Representação por Log-Conformation de Leis de Conservação Hiperbólica com Termo fonte

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1 Representação por Log-Conformation de Leis de Conservação Hiperbólica com Termo fonte Luciene Ap. Bielça Silva, Messias Meneguette Júnior, Depto de Matemática e Computação, FCT, UNESP Presidente Prudente, SP lu.bielca@gmail.com, messias@fct.unesp.br Resumo: Este trabalho tem por objetivo estudar por meio de uma equação mais simples a afirmação de que a instabilidade numérica associada ao alto número de Weissenberg em equações com termo fonte pode ser solucionada por uma mudança de variável [3], denominada representação por conformação logarítmica. Neste trabalho, focaremos em leis de conservação hiperbólicas e, de forma mais específica, a equação de advecção linear com termo fonte. Aproximações por diferenças finitas, além do balanço convectivo imposto pela condição CFL, necessitam de uma análise quanto ao balanço elástico, devido à adição de um termo fonte. Veremos que a representação de tal equação por log-conformation remove a restrição de estabilidade inerente ao balanço elástico citado, apontado por [3] como causa do HWNP INTRODUÇÃO Este trabalho explora alguns aspectos importantes do tratamento numérico, bem como comparações com a solução exata, de uma equação diferencial parcial simples, quando a ela é adicionado um termo fonte, em analogia ao que ocorre na simulação de escoamentos de fluidos viscoelásticos. A procura de técnicas cada vez mais robustas é ainda fonte importante de pesquisa, principalmente porque equações mais completas motivam novos desenvolvimentos; este é o caso de uma equação com termo fonte. Um olhar ingênuo poderia induzir que equações sem fonte e com fonte são semelhantes e que, portanto, todo método numérico concebido para a primeira seria facilmente aplicado à segunda. Na verdade, isto nem sempre é válido. Em um contexto mais amplo, esta é a situação sintetizada, via de regra, pelo número de Weissenberg(Wi). Simplificadamente, quanto maior Wi, mais intensas as interações de natureza elástica e mais decisiva no escoamento a contribuição do termo fonte. No entanto, métodos clássicos comumente empregados esbarram em restrições quanto à magnitude de Wi, sobre as quais muito se discute a causa: se são restrições de natureza numérica ou se intrínseca ao próprio modelo viscoelástico. Tal situação tem incomodado e despertado o interesse de diversos pesquisadores nas últimas décadas, constituindo o chamado High Weissenberg Number Problem (HWNP). Recentemente, via a representação por conformação logarítmica da equação parcial (do inglês log-conformation representation ou, da sigla, LCR) há melhor indicação que a causa seja numérica [3]. Da mesma forma que a solução numérica sem fonte exige o correto balanço da convecção, a solução com fonte precisa levar em consideração o balanço entre os termos de natureza convectiva não-linear (que gera o caráter hiperbólico) e o termo fonte elástico (que introduz um caráter stiff na equação parcial). Efetivamente, buscamos neste trabalho analisar e reproduzir o mecanismo associado ao HWNP através do estudo de uma equação simplificada. Um problema simples que permite estudo amplo desses aspectos é a equação de advecção com fonte. Dada uma equação hiperbólica na forma conservativa, a adição de um termo fonte resulta em uma equação ainda hiperbólica. Porém, nem toda extensão de método numérico concebido para a primeira delas é adequado à segunda. A equação de advecção linear é uma equação hiperbólica, cuja solução numérica precisa respeitar à condição CFL para o correto balanço da convecção [5, 6]. Assim, seja a equação de advecção linear com termo fonte 1 HWNP: High Weissenberg Number Problem. 1

2 u t Termo transiente a u x Termo convectivo = b x 1 Wi u Termo fonte, (1) onde u = u(x,t), x [0,L], t > 0, b = b(x) > 0, a=a(x) é a velocidade de advecção e Wi é o número de Weissenberg. Esta equação, também hiperbólica, quando aproximada por métodos de diferenças finitas, além do balanço convectivo imposto pela condição CFL, necessita de uma análise quanto ao balanço elástico, resultante da adição do termo fonte [3]. A solução analítica da equação (1) pode ser deduzida como u x,t ={exp cx a, para x at exp ct, para at<x L}, onde x x [0, L] e c=b x 1 Wi. Neste trabalho, veremos que a restrição de estabilidade inerente ao balanço elástico citado, apontado por [3] como causa do HWNP quando da solução de (1), pode ser removida através de uma mudança de variável, denominada representação por log-conformation na equação em questão. 2. REPRESENTAÇÃO POR LOG-CONFORMATION No intuito de solucionar o problema de instabilidade acima mencionado, detalhamos e testamos aqui a metodologia proposta em [3]. Sem perda de generalidade, em (1), consideraremos a(x) = a > 0. Aproximando (1) por meio do Método Upwind de primeira ordem (para o termo convectivo) e Euler explícito (para o termo transiente), obtemos o esquema de onde segue U i,j+1 U i,j Δt +a U i,j U i 1, j Δx = b i 1 Wi U i,j, (2) U i,j+1 =U i,j 1 Δx +Δt b i Wi 1 i 1,j +U Δx. (3) Observação 1: Consideramos U i, j =U x j,t j como sendo a solução fornecida pelo esquema numérico no ponto x i,t j com b i = b(x i)., sendo Δx o passo espacial e Δt o passo temporal, Sob dadas condições, conforme [3,4], levando em conta a linearidade de (1), temos que o método numérico (3) será estável desde que e 1 Δx (4) 1 Δx +Δt b i 1 1. Wi (5) Observe que, para (5), é suficiente que 2

3 Wi< 1 b i (6) ou Δx a b i 1. (7) Wi Assim, além da restrição CFL (4), temos que (7) é uma restrição sobre o passo espacial da malha, imposta pelo balanço elástico [3]. Note que (6) e (7) são afetados pelo número de Weissenberg: em (7), temos que, quanto maior for Wi menor terá que ser Δt. Por outro lado, (6) mostra relação direta entre Wi e b. Assim, existe um Wi máximo permitido. Estas restrições de estabilidade são impostas pelo HWNP. A seguir, veremos que é possível remover a restrição (7) usando representação por logconformation, que é baseada no seguinte enunciado: Definição 1: A representação de uma equação parcial por log-conformation consiste em substituir uma escala de incógnitas presentes na equação parcial por incógnitas logarítmicas. Assim, para representar uma equação parcial cuja incógnita é u, deve-se fazer a mudança de variável ψ=log u, (8) de onde u=e ψ. (9) Logo, em (1), fazendo a mudança de variável (9), obtemos ψ t +a ψ x = b x 1 Wi, (10) que, por sua vez, corresponde a versão LCR da equação (1). A seguir, discretizamos (10) por diferenças finitas, considerando Ψ i,j =Ψ x i,t j como sendo a solução fornecida pelo esquema numérico no ponto x i,t j. Dessa forma, aproximando a equação (10) seguindo (2), obtemos o esquema Ψ i,j+1 =Ψ i,j 1 Δx i 1,j +Ψ Δx b i 1/Wi (11) Novamente, seguindo o raciocínio usado em [4], que leva em conta a linearidade de (11), a solução numérica fornecida por tal esquema será estável quando (i) Δx 1, (ii) 1 Δx 1. Dessa forma, temos que a equação de advecção linear com termo fonte representada por logconformation não impõe restrição de estabilidade no passo espacial Δx. Retornando às variáveis originais, nos resta [3] a condição menos restritiva Δx a log b i 1Wi. (12) 3

4 2.1 Resultados Numéricos A seguir, apresentaremos os resultados numéricos obtidos ao implementarmos em MATLAB a solução exata da equação (1), sua solução numérica por (3), sua versão LCR (11) e também outras versões, nas quais usamos esquemas TVD (Koren Limiter e Super Bee, conforme [2]) no termo convectivo da equação em questão Influência de t Tomando a=1, b=2, Wi=100, t=2, L=10, Δx = 0.1 e variando Δt, as Figuras 1,2,3 representam a solução numérica da equação (1) sem LCR e com LCR ao variarmos Δt. Comparando tais figuras podemos ver que, independentemente do passo temporal, a solução fornecida pelo caso com LCR (11) sempre acompanha o crescimento da solução exata; no entanto, na medida em que diminuímos Δt, a solução numérica fornecida pelo método com LCR sofre uma dissipação no ponto da descontinuidade de contato da solução. Já nos casos sem LCR a solução numérica converge para a solução exata na medida em que diminuímos Δt. A Tabela 1 mostra o erro relativo (norma 2) cometido em cada método ao variarmos Δt. Note que o erro pela norma 2, por ser global, reflete essa dissipação, mas na região em que a solução é constante, o LCR é muito mais preciso. Figura 1: t = 0,1 Figura 3: Δt = 0,01 Figura 2: t = 0,05 Figura 4: Δt = 0,001 4

5 MALHA ERRO CFL Δx Δt Koren Super LCR Upwind Limiter Bee e Tabela 1: Erro relativo cometido ao variarmos Δt Influência de Wi Tomando a=1, b=2, t=2, L = 10, Δx = 0.1 e Δt = 0.1, a Tabela 2 apresenta o erro relativo cometido pelos esquemas numéricos aqui utilizados ao tomarmos Wi = 1, 2, 5, 10, 50, 100, 500 e As Figuras 5, 6, 7 e 8 representam, respectivamente, a solução numérica da equação (1) ao tomarmos Wi = 10, 100, 500 e 1000; vale ressaltar que, para os demais valores de Wi considerados, as figuras obtidas são semelhantes às Figuras 5, 6, 7 e 8, sendo que em todas elas a aproximação produzida pelo caso com LCR (11) se mostrou mais eficiente, sempre convergindo para a solução exata. ERRO Wi Koren Super Bee LCR Upwind Limiter e e e e e e e e Tabela 2 Erro relativo cometido ao variarmos Wi Figura 5: Wi = 10 Figura 6: Wi = 100 5

6 Figura 7: Wi = 500 Figura 8: Wi = 1000 Na Tabela 2 podemos ver que, independentemente do Wi considerado, o erro relativo do método com LCR é sempre menor do que o erro relativo dos métodos sem LCR. 3. CONCLUSÃO Considerando discretização por Upwind de primeira ordem no termo convectivo e Euler explícito no termo transiente, vimos que ao incluirmos um termo fonte na equação de advecção linear é também inserida uma restrição de estabilidade (7) ao passo espacial da malha e, que tal restrição é influenciada pelo número de Weissenberg. Assim, quanto maior for Wi, menor necessita ser o passo espacial da malha, a fim de que a solução numérica fornecida pelo esquema seja estável. Esta situação está ligada ao HWNP. Assim como em [3], vimos que tal situação pode ser melhorada através de uma mudança de variável na equação parcial em questão, caracterizando a chamada representação por conformação logarítmica da equação parcial. Resultados numéricos foram obtidos corroborando com essa perspectiva. Referências [1] A. M. Afonso; F. T. Pinho; M. A. Alves, The kernel-conformation constitutive laws. J. Non-Newtonian Fluid Mech., vol , pp (2012). [2] J. A. Cuminato; M. Meneguette, Discretização de equações diferenciais parciais: técnicas de diferenças finitas. Submetido à SBM. [3] R. Fattal; R. Kupferman, Time-dependent simulation of viscoelastic flows at high Weissenberg number using the log-conformation representation. J. Non-Newtonian Fluid Mech., vol. 126, pp , (2005). [4] R. Fattal; R. Kupferman; M. A. Hulsen, Flow of viscoelastic fluids past a cylinder at high Weissenberg number: stabilized simulations using matrix logarithms. J. Non-Newtonian Fluid Mech., vol. 127, pp , (2005). [5] R. J. LeVeque, Numerical methods for conservation laws. Birkhauser, [6] F. P. Martins, Introdução ao método de volumes finitos para a equação 2D de Burgers. Relatório IC-FAPESP, FCT-UNESP, (2006) 6