EXPLORANDO A DEMONSTRAÇÃO EM ATIVIDADES DE CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS

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1 EXPLORANDO A DEMONSTRAÇÃO EM ATIVIDADES DE CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS Gilson Bispo de Jesus Pontifícia Universidade Católica de São Paulo/ Universidade Federal do Recôncavo da Bahia/ EMFoco gilbjs@bol.com.br Resumo: Este minicurso tem como objetivo apresentar algumas atividades matemáticas, com ênfase nas demonstrações, que serão exploradas por meio das construções geométricas com régua e compasso, no ambiente lápis e papel. Tomamos como base o objeto geométrico mediatriz de um segmento e a riqueza que ele oferece para desenvolver atividades de natureza investigativa. As atividades têm como foco a construção do conhecimento pelo próprio sujeito e fazem referência a Teoria das Situações Didáticas (BROUSSEAU, 1986), que foi usada para conceber e será usada para aplicar as atividades do minicurso. Abordaremos também, com base em De Villiers (2001; 2002), outras funções da demonstração, que vão além da verificação de uma evidência matemática. Palavras-chave: Demonstrações; Construções geométricas; Teoria das Situações Didáticas; Funções da demonstração. A PROPOSTA Com o objetivo de discutir uma alternativa de abordagem do tema demonstrações em Geometria no Ensino Fundamental, propomos um conjunto de atividades que propiciarão aos participantes vivenciarem a construção de alguns conceitos geométricos que circundam o tema mediatriz de um segmento, por meio das construções geométricas com lápis e papel. As atividades são de natureza exploratória e investigativa, assim visam à construção do conhecimento pelo sujeito. Isto é, o saber não é transmitido ao aprendiz, mas onde ele, interagindo com as ferramentas régua e compasso, possa construir e/ou ampliar conceitos geométricos que circundam o tema mediatriz de um segmento. Jesus (2008) aponta que as construções com régua e compasso podem alavancar discussões acerca do processo de construção e em seguida sobre as justificativas matemáticas que fundamentam esse processo, favorecendo desta forma ao aprendizado das demonstrações no campo de Geometria. Anais do 1

2 Corroborando com este processo, a Teoria das Situações Didáticas (TSD) fornece um embasamento teórico que deve ser lavado em conta ao se preparar e apresentar atividades sobre conteúdos matemáticos. Fizemos uso dessa teoria na concepção das atividades e a aplicaremos durante o minicurso. Segundo Brousseau (1986), o objetivo da TSD é caracterizar o processo de aprendizagem por uma série de situações reprodutíveis, que conduzem a uma modificação de um conjunto de comportamentos dos aprendizes. Esta modificação é que gera o conhecimento, isto é, a aprendizagem com significado. Para analisar o processo de aprendizagem, a TSD o decompõe em quatro fases diferentes: ação, formulação, validação e institucionalização, sendo que as três primeiras caracterizam a fase adidática, ou seja, situação na qual a intenção de ensinar não é revelada ao aprendiz, porém foi planejada para dar condições ao aprendiz de se apropriar do novo saber que se deseja ensinar. Essa situação é caracterizada por um conjunto de atividades que faça o aprendiz agir, falar e refletir, de forma a adquirir novos conhecimentos por meio dessa situação, isto é, sem apelo a razões didáticas impostas. Após a fase adidática é necessário fazer a institucionalização do conteúdo em questão, pois, dessa forma o saber torna-se oficial, e os aprendizes podem incorporá-lo a seus esquemas mentais, tornando-o assim disponível para utilização na resolução de futuros problemas matemáticos. Assim, os professores cursistas trabalharão em equipe de forma a vivenciarem a fase adidática e depois trocarão informações, farão exposição de soluções e o formador (ministrante do minicurso) ficará responsável por gerenciar a institucionalização. Desenvolveremos as atividades de construções geométricas com foco em algumas funções da demonstração propostas por De Villiers (2001, 2002), com os professores cursistas, objetivando que eles percebam como que essas funções podem contribuir para à (re)construção de significados acerca da demonstração, e nesse sentido que a temática demonstração possa ser retomada na sala de aula de matemática. Este autor, convencido de que grande parte dos pesquisadores usa como principal função da demonstração a verificação, sugere outras funções da demonstração: explicação, descoberta e sistematização, que discutiremos nesse minicurso. Fizemos esta opção, por acreditarmos que dentre as seis funções apontadas pelo pesquisador essas são as que deverão ser trabalhadas com os alunos do Ensino Fundamental, e o nosso publico alvo são professores das séries finais deste ciclo. Anais do 2

3 Para o desenvolvimento desse minicurso, encontramos respaldo também nos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (1998) (PCN) do Ensino Fundamental que sugerem no bloco Espaço e Forma que o professor de Matemática explore situações em que sejam necessárias algumas construções geométricas com régua e compasso, como visualização e aplicação de propriedades das figuras, além da construção de outras relações. Esse documento afirma que uma argumentação não é, contudo, uma demonstração. Assim, a argumentação está mais próxima das práticas discursivas espontâneas e é regida mais pelas leis de coerência da língua materna do que pelas leis da lógica formal, que por sua vez, sustentam a demonstração, sugerindo, que no terceiro ciclo se trabalhe para desenvolver a argumentação, de modo que os alunos não se satisfaçam apenas com a produção de respostas a afirmações, mas assumam a atitude de sempre tentar justificá-las. Tendo por base esse trabalho, pode-se avançar no quarto ciclo para que o aluno reconheça a importância das demonstrações em Matemática. Na seqüência, segue o conjunto de atividades que será desenvolvido durante o minicurso. ATIVIDADES ATIVIDADE 1: CONSTRUINDO UMA DEFINIÇÃO a) Trace um segmento AB qualquer no papel que recebeu. b) Faça uma dobradura, de modo que A e B coincidam. c) Chame de m a reta representada pelo vinco deixado no papel e trace esta reta. d) Que relações você pode fazer entre o segmento AB e a reta m? e) A partir dessas relações como você definiria a reta m? ATIVIDADE 2: FORMULANDO UMA CONJECTURA a) Marque um ponto P diferente do ponto médio sobre a reta m da atividade 1. b) Trace os segmentos PA e PB. c) Volte a dobrar sobre a reta m. O que você observou? d) Marque outros pontos sobre a reta m e proceda da mesma forma anterior. e) O que você observou? Anais do 3

4 f) Nessa atividade, você observou uma propriedade da mediatriz. Escreva seu enunciado. ATIVIDADE 3: DEMONSTRAÇÃO DA PROPRIEDADE a) Podemos escrever uma mesma propriedade matemática em linguagens diferentes. Em matemática, em geral, utilizamos a linguagem natural, a linguagem simbólica e a linguagem figural. Escreva a propriedade da atividade 2 nessas linguagens. Linguagem natural. Linguagem simbólica. Linguagem figural. b) Como sabemos, no enunciado de uma propriedade ou teorema constam as hipóteses e a tese. As hipóteses são os dados que o enunciado nos oferece e a tese o que se quer demonstrar. Identifique a hipótese e a tese da propriedade acima. c) Demonstre essa propriedade. ATIVIDADE 4: UM OUTRO PONTO DE VISTA a) Você acabou de demonstrar uma propriedade que diz que: todo ponto da mediatriz de um segmento eqüidista das extremidades desse segmento. Suponha agora que você pudesse marcar todos os pontos que são eqüidistantes das extremidades de um segmento AB (se desejar faça uma figura de apoio). Todos esses pontos formariam uma reta que intercepta o segmento AB em M. O que representa esta reta para este segmento? Justifique sua afirmação. b) Na atividade 3 você demonstrou que: se P pertence a mediatriz do segmento AB, então P é eqüidistante de A e B. A nova caracterização que você construiu no item (a) sugere uma outra propriedade. Escreva essa propriedade na: Linguagem natural. Linguagem simbólica. Linguagem figural. c) Identifique a hipótese e a tese dessa propriedade. d) Demonstre essa propriedade. Anais do 4

5 ATIVIDADE 5: CONSTRUÇÃO GEOMÉTRICA DA MEDIATRIZ a) Dado o segmento AB, construa a sua mediatriz. b) Descreva o processo de construção que você utilizou. c) Justifique matematicamente essa construção. ATIVIDADE 6: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS GEOMÉTRICOS PROBLEMA I a) Dados os pontos A e B e a reta r abaixo, construa a circunferência que passa pelos pontos A e B, sabendo que seu centro pertence à reta r. b) Justifique matematicamente essa construção. Anais do 5

6 PROBLEMA II a) Construa a circunferência circunscrita ao triângulo ABC dado. b) Justifique matematicamente essa construção. PROBLEMA III a) Dada a reta r e o ponto P, construa com régua e compasso a reta s que passa por P e é perpendicular a r. b) Justifique matematicamente essa construção. Anais do 6

7 PROBLEMA IV a) Dada a reta r e o ponto P, construa a reta s que passa por P e é perpendicular a r. b) Justifique matematicamente essa construção. ATIVIDADE 7: UM DESAFIO Muitas são as situações nas quais precisamos fazer uma construção e temos um limite de espaço para os traçados. O desafio que segue é um exemplo de tal situação. a) Construa o ponto médio do segmento AB dado. Não é permitido construir no exterior do retângulo. b) Justifique matematicamente essa construção. Anais do 7

8 ATIVIDADE 8: ANALISANDO RESPOSTAS DADAS POR ALUNOS Um professor de Matemática após trabalhar com seus alunos os conceitos referentes à mediatriz de um segmento, pediu a eles que construíssem a reta d, mediatriz do segmento AB dado. As respostas dadas por três alunos foram: ALUNO 1 ALUNO 2 ALUNO 3 Comente cada uma dessas respostas. Anais do 8

9 ATIVIDADE 9: DESCOBRINDO NOVAS PROPRIEDADES Espaço aéreo Dois países vizinhos, Nenhum e Nada, de uma galáxia distante, não têm boas relações, por isso eles vigiam muito bem seus espaços aéreos. Na tela do radar de um avião de caça aparecem dois indicadores de torre de rádio, denotados por A e B, do país Nenhum e um indicador de torre rádio, denotado por C, do país Nada. Um avião de Nada deve voar mais próximo de C que de A, e mais próximo de C que de B. A figura abaixo representa a tela do radar. Qual a parte da tela que representa o espaço aéreo do país Nada? REFERÊNCIAS BROUSSEAU, G. Fondements et méthodes de la didáctique des mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, v..7, n. 2, p ,1986. BRASIL. Secretaria do Ensino Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais Matemática 5ª a 8ª séries. Brasília: MEC/SEF, 1998, v. 3. DE VILLIERS, M. D.. Papel e funções da demonstração no trabalho com o Sketchpad. Educação e Matemática, n. 63, p , jun Disponível em: < Acesso em: 15 set DE VILLIERS, M.. Para uma compreensão dos diferentes papéis da demonstração em Geometria Dinâmica. Trad. Rita Bastos. ProfMat, 10, 2002, Visue, Portugal. Actas... (CD- Anais do 9

10 ROM) Visue: Associação de Professores de Matemática, Disponível em:< Acesso em: 17 set JESUS, G. B.. Contruções Geométricas: uma alternativa para desenvolver conhecimentos acerca da demonstração em uma formação continuada f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, Anais do 10