OS TIPOS DE PROVAS APRESENTADAS POR ALUNOS DO 8º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL EM ATIVIDADES DE CONSTRUÇÃO DA MEDIATRIZ

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1 OS TIPOS DE PROVAS APRESENTADAS POR ALUNOS DO 8º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL EM ATIVIDADES DE CONSTRUÇÃO DA MEDIATRIZ Susilene Garcia da Silva Oliveira Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Marilena Bittar Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Resumo: Neste artigo relatamos dados parciais de uma pesquisa relacionada à elaboração, realização e análise de uma engenharia didática para o estudo das argumentações produzidas por alunos do 8º ano do Ensino Fundamental em atividades de construções geométricas. A seqüência didática foi construída usando atividades inspiradas na Teoria das Situações Didáticas tendo como fundamentação teórica a Tipologia de Provas e como metodologia de pesquisa a Engenharia Didática. Neste texto apresentamos dados relativos à sessão sobre o conceito de mediatriz que é composta por quatro atividades envolvendo Construções Geométricas. Palavras-chave: Seqüência didática; Mediatriz; Geometria; Construções Geométricas. INTRODUÇÃO Segundo Boavida (2005) o interesse da Educação Matemática pela argumentação matemática é recente se compararmos às outras problemáticas de pesquisa. Esse interesse também pode ser observado nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) que tratam a argumentação como um fator positivo, na resolução de problemas, para a aquisição do conhecimento por parte do aluno. Segundo os PCN a argumentação é sugerida para ser desenvolvida no Ensino Fundamental: É desejável que no terceiro ciclo se trabalhe para desenvolver a argumentação, de modo que os alunos não se satisfaçam apenas com a produção de respostas a afirmações, mas assumam a atitude de sempre tentar justificá-las. Tendo por base esse trabalho, pode-se avançar no quarto ciclo para que o aluno reconheça a importância das demonstrações em Matemática, compreendendo provas de alguns teoremas. (BRASIL, 1988, p. 71) Mas apesar dessa recomendação o alcance em sala de aula continua quase inexistente. Pesquisas como as de Pontes, Matos e Abrantes (1998), Ramalho (2002) e Boavida (2005) mostram que esta realidade está muito longe da sala de aula já que a 1

2 ausência de atividades que levem a essa prática resulta na falta de respostas dos alunos. Outro fator é apresentado por Chevallard, Bosch e Gascón (2001): os alunos ainda não se comprometem com a coerência, avaliação ou análise crítica do que ouvem, não apresentando, portanto, justificativas em atividades onde lhes é cobrado esse procedimento. Escolhemos então a Geometria como o campo da Matemática capaz de nos fornecer algumas condições favoráveis, pois entendemos que um problema envolvendo conceitos geométricos pode levar o aluno a discutir, argumentar e fundamentar sua resolução. Se apresentarmos um problema onde seja necessária a construção de uma mediatriz há dois procedimentos básicos para a sua resolução, realizar a construção pedida sem justificar a construção realizada ou justificar essa construção por meio de alguma argumentação. É esse o caminho que escolhemos para essa pesquisa: a validação da construção realizada. A ARGUMENTAÇÃO E A TIPOLOGIA DE PROVAS Uma posição da corrente francesa em Didática da Matemática segundo Quaranta e Tarasow (2003) é que os alunos devem, em determinados períodos, trabalhar utilizando seus conhecimentos como ferramenta na solução de problemas de modo autônomo na apropriação de conceitos. Para essa apropriação é necessário organizar situações que promovam o processo de validação das suas respostas. Para Margolinas, A situação de validação é uma organização específica do meio de modo que as mensagens trocadas com o meio sejam afirmações, teoremas, demonstrações, emitidas e recebidas como tais. A situação de validação visa à produção explícita de provas pelos alunos. No caso da corrida ao 20, esta situação é realizada na cena final. O que caracteriza a situação de validação é o desafio explícito da verdade das afirmações. (1993, p. 78, tradução nossa). Dentro desse conceito apresentamos a argumentação como um fator que segundo, os PCN (BRASIL, 1998), pode auxiliar na aquisição do conhecimento por parte do aluno. Nesse processo de validação os alunos podem elaborar explicações que, segundo Balacheff, citado por Margolinas (1993), podem ser uma prova ou demonstração. 2

3 Para Balacheff (1992) a explicação é um discurso que oferece uma ou várias razões para tornar compreensível uma afirmação e pode ser analisada em duas categorias: provas pragmáticas e provas intelectuais. O possível acesso ou não a experiência constitui uma característica da situação e vai desempenhar um papel fundamental na aplicação do processo de validação. A execução de uma decisão, ou o conteúdo de uma afirmação permite chamarmos validações pragmáticas ou provas pragmáticas as produzidas pelo aluno com o objetivo de estabelecer a validade de uma proposição. Quando o acesso a execução não é possível então as validações são intelectuais e as provas produzidas são provas intelectuais. (BALACHEFF, 1996, p. 110, Grifo do autor, tradução nossa). As provas conceituais envolvem a linguagem e, para Balacheff, passa por quatro níveis de desenvolvimento: empirismo ingênuo apresentação de um exemplo como validação; experiência crucial realização de várias experiências buscando uma validação; exemplo genérico inicio de deduções, as demonstrações cruas ; e experiência mental - demonstração. Para verificar a aquisição de conceitos geométricos por parte dos alunos escolhemos usar duas tecnologias: régua e compasso e um software de Geometria Dinâmica o Cabri-Géomètre. Segundo Almeida (2007, p. 72) não importa a mídia utilizada os algoritmos ou procedimentos empregados nas construções de figuras geométricas traduzem ou empregam proposições geométricas. Vergnaud e Gomes (2004) sugerem o uso das duas tecnologias uma vez que cada uma favorece um determinado conjunto de propriedades geométricas. A utilização de tecnologias diferenciadas pode contribuir para a aquisição do conhecimento e segundo Bittar, Chaachoua e Nicaud: [...] é importante desenvolver materiais e estratégias de ensino que dêem ao aluno maior controle sobre suas atividades, o que é fundamental para que ele se torne co-responsável por sua aprendizagem. Nesse campo são bastante conhecidos alguns softwares de Geometria que permitem ao aluno controlar a atividade realizada por meio de diversos tipos de retroações, dentro de uma perspectiva construtivista de aprendizagem. (p. 78, 2005). 3

4 Sabemos que a utilização dessas tecnologias, em conjunto, pode levar os alunos a apresentar concepções 1 diferentes nesses ambientes como podemos observar nas pesquisas desenvolvidas por Bittar et al. (2005), Almeida (2007), Santana (2005). Mas analisar estas concepções não foi o objetivo desse trabalho. Conhecemos e concordamos com os resultados apresentados nas pesquisas anteriormente citadas, sabemos que os alunos podem desenvolver diferentes estratégias na resolução de atividades, possibilitando determinadas formas de respostas em cada ambiente utilizado. Entretanto, esse não foi o foco da nossa pesquisa. Usamos a Engenharia Didática de Artigue (1988) para elaborar, realizar, observar e analisar esta sessão. Esta metodologia carrega uma visão de aprendizagem, gera mudança; não serve apenas para diagnosticar, retirar dados e atribuir julgamentos. Em uma análise preliminar foi possível diagnosticar e identificar algumas dificuldades e obstáculos em relação ao conteúdo pesquisado está análise foi feita com vista a fornecer elementos para a análise a priori. A ANÁLISE DA QUARTA SESSÃO APLICADA. A pesquisa foi realizada em uma escola da rede privada, com alunos do 8º ano do Ensino Fundamental. O grupo observado foi composto por oito alunos escolhidos da seguinte forma: A1, A2 e A3 apresentam dificuldades em todas as disciplinas do 8º ano; A4, A5, A6 - apresentam algumas dificuldades em Matemática; A7, A8 não tem dificuldades. A sequência didática foi elaborada com 10 sessões. As três primeiras sessões reuniram atividades de procedimentos básicos de construção geométrica construção do ponto médio, retas perpendiculares, ponto equidistante de um ponto dado. Essas sessões foram realizadas em grupo ou individualmente Apresentamos a sessão 4 Construção da mediatriz, realizada em dupla. Essa sessão teve por objetivo a construção da mediatriz de um segmento. A atividade 1 é uma aplicação e exploração de procedimentos de construção, já utilizados em sessões anteriores aos quais não tínhamos intenção de avaliar. Esta atividade não apresentou dificuldade por parte dos alunos para ser executada. Inferimos que este fato se 1 Para Artigue (1991), citado por Bittar et al (2005) a concepção é um objeto local, estreitamente associado ao saber e aos diferentes problemas em cuja relação ela intervém; [...]. 4

5 deve a apresentação prévia e assimilação dos elementos de construção do ponto médio e da reta perpendicular. Nesta fase o auxílio, entendido como uma orientação no uso da régua e compasso, ao aluno foi permitido. Atividade 1. Com o uso da régua e compasso encontre o ponto médio do segmento AB. Desenhe usando régua e compasso o segmento perpendicular passando pelo ponto médio. Por ser uma atividade de fácil resolução que utiliza procedimentos discutidos anteriormente não apresentamos aqui sua resolução. A atividade 2 pode ser visualizada no quadro 1. QUADRO 1 Procedimentos utilizados pelos alunos na atividade 2, sessão 4. Atividade 2: A mediatriz de um segmento é a reta perpendicular que passa ao mesmo tempo pelo seu ponto médio. O que você construiu é a mediatriz do segmento AB? Como você justifica sua resposta? A1 e A2 A3 e A4 Empirismo ingênuo, com a utilização da régua mediram os segmentos. A5 e A6 A7 e A8 Empirismo ingênuo com a seguinte justificativa Nesta atividade obtivemos um padrão nas respostas, quase todas mencionando o uso da régua e compasso na construção da mediatriz, utilizando os mesmos procedimentos de construção de ponto médio e reta perpendicular. Barreto (2005) diz que ao construir a 5

6 mediatriz com alunos do 8º ano do Ensino Fundamental pôde observar também que, os alunos, quando utilizam procedimentos de construção conseguem se apropriar dos conceitos geométricos e propriedades da mediatriz e realizar atividades, posteriores, nas quais esse conceito era exigido. Destacaremos aqui a terceira atividade da sessão. As atividades eram desenvolvidas no laboratório da informática e os alunos tinham sempre a mão o software. Eles utilizaram a régua e compasso e, ao mesmo tempo, o software indo ao encontro do que nos diz Bittar (2000), sobre o uso integrado do computador à prática pedagógica do professor de modo a oferecer novas possibilidades de progressão e não simplesmente ilustrar conceitos aprendidos. A união destes dois ambientes o tornou um meio constituído por dificuldades que poderiam aparecer com o uso de qualquer um dos instrumentos tais como a manipulação e a argumentação desenvolvida a partir do seu uso e ao mesmo tempo oferecia a oportunidade de resolução do problema. QUADRO 2 Procedimentos de resolução da atividade 3, sessão 4 Atividade 3: A mediatriz também pode ser descrita como um conjunto de pontos que apresentam alguma propriedade interessante relacionada com a distância. Que propriedade é essa? Justifique sua afirmação. A1 e A2 Empirismo ingênuo, a régua foi utilizada para efetuar a descoberta. A3 e A4 experiência crucial A3: Professora, a mediatriz é igual a circunferência? P: Como assim? A3: Ela tem distância igual. P: que distância? A4: Não sei explicar. 6

7 . A3: Eu sei, acho... como a senhora falou que a circunferência era na outra aula? P: A circunferência era um Lugar geométrico. A3:É, a mediatriz também pode ser um LG? P: pode? Por quê? A3: Por ter uma propriedade, a reta mediatriz está no meio do segmento e se marcar um ponto nela vai ter a mesma distância do extremo do segmento. P: você tem certeza? A3: tenho professora eu fiz no Cabri também. A5 e A6: experiência crucial com uma tentativa de formalização no conceito de mediatriz. A7 e A8 - experiência crucial com uma tentativa de formalização no conceito de mediatriz. Conseguimos nesta sessão os três tipos de prova apresentados por Balacheff (1988), empirismo ingênuo, experiência crucial e exemplo genérico. Salientamos que em todas as 7

8 atividades o Cabri-Géomètre foi utilizado para oferecer dados, que ajudassem nas argumentações apresentadas pelos alunos. RESULTADOS ENCONTRADOS Da análise feita, pode-se inferir que as construções geométricas foram utilizadas com frequência pelos sujeitos da pesquisa, este fato nos impediu de chegar de certo modo ao último nível de prova descrito por Balacheff (1988). Mesmo utilizando dois ambientes, não podemos dizer que um ou outro foi privilegiado, as sessões diversificadas exigiam em certos momentos a utilização do software, mas isso não era garantia do seu uso. Inferimos que essa atitude se deva ao fato de que mesmo com o Laboratório de Informática à disposição dos alunos, poucos professores utilizam em atividades envolvendo conteúdos matemáticos. Durante a realização das sessões foi possível observar que a novidade das aulas contagiou alguns alunos mesmo quando esses faziam parte do grupo dos alunos com mais dificuldade. Podemos notar que muitos não se limitaram a cumprir o tempo estabelecido e mesmo quando recolhidas as atividades referentes à sessão aplicada, muitos ainda permaneciam na sala para eventuais discussões, interrogações e conclusões. Um dos alunos fez um comentário que resume em muito essas reuniões: Fica difícil imaginar que todo mundo fique aqui mesmo depois de terminada aula para tirar dúvidas, quando nem temos avaliação disso. Pudemos sentir ao longo das sessões que as argumentações foram gradativamente fazendo parte das respostas. Alguns alunos pesquisados conseguiram desenvolver uma escrita mais formal, mas ainda longe de uma demonstração matemática. A evolução nas argumentações não aconteceu em todos os níveis de prova nem com todos os alunos, mas foi possível diagnosticar uma evolução de atitude diante da resolução de atividades, um maior comprometimento em relação às justificativas, o que condiz com o que nos afirmou Chevallard (1991): para podermos ter justificativas é necessário que o professor assuma um papel de investigador e inquiridor e que segundo Brousseau (1986) as situações sejam vividas e assumidas pelo aluno. 8

9 Balacheff (1988) ao distinguir os quatro níveis de prova não espera que os alunos o atinjam, apresentem uma prova matemática, mas indícios de prova que levem a uma demonstração considerada pelos matemáticos como demonstração matemática. Inferimos que os alunos chegaram a esse nível de prova. REFERÊNCIAS ALMEIDA, Iolanda Andrade Campos. Identificando rupturas entre significados e significantes nas construções geométricas: um estudo em traçados de lugares geométricos bidimensionais, envolvendo pontos, retas e circunferências. Tese de Doutorado. Universidade Federal de Pernambuco Centro de Educação, Recife, ARTIGUE, Michèle. Ingénierie didactique. Recherches en didactique dês mathématiques, Grenoble, France: vol.9, no 3, BALACHEFF, Nicola. Une étude des processus de preuve mathématiques. Thèse d état, Grenoble, BALACHEFF, Nicola. Une étude des processus de preuves em mathématiques chez des élèves de collège. Université Grenoble, BARRETO, Marina Menna. Construção da mediatriz de um segmento: um exemplo de aprendizagem significativa. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática, UFRGS, BITTAR, Marilena, CHAACHOUA, Hamid & NICAUD, Jean François. Determinação automática de concepções dos alunos em Álgebra. Série-Estudo. Periódico do Mestrado em Educação da UCDB. Campo Grande, MS, nº 19, pp , BITTAR, Marilena. O uso de softwares educacionais no contexto da aprendizagem virtual. In : Educação e Arte no Mundo Digital, pp , Campo Grande: Editora UFMS, BOAVIDA, Ana Maria Roque. A argumentação na aula de Matemática: Olhares sobre o trabalho do professor. XVI SIEM, pp. 1-31, BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática - 3 º e 4 º ciclos. Brasília: MEC/SEF BROUSSEAU, Guy.. Fondements et méthodes de la didáctique des mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol.7, nº 2, pp La Pensée Sauvage,

10 CHEVALLARD, Yves, BOSCH, Mariana, GASCON, Joseph. (2001). Estudar matemáticas: O elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artmed. GOMES, Alex Sandro, VERGNAUD, Gerard On the learning of geometric concepts using dynamic geometry software. RENOTE: Novas Tecnologias na Educação, [ acessado em 26/01/2009. MARGOLINAS, Claire. De L importance du Vrai et du Faix dans la classe de Mathématiques. La Penseé Sauvage Editions, PONTE, João Pedro et al. Investigações Matemáticas na Sala de Aula: Um Projecto Colaborativo. Publicado originalmente em inglês com o título Mathematical investigations in the classroom: A collaborative project, como capítulo do livro de V. Zack, J. Mousley, & C. Developing practice: Teachers' inquiry and educational change (pp. Breen (Eds.). (1998) ), Geelong, Australia: Centre for Studies in Mathematics, Science and Environmental Education. QUARANTA, Maria Emília e TARASOW, Paola. Validación y producción de conocimientos sobre las interpretaciones numéricas. Revista Latino Americana de Investigacion en Matematica Educativa. Ano/vol. 7, nº 003, México, p RAMALHO, Glória. PISA 2000: Conceitos fundamentais em jogo na avaliação de literacia matemática e competências dos alunos portugueses. Lisboa: Ministério da Educação, Gabinete de Avaliação Educacional (GAVE), SANTANA, José Rogério, BORGES NETO, Hermínio. Novas e Velhas Tecnologias: Questões cognitivas no ensino de geometria mediado por recursos computacionais. In: XVI EPENN - Encontro de Pesquisa Educacional do Norte e Nordeste, Aracaju,