Análise de Condições de Contorno para a Quantificação da Transferência de Massa Unidimensional em Regime Turbulento

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1 ISSN Análise de Condições de Contorno para a Quantificação da Transferência de Massa Unidimensional em Regime Turbulento Guilherme B. Lopes Júnior, Harry E. Schulz Núcleo de Engenharia Térmica e dos Fluidos e Departamento de Hidráulica e Saneamento, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. Av. Trabalhador São-Carlense, 4, CEP , São Carlos, SP. lopesjunior.gb@gmail.com, harry.schulz@pq.cnpq.br Resumo: O presente trabalho discute as condições de contorno aplicadas a uma quantificação de transferência de massa unidimensional em um escoamento turbulento utilizando uma proposta a priori para as flutuações das grandezas aleatórias. Tal estudo foi baseado em simulações numéricas utilizando o método de Runge-Kutta de terceira ordem, a fim de comparar os resultados obtidos com dados experimentais de transferência de massa unidimensional em grades oscilantes para a validação da metodologia implementada, resultando em uma análise de sensibilidade das condições de contorno a serem utilizadas no problema. Palavras-chave: condições de contorno; transferência de massa; turbulência, ondas quadradas aleatórias. Exposição do Problema Os estudos de escoamentos turbulentos têm sido realizados baseando-se na teoria estatística da turbulência, uma vez que geralmente interessa o comportamento médio das grandezas relevantes. A base geral para a análise estatística é a chamada decomposição de Reynolds, que consiste em dividir a grandeza aleatória em uma componente média, com comportamento mais suave, e uma parcela aleatória. Na presente abordagem indica a direção considerada. Tem-se: () Nas operações que se seguem para a obtenção das equações do transporte das grandezas médias, a não linearidade das equações originais passa a ser um empecilho, uma vez que se geram mais incógnitas do que equações, sendo este conhecido como o problema de fechamento em turbulência. Não existe ainda um consenso em como quantificar as parcelas adicionais, o que fez com que os estudiosos da área desenvolvessem conceitos aproximativos, exaustivamente testados e incrementados, de forma a poder atingir o objetivo prático de previsão de escoamentos turbulentos e do transporte de propriedades físicas a eles associados. O presente texto é baseado na metodologia inicialmente apresentada por [4] e [6], posteriormente rediscutida por [5] e [3], na qual é utilizada uma abordagem que simplifica a distribuição temporal da grandeza em estudo com o uso de ondas quadradas aleatórias, definindo funções com significado físico claro e que visam fazer com que as respostas buscadas através da simplificação sejam as respostas do problema original. Nos estudos [4] e [6] analisou-se, a partir desta consideração a priori, a transferência de massa unidimensional, onde todas as grandezas físicas e conceituais do problema de fechamento são delimitadas no início da abordagem. (Como comentário, vale mencionar que a abordagem a posteriori usualmente emprega modelos baseados na viscosidade turbulenta de Boussinesq, uma aproximação heurística que é posteriormente quantificada com proposições distintas). Este estudo de transferência turbulenta de massa é também abordado aqui. 2 Formulação Empregada As equações utilizadas no problema de transferência de massa (ver [3], [5] e [6]) foram: 39

2 ISSN (2) (3) Onde é média da concentração em um ponto, é a difusividade molecular do meio, é a oscilação da concentração em um ponto qualquer e é a oscilação da velocidade ao longo de para o ponto em questão. As médias dos produtos entre as flutuações ( e ) representam o fluxo de massa turbulento e o fluxo da intensidade da flutuação de concentração, respectivamente. A primeira equação é proveniente da equação de transferência de massa em regime turbulento e a segunda é um balanço dos momentos centrais de segunda ordem. Para a aplicação destas equações foi realizada uma simplificação do registro aleatório original para ondas quadradas aleatórias, na qual os valores de uma grandeza (no presente caso a concentração) oscilam entre dois valores extremos (para o caso bimodal presente) de maneira instantânea, o que pode ser visualizado na figura. Figura : comportamento da concentração e sua simplificação ao longo do tempo para uma seção z a partir de ondas quadradas aleatórias bimodais. (Extraído de [6]) Como pode ser observada na figura, a concentração possui como valores limites extremos: superior e inferior. Como se está trabalhando com as equações 2 e 3 unidimensionais em z, para uma posição qualquer, as concentrações variam de maneira instantânea entre uma concentração e, onde é a parcela média de redução da máxima concentração e é a parcela média de acréscimo da mínima concentração, ambas dependentes de. Como já mencionado, a metodologia utiliza funções com sentido físico claro, denominadas de função de partição, de redução e de superposição. A primeira decorre de uma ponderação temporal da concentração, sendo apresentada como: (4) Com isso: (5) 392

3 ISSN Com relação à função de redução, os limites de flutuação da concentração irão depender da posição ao longo da camada limite de transferência. Desta forma é preciso ajustar os valores extremos a partir de e. Isto foi feito considerando as variáveis P e N da figura c: (6) De maneira análoga: (7) Note-se que tem uma definição condicionada a uma relação adicional entre P e N (conservação de massa). A função de superposição caracteriza, como o nome já sugere, a superposição, no tempo, entre os sinais (relativos à média) de concentração e de velocidade e pode ser apresentada, conforme definido em [5] e [6] e também descrito em [3], como: (8) Observa-se em (8) que a função de superposição é definida com base em duas funções de partição, uma para a concentração (n, já definida) e outra para a velocidade (m, que é a função de partição para a velocidade e que segue os mesmos moldes de definição da função n). A partir destas funções básicas, considerando uma simplificação relativa à função, na qual sua média ao longo da camada-limite é utilizada (uma proposta que visou testar a metodologia), conforme destacado em [5], [6] e [3], obtém-se a seguinte equação diferencial parcial simplificada: [ ] [ ] [ ] [ ] (9) [ ] * + O domínio de aplicação desta equação é a região na qual a concentração média varia, ou seja, a camada-limite de concentração no problema aqui considerado. Nesta equação é a média da função de redução (que varia entre e ), é a posição adimensionalizada (também variando entre e ) e S=, onde é a espessura da camada limite de concentração e é o coeficiente de transferência de massa, uma constante relacionada com o crescimento da concentração em relação ao tempo no problema estudado, seguindo uma equação similar à lei do resfriamento de Newton (ver referência [6]). Os passos dedutivos, bem como a equação completa para uma função de redução variável podem ser vistos em [3], [5] e [6]. Vale observar que a equação apresentada decorre de uma equação diferencial parcial em relação à e t, embora só varie com z. As derivadas parciais temporais, no presente problema, foram 393

4 ISSN efetuadas considerando a equação constitutiva semelhante à lei de resfriamento de Newton já mencionada. Como consequência, na sequência dos procedimentos, a equação (9) é resolvida a partir de derivadas ordinárias. 3 Método de Resolução A equação ordinária (9) foi resolvida numericamente, no presente trabalho, pelo método de Runge-Kutta de terceira ordem, conforme descrito em []. As quantificações numéricas objetivaram verificar o comportamento da função de partição n e compará-la com os dados dispostos por [2], que apresenta resultados experimentais para diferentes condições experimentais. Esses dados foram estudados de forma adimensionalizada por [4] (enfatizando a variabilidade da função ), gerando também uma representação adimensional coesa para n, expressa por uma nuvem de pontos com mínima dispersão. Posteriormente, [6], [5] e [3] utilizaram este resultado experimental em suas análises. A resolução numérica de equações diferenciais pode depender de modo bastante intenso das condições de contorno. Considerando as três condições de contorno usuais para equações diferenciais, tem-se: Condição de Dirichlet: um valor específico da variável dependente é fornecido no contorno; Neumann: um valor específico para a derivada da variável dependente (ou gradiente) é fornecido no contorno; Cauchy (ou Robin): uma combinação linear dos dois primeiros tipos é fornecida no contorno. Como a equação diferencial apresentada é de terceira ordem, deve-se, portanto, trabalhar com pelo menos três condições de contorno. Fisicamente as condições de Dirichlet no início e fim da camada-limite de concentração são sempre conhecidas, bem como a condição de Neumann em. Esta é a condição ideal de trabalho e foi inicialmente adotada. Na utilização do método de Runge-Kutta, verificou-se que este conjunto de contornos não se adequou para a obtenção dos perfis de n, ao longo de z*, pelo menos como o conjunto de equações definido para o método a partir da equação (9) e a metodologia de cálculo adotada para o procedimento numérico (outras formas de definição e outros métodos eventualmente suplantarão esta dificuldade). Alterou-se, então, o conjunto de condições de contorno para se situarem apenas na origem de z* (isto é, em ). Foi imposta uma condição de contorno do tipo Neumann, uma do tipo Dirichlet e uma derivada segunda (a qual, por envolver a derivada, foi também denominada de Neumann em [3], para simplificação de nomenclatura, porém sem vinculá-la ao sentido físico de caracterizar o fluxo da grandeza física transferida). Desta forma foram obtidos excelentes perfis numéricos (bem ajustados aos perfis experimentais) e com um custo computacional muito baixo. Conforme destacado por [3], uma grande quantidade de simulações foi realizada com o método de Runge-Kutta de terceira ordem. Já as referências [6] e [5] mostram o uso do método de quarta e quinta ordens, bem como o conjunto de equações considerado para uso desse método e um endereço na Internet, que disponibiliza uma planilha para o cálculo numérico da função n considerando um valor médio para a função. A gama de valores testados para e a derivada segunda também é fornecida nas referências. 4 Resultados Nas figuras 2 e 3 podem ser vistos alguns resultados dispostos em [3]. A nuvem de pontos de [2] é destacada em cinza ([4], [6], [5] e [3]), enquanto que a curva contínua é o resultado numérico obtido por [3]. 394

5 ISSN ,9,8,7 n,5,3, z* Figura 2: Nuvem de pontos experimental e resultado numérico de (Extraído de [3]),8 para e. As condições de contorno utilizadas foram extraídas dos dados e estão dispostas na tabela Nota-se que o método utilizado impôs o uso de condições de contorno na origem. Nesse caso, os dados experimentais permitiram também ajustar a derivada segunda na origem, possibilitando a resolução matemática do problema, que foi o objetivo do estudo aqui descrito. Sua interpretação física depende de uma abordagem mais detalhada, que é função de cada caso estudado, mas que não é objeto do presente estudo. Essas condições foram ajustadas para que a forma da nuvem de pontos para n fosse adequadamente seguida em toda a sua extensão, inclusive conduzindo ao valor próximo a zero no final do domínio unitário. Tipo de Condição Condição de Contorno Dirichlet Neumann Derivada segunda Tabela : condições de contorno para a simulação da figura 2 (Extraído de [3]). Como mencionado, a derivada segunda possibilita a resolução matemática do problema com a utilização do Método de Runge-Kutta, mostrando que a metodologia utilizada para a resolução do problema de transporte turbulento é viável. Na análise dos contornos verificou-se que, com a mudança do valor médio da função de redução torna-se necessário alterar ao menos uma das condições de contorno. Conforme disposto por [3], pode-se variar ou a derivada segunda ou o conjunto das derivadas primeira e segunda, sendo possível obter resultados distintos em ambas as situações, mesmo que com diferenças sutis. Na figura 3 pode ser visto um exemplo desse tipo de variação. 395

6 ISSN ,9,8,7 n,5,3, 2,8 z* Figura 3: simulação para para condições de contorno distintas. As condições de contorno estão arroladas na tabela 2 (Extraído de [3]) As curvas () e (2), na figura 3, representam duas simulações distintas da equação (9), nas quais são alteradas as condições de contorno, conforme indicado na tabela 2. Observa-se que em ambos os casos há uma boa representação dos dados em questão para o mesmo valor de médio. Tipo de Condição Condição de Contorno Condição de Contorno Curva () Curva (2) Dirichlet Neumann Derivada segunda Tabela 2: condições de contorno para a simulação da figura 3 ([3]). Uma conclusão dessas avaliações numéricas é que podem existir muitas combinações (eventualmente inúmeras) de condições de contorno e que podem representar um conjunto de dados experimentais. No caso dos dados experimentais usados, considerou-se um valor para S. No entanto, apesar de a nuvem de pontos ser coesa, variações em S podem existir (no exemplo, aproximadamente entre 2 e ), o que contribui para a multiplicidade de combinações possíveis mencionada. O uso de médio se deve à busca da viabilização da metodologia proposta. Esta viabilização concentrou-se na reprodução da função de partição n observada experimentalmente, o que foi atingido com sucesso, conforme mostra a figura 3. Entretanto, a definição de é de que esta é uma função variável ao longo de. Os resultados múltiplos para as combinações de condições de contorno estão muito provavelmente ligados precipuamente à simplificação efetuada para o teste de viabilização da metodologia. Assim, o uso da metodologia com variável, ou seja, expresso como função de z*, deverá conduzir a resultados mais concisos, conforme enfatizado em [6], [5] e [3]. 396

7 ISSN Conclusões O problema de transporte turbulento de massa foi abordado utilizando a metodologia das ondas quadradas aleatórias e foi resolvido numericamente com o método de Runge-Kutta de terceira ordem, para médio constante. A atenção concentrou-se na análise das condições de contorno. Este estudo utilizou como condições de contorno na origem, na resolução da equação de terceira ordem, um valor da função (Dirichlet), um valor da sua derivada primeira (Neumann) e um valor da sua derivada segunda. Para obter o perfil matematicamente, isto se mostrou suficiente e aponta para a adequabilidade da metodologia. Entretanto, o problema físico geralmente está na obtenção dos fluxos das grandezas transferidas, ou seja, na obtenção da derivada primeira. Consequentemente, estudos são desejados para a obtenção dos fluxos e, mais uma vez, considera-se que a metodologia, aplicada com genérico (variável) deverá suplantar esse problema. Referências [] S. C. Chapra, R. P. Canale, Numerical Methods for Engineers. McGraw-Hill Education. 5ª Edição, Singapura, 26. [2] J. G. Janzen, Fluxo de Massa na Interface Ar-água em Tanques de Grades Oscilantes e Detalhes de Escoamentos Turbulentos Isotrópicos Tese de Doutorado, EESC Universidade de São Paulo, 26. [3] G. B. Lopes Júnior, Organização de Equações Estatísticas para Transferência de Massa em Processos Turbulentos, Dissertação de Mestrado, EESC - Universidade de São Paulo, 22. [4] H. E. Schulz, J. G. Janzen, Concentration Fields Near Air-Water Interfaces During Interfacial Mass Transport: Oxygen Transport and Random Square Waves Analysis, Brazilian Journal of Chemical Engineering, Vol. 26, Nº 3, pp , 29. [5] H. E. Schulz, G. B. Lopes Júnior, A. L. A. Simões, R. J. Lobosco, One Dimensional Turbulent Transfer Using Random Square Waves Scalar/Velocity and Velocity/Velocity interactions, em Hydrodynamics Advanced Topics (H. E. Schulz, A. L. A. Simões e R. J. Lobosco, eds.), pp. 3-34, InTech, Croácia, 2. [6] H. E. Schulz, A. L. A. Simões, J. G. Janzen, Statistical Approximations in Gas-Liquid Mass Transfer, em Gas Transfer at Water Surfaces 2 selected papers (S. Komori, W. McGillis, R. Kurose, eds.), pp , Kyoto University Press, Kyoto,