Engenharia didática na pesquisa e na aprendizagem de matemática

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1 ANÁLISE DIAGNÓSTICA DE FUNÇÕES MATEMÁTICAS PARA SEQUÊNCIA DIDÁTIDA SOBRE TAXA DE VARIAÇÃO PARA ALUNOS DE 2º. ANO DE CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA José Benedito Pinto Universidade Bandeirantes - UNIBAN jose.pinto@uniban.br Maria Helena Palma de Oliveira Universidade Bandeirantes - UNIBAN mhelenapalma@terra.com.br Resumo: Este trabalho objetiva apresentar resultados de análise diagnóstica de conteúdo de funções matemáticas aplicada a alunos de 2º anos de curso de Licenciatura em Matemática de dois campi de uma universidade particular da grande São Paulo. O estudo se insere em projeto mais amplo de desenvolvimento de aplicação de seqüência didática sobre taxa de variação. A análise diagnóstica caracteriza-se como uma etapa das análises preliminares próprias da engenharia didática. Os resultados mostraram que as duas turmas distantes fisicamente uma da outra, estão capacitadas para participar da atividade da sequência didática que será proposta, pois demonstraram suficiente conhecimento nas resoluções das questões que tratavam do assunto funções do teste diagnóstico. Palavras-chave: Análise diagnóstica; Sequência didática; Taxa de variação; Licenciatura em matemática; Educação matemática. Engenharia didática na pesquisa e na aprendizagem de matemática A engenharia didática, em prática desde a década de 1980, tem por finalidade analisar e propor situações didáticas no âmbito dos estudos da Didática da Matemática. Artigue (1988) a descreve : [...] este termo foi cunhado para o trabalho didático que é aquele comparável ao trabalho do engenheiro que, para realizar um projeto preciso, se apóia sobre conhecimentos científicos de seu domínio, aceita submeter-se a um controle do tipo científico, mas, ao mesmo tempo, se vê obrigado a trabalhar sobre objetos bem mais complexos que os objetos depurados da ciência e, portanto, a enfrentar praticamente, com todos os meios de que dispõe, problemas que a ciência não quer ou não pode levar em conta( p.283). 1

2 Dois tipos objetivos de pesquisa se beneficiam da engenharia didática, segundo afirma Duady (MACHADO, 2008, p. 237): as que visam um estudo de processos de aprendizagem de um certo conceito e aquelas que são transversais aos conteúdos, mesmo que seu suporte seja o ensino de um domínio preciso. A engenharia didática não repousa sobre seus objetivos, mas sobre suas características de funcionamento metodológico. Seu método estrutura quatro fases: 1ª. análises preliminares; 2ª. concepção e análise a priori das situações didáticas; 3ª. experimentações; 4ª. análise a posteriori e validação (MACHADO, 2008) Conforme esclarece Machado (2008), as análises preliminares, realizadas por meio de considerações sobre o quadro teórico didático e sobre os conhecimentos didáticos já adquiridos, devem considerar os seguintes estudos: epistemológico dos conteúdos contemplados pelo ensino; do ensino atual e de seus efeitos; das dificuldades e dos obstáculos que determinam a evolução dos alunos; dos entraves que situam a efetiva realização didática. São as análises preliminares que dão fundamento para a engenharia didática. Essa fundamentação é retomada e aprofundada durante a realização do trabalho. A análise diagnóstica, objeto deste trabalho, insere-se como estudo das dificuldades e dos obstáculos que se apresentam na evolução dos alunos. Para Artigue (1988), a análise a priori representa o momento em que o pesquisador, tomando como orientação as análises preliminares, procede à delimitação de variáveis pertinentes ao sistema que permitirão a atuação do pesquisador. Essas variáveis são chamadas pela autora de variáveis de comando que podem ser macrodidáticas ou globais, concernentes à organização global da engenharia; microdidáticas ou locais concernentes à organização local da engenharia, em sessão ou fase. A análise a priori objetiva determinar como as escolhas realizadas permitem controlar os comportamentos do aluno e o sentido desses comportamentos. Segundo Bittar (1999), ela contém uma parte de descrição e outra de previsão. A análise a priori organizase em torno das características de uma situação adidática que se quis criar e que se quer aplicar aos alunos visados pela experimentação. Os conceitos da teoria das situações didáticas propostos por Brousseau (2008), na pretensão de controlar as situações didáticas do processo de aprendizagem, foram apropriados, pela engenharia didática (ARTIGUE, 1988). Brousseau (1986) desenvolveu um tratamento científico do trabalho didático tendo como base a problematização 2

3 matemática e a hipótese de que se aprende por adaptação a um meio que produz contradições e desequilíbrios. Essa teoria surge como contraponto à forma didática clássica, na qual se apresentam conteúdos sistematizados, incluindo a forma axiomática. Uma situação didática é preparada pelo professor com o objetivo de provocar, no aluno, adaptações desejadas através de uma escolha cuidadosa de problemas, de maneira que o aluno possa aceitá-los, agir, falar, refletir, evoluir por si próprio (FREITAS, 2008). O professor propõe um problema para que o aluno busque soluções por iniciativa própria, como participante ativo da própria aprendizagem. Nesse processo, o professor adia a emissão de conhecimentos e possíveis correções até que o aluno chegue a uma regra e valide-a. Analisando especificamente atividades de aprendizagem matemática, Brousseau (2008) denomina essa situação como adidática. Para Brousseau (1986), uma situação adidática pode apresentar-se como situação de ação, de formulação, de validação ou de institucionalização. A análise a priori pode estabelecer se uma situação pode ser vivida como adidática. A experimentação é a fase da realização da engenharia didática com certa população de alunos e ocorre quando se dá o contato entre professor/pesquisador e os alunos objetos da investigação. A análise a posteriori e a validação constituem-se como fase final e estão amparadas pelos dados obtidos na experimentação e nas observações realizadas em cada sessão de ensino (MACHADO, 2008). A engenharia didática estrutura-se no registro dos estudos feitos sobre um caso em questão e pela sua validação. Essa validação interna dos estudos surge como uma confrontação entre a análise a priori e a análise a posteriori. A seqüência didática na aprendizagem matemática A sequência didática, um conjunto de aulas devidamente esquematizadas para desenvolver um conteúdo, concretiza os passos da engenharia didática. Uma sequência bem organizada pode construir as ferramentas necessárias para aquisição do conhecimento. Ela deve criar condições para o envolvimento do aluno na construção do conhecimento via interações com as atividades propostas. Com base nos saberes e conhecimentos anteriores, 3

4 o aluno pode dar uma resposta que não era a resposta esperada, mas que deve ser considerada válida e como uma situação de aprendizagem. Uma seqüência didática pode variar de alguns dias, semanas ou até meses de trabalho, de acordo com o que é planejado ou de acordo com as necessidades dos alunos. O processo de preparação, aplicação e avaliação de uma sequência didática obedece as fases metodológicas da engenharia didática: análises preliminares; concepção e análise a priori; experimentações; análise a posteriori e validação. Este estudo se insere na fase de análises preliminares em que se realiza um levantamento prévio do grau de conhecimento dos alunos de Licenciatura em Matemática para a aplicação de uma sequência didática de taxa de variação média. Essa análise permite a segunda etapa da sequência didática (análise a priori) em que se prepara e se analisa uma série de atividades bem diversificadas que serão aplicadas aos alunos dentro dos parâmetros das situações adidáticas. Essa etapa caracteriza-se pela construção da sequência didática; exposição e comprovação das escolhas e análise de cada atividade em termos de comportamento esperado do aluno na resolução. O objetivo deste trabalho é apresentar e discutir os resultados de análise diagnóstica de funções matemáticas realizada como etapa de análise preliminar de engenharia didática na construção de sequência didática de taxa de variação para alunos de 2º ano de curso de Licenciatura em Matemática de universidade privada de São Paulo. Considera-se a importância, para a formação docente desses alunos, de aprender derivadas de funções que é um conteúdo curricular essencial para a disciplina cálculo integral. Domínio de funções matemáticas por alunos de Licenciatura em Matemática A análise diagnóstica utilizou-se da aplicação de um teste específico aos alunos do 2º ano de Licenciatura em Matemática. Foi estruturado com 10 questões que estão diretamente relacionadas com funções do 1º e 2º graus, e também função exponencial e função logarítmica, cujo conhecimento é fundamental para a resolução das atividades a serem propostas na seqüência didática sobre taxa de variação média. As questões do teste buscaram atingir, no máximo possível, os assuntos relacionados a funções de 1º e 2º graus, como: função crescente, decrescente e constante; gráficos das funções; interpretação e resolução de problemas envolvendo função. Esses 4

5 assuntos são imprescindíveis para aplicações no conteúdo do cálculo diferencial e integral que exige o conhecimento de taxa de variação. O teste diagnóstico buscou verificar se o aluno: - consegue associar as funções com os respectivos gráficos; - consegue distinguir função de 1º grau e função de 2º grau; - sabe determinar a declividade ou coeficiente angular da reta; - sabe representar o gráfico de uma função a partir da equação; - tem noção de função crescente, decrescente e constante; - sabe calcular intervalos de variação. O teste diagnóstico foi aplicado a alunos da 2ª série do curso de Licenciatura em Matemática de uma mesma instituição privada de ensino superior. Foram participantes 53 alunos de campi diferentes: 20 alunos do campus I e 33 alunos do campus II. O teste foi aplicado por professores do curso que foram instruídos a não interferirem no processo. Os mesmos informaram que houve empenho dos alunos na resolução das questões. A primeira questão solicitou uma associação da função com o respectivo gráfico e a maioria dos alunos acertou as quatro associações, sendo que o campus II apresentou um número maior de acertos. Dos 33 alunos participantes do teste, apenas 3 deixaram essa questão em branco. A explicação para o grande número de acertos é que apresentamos apenas funções de 1º e 2º graus, dois gráficos de cada, o que possibilitou para os alunos com conhecimentos adquiridos no ensino médio um número maior de acertos. A segunda questão, também solicitava uma associação de função com o respectivo nome e foi a questão onde ocorreu o maior número de acertos, sendo que apenas 1 aluno do campus I deixou a questão em branco E no campus II nenhuma questão foi deixada em branco, apenas um aluno errou os itens a e b. Nessa questão, a relação mais fácil é do item c com IV, pois o termo função logarítmica está relacionado com o termo log(explicito no IV y = log 2 x), e o expoente x (explicíto no III y = 2 x ) com função exponencial. Na terceira questão, que envolveu cálculos, pode destacar-se o item c que solicitava o cálculo do coeficiente angular da reta. A maioria dos alunos errou ou deixou em branco esse item. O aluno já traz do ensino médio essa dúvida do cálculo do coeficiente angular da reta e cabe ao professor da disciplina Fundamentos da Matemática da 1ª série tentar eliminá-la. É um problema que não se pode deixar de lado devido à importância desse item no conteúdo Derivada. 5

6 Na quarta questão, foi colocado um gráfico e foi solicitado apenas para identificar o tipo de função e embora a maioria tenha acertado, destaca-se o significativo número de questões em branco e ainda o comentário de um aluno que não entendeu o objetivo da questão. A justificativa pelo número de acertos é que se trata de um gráfico simples de função constante e que basta um olhar para o reconhecimento da mesma, o que não requer nenhum tipo de cálculo ou de aplicação de fórmulas. Na quinta questão, foi solicitado para o aluno classificar três gráficos como função crescente ou decrescente. O terceiro gráfico era de função constante, ou seja, não era crescente e nem decrescente e o enunciado só colocou duas alternativas, o que poderia induzir o aluno ao erro, mesmo assim, nesse item, podemos verificar um número bem maior de acertos do que de erros e respostas em branco. Constata-se que deveria ter sido colocado no enunciado da questão cinco: Classificar como função crescente, decrescente ou constante para não induzir o aluno ao erro que de fato foi constatado quando vários alunos que classificaram o gráfico de função constante como sendo de função crescente. Campus I Questão 6 CERTO ERRADO EM BRANCO A B C D Campus II Questão 6 CERTO ERRADO EM BRANCO A B C D

7 Figura 1 Desempenho dos alunos na questão 6, cálculos de variação, por campus. A sexta questão, uma das mais importantes, pois está diretamente relacionada com a taxa de variação e por consequência com a sequência didática que será aplicada tem seus resultados expostos na Fig.1. Observa-se que ocorreu um grande número de questões erradas ou em branco. Os alunos chegavam a calcular os valores dos intervalos, mas não calculavam a variação. Campus I Questão 7 CERTO ERRADO EM BRANCO A B C C Campus I I Questão 7 CERTO ERRADO EM BRANCO A B C C Figura 2 Desempenho dos alunos na questão 7, montagem de uma função, por campus. Na sétima questão, Figura 2, esperava-se dos alunos a construção de uma função para depois calcular os itens a e b. O que ocorreu na prática foi que eles chegaram às respostas dos itens a, b e d sem precisar montar a função respectiva. Essa questão também chama a atenção para o item c que solicitava a diferença de consumo e os alunos calcularam a diferença de gastos embora fosse possível verificar através do próprio 7

8 enunciado que existe uma diferença entre valor e consumo: ( a) o valor da conta para um consumo de 50 Kwh e b) o valor da conta para um consumo de 100 Kwh). Considerando que o ítem c pedia o cálculo da diferença dos consumos já solicitados nos itens a e b, que já esclareciam a diferença conceitual entre valor e consumo, não se esperava que os alunos apresentassem dificuldade de entendimento dos conceitos. Nas questões 8, 9 e 10, que pediam a construção de gráficos de funções, foi possível verificar um acerto de 55% no campus I e de 37% no campus II. No campus I, houve um equilíbrio entre acertos e erros nas questões 8 e 9 e um número maior de acertos na questão 10. No campus II, também ocorreu um equilíbrio entre acertos e erros, mas é possível notar o número significativo de questões em branco, o que não ocorreu no campus I. Em termos gerais, apesar dessas dificuldades acredita-se que os alunos terão condições de realizar as atividades relativas a interpretações de gráficos previstas para a sequência didática. Considerações finais: Os alunos conseguem distinguir funções do 1º e do 2º graus sendo que apresentam dificuldades com coeficiente angular negativo da função do 1º grau e com o sinal que orienta a concavidade da função do 2º grau. A dificuldade apresentada pelos alunos na questão número 3 item c que solicitava o coeficiente angular da reta, mostrou que eles tentaram achar esse valor apenas com os valores apresentados no gráfico, sendo que deveriam calcular o valor da tangente no triângulo retângulo que nessa questão estava bem explícito. A construção e a interpretação dos gráficos das funções matemáticas são de extrema importância para o estudo da taxa de variação média dentro da disciplina cálculo integral. Destaca-se que as principais dificuldades apresentadas pelos alunos nas construções solicitadas nas questões 8, 9 e 10 é relacionar as variáveis envolvidas, a utilização apenas de pontos essenciais e a construção das tabelas de valores. Foi possível verificar que os alunos conseguem distinguir função cresceste, decrescente e constante que são de extrema importância para o entendimento do cálculo da variação que pode apresentar variações positivas, negativas ou zero. Os alunos tiveram dificuldade para obter os intervalos de variação, pois calcularam apenas os valores extremos apresentados sem calcular a variação solicitada. Acredita-se 8

9 que, apesar disso, os alunos terão sucesso das atividades da sequência didática, pois os tópicos previstos na sequência didática buscam sanar as dificuldades apresentadas no teste. O objetivo principal do teste aplicado foi trazer elementos para a análise da concepção dos alunos, das dificuldades e obstáculos que determinam sua evolução como etapa das análises prévias para aplicação de sequência didática de taxa de variação para alunos de 2ª. série de curso de Licenciatura em Matemática. Considerando que os alunos de forma geral obtiveram êxito na resolução das questões, conclui-se que esses alunos poderão se beneficiar do aprendizado que será proporcionado pelas atividades da sequência didática a ser aplicada a esse grupo. Referências ARTIGUE, Michele. Ingénierie didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 9, n 3, pp La Pensée Sauvage, BITTAR, Marilena. A noção de vetor no ensino secundário francês: um exemplo de metodologia de pesquisa em Didática da Matemática. CD 22 a ANPEd, BROUSSEAU, Guy. Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques. vol. 7, n 2, pp La Pensée Sauvage BROUSSEAU, Guy. Introdução ao estudo das situações didáticas. São Paulo: Ática p 128 FREITAS, Jose Luiz Magalhães, Teoria das situações didática. In Educação matemática: uma nova introdução. São Paulo: Educ, p MACHADO, Silvia Dias Alcântara. Engenharia didática. In Educação matemática: uma nova introdução. São Paulo: Educ, p