (A) e σ r (A) são disjuntos e sua união é exatamente σ(a). Denotemos como R(λ; A) = (λi A) 1 o operador resolvente de A ou simplesmente o resolvente de A. Observação No caso de dimensão finita temos que σ c (A) = σ r (A) = pois, se λi A é injetivo, então λi A é sobrejetivo. Observação No caso de A ser um operador não limitado com resolvente compacto, isto é, (λ I A) 1 é um operador compacto para algum λ, então σ c (A) = σ r (A) =, logo σ(a) está composto só por autovalores de A (isto é, σ(a) = σ p (A)). Lema O conjunto resolvente ρ(a) é aberto. A função R(λ; A) é analítica em ρ(a). Demonstração. Ver [4]. 13

22 Teorema Seja T (t) um semigrupo de classe C. Então existem constantes ω e M 1 tais que T (t) Me ωt para todo t <. Demonstração. Ver [22]. Definição Seja e At um semigrupo de classe C gerado por A. Dizemos que ω (A) é o tipo do semigrupo gerado por A se ω (A) = lim t t 1 ln e At = inf t> t 1 ln e At. Observação É importante notar que ω = ω (A) é o ínfimo das constantes que satisfazem a desigualdade do teorema (1.2.15), porém, proporciona informação do tipo de crescimento que possui o semigrupo gerado pelo operador A. Se < ω (A) <, então o semigrupo e At é exponencialmente estável com uma taxa de decaimento ótima determinada por ω (A). De fato, aplicando a definição (1.2.16) para < ɛ < ω (A), obtemos ω (A) + ɛ > ln eat t e (ω (A)+ɛ)t e At, t > N ɛ, logo, usando a continuidade do operador e At sobre o intervalo compacto [, N ɛ ], concluímos que existe uma constante M ɛ > tal que e At M ɛ e (ω (A)+ɛ)t, t escolhendo µ = ω (A) + ɛ <, da definição 1.2.9, obtemos a estabilidade exponencial do semigrupo e At. Definição Seja X espaço de Hilbert e seja A um operador linear em X. Definimos, e denotamos por ω σ, a cota superior do espectro de A, isto é, ω σ (A) = sup { Re(λ) : λ σ(a) }. Definição Seja T (t) um semigrupo de classe C gerado pelo operador A. Então dizemos que T (t) satisfaz o princípio de estabilidade linear, se ω (A) = ω σ (A). 14

23 Definição Um operador linear A definido em um espaço de Hilbert X, é dito dissipativo se, para todo x D(A), Re(Ax, x), (1.6) onde (.,.) denota o produto interno de X. Uma caracterização útil dos operadores dissipativos é a seguinte: Teorema Um operador linear A é dissipativo se, e somente se, (λi A)x λ x x D(A) e λ >. Demonstração. Ver [22]. Sejam X um espaço de Hilbert com norma induzida. X e T(t) o semigrupo C gerado por um operador dissipativo A. Definimos para u D(A) (dado inicial) a função u(t) := T (t)u, solução do problema (1.1). Então procedendo formalmente temos que E(t) := 1 2 u(t) 2 X, de dt = 1 d 2 dt (u, u) X = Re( du dt, u) X = Re(Au, u) X. Onde a funcional E(t) é chamada a energia do sistema e como A é dissipativo, da equação acima concluímos que de dt, então, a energia E(.) diminui em função do tempo t. No contexto físico, a maioria dos fenômenos são dissipativos, ou seja, a energia do sistema associado diminui com o tempo devido à ação de forças externas, tais como a resistência do meio em que eles ocorrem. É importante entender que a escolha do espaço (X,. X ) é fundamental para determinar um sistema dissipativo. 15

24 Figura 1.2: Operador-Semigrupo-Resolvente 1.3 Semigrupos C gerados por operadores dissipativos Tendo um gerador A de um semigrupo T (t), a observação (1.2.5) nos garante a existência de uma única solução para o problema (1.1) dada por u(t) = T (t)x. Este fato nos diz que é fundamental conhecer as condições necessárias e suficientes para que um dado operador A, definido em um espaço de Hilbert X, seja gerador infinitesimal de algum semigrupo T (t) tal que u = T (t)x seja a solução de (1.1). Neste sentido apresentamos os importantes teoremas de Hille-Yosida e Lummer-Phillips. Teorema (Hille-Yosida) Um operador linear (não limitado) A é o gerador infinitesimal de um semigrupo de contrações T (t), t se, e somente se, (i) A é um operador fechado e D(A) = X. (ii) O conjunto resolvente ρ(a) de A contém R + e, para todo λ >, R(λ; A) 1 λ. Demonstração. Ver [22]. 16

25 Corolário Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C, T (t), de contrações. Então o conjunto resolvente de A contém o semiplano positivo, isto é, C + := { λ : Reλ > } ρ(a). Além disso, para todo Reλ >, temos que Demonstração. Ver [22]. (λi A) 1 1 Reλ. Teorema Um operador linear A é o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C, T (t), satisfazendo T (t) Me ωt se, e somente se, (i) A é fechado e D(A) = X. (ii) O conjunto resolvente ρ(a) de A contém o semiplano Reλ > ω e Demonstração. Ver [22]. R(λ; A) n M, Reλ > ω, n = 1, 2,... (Reλ ω) n Teorema (Lumer-Phillips) Seja A um operador linear com domínio denso D(A) em X. (i) Se A é dissipativo e existe um λ > tal que a imagem de λ I A é todo o espaço X, isto é, R(λ I A) = X, então A é o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C de contrações em X. (ii) Se A é gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C de contrações em X, então R(λI A) = X para todo λ > e A é dissipativo. Demonstração. Ver [22]. Como consequência do teorema Lumer-Phillips, temos que um operador não limitado A, gerador infinitesimal de um semigrupo C, é dissipativo se, e somente se, o semigrupo e At é de contrações. Além disso, como corolário do teorema acima, o seguinte resultado será frequentemente usado neste trabalho para mostrar a existência e unicidade de soluções, em particular para sistemas associados a mistura de sólidos. 17

26 Corolário Seja A um operador linear (não limitado) densamente definido em X espaço de Hilbert. Se A é dissipativo e ρ(a), resolvente de A, então A é o gerador infinitesimal de um semigrupo de contrações T (t), t em X. Demonstração. Ver [22]. Definição Diremos que um semigrupo T (t) de operadores em um espaço X é um grupo em X se as aplicações t T ( t) e t T (t) formam uma família de semigrupos para t. Definição Seja X um espaço de Hilbert de produto interno (.,.) e norma.. Um operador A é dito simétrico se D(A) = X e A A, isto é, (Ax, y) = (x, Ay) x, y D(A). A é auto-adjunto se A = A. Um operador limitado é unitário se U = U 1. Teorema (Stone) O operador A é o gerador infinitesimal de um grupo de operadores unitários sobre um espaço de Hilbert X se, e somente se, ia é auto-adjunto. Demonstração. Ver [22]. Lema Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo C, T (t) := e ta, atuando num espaço de Hilbert X e seja B um operador linear e contínuo de X. Então, A + B é o gerador infinitesimal do semigrupo T (t)e tb. Demonstração. Ver [22]. 1.4 Resultados sobre propriedades assintóticas de um semigrupo Nesta seção apresentamos alguns resultados que são fundamentais para o estudo da estabilidade de sistemas dissipativos, em particular dos sistemas de mistura de sólidos. Consideramos uma equação de evolução linear no espaço de Hilbert H: Suponha que du dt = Au u() = u. 18 (1.7)

27 (H 1 ) A gera um semigrupo C, T (t) := e At, sobre H. (H 2 ) ir σ(a) = φ. A solução para (1.7) é u(t) = T (t)u. Definição Dizemos que a solução de (1.7) é fortemente estável se para todos os u H. lim u(t) H = (1.8) t Definição Dizemos que a solução de (1.7) é exponencialmente estável se o semigrupo T (t) for um semigrupo exponencialmente estável (veja definição 1.2.9). Existem muitos sistemas que são fortemente estáveis, mas não de forma exponencial. Nesse caso, outros tipos de decaimento foram introduzidas. Definição Dizemos que a solução de (1.7) decai a uma taxa de f(t), se f(t) é uma função positiva com tal que para todos os u D(A). lim f(t) = t u(t) H f(t) u D(A), t >, (1.9) Observação A norma sobre o lado direito de (1.9) não pode ser a norma de H. Caso contrário, por propriedades de semigrupo, (1.9) implica (1.4). De fato, por hipótese temos que lim T (t) L(H) = = t R + ; T (t ) L(H) < 1. t Denotemos por α a constante definida como α = T (t ) L(H) < 1. Pelo algoritmo da divisão, todo número t pode ser escrito na forma t = mt + r 19

28 onde m N e r t. Como T (t) é um operador contínuo, encontramos que existe M >, tal que T (t) L(H) M, t [, t ]. Seja t R +, usando as propriedades de semigrupos, obtemos T (t) L(H) = T (t ) m S(r) L(H). De onde temos T (t) L(H) Mα m. Lembrando a definição de m, encontramos T (t) L(H) M 1 α γt, onde M 1 = Mα r t e γ = 1 t. Lembremos também que α γ = e γln(α) = e β, β > pois α < 1, assim, T (t) L(H) M 1 e βt. Isto é, T (t) é exponencialmente estável. O semigrupo T (t) é fortemente estável se (H 2 ) é verdadeira (ver [6]). T (t) é exponencialmente estável se, e somente se, (H 2 ) e sup{ (iβi A) 1 L(H) ; β R} <, estão satisfeitos. Além disso, a T (t) é analítica se (iβi A) 1 L(H) = O( 1 β ). Os resultados acima são importantes para o estudo assintótico das soluções do problema (1.7) e serão aplicados no estudo da estabilidade de sistemas relacionados a mistura de sólidos, (2.1)-(2.4) e (3.1)-(3.4), porém, são dados os seguintes teoremas: Teorema Seja e At um semigrupo de classe C de contrações num espaço de Hilbert. Então e At é exponencialmente estável se, e somente se, (i) ir ρ(a). são verdadeiras. (ii) lim sup (iβi A) 1 L(H) <. β + 2

29 Demonstração. Ver [12] e [23]. É conhecido que a igualdade σ(e At ) = e σ(a)t implica a estabilidade linear do semigrupo e At, isto é, ω (A) = ω σ (A). Em geral, sabemos que a inclusão e σ(a)t σ(e At ) se verifica para todo gerador A (ver [22], [5]), mas tal inclusão pode ser estrita, ver por exemplo [5]. Este fato não permite relacionar diretamente os espectros do operador A e dos operadores e At para t. No entanto, existem várias classes de geradores A para os quais o espectro de e At pode ser descrito em termos de σ(a). Por exemplo, se (i) A é limitado, então σ(e At ) = e σ(a)t. (ii) X é um espaço de Hilbert e A é um operador normal, isto é, A e seu operador adjunto comutam, então σ(e At ) = e σ(a)t. (iii) e At é contínuo em L(X) para todo t > t, então σ(e At )\{} = e σ(a)t. O próximo resultado nos dá uma condição necessária e suficiente para determinar quando a taxa de crescimento do semigrupo (ω ) é determinada pela cota superior do espectro (ω σ ). Corolário Seja H espaço de Hilbert e seja e At um semigrupo de classe C em H gerado por A. Então e At satisfaz o princípio de estabilidade linear se, e somente se, ɛ > : M ɛ 1 tal que (λi A) 1 L(H) M ɛ Re(λ) ω σ (A) + ɛ Demonstração. Ver [23]. Como consequência dos resultados acima, Renardy [25] estabeleceu condições suficientes para que o semigrupo, T (t), gerado pela perturbação de um operador normal, A, satisfaça o princípio de estabilidade linear. Este resultado será aplicado no estudo do sistema de mistura de sólidos (veja teorema 2.3.2), porém enunciamos a seguir o resultado de Renardy. Teorema Sejam H um espaço de Hilbert e A := A + B gerador infinitesimal de um semigrupo C em H. Supomos que A é um operador normal e B é limitado. Se existem M > e n N satisfazendo as seguintes propriedades: 21

30 (a) Se λ σ(a ) e λ > M 1, então λ é um autovalor isolado com multiplicidade finita. (b) Se z > M, então o número de autovalores de A no disco D(z, 1), com suas multiplicidades, não excede n. Então e At satisfaz o princípio de estabilidade linear, isto é, ω (A) = ω σ (A). Demonstração. Ver [25]. Figura 1.3: Teorema de Renardy Observação Os corolários (1.4.6) e (1.4.7), nos dizem que basta determinar a cota superior do espectro para encontrar a melhor taxa de decaimento. Quando esta propriedade é válida, diz-se também que o semigrupo possui a propriedade do crescimento determinada pelo espectro (PCDE). Para mostrarmos analiticidade usamos o seguinte resultado: Teorema Seja T (t) = e At um semigrupo C de contrações gerado por um operador A num espaço de Hilbert H. Suponha que ρ(a) {iβ; β R} ir. (1.1) 22

31 Então T(t) é analítico se, e somente se, Demonstração. Ver [12]. lim sup β(iβi A) 1 L(H) <, β R. (1.11) β + Observação Se T (t) é um semigrupo analítico com gerador infinitesimal A e ρ(a), então T (t) é exponencialmente estável, ou seja, existem C, µ > tais que T (t) Ce µt, t. Além disso, o semigrupo apresenta a propriedade de crescimento determinada pelo espectro (PCDE). De fato, sendo ρ(a) um conjunto aberto e ρ(a), existe µ > tal que µ ρ(a) e pelo lema (1.3.9), A + µi é gerador infinitesimal de um semigrupo S(t) uniformemente limitado, isto é, S(t) C, t [, ). Também, pelo lema (1.3.9), temos S(t) = T (t)e µt. Logo, T (t) = S(t)e µt, isto é, T (t) Ce µt, t. Para sistemas fortemente estáveis que não são exponencialmente estavéis, existem vários métodos para obter a f(t), que determine a taxa de decaimento polinomial, por exemplo, temos o Método da Energia combinada com a técnica de multiplicadores, proporcionando taxa de decaimento polinomial 1. O método das Bases de Riesz foi utilizado em [13], t que dá a taxa de decaimento polinomial baseada na relação assintótica da parte real e imaginária dos autovalores. Outro método é usando a desigualdade de Ingham que pode ser encontrada em [1]. A seguir consideramos o resultado de decaimento polinomial devido a Zhuangyi Liu e Bopeng Rao, que proporciona uma taxa f(t) = ( ln t t ) k l representa a regularidade do dado inicial. ln t, onde k N 23

32 Teorema Suponhamos que as hipóteses (H 1 ) e (H 2 ) são verdadeiras e que sup β 1 1 β l (iβi A) 1 L(H) M, para algum l >. (1.12) Então para cada k N existe uma constante C k > tal que para todo u D(A k ). e ta u H C k ( ln t t ) k l (ln t) u D(A k ), (1.13) Demonstração. Ver [11]. Pode-se observar nos teoremas (1.4.5), (1.4.9) e (1.4.11) que a taxa de crescimento do operador resolvente R(λ, A) = (λi A) 1 no eixo imaginário, ir, está relacionada com a taxa de decaimento da solução (1.7). Se sabemos que (1.7) é fortemente estável mas não exponencialmente estável, então a condição (ii) do teorema (1.4.5) deve falhar, ou seja, o operador resolvente é ilimitado no eixo imaginário. Então o teorema (1.4.11) nos dá uma condição respeito à ordem de ilimitação do operador resolvente para obter um decaimento do tipo polinomial. Para o caso de dimensão finita, isto é, X = R n, o estudo do comportamento assintótico das soluções do sistema (1.7), onde A é uma matriz quadrada n n, é basicamente o estudo dos autovalores de A, isto é, o estudo do espectro de A, devido a observação (1.2.12). De fato, se conhecemos os autovalores da matriz A, conhecemos o comportamento assintótico das soluções do sistema (1.7), o qual é analisado e dividido nos seguintes casos: Caso I.- Todos os autovalores de A possuem parte real negativa. Este caso importante é caracterizado pela seguinte propriedade: para toda u(t) solução de (1.7). u(t) Ce γt Caso II.- Todos os autovalores de A possuem parte real positiva. Neste caso teremos que lim u(t) = t para toda u(t) solução de (1.7). Caso III.- Todos os autovalores são imaginários puros. periódicas. Neste caso, as soluções são 24

33 Os autovalores de A são determinados resolvendo um polinômio de grau no máximo n. Portanto, o próximo resultado pode ser um critério para obter a desigualdade do Caso I. Teorema (Teorema de Hurwitz)As raizes do polinômio q(x) = a x n + a 1 x n a n 1 x + a n possuem parte real negativa se, e somente se, são satisfeitas as seguintes condições: a 1 a >, a 2 a >,..., a n a >. D 1 := a 1 >, D 2 := det a 1 a 3 a a 2 a 1 a 3 a 5 >, D 3 := det a a 2 a 4 a 1 a 3 a 1 a 3 a 5... a 2k 1 a a 2 a 4... a 2k 2 a D k := det 1 a 3... a 2k 3 >, onde a j = se j > n. a a 2... a 2k a k >,..., Demonstração. Ver [15]. Observação As determinantes, {D k } n k=1, são chamadas determinantes de Hurwitz. Se q(x) = L 4 x 4 + L 3 x 3 + L 2 x 2 + L 1 x + L, então as determinantes de Hurwitz correspondentes são: D 1 = L 3 D 2 = L 3 L 2 L 4 L 1 D 3 = L 1 (L 3 L 2 L 4 L 1 ) L L 2 3 D 4 = (L 1 (L 3 L 2 L 4 L 1 ) L L 2 3)L. 25

34 Capítulo 2 Mistura de Sólidos com dissipação Friccional 2.1 Introdução Os sistemas de mistura de sólidos é um assunto que tem recebido muita atenção nos últimos anos. Os primeiros trabalhos sobre este tema foram as contribuções de Truesdell e Toupin (196), Green e Naghdi (1965,1968) ou Bowen e Wiese (1969). Apresentações dessas teorias podem ser encontradas nos artigos de Atkin e Craine [2] ou Iesan D. [7]. Nos últimos anos, um crescente interesse tem sido dirigido para o estudo das propriedades qualitativas das soluções de este tipo de modelos. Em particular, podemos encontrar vários resultados sobre a existência, unicidade, depêndencia contínua e estabilidade assintótica, ver [8],[9],[2] ou [21]. Queremos enfatizar o estudo do comportamento das soluções para o caso de uma viga unidimensional composta por uma mistura de dois sólidos (elástica com atrito) e queremos saber quando podemos esperar estabilidade exponencial das soluções de esta classe de sistemas. No contexto mecânico o decaimento exponencial significa que depois de um certo período de tempo os deslocamentos mecânicos são muito pequenos e podem ser desprezados; em caso contrário os deslocamentos podem ser apreciados no sistema após algum tempo, porém, a natureza das soluções determina o comportamento temporal do sistema e é importante ser capaz de classificá-los. Consideremos o sistema 26

35 para mistura de sólidos com dissipação friccional ρ 1 u tt = a 11 u xx + a 12 w xx b 11 u t b 12 w t em (, l) (, ) (2.1) ρ 2 w tt = a 12 u xx + a 22 w xx b 12 u t b 22 w t em (, l) (, ) (2.2) com condições iniciais u(x, ) = u o (x); u t (x, ) = u 1 (x); w(x, ) = w o (x); w t (x, ) = w 1 (x) em (, l) (2.3) e condições de fronteira u(, t) = u(l, t) = w(, t) = w(l, t) = em (, ), (2.4) submetido às seguintes hipóteses: (H.1) ρ 1, ρ 2 >. (H.2) A = [a ij ] é uma matriz quadrada, simétrica e definida positiva, isto é, a 11 > e α := a 11 a 22 a 2 12 >. Portanto a forma quadrática associada é definida positiva: Q A (x, y) := a 11 xx + a 12 (xy + yx) + a 22 yy > (x, y) C 2 \(, ). (H.3) B = [b ij ] é uma matriz quadrada, simétrica e semidefinida positiva com b 11 >. Portanto a forma quadrática associada é semidefinida positiva, isto é, Q B (x, y) := b 11 xx + b 12 (xy + yx) + b 22 yy, (x, y) C 2. Observação As hipóteses acima serão válidas no decorrer de todo o trabalho. Para dizer que as matrizes A e B satisfazem as hipóteses (H.2) e (H.3) respectivamente, adotamos a seguinte notação: (I) ρ 1, ρ 2 >. (II) A. (III) B. A matriz B será chamada de matriz de dissipação friccional, devido a que Q B define o tipo de dissipação do operador associado ao sistema. Ver equação (2.6). 27

36 2.2 Existência e Unicidade Nesta seção mostraremos a boa colocação do problema para o modelo de mistura com dissipação friccional. Consideremos o espaço vetorial que, munido com o produto interno (u, w, v, η); (ũ, w, ṽ, η) H H = H := H 1 (, l) H 1 (, l) L 2 (, l) L 2 (, l) (a 11 u x ũ x + a 12 (u x w x + w x ũ x ) + a 22 w x w x )dx +ρ 1 vṽdx + ρ 2 η ηdx, é um espaço de Hilbert. A norma induzida. H é dada por (u, w, v, η) 2 H = (a 11 u x u x + a 12 (u x w x + w x u x ) + a 22 w x w x )dx +ρ 1 vvdx + ρ 2 ηηdx. Pode-se mostrar que tal norma é equivalente à norma usual. de H. Além disso, { } (u, w, v, η) 2 H c u x 2 dx + w x 2 dx + v 2 dx + η 2 dx, onde { α c = min ρ 1, ρ 2,, 2a 11 Definimos o operador A : D(A) H como α 2a 22 }. D(A) := H 1 (, l) H 2 (, l) H 1 (, l) H 2 (, l) H 1 (, l) H 1 (, l) A = O O I O O O O I a 11 ρ 1 2 x 2 a 12 ρ 1 2 x 2 b 11 ρ 1 I b 12 ρ 1 I a 12 ρ 2 2 x 2 a 22 ρ 2 2 x 2 b 12 ρ 2 I b 22 ρ 2 I (2.5) 28

37 Logo, o problema de valor inicial e fronteira (2.1)-(2.4) pode ser reescrito como o seguinte problema de valor inicial: AU = U t U() = (u, w, u 1, w 1 ). Lema Sejam A o operador definido em (2.5), A e B. Então A é dissipativo, fechado e densamente definido em H. Demonstração. Seja U = (u, v, w, η) D(A). Então v η AU, U H H = = = ρ 1 (a 11 u xx + a 12 w xx b 11 v b 12 η) 1 ρ 2 (a 12 u xx + a 22 w xx b 12 v b 22 η), (a 11 v x u x + a 12 (v x w x + η x u x ) + a 22 η x w x )dx (a 11 u xx v + a 12 w xx v b 11 vv b 12 ηv)dx (a 12 u xx η + a 22 w xx η b 12 vη b 22 ηη)dx (a 11 v x u x + a 12 (v x w x + η x u x ) + a 22 η x w x )dx (a 11 v x u x + a 12 (v x w x + η x u x ) + a 22 η x w x )dx Tomando a parte real obtemos (b 11 vv + b 12 (ηv + ηv) + b 22 ηη)dx. u w v η H H Re AU, U H H = (b 11 vv + b 12 (ηv + ηv) + b 22 ηη)dx (2.6) Como B é semidefinida positiva, temos que Re AU, U H H, isto é, A é um operador dissipativo. Da definição e das imersões de Sobolev, podemos verificar facilmente que A é fechado e densamente definido em H. 29

38 Lema Sejam A o operador definido em (2.5) e A. Se B é a matriz nula, então A é gerador infinitesimal de um grupo de operadores unitários de classe C em H. Demonstração. Sejam U 1 = (u, w, v, η), U 2 = (ũ, w, ṽ, η) D(A). Então v ũ η w AU 1, U 2 H H = 1, ρ 1 (a 11 u xx + a 12 w xx ) ṽ 1 ρ 2 (a 12 u xx + a 22 w xx ) η H H Logo, = (a 11 u x ṽ x + a 12 (u x η x + w x ṽ x ) + a 22 w x η x )dx v(a 11 ũ xx + a 12 w xx )dx η(a 12 ũ xx + a 22 w xx )dx. AU 1, U 2 H H = U 1, AU 2 H H, o que implica que D( A) D(A ). Usando as definições dos espaços D(A), H e as imersões de Sobolev, obtemos que A = A. Logo, ia é auto-adjunto e aplicamos o teorema de Stone (1.3.8) para obter que o operador A é gerador infinitesimal de um grupo de operadores unitários de classe C em H. Lema Sejam A o operador linear definido em (2.5) e A. Então ρ(a). (2.7) Demonstração. Dado F = (f, g, h, p) H, mostraremos que existe um único vetor U = (u, w, v, η) D(A), tal que: AU = F. (2.8) A equação acima em termos das componentes se escreve: v = f (2.9) η = g (2.1) a 11 u xx + a 12 w xx b 11 v b 12 η = ρ 1 h (2.11) a 12 u xx + a 22 w xx b 12 v b 22 η = ρ 2 p (2.12) 3

39 Substituíndo (2.9) e (2.1) em (2.11) e (2.12), obtemos a 11 u xx + a 12 w xx = b 11 f + b 12 g + ρ 1 h := f, (2.13) a 12 u xx + a 22 w xx = b 12 f + b 22 g + ρ 2 p := g. (2.14) As equações acima se verificam no espaço L 2 (, l), isto é, ( f, g) L 2 (, l) L 2 (, l). Como a forma sesquilinear B : [H 1 (, l) H 1 (, l)] [H 1 (, l) H 1 (, l)] C, dada por: B((u, w), (ũ, w)) = (a 11 u x ũ x + a 12 (u x w x + w x ũ x ) + a 22 w x w x )dx (2.15) é contínua e positiva, aplicando o lema (1.1.14) de Lax-Milgran, dado ( f, g) L 2 (, l) L 2 (, l) existe um único vetor (u, w) H 1 (, l) H 1 (, l) tal que B((u, w), (φ, ψ)) = para todo (φ, ψ) H 1 (, l) H 1 (, l). Então a 11 u x φ x + a 12 fφdx w x φ x = a 12 u x ψ x + a 22 w x ψ x = gψdx (2.16) f φ (2.17) gψ (2.18) a primeira equação resulta de considerar ψ = e a segunda de considerar φ =. Logo (a 11 u + a 12 w) x φ x = (a 12 u + a 22 w) x ψ x = pela definição de derivada fraca, temos que f φ (2.19) gψ (2.2) a 11 u + a 12 w H 1 (, l) H 2 (, l) (2.21) a 12 u + a 22 w H 1 (, l) H 2 (, l) (2.22) e como u = w = a 22 a 12 (a a 11 a 22 a 2 11 u + a 12 w) (a 12 a 11 a 22 a 2 12 u + a 22 w) (2.23) 12 a 12 a 11 (a a 11 a 22 + a 2 11 u + a 12 w) + (a 11 a 11 a 22 a 2 12 u + a 22 w) (2.24) 12 deduzimos que u, w H 1 (, l) H 2 (, l) satisfazendo (2.11) e (2.12). Note que de (2.9) e (2.1), obtemos U = (u, w, v, η) D(A). 31

40 Agora mostraremos que existe uma constante positiva independente de U e F tal que U H C F H. Usando as identidades (2.23)-(2.24), obtemos u xx = w xx = a 22 (a a 11 a 22 a 2 11 u + a 12 w) xx (a 12 a 11 a 22 a 2 12 u + a 22 w) xx (2.25) 12 a 12 (a a 11 a 22 + a 2 11 u + a 12 w) xx + (a 11 a 11 a 22 a 2 12 u + a 22 w) xx (2.26) 12 a 12 a 11 e aplicando as equações (2.13) e (2.14), obtemos: u xx = w xx = a 22 (b a 11 a 22 a 2 11 f + b 12 g + ρ 1 h) (b 12 a 11 a 22 a 2 12 f + b 22 g + ρ 2 p) (2.27) 12 a 12 (b a 11 a 22 + a 2 11 f + b 12 g + ρ 1 h) + (b 11 a 11 a 22 a 2 12 f + b 22 g + ρ 2 p) (2.28) 12 a 12 a 11 multiplicamos por u e w respectivamente as equações acima para obter u x 2 = a 22 (b a 11 a 22 a 2 11 f, u + b 12 g, u + ρ 1 h, u ) 12 a 12 + (b a 11 a 22 a 2 12 f, u + b 22 g, u + ρ 2 p, u ) (2.29) 12 w x 2 = a 12 (b a 11 a 22 + a 2 11 f, w + b 12 g, w + ρ 1 h, w ) 11 a 11 (b a 11 a 22 a 2 12 f, w + b 22 g, w + ρ 2 p, w ) (2.3) 12 onde, representa o produto interno em L 2 (, l). Usando a desigualdade de Hölder e a definição da norma em H podemos encontrar uma constante positiva C 1 tal que b 11 f, u + b 12 g, u + ρ 1 h, u C 1 U H F H b 12 f, w + b 22 g, w + ρ 2 p, w C 1 U H F H denotaremos α = a 11 a 22 a 2 12 e aplicando as desigualdades acima nas equações (2.29) e (2.3), obtemos u x 2 ( a 22 α + a 12 α )C 1 U H F H (2.31) w x 2 ( a 12 α + a 11 α )C 1 U H F H (2.32) 32

41 multiplicamos v e η às equações (2.9) e (2.1) respectivamente e aplicamos a desigualdade de Hölder para obter v 2 C 2 U H F H (2.33) η 2 C 2 U H F H. (2.34) Das desigualdades (2.31)-(2.34) deduzimos que existe uma constante C >, independente de U e F, tal que U H C F H. Logo o operador A 1 L(H), isto é, ρ(a). Teorema Sejam A e A o operador linear definido em (2.5). Então A é gerador infinitesimal de um semigrupo C em H. Além disso, se B, então o semigrupo é de contrações. Demonstração. Da definição em (2.5), A é a soma dos operadores O O I O O O O O O O O I O O O O A = a 11 2 a 12 2 O O + ρ 1 x 2 ρ 1 x 2 O O b 11 I b 12 I ρ a 12 2 a ρ 1 O O O O b 12 I b 22 I ρ 2 x 2 ρ 2 x }{{ 2 ρ 2 ρ 2 }}{{} := A 1 := A 2 (2.35) sendo o primeiro um operador normal, gerador de um grupo de operadores unitários de classe C devido ao lema (2.2.2) e o segundo é um operador contínuo. Logo, pelo lema (1.3.9), A é gerador infinitesimal de um semigrupo C em H. Do lema (2.2.3) temos que ρ(a). Se B, do lema (2.2.1), obtemos que A é dissipativo em H. Logo aplicamos o corolário (1.3.5) para obter que o semigrupo, e ta, é de contrações em H. Proposição Sejam A e A o operador linear definido em (2.5). Então A 1 é um operador compacto em H. Demonstração. Devemos mostrar que para cada sequência limitada {F n } n N H, existe uma subsequência {F nk } k N tal que A 1 F nk é convergente em H. Porém dividiremos a demonstração de tal resultado em duas afirmações. 33

42 Afirmação (1) Seja A um operador fechado, densamente definido em H. Suponhamos que ρ(a). Então a injeção canônica i : (D(A),. D(A) ) (H,. H ) é compacta se, e somente se A 1 é um operador compacto. De fato, como A é um operador fechado e densamente definido em H, então o espaço vetorial D(A) é um espaço de Banach com a norma do gráfico dada por: U 1 = U H + AU H (2.36) como ρ(a), temos que A 1 L(H) e para todo U D(A) podemos obter a seguinte estimativa U 1 = A 1 AU H + AU H ( A 1 L(H) +1) AU H ( A 1 L(H) +1) U 1 (2.37) isto é, a norma do gráfico,. 1, é equivalente à norma Além disso o operador U D(A) := AU H. A 1 : (H,. H ) (D(A),. D(A) ) (2.38) é um isomorfismo com inversa contínua A em (D(A),. D(A) ), pois A é fechado. Agora consideremos as seguintes aplicações: (H,. H ) (D(A),. D(A)) A (H,. H) (H,. H) A 1 Logo, o operador A 1 é compacto se, e somente se a imersão i : D(A) H é compacta. A afirmação acima reduz a prova de A 1 ser compacto à verificação de que a imersão i : D(A) H seja compacta. Isso nos leva à seguinte afirmação. Afirmação (2) Seja A o operador linear e D(A) seu domínio definidos em (2.5). Então a imersão i : D(A) H é compacta. De fato, dada {U n } n N uma sequência limitada em D(A), mostraremos que existe uma subsequência convergente em H. Pela hipótese, temos AU n H C que em termos das componentes se escreve (v n, η n, a 11u nxx + a 12 w nxx b 11 v n b 12 η n, a 12u nxx + a 22 w nxx b 12 v n b 22 η n ) 2 H C 2. ρ 1 ρ 2 (2.39) 34 A 1

43 Se denotamos por Q A a forma quadrática associada à matriz A, que por hipótese é definida positiva e aplicamos a definição da norma em H, obtemos Q A (v nx, η nx )dx C 2 (2.4) a 11 u nxx + a 12 w nxx b 11 v n b 12 η n 2 C 2 (2.41) a 12 u nxx + a 22 w nxx b 12 v n b 22 η n 2 C 2 (2.42) Como A é uma matriz definida positiva, temos det(a) := α > e podemos obter a seguinte estimativa: c 2 1{ v n 2 + η n 2 } c 2 { v nx 2 + η nx 2 } Q A (v nx, η nx )dx C 2 (2.43) onde c 2 = min{ α 2a 11, α 2a 22 } e c 2 1 é a constante correspondente à desigualdade de Poincaré. Aplicando as propriedades de norma, de (2.41) e (2.42) obtemos a 11 u nxx + a 12 w nxx b 11 v n + b 12 η n + C a 12 u nxx + a 22 w nxx b 12 v n + b 22 η n + C Aplicamos (2.43) nas desigualdades acima para obter a 11 u nxx + a 12 w nxx C 2 (2.44) a 12 u nxx + a 22 w nxx C 2 (2.45) onde C 2 = c 1 1 C( b 11 + b b c 1 ). Usamos as identidades (2.25) e (2.26) e as desigualdades (2.44)-(2.45) para obter: u nxx C 3 (2.46) w nxx C 3 (2.47) onde C 3 = ( a 22 α + 2 a 12 α + a 11 α )C 2 + C c, das desigualdades (2.43), (2.46) e (2.47) obtemos: u n 2 H 1 H2 + w n 2 H 1 H2 + v n 2 H 1 + η n 2 H 1 C 4 (2.48) onde C 4 = 2( C2 c 2 + C 2 3) >. Como as imersões H(, 1 l) H 2 (, l) H(, 1 l) L 2 (, l) são contínuas densas e compactas, então existe uma subsequência U nk = (u nk, w nk, v nk, η nk ) H H(, 1 l) H(, 1 l) L 2 (, l) L 2 (, l) 35

44 que converge em H. Portanto a imersão i : D(A) H é compacta. Usando as afirmações (1) e (2) está demonstrado que A 1 é um operador compacto. Corolário Sejam A e A o operador linear definido em (2.5). Então σ(a) = {λ C : λ é um autovalor de A} (2.49) Demonstração. Do lema (2.2.5), temos que o operador A posui resolvente compacto e aplicando a observação (1.2.13), obtemos (2.49). 2.3 Estabilidade Linear Nesta seção mostraremos que o princípio de estabilidade linear é verdadeiro para o semigrupo associado ao sistema (2.1)-(2.4), isto é, w (A) = w σ (A). Para obter tal resultado usaremos as ideias de M. Renardy expostas em [25]. Começaremos mostrando uma caracterização do espectro do operador A definido em (2.5). Lema Sejam A e A o operador linear definido em (2.5), então σ(a) = { λ C ; q ν (λ) =, ν = nπ } l n N onde q ν (x) é uma sequência de polinômios de quarto grau em R[x]. Demonstração. Seja U = (u, w, v, η) D(A) e consideremos a equação espectral λu AU = que, em termos das componentes, se escreve λu = v (2.5) λw = η (2.51) 36

45 ρ 1 λv a 11 u xx a 12 w xx + b 11 v + b 12 η = (2.52) ρ 2 λη a 12 u xx a 22 w xx + b 12 v + b 22 η = (2.53) e, substituindo (2.5) e (2.51) em (2.52) e (2.53), obtemos ρ 1 λ 2 u a 11 u xx a 12 w xx + b 11 λu + b 12 λw = (2.54) ρ 2 λ 2 w a 12 u xx a 22 w xx + b 12 λu + b 22 λw =. (2.55) Como u, w H 1 (, l) H 2 (, l), podemos considerar as funções u = F sen (νx), w = Gsen (νx) e, substituindo nas equações (2.54) e (2.55), obtemos que (ρ 1 λ 2 + a 11 ν 2 + b 11 λ)f + (a 12 ν 2 + b 12 λ)g = (a 12 ν 2 + b 12 λ)f + (ρ 2 λ 2 + a 22 ν 2 + b 22 λ)g =, isto é, (ρ 1 λ 2 + a 11 ν 2 + b 11 λ)(ρ 2 λ 2 + a 22 ν 2 + b 22 λ) (a 12 ν 2 + b 12 λ) 2 =, pois U por ser autovector. Então λ σ(a) se, e somente se, q ν (λ) := ρ 1 ρ 2 λ 4 + (ρ 1 b 22 + ρ 2 b 11 )λ 3 + (ρ 1 a 22 + ρ 2 a 11 + detb ν 2 )ν 2 λ 2 +(a 11 b 22 + a 22 b 11 2a 12 b 12 )ν 2 λ + ν 4 deta =. (2.56) Pois, neste caso se verifica, pelo corolario (2.2.6), que σ(a) é composto somente por autovalores de A. Teorema Sejam A e A o operador linear definido em (2.5), então o princípio de estabilidade linear é verdadeiro, isto é, w (A) = w σ (A). Demonstração. De (2.35), A é a soma de um operador normal, o qual denotamos por A 1 (aqui consideramos B a matriz nula) e um operador contínuo o qual denotamos por A 2. Aplicando o lema (2.3.1) para A 1 equação (2.56), obtemos σ(a 1 ) = n N { λ C ; q ν (λ) := ρ 1 ρ 2 λ 4 + (ρ 1 a 22 + ρ 2 a 11 )ν 2 λ 2 + ν 4 det A =, ν = nπ } l, 37

46 as raízes de cada polinômio q ν (λ) são dadas pela fórmula Denotando λ 2 = 1 2ρ 1 ρ 2 {(ρ 1 a 22 + ρ 2 a 11 ) ± (ρ 1 a 22 + ρ 2 a 11 ) 2 4ρ 1 ρ 2 deta}ν 2. r j = (ρ 1 a 22 + ρ 2 a 11 ) + ( 1) j (ρ 1 a 22 + ρ 2 a 11 ) 2 4ρ 1 ρ 2 det A 2ρ 1 ρ 2 obtemos que σ(a 1 ) = { ± nπi } r j ; j = 1, 2 l n N. Se consideramos, por exemplo, M = 2 e n = 2 πr 2 l N, como σ(a1 ) é composto somente por autovalores simples, vemos que as condições do teorema (1.4.7) são satisfeitas. Logo, w (A) = w σ (A). Figura 2.1: Espectro do operador A Estabilidade Exponencial Nesta seção usaremos a caracterização de semigrupos exponencialmente estáveis expostas em [12]. As hipóteses: 38

47 (I) ρ 1, ρ 2 >. (II) A. (III) B. serão consideradas como válidas nesta seção. Lema Seja A o operador linear definido em (2.5). Se assumimos a) B. b) B singular com b 11 > e b 12 =. Então {iβ ; β R} ρ(a). Demonstração. Mostraremos este resultado usando argumentos de contradição. De fato, suponhamos que existe λ R, λ e iλ σ(a). Logo, pelo corolário (2.2.6), temos que iλ é um autovalor de A. Então existe U = (u, w, v, η) D(A)\{} tal que iλu AU =, que em termos das componentes se escreve iλu = v (2.57) Por outro lado, e, aplicando (2.6), obtemos Caso (a) iλw = η (2.58) iρ 1 λv a 11 u xx a 12 w xx + b 11 v + b 12 η = (2.59) iρ 2 λη a 12 u xx a 22 w xx + b 12 v + b 22 η =. (2.6) Re (iλi A)U, U H = Re AU, U H = B = [b ij ] é uma matriz definida positiva, então (b 11 vv + b 12 (ηv + ηv) + b 22 ηη)dx (2.61) (b 11 vv + b 12 (ηv + ηv) + b 22 ηη)dx c { v 2 dx + η 2 dx} (2.62) 39

48 onde c = min { } detb 2b 11, detb 2b 22 >, e aplicando (2.61), obtemos v = em L 2 (, l) η = em L 2 (, l) e, aplicando (2.63) em (2.57) e (2.58), obtemos u = em L 2 (, l) w = em L 2 (, l). Substituindo (2.63) e (2.64) em (2.59) e (2.6) obtemos (a 11 u + a 12 w) xx = em L 2 (, l) (a 12 u + a 22 w) xx = em L 2 (, l). (2.63) (2.64) (2.65) Lembremos que A é uma matriz definida positiva, deta >, então u = a 22 deta (a 11u + a 12 w) a 12 deta (a 12u + a 22 w) (2.66) w = a 11 deta (a 12u + a 22 w) a 12 deta (a 11u + a 12 w) (2.67) e aplicando estas identidades em (2.65), deduzimos que u = w = em H 1 (, l) H 2 (, l). Além disso, de (2.57) e (2.58), temos v = η = em H 1 (, l), isto é, U = em D(A), que é absurdo, por tanto Caso (b) {iβ ; β R} ρ(a). Como b 11 > e b 22 = b 12 =, então, de (2.61) e (2.57), deduzimos que u = v = em L 2 (, l), (2.68) aplicamos esta igualdade em (2.59) e (2.6) para obter, (a 11 u + a 12 w) xx = (a 12 u + a 22 w) xx = λ 2 w. (2.69) Agora usamos as identidades (2.66) e (2.67) em (2.69), então u xx = ρ 2a 12 deta λ2 w xx, (2.7) w xx = ρ 2a 11 deta λ2 w xx. (2.71) 4

49 De (2.71), temos (1 + ρ 2a 11 deta λ2 )w xx = em L 2 (, l). Se supomos que w xx 2 dx >, da equação acima, temos portanto, 1 + ρ 2a 11 deta λ2 = = λ = i w xx 2 dx =, deta ρ 2 a 11 ir, pois λ R por hipótese. Agora aplicamos este resultado em (2.69) para obter u = w = em H 1 (, l) H 2 (, l). (2.72) De (2.57), (2.68) e (2.72) deduzimos que U = (u, w, v, η) = em D(A), que é absurdo, portanto {iβ ; β R} ρ(a). Lema Sejam A o operador linear definido em (2.5) e B. Então lim sup (iβi A) 1 <. β Demonstração. Mostraremos este resultado usando argumentos de contradição. De fato, suponhamos que lim sup (iβi A) 1 =. β Então existe uma sequência de vetores {F n } em H tal que (λ n I A) 1 F n H n F n H, (2.73) onde λ n = iβ n, (β n ) n N R e β n. O lema (2.4.1) nos diz que ir ρ(a), logo existe uma única sequência U n := (u n, w n, v n, η n ) D(A) tal que assim, considerando (2.73), obtemos λ n U n AU n = F n, U n H = 1, F n H 1 n, U n H = 1. (2.74) 41

50 Logo, F n em H quando n. Agora, calculando produto interno F n, U n H = λ n U n, U n H AU n, U n H, tomando a parte real e aplicando (2.6) e (2.62), obtemos { } c v n 2 dx + η n 2 dx Re F n, U n H. (2.75) De (2.74) e (2.75), deduzimos que v n em L 2 (, l) η n em L 2 (, l), (2.76) quando n. Por outro lado, da identidade onde F n = (f n, g n, h n, p n ), temos que F n = λ n U n AU n, λ n u n v n = f n (2.77) λ n w n η n = g n (2.78) ρ 1 λ n v n a 11 u nxx a 12 w nxx + b 11 v n + b 12 η n = h n ρ 1 (2.79) ρ 2 λ n η n a 12 u nxx a 22 w nxx + b 12 v n + b 22 η n = p n ρ 2. (2.8) Como λ n, aplicando (2.76) em (2.77)-(2.78), deduzimos que u n em L 2 (, l) w n em L 2 (, l). (2.81) Agora, de (2.76) e (2.81), temos (u n, w n, v n, η n ) (,,, ) em L 2 (, l) L 2 (, l) L 2 (, l) L 2 (, l). Logo, existe uma subsequência, que ainda denotaremos por (u n, w n, v n, η n ), tal que u n (x) quase sempre em (, l) w n (x) quase sempre em (, l) v n (x) quase sempre em (, l) η n (x) quase sempre em (, l) 42

51 o que é uma contradição com o fato de que U n H = 1. Portanto, lim sup (iβi A) 1 <. β Teorema Sejam A e A o operador linear definido em (2.5). Se B, então o semigrupo de operadores gerado por A é exponencialmente estável. Demonstração. Do teorema (2.2.4), temos que A é gerador infinitesimal de um semigrupo C de contrações em H. Logo, dos lemas (2.4.1) e (2.4.2) temos também (i) ir ρ(a). (ii) lim sup (iβi A) 1 = M <. β + Assim, aplicando o teorema (1.4.5), segue o resultado. Estudaremos a continuação a estabilidade do sistema quando a matriz B é singular com b 11 > e b 12 =, porém consideraremos a 12 para preservar o sistema acoplado. Teorema Sejam A o operador linear definido em (2.5), B uma matriz singular com b 11 > e b 12 =. Se a 12, então o semigrupo de operadores gerado por A é exponencialmente estável. Demonstração. O lema (2.4.1) nos diz que ir ρ(a), logo a condição (i) do teorema (1.4.5) é satisfeito; para satisfazer a condição (ii) usaremos o método direto e mostraremos que: (iλi A) 1 F H C F H onde C > é uma constante que independe de U, F e λ. Como ir ρ(a), então para cada λ R e F = (f 1, f 2, f 3, f 4 ) H existe um único vetor U D(A) tal que iλu v = f 1 (2.82) iλw η = f 2 (2.83) iρ 1 λv a 11 u xx a 12 w xx + b 11 v = f 3 (2.84) iρ 2 λη a 12 u xx a 22 w xx = f 4. (2.85) 43

52 Agora multiplicamos por u as equações (2.84) e (2.85), ρ 1 v, iλu + a 11 u x, u x + a 12 w x, u x + b 11 v, u = f 3, u (2.86) ρ 2 η, iλu + a 12 u x, u x + a 22 w x, u x = f 4, u, (2.87) onde, é o produto interno em L 2 (, l). Logo obtemos a 22 ρ 1 v, iλu + a 11 a 22 u x, u x + a 12 a 22 w x, u x + b 11 a 22 v, u = a 22 f 3, u (2.88) subtraindo as equações, obtemos Aplicando (2.82), temos a 12 ρ 2 η, iλu + a 2 12 u x, u x + a 12 a 22 w x, u x = a 12 f 4, u (2.89) a 22 ρ 1 v, iλu a 12 ρ 2 η, iλu + α u x 2 + b 11 a 22 v, u = (2.9) a 22 f 3, u a 12 f 4, u. α u x 2 = a 22 ρ 1 v 2 + b 11 a 22 v, u a 12 ρ 2 η, v + a 22 ρ 1 v, f 1 (2.91) +a 22 f 3, u a 12 f 4, u a 12 ρ 2 η, f 1. Por outro lado podemos encontrar uma constante C 1 > tal que: a 22 ρ 1 v, f 1 + a 12 ρ 2 η, f 1 + a 22 f 3, u + a 12 f 4, u C 1 U H F H. (2.92) Agora aplicamos (2.92) na equação (2.91) e usando a desigualdade de Young com N > e N 1 >, para obter α u x 2 b 11a 22 C 4N 1 u x 2 + a 12 ρ 2 4N η 2 + C 1 U H F H (2.93) +(b 11 a 22 N 1 + a 12 ρ 2 N + a 22 ρ 1 ) v 2. Da equação (2.6) e a hipótese b 22 = b 12 =, obtemos como (iλi A)U = F, então Re AU, U H = b 11 v 2 dx, logo Re U, F H = Re U, (iλi A)U H = b 11 v 2 dx v 2 1 b 11 U H F H. (2.94) 44

53 Agora escolhemos N 1 = a 22b 11 C 2α onde > e aplicamos (2.94) em (2.93) para obter α 2 u x 2 a 12 ρ 2 4N η 2 + C 2 U H F H, (2.95) C 2 := C 2 (N) = b 11a 22 N 1 + a 12 ρ 2 N + a 22 ρ 1 b 11 + C 1 >. Por outro lado multiplicamos por w à equação (2.84), então ρ 1 v, iλw + a 11 u x, w x + a 12 w x, w x + b 11 v, w = f 3, w e aplicamos (2.83) e a desigualdade de Young com M >, N 2 > e N 3 > para obter a 12 w x 2 ρ 1 M v 2 + ρ 1 4M η 2 + a 11 N 2 u x 2 + a 11 4N 2 w x 2 +b 11 N 3 v 2 + b 11C 4N 3 w x 2 + C 3 U H F H. Como a 12, escolhemos N 3 = C b 11 2 a 12 > e N 2 = a 11 a 12 obtemos onde >, então da desigualdade acima a 12 4 w x 2 ρ 1 4M η 2 + a 11 N 2 u x 2 + C 4 U H F H C 4 := C 4 (M) = ρ 1M b 11 + N 3 + C 3 > e multiplicando por constantes positivas temos α a 12 16a 11 N 2 w x 2 agora somamos (2.95) e (2.96), então ρ 1 α 16a 11 N 2 M η 2 + α 4 u x 2 + αc 4 4a 11 N 2 U H F H, (2.96) α a 12 w x 2 + α 16a 11 N 2 4 u x 2 ρ 1 α ( 16a 11 N 2 M + a 12 ρ 2 4N ) η 2 + ( αc 4 + C 2 ) U H F H, 4a 11 N 2 definimos C 5 = min{ α a 12 16a 11 N 2, α 4 } > e C 6 = αc 4 4a 11 N 2 + C 2 >, logo obtemos C 5 ( w x 2 + u x 2 ρ 1 α ) ( 16a 11 N 2 M + a 12 ρ 2 4N ) η 2 + C 6 U H F H. (2.97) Por outro lado multiplicamos por w à equação (2.85) e aplicando (2.83) deduzimos que ρ 2 η, η ρ 2 η, f 2 + a 12 u x, w x + a 22 w x, w x = f 4, w e aplicando a desigualdade de Young, temos ρ 2 η 2 ( a 12 + a 22 )( u x 2 + w x 2 ) + C 7 U H F H 45

54 e multiplicando por constantes positivas, obtemos ρ 2 C 5 ( a 12 + a 22 ) 1 2 η 2 C 5 2 ( u x 2 + w x 2 ) + C 5C 7 2 ( a 12 + a 22 ) 1 U H F H. (2.98) Escolhemos M = ρ 1α( a 12 + a 22 ) 4ρ 2 a 11 C 5 N 2 > N = 2 a 12 ( a 12 + a 22 )C 1 5 >, agora somamos os extremos correspondentes das desigualdades (2.97) e (2.98) para obter C 5 2 ( u x 2 + w x 2 ) + ρ 2C 5 ( a 12 + a 22 ) 1 η 2 (C 6 + C 5C ( a 12 + a 22 ) 1 ) U H F H. (2.99) Definimos as constantes positivas C 8 e C 9 sendo como C 8 = min{ C 5 2, ρ 2C 5 ( a 12 + a 22 ) 1, 1} 8 C 9 = C 6 + C 5C 7 2 ( a 12 + a 22 ) b 11 logo, aplicando estas definições e (2.94) na desigualdade (2.99) deduzimos que C 8 ( u x 2 + w x 2 + v 2 + η 2 ) C 9 U H F H. (2.1) Implicando que existe uma constante positiva C > independente de U, F e λ tal que (iλi A) 1 L(H) C Logo, usando o teorema (1.4.5), obtemos a estabilidade exponencial do semigrupo associado. Observação A energia do sistema (2.1)-(2.4) se define por E(t) = 1 2 Logo, é simples verificar que Por outro lado, denotando d dt E(t) = (a 11 u 2 x + 2a 12 u x w x + a 22 w 2 x + ρ 1 u 2 t + ρ 2 w 2 t )dx. (2.11) (b 11 u 2 t + 2b 12 u t w t + b 22 w 2 t )dx. (2.12) γ = sup {Re(λ); λ σ(a)} e aplicando os teoremas de estabilidade linear (2.3.2) e estabilidade exponencial (2.4.3), obtemos que, se 46

55 A e B. A, B é uma matriz singular com b 11 >, b 12 = e a 12. Então, a energia do sistema (2.1)-(2.4) decai exponencialmente com uma taxa γ determinada pelo espectro, isto é, E(t) e γt E() γ = w σ (A). Note também que, para obter γ, precisamos somente trabalhar com os autovalores de A. Este fato será utilizado na seguinte seção. 2.5 Análise Espectral do operador A Estudaremos a estabilidade exponencial do sistema (2.1)-(2.4) quando (I) ρ 1, ρ 2 >. (II) A. (III) B singular com max{b 11, b 22 } >. O caso b 12 = e b 11 > foi estudado no teorema (2.4.4). Ainda estamos sobre as hipóteses dos teoremas (2.2.4) e (2.3.2). Por outro lado é conhecido que a estabilidade exponencial do semigrupo e At é equivalente a w (A) < (Ver [23]). Portanto, para obter a estabilidade exponencial do sistema (2.1)-(2.4), mostraremos que w σ (A) <, devido a que o semigrupo possui a propriedade PCDE (teorema 2.3.2). Do Lema (2.3.1), temos que λ σ(a) se, e somente se, q ν (λ) := l 4,ν λ 4 + l 3,ν λ 3 + l 2,ν λ 2 + l 1,ν λ + l,ν =, para algum ν, onde: 47

56 α = det A > ν = nπ l, n N r = a 11 b 22 + a 22 b 11 2a 12 b 12 l,ν = αν 4 l 1,ν = rν 2 l 2,ν = (ρ 1 a 22 + ρ 2 a 11 )ν 2 l 3,ν = l 3 = (ρ 1 b 22 + ρ 2 b 11 ) l 4,ν = l 4 = ρ 1 ρ 2 Mostraremos que, sobre condições apropriadas entre os coeficientes, existe ɛ > tal que os polinômios q ν (x ɛ ) possuam todas as raízes com parte real negativa. Desenvolvendo o polinômio q ν (x ɛ), com ɛ >, obtemos onde, q ν (x ɛ) = L 4,ν (ɛ)x 4 + L 3,ν (ɛ)x 3 + L 2,ν (ɛ)x 2 + L 1,ν (ɛ)x + L,ν (ɛ) L 4,ν (ɛ) = L 4 = ρ 1 ρ 2 (2.13) L 3,ν (ɛ) = (ρ 1 b 22 + ρ 2 b 11 ) 4ρ 1 ρ 2 ɛ (2.14) L 2,ν (ɛ) = 6ρ 1 ρ 2 ɛ 2 + (ρ 1 a 22 + ρ 2 a 11 )ν 2 3(ρ 1 b 22 + ρ 2 b 11 )ɛ (2.15) L 1,ν (ɛ) = 3(ρ 1 b 22 + ρ 2 b 11 )ɛ 2 4ρ 1 ρ 2 ɛ 3 + rν 2 2(ρ 1 a 22 + ρ 2 a 11 )ɛν 2 (2.16) L,ν (ɛ) = ρ 1 ρ 2 ɛ 4 (ρ 1 b 22 + ρ 2 b 11 )ɛ 3 + (ρ 1 a 22 + ρ 2 a 11 )ɛ 2 ν 2 rɛν 2 + αν 4. (2.17) Análise espectral - Estabilização exponencial Mostraremos uma lista de lemas técnicos concernentes ao espectro do operador que serão usados para obter a estabilidade exponencial do semigrupo e ta. Lema Existe ɛ 1 > tal que L j,ν (ɛ) >, ɛ [, ɛ 1 ) uniformemente de ν = nπ, n N e j =, 1, 2, 3, 4. l 48

57 Demonstração. Definimos r = a 11 b 22 + a 22 b 11 2a 12 b 12. (2.18) Pelas hipóteses, a 11 a 22 > a 2 12, b 11 b 22 = b 2 12 e, como a 11 b 22 + a 22 b 11 2 a 11 b 22 a 22 b 11, deduzimos r = a 11 b 22 + a 22 b 11 2a 12 b 12 >. Por outro lado, agrupando convenientemente os termos de L,ν (ɛ) e L 1,ν (ɛ) obtemos L,ν (ɛ) = ρ 1 ρ 2 ɛ 4 + ( (ρ 1 a 22 + ρ 2 a 11 )ν 2 (ρ 1 b 22 + ρ 2 b 11 )ɛ ) ɛ 2 + (αν 2 rɛ)ν 2 (2.19) L 1,ν (ɛ) = 3ɛ ((ρ 2 1 b 22 + ρ 2 b 11 ) 4 ) 3 ρ 1ρ 2 ɛ + (r 2(ρ 1 a 22 + ρ 2 a 11 )ɛ) ν 2. (2.11) Considerando (2.13)-(2.17), (2.19) e (2.11), escolhemos { π 2 (ρ 1 a 22 + ρ 2 a 11 ) 2ɛ 1 := min 3l 2 (ρ 1 b 22 + ρ 2 b 11 ) ; (ρ 1 b 22 + ρ 2 b 11 ) ; 4ρ 1 ρ 2 Assim, quando ɛ (, ɛ 1 ) temos L j,ν (ɛ) >, para todo ν = nπ, n N e j =, 1, 2, 3, 4. Além disso, como l L j,ν () = l j,ν, } r 2(ρ 1 a 22 + ρ 2 a 11 ) ; απ 2 rl 2. então L j,ν (ɛ) >, ɛ [, ɛ 1 ). Definimos as constantes positivas ã e b, sendo como ã = a 11 ρ 2 + a 22 ρ 1 (2.111) b = b11 ρ 2 + b 22 ρ 1 (2.112) 49

58 Lema Suponhamos que 2γ := ã b rρ 1 ρ 2 >, então para cada δ (, 1), existe ɛ δ > tal que D 2,ν (ɛ) := det L 3,ν(ɛ) L 1,ν (ɛ) L 4,ν (ɛ) L 2,ν (ɛ) uniformemente de ν = nπ l, n N. > 2γδν 2 ; ɛ [, ɛ δ ) Demonstração. De (2.13)-(2.17), obtemos as seguintes igualdades Logo, L 3,ν L 2,ν (ɛ) = ( b 4ρ 1 ρ 2 ɛ)(6ρ 1 ρ 2 ɛ 2 + ãν 2 3 bɛ) L 3,ν L 2,ν (ɛ) = 6ρ 1 ρ 2 bɛ 2 + ã bν 2 3 b 2 ɛ 24ρ 2 1ρ 2 2ɛ 3 4ãρ 1 ρ 2 ɛν bρ 1 ρ 2 ɛ 2. L 1,ν L 4,ν (ɛ) = 3 bρ 1 ρ 2 ɛ 2 + 4ρ 2 1ρ 2 2ɛ 3 rρ 1 ρ 2 ν 2 + 2ãρ 1 ρ 2 ɛν 2. L 3,ν L 2,ν (ɛ) L 1,ν L 4,ν (ɛ) = 5ρ 1 ρ 2 (3 b 4ρ 1 ρ 2 ɛ)ɛ 2 + ((ã b rρ 1 ρ 2 ) (2ãρ 1 ρ b 2 ν 2 )ɛ)ν2. Como δ (, 1) e 2γ = ã b rρ 1 ρ 2, então: ( ) L 3,ν L 2,ν (ɛ) L 1,ν L 4,ν (ɛ) = 5ρ 1 ρ 2 (3 b 4ρ 1 ρ 2 ɛ)ɛ 2 + 2γ(1 δ) (2ãρ 1 ρ b 2 ν )ɛ ν 2 +2γδν 2. 2 Escolhemos Logo, se ɛ [, ɛ δ ), então ɛ δ = min { 3 b 8ρ 1 ρ 2, γ(1 δ) 2ãρ 1 ρ b 2 l 2 π 2 } >. D 2,ν (ɛ) := L 3,ν L 2,ν (ɛ) L 1,ν L 4,ν (ɛ) > 2γδν 2. Lema Se 2γr b 2 α >, onde γ > foi definido no lema (2.5.2), então existe ɛ 3 > tal que L 3,ν (ɛ) L 1,ν (ɛ) D 3,ν (ɛ) := det L 4,ν (ɛ) L 2,ν (ɛ) L,ν (ɛ) >, ɛ [, ɛ 3) L 3,ν (ɛ) L 1,ν (ɛ) uniformemente de ν = nπ l, n N. 5

59 Demonstração. Como L 3,ν L 1,ν D 3,ν = det L 4,ν L 2,ν L,ν L 3,ν L 1,ν = L ( 1,ν (L3,ν L 2,ν L 1,ν L 4,ν ) 2δγν 2) +2L 1,ν δγν 2 L,ν L 2 3,ν. Substituíndo (2.13)-(2.17) na identidade acima, obtemos D 3,ν (ɛ) = L 1,ν (ɛ)(d 2,ν (ɛ) 2δγν 2 ) + 2(3 bɛ 2 4ρ 1 ρ 2 ɛ 3 + rν 2 2ãɛν 2 )δγν 2 Logo, (ρ 1 ρ 2 ɛ 4 bɛ 3 + ãɛ 2 ν 2 rɛν 2 + αν 4 )( b 4ρ 1 ρ 2 ɛ) 2. D 3,ν (ɛ) = L 1,ν (ɛ) ( D 2,ν (ɛ) 2δγν 2) ( + 6 bɛ 2 1 4ρ 1ρ 2 3 b ) ( +8ρ 2 1ρ 2 2ɛ (3 b 5 2ρ 1 ρ 2 ɛ + ɛν 2 r b 2 (ã b bρ 1 ρ 2 )ɛ +8ã bρ 1 ρ 2 ɛ 3 ν 2 + 8ρ 1 ρ 2 αɛ( b 2ρ 1 ρ 2 ɛ)ν 4 + ) ( b3 ) ɛ δγν 2 + ɛ 3 9 b 2 ρ 1 ρ 2 ɛ ) + 16ɛ 3 ρ 2 1ρ 2 2(r ãɛ)ν 2 ( (2γδr α b 2 ) 4γδãɛ ) ν 4. (2.113) Escolhemos δ (, 1) tal que α b 2 < 2γδr < 2γr, logo definimos ɛ 3 := min { ɛ 1, ɛ δ, r 4ã, b, 9ρ 1 ρ 2 como 2γδr α b 2 >, de (2.113) deduzimos que: r b ã b + 8ρ 1 ρ 2 r } 2 2γδr α b, >, 4γδã D 3,ν (ɛ) >, ɛ [, ɛ 3 ). Lema Se as hipóteses do lema (2.5.3) são satisfeitas, então existe ɛ > tal que L 3,ν (ɛ) L 1,ν (ɛ) L D 4,ν (ɛ) := det 4,ν (ɛ) L 2,ν (ɛ) L,ν (ɛ) >, ɛ [, ɛ ] L 3,ν (ɛ) L 1,ν (ɛ) L 4,ν (ɛ) L 2,ν (ɛ) L,ν (ɛ) uniformemente de ν = nπ l, n N. 51

60 Demonstração. Seja ɛ = ɛ 3 2. Se ɛ [, ɛ ], aplicamos os lemas (2.5.1)-(2.5.3) para obter que L,ν (ɛ) > e D 4,ν (ɛ) = D 3,ν (ɛ)l,ν (ɛ) >. Teorema Seja A o operador linear definido em (2.5). Se 2γ := ã b rρ 1 ρ 2 2γr b 2 α >, então o semigrupo de operadores gerado por A é exponencialmente estável. Demonstração. Do lema (2.3.1) temos σ(a) = { λ C ; n N 4 j= } l j,ν λ j =, ν = nπ l. Seja {q ν (x)} ν a sequência de polinômios de quarto grau em R[x] com coeficientes definidos por l 4,ν = l 4 = ρ 1 ρ 2 l 3,ν = l 3 = (ρ 1 b 22 + ρ 2 b 11 ) l 2,ν = (ρ 1 a 22 + ρ 2 a 11 )ν 2 l 1,ν = rν 2 l,ν = αν 4. Desenvolvendo q ν (x ɛ) obtemos o polinômio: q ν (x ɛ) = L 4,ν (ɛ)x 4 + L 3,ν (ɛ)x 3 + L 2,ν (ɛ)x 2 + L 1,ν (ɛ)x 1 + L,ν (ɛ) e aplicando os Lemas (2.5.1)-(2.5.4), garantimos a existência de ɛ > tal que L,ν (ɛ ) >, L 1,ν (ɛ ) >, L 2,ν (ɛ ) > e L 3,ν (ɛ ) > D 2,ν (ɛ ) > D 3,ν (ɛ ) > D 4,ν (ɛ ) > 52

61 Isto é, as condições do teorema (1.4.12) de Hurwitz são satisfeitas, implicando que Re(λ) < ɛ, λ σ(a), como w (A) = w σ (A) <, então o semigrupo associado é exponencialmente estável. A continuação mostraremos, via o teorema de Hurwitz, que existem condições necessárias para que o semigrupo associado seja exponencialmente estável. Proposição Sejam A, B uma matriz singular e A o operador linear definido em (2.5). Então as seguintes condições são necessárias para que o semigrupo de operadores gerado por A seja exponencialmente estável: max{b 11, b 22 } >. 2γ := ã b rρ 1 ρ 2 >. 2γr b 2 α >. Demonstração. Do Lema (2.3.1), temos que λ σ(a) se, e somente se, q ν (λ) := l 4 λ 4 + l 3 λ 3 + l 2,ν λ 2 + l 1,ν λ + l,ν =, para algum ν, onde: ν = nπ l, n N α = deta > r = a 11 b 22 + a 22 b 11 2a 12 b 12 l,ν = αν 4 > l 1,ν = rν 2 l 2,ν = (ρ 1 a 22 + ρ 2 a 11 )ν 2 > l 3 = (ρ 1 b 22 + ρ 2 b 11 ) l 4 = ρ 1 ρ 2 > 53

62 Logo, as determinantes de Hurwitz são: D 1,ν = l 3 = ρ 1 b 22 + ρ 2 b 11. D 2,ν = l 3 l 2,ν l 1,ν l 4 = (ρ 1 b 22 + ρ 2 b 11 )(ρ 1 a 22 + ρ 2 a 11 )ν 2 rρ 1 ρ 2 ν 2 = (ã b rρ 1 ρ 2 )ν 2. D 3,ν = D 2,ν l 1,ν l,ν l3 2 = (2γr b 2 α)ν 4. D 4,ν = D 3,ν l,ν = αν 8 (2γr b 2 α). Se alguma das condições dadas não é verdadeira, aplicando o teorema (1.4.12) de Hurwitz, obtemos λ ν σ(a) tal que Re(λ ν ) logo, concluimos que w σ (A), isto é, w (A). Por tanto o semigrupo associado não é exponencialmente estável. O teorema (2.5.5) e a proposição (2.5.6) nos levan ao seguinte resultado. Teorema Sejam A, B uma matriz singular com max{b 11, b 22 } > e A o operador linear definido em (2.5). Então e ta é exponencialmente estável se, e somente se, 2γr b 2 α >. Na seguinte seção daremos um sistema que não satisfaz a condição do teorema (2.5.5) e não é exponencialmente estável Soluções Particulares A estabilidade exponencial de um semigrupo, e ta, de operadores limitados em H está fortemente relacionado ao comportamento assintótico da função U = e ta x que é solução 54

63 do problema AU = U t U() = x isto é, para qualquer x D(A), a solução possui decaimento exponencial. Se o semigrupo não for exponencialmente estável significa que existem dados iniciais, x D(A), tais que U = e ta x não posui decaimento do tipo exponencial. Daremos um exemplo de sistema que satisfaz o princípio de estabilidade linear (w (A) = w σ (A)) e que não é exponencialmente estável, compararemos este resultado com o teorema (2.5.5). Exemplo Consideremos o sistema com condições de fronteira u tt = u xx u t w t em (, π) (, ) (2.114) w tt = w xx u t w t em (, π) (, ) (2.115) e condições iniciais u(, t) = u(π, t) = w(, t) = w(π, t) = em (, ), (2.116) u(x, ) = sen(2x) ; u t (x, ) = em (, π). w(x, ) = ; w t (x, ) = em (, π). (2.117) Figura 2.2: Não decaimento exponencial Hipôtesis do teorema (2.5.5): 2γ := ã b rρ 1 ρ 2 2γr b 2 α > 55

64 Identificando constantes: ρ 1 = ρ 2 = 1 α = 1 ã = b = 2 r = 2 γ = 1 2γr b 2 α = Por outro lado as soluções do sistema (2.114)-(2.117) são dadas por u(x, t) = 1 2 cos(2t)sen(2x) + 1 ( 2 e t sen(2x) cos( 3t) + 1 sen( ) 3t) 3 w(x, t) = 1 2 cos(2t)sen(2x) + 1 ( 2 e t sen(2x) cos( 3t) + 1 sen( ) 3t). 3 Como podemos ver a solução não tem decaimento exponencial (ver figura 2.2). Agora daremos outras condições iniciais para obter decaimento exponencial das soluções. Figura 2.3: Decaimento exponencial Consideremos o sistema (2.114)-(2.117) com condições iniciais: u(x, ) = sen(2x) ; u t (x, ) = em (, π). w(x, ) = sen(2x) ; w t (x, ) = em (, π). (2.118) Neste caso as soluções são dadas por: ( ũ(x, t) = w(x, t) = sen(2x)e t cos( 3t) + 1 sen( ) 3t) 3 e podemos observar na figura (2.3) que as soluções apresentan decaimento exponencial. 56