Palavras chave: MATEMÁTICA, ORIGAMI, FRAÇÕES, LINGUAGEM MATEMÁTICA, EDUCAÇÃO BÁSICA.

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1 CONTRIBUIÇÕES DO ORIGAMI NAS AULAS DE MATEMÁTICA xxxxxx 1 xxxxxxxx RESUMO As atividades voltadas para o estudo das frações através origami apresentadas neste artigo fazem parte das pesquisas e dos projetos de ensino realizados na Universidade Federal Fluminense pela professora Eliane Moreira da Costa. Para a autora, possíveis dificuldades com as frações podem ser geradas pelo uso excessivo e prematuro das representações simbólicas e da ênfase dada à memorização dos procedimentos algébricos usados nas simplificações e nas operações. Os fundamentos teóricos destacados pela autora apontam para a necessidade de dar maior atenção à compreensão das primeiras noções que envolvem as frações, buscando apoio na visualização das malhas formadas no papel durante a construção dos modelos em Origami, para que o uso da linguagem matemática ganhe mais significado para os alunos. Palavras chave: MATEMÁTICA, ORIGAMI, FRAÇÕES, LINGUAGEM MATEMÁTICA, EDUCAÇÃO BÁSICA. CONTRIBUIÇÕES DO ORIGAMI NAS AULAS DE MATEMÁTICA O trabalho com matemática e origami que será apresentado neste artigo faz parte das atividades de pesquisa e dos projetos de ensino realizados na Universidade Federal Fluminense desde O acervo produzido ao longo destes anos inclui conteúdos de matemática que fazem parte do currículo da educação básica, desde os primeiros anos do ensino fundamental até as últimas séries do ensino médio, alcançando estudantes numa faixa etária que vai dos sete aos dezoito 1 xxxxxxx In xxx (Eds.). Anais do III Seminário Internacional de Educação Matemática. pp.xxx. São Paulo, Brasil. SIEMAT.

2 Contribuições do Origami nas aulas de Matemática anos de idade. Algumas atividades também são aplicadas no ensino superior nas turmas do Curso de Pedagogia 2 ou de Licenciatura em Matemática 3. Cabe ressaltar que este trabalho com matemática e origami não é uma nova metodologia porque não se aplica a todos os conteúdos e também não tem a pretensão de atender a todas as condições e necessidades para o aprendizado da Matemática. Na verdade os fundamentos teóricos que dão suporte às atividades propostas dão conta de encaminhar algumas sugestões para que o trabalho em sala de aula seja mais prazeroso e significativo, tanto para alunos quanto para professores. Grande parte dos alunos, principalmente os que já completaram os primeiros cinco anos da educação básica, declara não gostar da matemática. É possível que esta afirmação seja de fato uma ressonância da crença de que a Matemática está voltada para o interesse de poucos privilegiados, ainda que compulsoriamente ensinada a todos (MACHADO, 1991), contudo, convém atentar para o fato de que muitas resistências em relação ao estudo da matemática podem estar vinculadas às dificuldades experimentadas frente aos primeiros obstáculos. Sobre esta ótica cabe discutir o papel da linguagem matemática no processo de ensino e aprendizagem porque para aprender Matemática é necessário também ter o domínio da sua linguagem específica. Esta questão costuma estar presente em estudos que buscam explicar porque e quais são as dificuldades de aprender matemática: Outros estudos, ainda sobre o mesmo tema, como os de Laborde (1975), permitem que consideremos a aprendizagem da Matemática como aquisição e o domínio de uma nova linguagem, de uma língua estruturada e que se revelaria, por este motivo, estruturante. (SMOLE, 1996, pg. 64) Ainda sobre a relação e importância da linguagem matemática DEVLIN (2009) faz uma analogia brilhante entre os textos dos livros de matemática e as pautas musicais, revelando a necessidade de um leitor bem preparado para interpretar o que lê, mas reconhece que ambas, matemática e música, não se resumem apenas ao que está representado no papel. Hoje em dia, a maioria dos livros de matemática está cheia de símbolos. Mas a notação matemática não é a matemática em si, assim como notação musical não é música. Uma pagina de música representa um trecho de melodia, mas a música em si é o que você ouve quando notas da página são cantadas ou executadas por um 2 Formação de professores da educação infantil, dentre outros. 3 Formação de professores de matemática do ensino fundamental e médio. 2

3 xxxx instrumento. O mesmo vale para a matemática: os símbolos em uma página fornecem uma representação da matemática. Quando lidos por alguém treinado em matemática, os símbolos na página impressa ganham vida, a matemática vive e respira na mente do leitor. (DEVLIN, pg. 37) A presença marcante da linguagem matemática acontece quando se iniciam os primeiros estudos algébricos e, não por coincidência, exatamente nestas séries as dificuldades com a matemática se acentuam. De modo geral a iniciação algébrica está intrinsecamente relacionada ao domínio das representações simbólicas em seus diferentes contextos e significados e no conhecimento das regras e dos procedimentos gerais que permitem as manipulações destes símbolos. Algumas dificuldades encontradas pelos estudantes nesta etapa são apresentadas, por exemplo, no livro As Idéias da Álgebra, organizado por COXFORD e SHULTE (1995). A linguagem matemática é o alicerce necessário para uma abordagem científica e, por esta razão, não pode ser ignorada por qualquer que seja a proposta pedagógica visto que sem seus muitos símbolos, grande parte da matemática não existiria (DEVLIN, 2009). O reconhecimento da sua relevância para promover avanços conceituais pressupõe uma atenção especial dos professores em relação ao papel que desempenha na educação básica, mas nem por isso este reconhecimento deve se sobrepor ou desconsiderar a necessidade de um trabalho mais efetivo sobretudo na compreensão das idéias matemáticas. Muitos professores ainda não despertaram para a necessidade de criarem em sala de aula oportunidades para que os alunos possam trabalhar com os conteúdos matemáticos analisando gradativamente as possíveis formas de representá-los. Surpreendentemente, as situações em que o aluno trabalha corretamente no nível conceitual, mas tropeça na escrita simbólica são entendidas e consideradas como não matemáticas. Por exemplo, no contexto de uma pesquisa, destacada a seguir, evidencia-se na própria pergunta feita pelo entrevistador a concepção de que a matemática está associada muito mais à sua representação simbólica do que as idéias de que trata, tanto assim que ele, para induzir o uso da variável, pede para que a aluna escreva o que pensou usando matemática depois dela explicar oralmente e corretamente seu pensamento: Uma nave espacial viaja por etapas, cada uma com a mesma extensão: 3

4 Contribuições do Origami nas aulas de Matemática 4 Se a extensão de cada etapa é de 11 anos-luz, o que se poderia dizer sobre a distância percorrida em y etapas? Wendy: Há uma letra aí. Entrevistador: O que significa essa letra? W: Está indicando quantas etapas. E: Certo. Você seria capaz de dizer alguma coisa sobre a distância que a nave percorre? W: O quê? É para eu escrever o que faria? [Escreve Se y fosse um número, eu o multiplicaria por 11.] E: Agora você é capaz de escrever isso sem usar palavras, isto é, usando matemática? W: O quê? Como assim? É 11 vezes y? E: isso mesmo. (BOOTH, pg24) Para SMOLE exprimir-se com rigor não é uma condição prévia da atividade matemática e sim o efeito dessa atividade e para tanto cabe aos professores organizar atividades através das quais os alunos possam estar de fato explicitando suas idéias, argumentando entre si, tomando emprestada a oralidade da língua materna para que percebam, numa etapa posterior e a partir das situações vivenciadas, a necessidade e utilidade da linguagem matemática. Isto sim precisa ser reconhecido como uma etapa inicial e necessária para se pensar e fazer matemática. Neste sentido o Origami em sala de aula revela-se um excelente recurso auxiliar. Pelo menos é o que têm comprovado as experiências vividas nestes anos de trabalho. De modo geral, a escolha de um modelo é feita de acordo com o assunto que será gerado a partir das etapas de elaboração observadas no processo de sua construção, do quanto exigirá em relação ao desenvolvimento psicomotor dos alunos e do quanto o modelo possa despertar o interesse deles. Uma vez estimulados pela vontade de construir o modelo e imersos num ambiente que valoriza o pensamento expresso espontaneamente, sem as amarras e exigências do rigor e formalismo, gradativamente são introduzidas as representações simbólicas pertinentes, dando maior significado a linguagem matemática usada no contexto do tema. Nesta perspectiva, dentre os assuntos abordados estão as primeiras noções geométricas, os elementos e propriedades das principais figuras geométricas planas e espaciais, a verificação de alguns resultados como, por exemplo, o teorema de

5 xxxx Pitágoras e o estudo das frações. Este último assunto tem merecido uma atenção especial porque muitos alunos chegam ao ensino médio com muitas dificuldades em relação à compreensão conceitual e as operações com frações. Tanto assim que em 2006 foi publicado um livro propondo o trabalho com frações através do origami. Este também é o tema usado como modelo neste artigo para representar de que forma as propostas são desenvolvidas. Nos estudos iniciais das frações os exemplos usados mais freqüentemente não costumam ajudar muito. Dividir pizzas, bolos ou laranjas em partes iguais não parece muito convincente. Quem consegue realmente fazer com alguma precisão estas divisões? Talvez haja um excesso de confiança na capacidade de abstração dos alunos quando são desenhadas figuras no quadro para ilustrar as frações. Quase sempre estas figuras não atendem ao princípio básico das divisões em partes iguais e tudo se resuma a um ato de fé que não será suficiente para dar suporte às aprendizagens posteriores. Para trabalhar com frações é interessante notar que na elaboração de um modelo em Origami, são realizadas, em ordem, várias dobras no papel. Estas dobras ficam marcadas sobre a folha criando malhas quadriculadas, retangulares ou mesmo triangulares, que permitem explorar, com mais precisão as divisões do papel em partes iguais. A malha formada no papel, de acordo com o modelo escolhido, permitirá a visualização de algumas frações equivalentes, a compreensão da ordem entre elas e também o resultado de algumas operações. Desta forma, a representação fracionária e os procedimentos utilizados nas operações ganharão significado através da visualização. O que antes se apresentava como procedimento padrão puramente mecânico e com suporte num exercício predominantemente de memorização, se transforma em pensamento reflexivo sobre cada ação, numa viva articulação do pensamento algébrico e do pensamento geométrico. (COSTA, 2008) Uma simples proposição como, por exemplo, dobre o papel ao meio pode suscitar interessantes observações sobre a metade de uma folha de papel. A divisão deste mesmo papel em três partes iguais desafia a criatividade e estimula a capacidade de estabelecer novos padrões. 5

6 Contribuições do Origami nas aulas de Matemática Vale ainda ressaltar que os modelos em Origami podem ser encontrados em grande quantidade e variedade nos livros publicados especificamente sobre o tema, sendo que muitos estão disponíveis na internet. Contudo, como já foi dito antes, é imprescindível que a escolha destes modelos atenda aos interesses e características de cada classe e seja orientada pela observação das habilidades psicomotoras necessárias. O trabalho com frações através do origami tem sido mais completo nas turmas de pedagogia em que as aulas acontecem no período de um semestre com carga horária total de 60h/a. As experiências realizadas nas escolas ficam restritas a um máximo de 3h/a porque são incluídas como oficinas na programação dos professores e, quase sempre, ocupam os horários das aulas de matemática. Os registros que são feitos em cada caso são bem diferentes. Nas turmas do ensino básico há necessidade das Fichas de Atividades e nas turmas do curso de pedagogia cada aluna faz o seu portfólio e também uma prova escrita. As Fichas de Atividades são importantes para que os alunos sistematizem as idéias abordadas nas oficinas. Este momento é fundamental para as primeiras representações simbólicas usadas em matemática e também na articulação com o aprendizado da língua materna, pois, são muitas as deficiências em relação à leitura e a escrita. Para exemplificar, numa oficina realizada no Colégio Universitário Geraldo Reis 4, no trabalho com frações equivalentes foi escolhido o modelo do móbile e durante o processo de construção e observação cada aluno usou a Ficha de Atividades mostradas na figura 01. Nas turmas de pedagogia como o tempo disponível é maior, o estudo das frações inicia-se explorando a idéia da metade de uma folha de papel quadrada pedindo-se para que aos alunos dobrem o papel ao meio. Freqüentemente as respostas mostram o resultado do movimento conhecido em origami como justaposição de lados (figura 02), muito provavelmente pelo costume de dobrar cartas, declarações, convites e documentos em geral, juntando-se lado com lado para caberem e se adaptarem ao formato dos envelopes tradicionais usados para correspondências. O movimento conhecido como justaposição de pontas, quando 4 Colégio de Aplicação da Universidade Federal Fluminense 6

7 xxxx aparece, evidencia no grupo aqueles que já fazem origami. Exatamente para quebrar o padrão de respostas o primeiro modelo sugerido é aquele que mostrar a metade do papel na forma triangular como, por exemplo, o copo (figura 03). Figura 01 7

8 Contribuições do Origami nas aulas de Matemática Figura 02 Figura 03 Qualquer outro modelo que apresente a metade do papel na forma retangular pode ser construído em seguida, para que seja possível observar formas geométricas diferentes representando a metade de um mesmo inteiro (ou todo) 5. No modelo da flor (figura 04), a malha formada no papel permite concluir a equivalência entre estas duas formas geométricas, triangular e retangular, obtidas na representação da metade pela simples contagem dos quatro triângulos menores que compõe cada uma delas ou pelo deslocamento de um destes triângulos pequenos formando uma ou outra (figura 05). Figura 04 Figura 05 Os movimentos realizados durante a construção dos modelos em origami são fundamentais para uma melhor compreensão das idéias usadas como apoio à construção dos conceitos. Por exemplo, quando se quer mostrar a quarta parte como metade da metade, se o papel for dobrado inicialmente em dois retângulos, a segunda dobra deverá ser feita sobre o papel ainda fechado mostrando a forma retangular, para só depois ser aberto, observando-se as quatro divisões em partes iguais. 5 outras formas geométricas são trabalhadas, mas não serão tratadas neste artigo para não prejudicar a compreensão da proposta como um todo. 8

9 xxxx A idéia da metade sustentará todas as construções posteriores das frações com denominadores gerados a partir das sucessivas divisões em duas partes. O mesmo pode ser feito com as frações geradas nos modelos em que o papel é dividido em três partes iguais. Dividir o papel inicialmente em três partes iguais exige um pouco mais, tanto da capacidade de visualização, como também da habilidade psicomotora. Nada que não possa ser superado por um modelo estimulante. A compreensão dos procedimentos utilizados nas operações decorrerá do trabalho com as frações equivalentes extraídas da visualização dos resultados 1 1 através das malhas. Por exemplo, a operação poderá ser visualizada pela 2 4 justaposição do retângulo e do quadrado correspondentes respectivamente a metade e a quarta parte (figura 06) sendo esta nova configuração uma 3 representação geométrica do resultado. 4 Figura 06 A complexidade das malhas permitirá pouco a pouco o trabalho com frações ainda menores e a compreensão dos procedimentos adotados para as demais operações. É fundamental observar como cada aluno expressará graficamente o processo operatório realizado. Falar sobre a necessidade da redução das frações a um mesmo denominador nas operações de adição e subtração ganha significado observando-se as malhas. Concluir que o menor múltiplo comum entre os denominadores garantirá uma simplificação dos cálculos poderá ser uma etapa posterior, quando as malhas já não forem mais necessárias. Os resultados são animadores. Na turma do primeiro semestre 60% obteve nota máxima e os demais ficaram bem próximos. Uma aluna escreveu em sua avaliação final do curso: o que mais me fascinou foi aprender, pela primeira vez, fração. Eu nunca entendi e sempre decorei durante toda a minha vida escolar, pois 9

10 Contribuições do Origami nas aulas de Matemática para mim nunca fez sentido. A partir da malha do origami, eu finalmente consegui aprender. Outros depoimentos são igualmente relevantes, mas não caberiam aqui. São muitas as contribuições do origami no ensino da matemática. O que foi apresentado aqui é apenas uma milésima parte do que é possível fazer. Há muito mais para quem ousar experimentar. Com o origami é possível mostrar que a matemática pode ser ensinada de forma lúdica e prazerosa, sem comprometer a qualidade do processo, e que sua linguagem específica pode ser construída cuidadosamente como um momento particular da aprendizagem. REFERÊNCIAS COSTA, Eliane Moreira da. Enseñar y aprender matemáticas con origami. Separata de: Revista de Didáctica de las Matemáticas, Espanha: GRAÓ, ano XVII, n.53, p , jan./mar COSTA, Eliane Moreira da. Matemática e Origami Trabalhando Frações. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, COXFORD, A. F., SHULTE, A. P. (org.). As Idéias da Álgebra. São Paulo: Atual, DEVLIN, Keith J. O Instinto Matemático. Rio de Janeiro: Record, Tradução de: Michelle Dysman. FUSÊ, Tomoko. Multidimensional Tranformations Unit Origami. Japan Publications, Inc., KANEGAE, M. e IMAMURA, P. Origami Arte e Técnica da Dobradura de Papel. 7 ed. Aliança Brasil-Japão, São Paulo, SP, LINDQUIST, M., SHULTE, A. P. (org.). Aprendendo e Ensinando Geometria. São Paulo: Atual, MACHADO, N. J. Matemática e Língua Materna: análise de uma impregnação mútua. São Paulo: Cortez, NAKATA, Atsuko: Origami (Dobradura de Papel). Casa Ono Comércio E Importações ltda., São Paulo, Brasil. Volumes 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15 e 16. NUNES, T. & BRYANT, P. Crianças Fazendo Matemática. Porto Alegre: Artes Médicas, SMOLE, Kátia C. S. A Matemática na Educação Infantil: A Teoria das Inteligências Múltiplas na Prática Escolar. Porto Alegre: Artes Médicas, YAMAGUCHI, Makoto. Kusudama Ball Origami. Shutunotomo, Japan Publications. 10