Novo Esquema Convectivo para a Computação de Problemas em Dinâmica dos Fluidos

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1 Novo Esquema Convectivo para a Computação de Problemas em Dinâmica dos Fluidos Giseli A. Braz de Lima, Valdemir G. Ferreira Depto de Matemática Aplicada e Estatística, ICMC, USP, 56-97, São Carlos, SP giabl@icmc.usp.br, pvgf@icmc.usp.br Resumo: O trabalho trata da solução numérica de problemas em dinâmica dos fluidos usando um novo esquema upwind de captura de choque chamado SDPUS-C, para a discretização de termos convectivos (lineares/não lineares). O esquema é baseado nos critérios de estabilidade TVD e CBC, e testado em problemas de Riemann para leis de conservação gerais. O novo esquema é, então, aplicado na resolução de um problema de escoamento transiente incompressível D com superfície livre móvel. Os resultados numéricos demonstram que o esquema SDPUS-C funciona muito bem. Palavras-chave: Estratégia Upwind, Leis de Conservação, Equações de Navier-Stokes Introdução No processo de solução numérica de EDPs com caráter predominantemente convectivo, a precisão dos resultados é significativamente afetada pela escolha do esquema de convecção. Por eemplo, os esquemas clássicos de primeira ordem, como FOU (First-Order Upwinding) [] são dissipativos (suavizam a solução na presença de choque). Em contrapartida os esquemas de alta resolução, como QUICK (Quadratic-Upstream interpolation for Convective Kinematics) [6], são dispersivos (geram oscilações não físicas em regiões de altos gradientes). Para superar os defeitos apresentados pelos esquemas citados anteriormente, vem sendo utilizado aproimações não lineares que auto se ajustam de acordo com gradientes locais. No conteto dos critérios de estabilidade TVD (Total Variation Diminishing) e CBC (Convection-Boundedness Criterion), o trabalho apresenta um novo esquema upwind de alta resolução denominado SDPUS-C (Si-Degree Polynomial Upwind Scheme of C Class), cujo objetivo é a discretização de termos convectivos lineares/não lineares. Para verificar o desempenho e a versatilidade do novo esquema, resolvem-se problemas de leis de conservação gerais, tais como a equação linear de advecção D e equações não lineares de Euler D/D. O novo esquema é, então, aplicado na simulação do colapso de uma coluna de fluido sob ação da gravidade (escoamento transiente D incompressível com superfície livre móvel). Os resultados numéricos demonstram que o esquema SDPUS-C é preciso, gera resultados convergentes e é robusto. Base Teórica para Desenvolvimento do Novo Esquema Para a derivação do esquema SDPUS-C considera-se uma molécula computacional de três pontos: D (Downstream), U (Upstream) e R (Remote-upstream). As posições desses pontos dependem do sinal da velocidade V f de uma variável convectada φ em f, φ f (ver Figura ). Assim, o esquema é dado pela relação φ f φ f (φ D,φ U,φ R ). Para facilitar a análise, a variável original φ, numa posição arbitrária, é transformada em VN (variáveis normalizadas) de Leonard [6], dadas por ˆφ [ ] φ [ ] φ R φ D φ R, () 45

2 em que ˆφ R e ˆφ D. Portanto, qualquer esquemas upwind de alta resolução que dependa dos três pontos D, U e R, pode ser reescrito na forma simplificada ˆφ f ˆφ f (ˆφ U ). φf φ f R U f D D f U R Vf V f Figura : Posições dos nós D, R e U conforme o sinal da velocidade V f de uma variável convectada. Nesse conteto, Leonard [6] mostra que para se derivar um esquema upwind, linear por partes ou não linear, monotônico (livre de oscilações) e que atinja terceira ordem, as seguintes condições sobre ˆφ f ˆφ f (ˆφ U ) (para ˆφ U [,]) devem ser impostas: ˆφf () ; ˆφf () ; ˆφ f ( ) 4 (condição para segunda ordem de precisão); ˆφf ( ) 4 e ˆφ f ( ) 4 (condição para terceira ordem de precisão). Leonard ainda recomenda que para ˆφ U / [,] o esquema deve ser estendido de maneira contínua pelo esquema FOU []. Ainda nesse conteto, Lin e Chieng [9] dizem que se ˆφ f ˆφ f (ˆφ U ) for continuamente diferenciável em todo o domínio, então os problemas de convergência em malhas grosseiras são evitados. Em busca por esquemas upwind limitados, Gaskell e Lau [4] propõem o critério CBC (Convection Boundedness Criterion), definido por ˆφ f [ˆφ U,], se ˆφU [,], ˆφ f, se ˆφU, ˆφ f, se ˆφU, ˆφ f ˆφ U, se ˆφU / [,]. Um outro conceito importante são as restrições TVD (Total Variation Dimininshing), introduzidas por Harten [5], que combinam monotonicidade e alta ordem de precisão. Formalmente, dada a sequência de aproimações discretas φ(t) φ i (t) i Z, a variação total (TV - Total Variation) da solução discreta, no nível de tempo t, é definida por TV (φ(t)) i Z φ i+(t) φ i (t). Então, o esquema será TVD se TV (φ n+ ) TV (φ n ). () O Esquema SDPUS-C Para a derivação do esquema SDPUS-C, considera-se parte de um polinômio de grau seis, para ˆφ U [,], dado por ˆφ f (ˆφ U ) 6 q b q ˆφ q U e o esquema FOU, dado por ˆφ f ˆφ U, para ˆφ U / [,]. Mantendo o coeficiente b γ como um parâmetro livre, os demais coeficientes são determinados aplicando-se as condições de Leonard, anteriormente citadas. Para fechar o sistema considera-se ˆφ f () e ˆφ f (), assim a relação funcional passa ser continuamente diferenciável em todo o domínio (ver [9]). O esquema SDPUS-C em VN é dado por ( 4+ 4γ)ˆφ 6 U ˆφ + (68 γ)ˆφ 5 U + ( 64+γ)ˆφ 4 U + ( 6γ)ˆφ U + γ ˆφ U + ˆφ U, ˆφU [,], f ˆφ U, ˆφU / [,], (4) com o limitador de fluo correspondente (veja [8] para detalhes) { ψ(r) ma, em que r ˆφ U ˆφ U é um sensor de gradientes..5( r + r)[( 8 + γ)r + (4 4γ)r + γr] ( + r ) 5 () }, (5) 45

3 Vale salientar que com as considerações e conceitos introduzidos por Harten [5], Sweby [] definiu a região TVD. Essa região é definida por conjuntos de restrições impostas para o esquema e seu respectivo limitador de fluo. A Figura mostra que o esquema SDPUS-C é TVD para γ [4,], uma vez que para esses valores (4) e (5) estão inseridos na região TVD. Neste trabalho considera-se γ (ver [8]).,8 Limitador de fluo γ 4 γ 6 γ 8 γ,5 γ ˆφf,6,4, Esquema γ 4 γ 6 γ 8 γ γ ψ,5,,4,6,8 ˆφ U r Figura : Esquema SDPUS-C (à esquerda) e limitador de fluo (à direita) na região TVD. 4 Resultados Numéricos Nesta seção, resolvem-se problemas de leis de conservação D e D com o objetivo de testar o esquema SDPUS-C. Na sequência, como aplicação, é simulado o problema do colapso de uma coluna de fluido sob à ação do campo gravitacional. 4. Leis de Conservação D e D As leis de conservação hiperbólicas D são definidas por φ t + F(φ) em que φ φ(,t) é o vetor de quantidades conservadas e F(φ) F(φ(,t)) é a função fluo convectivo. Neste trabalho são considerados dois casos particulares, a saber: Equação de Advecção D: Com o vetor das variáveis conservadas e a função fluo (linear) dados, respectivamente, por φ u e F(u) u; Equações de Euler D: Com o vetor das variáveis conservadas e a função fluo (não linear) dados, respectivamente, por φ [ρ,ρu,e] T e F(φ) [ρu,ρu + P,u(E + P)] T. As variáveis ρ, u, ρu, E, P são a massa específica, a velocidade, a quantidade de movimento, a energia total e a pressão, respectivamente. Para fechar o sistema, é considerada a equação do gás ideal P (λ )(E ρu ), em que λ.4 é a razão do calor específico. Para os problemas D, as leis de conservação são dadas por φ t + F(φ) + G(φ) y, em que φ φ(,y,t) é o vetor de variáveis conservadas, F(φ) F(φ(,y,t)) e G(φ) G(φ(,y,t)) são as funções fluo. Em particular considera-se: Equações de Euler D: Com o vetor das variáveis conservadas dado por φ [ρ,ρu,ρv,e] T e as funções fluos (não lineares) por F(φ) [ρu,ρu +P,ρuv,(E+P)u] T e G(φ) [ρv,ρuv,ρv + P,(E + P)v] T. As variáveis [u,v] T e [ρu,ρv] T, são os vetores velocidade e quantidade de movimento, respectivamente. Para fechar o sistema, é considerada a equação do gás ideal P (λ )(E ρ(u + v )), com λ.4. Teste - Advecção de Escalares D: Neste teste compara-se o desempenho do esquema SDPUS-C com o do esquema consagrado WENO de terceira ordem []. Para isso, considera-se 45

4 o transporte de uma onda quadrada, em [,.5], definida pela condição inicial {, se u () 5 5,, se caso contrário. As condições de contorno utilizadas são Dirichlet homogêneas. Para a simulação são considerados 5 células computacionais, número de Courant δt δ θ.5 e tempo final de simulação t.8. A Figura, à esquerda, apresenta a comparação da solução eata com os esquemas WENO e SDPUS-C (para [,.5]) e, à direita, estão os erros absolutos E abs pontuais cometidos por esses esquemas. Observa-se, por esta figura, que os resultados do esquema SDPUS-C são mais satisfatórios que os do WENO. Salienta-se que o E abs do SDPUS-C (em que o máimo do E abs é ma{e abs }.966 ) é menor que o do WENO (em que ma{e abs } ) o que pode ser constatado na Figura (à direita). (6) Eata WENO SDPUS-C,5 WENO SDPUS-C u,5 EA(),5,5,5,5,5 Figura : Comparação das soluções (à esquerda) e confronto dos erros absolutos (à direita) gerados pelos esquemas WENO e SDPUS-C para a equação de advecção (Teste ). Teste - Equações de Euler D: Neste caso considera-se múltiplas interações de choques fortes em que as equações de Euler são definidas em [,], com etrapolação de ordem zero no contorno e condições iniciais dadas por [ρ, u, P ] T [,, ] T,., [,,.] T,. <.9, [,, ] T,.9 <. Este teste é simulado no software CLAWPACK (Conservation LAW PACKage) [7] em que as soluções são calculadas pelo método de Godunov, com termo de correção em que aplicase o limitador de fluo MC (Monotonized Central - difference limiter) [7], para a solução de referência, e o SDPUS-C é equipado no software para o cálculo da solução numérica. A Figura 4 mostra a comparação entre as soluções de referência (em células computacionais, com θ.5) e a numérica (em células computacionais, com θ.8) para ρ, à esquerda, e P, à direita, em t.9. Pode ser observado, por essa figura, que o esquema oferece resultados satisfatórios em que os vales e os picos são capturados sem oscilações. Teste - Equações de Euler D: Neste caso considera-se a interação de dois choques oblíquos (estados a e c) com dois choques normais (estados b e d). As equações de Euler são definidas em [,] [,], com etrapolação de ordem zero no contorno e condições iniciais dadas por [.5,,,.5] T, estado a, [ρ, u, v, P ] T [.799,.6454,.6454,.9] T, estado b, [.558,.6454,,.] T (8), estado c, [.558,,.6454,.] T, estado d. (7) 454

5 6 4 Referência SDPUS-C 5 Referência SDPUS-C ρ P 5,5,5 Figura 4: Soluções para as equações de Euler D (Teste ), ρ (à esquerda) e P (à direita). As soluções são calculadas no software CLAWPACK pelo método Godunov com termo de correção, aplicando-se o limitador de fluo MC (para solução de referência com θ.5) e SDPUS-C (com θ.8.), em malhas uniformes de células computacionais. Na Figura 5 apresentam-se as soluções para o contorno de ρ, em t.8, em que pode ser observado que a estrutura gerada pela solução de referência (à esquerda) é satisfatoriamente capturada pela solução do esquema SDPUS-C (à direita). Na Figura 6 comparam-se as soluções (de referência e numérica) para ρ sobre y. Pode ser observado, por essas figuras, que os resultados numéricos estão em ótima concordância com a solução de referência. Figura 5: Solução de referência (à esquerda) e o esquema SDPUS-C (à direita) para as equações de Euler D (Teste ), para o contorno de ρ. 4. Equações de Navier Stokes As leis consideradas para a simulação de escoamentos incompressíveis no regime laminar, são as equações de Navier-Stokes e continuidade D, dadas (em notação de Einstein), respectivamente, por u i t + (u iu j ) j P i + R e ( ui ) + Fr g i, i,, (9) j j u i, () i 455

6 Referência SDPUS-C ρ,5,5,75 Figura 6: Comparação entre as soluções para as equações de Euler D (Teste ), ρ em y. em que u é o vetor velocidade, P é a pressão e g vetor gravidade. Os parâmetros adimensionais Re U L ν e Fr U são, respectivamente, os números de Reynolds e Froud, com ν o coeficiente de viscosidade cinemática (constante), e U e L as escalas de velocidade e comprimento L /g característicos, respectivamente. Teste 4 - Navier-Stokes D: Neste caso considera-se uma coluna de fluido (quadrada de lados a b.57m) em equilíbrio hidrostático, confinada entre paredes impermeáveis fias e sujeita à ação da gravidade. Para simulação consideram-se a condição de contorno free-slip aplicada nas paredes rígidas, células computacionais, um domínio de.5m.m, g 9.8m/s, L a.57m, V g L.74778m/s, ν 6 m /s, Re 46.7 e Fr. A Figura 7 mostra a comparação entre os dados apresentados por Colagrossi e Landrini [] e o resultado do esquema SDPUS-C para o espalhamento horizontal do fluido ma, em função do tempo, com t.s. Por essa figura, observa-se que o resultado numérico obtido com o esquema SDPUS-C está em ótima concordância com o dados apresentados por Colagrossi e Landrini. 4 Num. (SPH) de Colagrossi e Landrini () Num. (BEM) de Greco et al. () Num. (Level Set) de Colicchio et al. () Sol. de Ritter (98) Ep. de Martim e Moyce (95) SDPUS-C ma/a,5,5,5 t g/a Figura 7: Comparação entre os dados por Colagrossi e Landrini e o esquema SDPUS-C para ma em função do tempo (Teste 4). 456

7 5 Conclusões e Trabalhos Futuros Neste trabalho o novo SDPUS-C, para a discretização dos termos convectivos, foi apresentado e seu desempenho foi avaliado na resolução de problemas de leis de conservação (advecção de escalares D e equações não lineares Euler D e D). Como aplicação o esquema foi empregado na resolução do colapso de uma coluna de fluido envolvendo uma superfície livre móvel. Os resultados numéricos obtidos mostraram claramente que o esquema SDPUS-C pode ser usado com confiança na simulação de sistemas hiperbólicos e problemas compleos de escoamentos de fluidos. Para o futuro, esse esquema será aplicado na resolução de escoamentos incompressíveis newtonianos/não newtonianos D com superfícies livres móveis. 6 Agradecimentos Agradecimentos a FAPESP (Processos: 9/ e 8/767-9) e ao CNPq (Processos: 479/8-5 e 446/9-) pelo suporte financeiro. Referências [] D. S. Balsara e C. W. Shu, Monotonicity preserving weighted essentially non-oscilatory scheme with increasingly high orde of accuracy, journal of Computational Physics, 6 () [] A. Colagrossi e M. Landrini, Numerical simulation of interfacial flows by smoothed particle hydrodynamics, Journal of Computational Physics, 9 () [] R. Courant, E. Isaacson e M. Rees, On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences, Community Pure Applied Math., 5 (95) [4] P. H. Gaskell e A. K. C. Lau, Curvature-compensated convective transport: Smart, a new boundedness preserving transport algorithm, Int. Journal for Num. Meth. in Fluids, 8 (988) [5] A. Harten, High resolution schemes for hyperbolic conservation laws, Journal of Computational Physics, 49 (98) [6] B. P. Leonard, Single high-accuracy resolution program for convective modelling of discontinuites, Int. Journal for Num. Meth. in Fluids, 8 (988) 9-8. [7] R. J. LeVeque, Finite volume methods for hyperbolic problems, Press Syndicate of the University of Cambrige, 4. [8] G. A. B. Lima, Desenvolvimento de estratégias de captura de descontinuidades para leis de conservaćão e problemas relacionados em dinâmica dos fluidos, Dissertaćão de Mestrado, ICMC-USP,. [9] H. Lin e C. C. Chieng, Characteristic-based flu limiters of an essentially third-order flusplitting method for hyperbolic conservation laws, Int. Journal for Num. Meth. in Fluids, (99) [] P. K. Sweby, High resolution schemes using flu limiters for hyperbolic conservation laws, SIAM Journal on Num. Analysis, (984)