AS FUNÇÕES DA DEMONSTRAÇÃO EM UM TRABALHO COM CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS

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1 AS FUNÇÕES DA DEMONSTRAÇÃO EM UM TRABALHO COM CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS Gilson Bispo de Jesus Pontifícia Universidade Católica de São Paulo Universidade Federal de Recôncavo Baiano Resumo: O presente trabalho apresenta um recorte de uma pesquisa de mestrado desenvolvida com professores de matemática em formação continuada com foco nas demonstrações em Geometria. Apresentamos as nossas escolhas teóricas: funções da demonstração (DE VILLIERS, 2001; 2002) e registros de representação semiótica (DUVAL, 2003), metodológicas e a análise de uma das atividades que foi proposta nas oficinas de formação que desenvolvemos. Tínhamos como hipótese que as construções geométricas poderiam contribuir para ampliar e/ou construir conhecimentos acerca da demonstração em Geometria. Nesse sentido, esperávamos que os professores em formação continuada pudessem ampliar seus conhecimentos e habilidades geométricas no que diz respeito às demonstrações nesse campo. Ao final apresentamos algumas considerações acerca da problemática em questão. Palavras-chave: Funções da demonstração; Construções geométricas; Registros de representação semiótica. INTRODUÇÃO Pesquisas na área de Educação Matemática apontam para a necessidade de trabalhos em Geometria desenvolvidos com professores de matemática, sobretudo envolvendo demonstrações. Maioli (2002) concluiu após ter realizado uma pesquisa nessa área que se faz necessário um estudo mais profundo sobre demonstrações. Já Almouloud e Manrique (2001), além de defenderem a necessidade de uma formação sólida em Geometria por parte dos professores relatam também que uma das dificuldades observadas foi a falta da competência da demonstração por parte deles. Motivados por esses trabalhos, buscamos em nossa pesquisa um referencial teórico que embasasse esse estudo. Desta forma, usamos os trabalhos de De Villiers (2001, 2002) no que se referem às funções da demonstração, as contribuições de Duval (2003) sobre os registros de representação semiótica e ao ensino e aprendizagem da demonstração em 1

2 Geometria e as recomendações dadas pelos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (1998) para o Ensino Fundamental. Após o estudo teórico, elaboramos e propomos uma seqüência de atividades a dois grupos de professores de matemática em formação continuada, buscando perceber como as atividades de construções geométricas desenvolvidas com lápis e papel podem contribuir para que os professores de matemática ampliem seus conhecimentos e habilidades geométricas no que diz respeito às demonstrações em Geometria. Apresentaremos e discutiremos uma das atividades propostas, além de tecer algumas considerações finais. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Acreditamos que um trabalho com professores no que diz respeito às funções da demonstração pode contribuir com a problemática apresentada. É importante que os professores percebam que através da demonstração eles podem explicar o porquê que determinada afirmação é verdadeira e, percebam também, que através dela, podem descobrir novas propriedades e/ou conceitos ou novas características relacionadas à afirmação em questão. Para tal, desenvolvemos atividades de construções geométricas com foco nas funções de explicação, descoberta e sistematização, propostas por De Villiers (2001, 2002) com os professores em formação continuada objetivando perceber como que essas funções da demonstração poderiam contribuir com a formação desses professores, no que diz respeito à (re)construção de significados acerca da demonstração. De Villiers (2001, 2002) convencido de que grande parte dos pesquisadores usa como principal função da demonstração a verificação, apresenta um modelo que ele vem usando em suas investigações destacando que tal modelo não é único e nem completo, em relação às funções da demonstração. O modelo que este pesquisador tem usado em suas investigações, destaca as várias funções da demonstração: verificação, explicação, descoberta, sistematização, comunicação e desafio intelectual, passamos a descrever as que abordamos nesse trabalho. No que diz respeito à função de explicação o pesquisador afirma que apesar de por meio de verificações empíricas ser possível atingir um alto nível de confiança e validade de uma conjectura, tais processos não fornecem uma explicação satisfatória dessa validade. O autor afirma que mais importante do que a validade é a busca por saber o porquê é válido. 2

3 Relatando também que a explicação é um bom critério para definir o que é uma boa demonstração. Com relação à função de descoberta, o autor pontua que alguns teoremas foram descobertos por meio da intuição e de métodos empíricos, destacando que grande parte da descoberta e criação matemática se deu através de processos puramente dedutivos. E afirma que para o matemático profissional a demonstração não é apenas um meio de verificação de um resultado já descoberto, mas também muitas vezes um processo de explorar, analisar, descobrir e inventar novos resultados. Na função de sistematização destaca que a demonstração revela as subjacentes relações lógicas entre as afirmações, em contraposição a intuição e testes empíricos e considera que a demonstração é uma ferramenta indispensável para transformar um sistema dedutivo de axiomas, definições e teoremas, num conjunto de resultados conhecidos. O pesquisador ainda evidencia algumas funções importantes de uma sistematização dedutiva de resultados: ajuda a identificar inconsistências, unifica e simplifica teorias matemáticas, constitui uma ajuda para aplicações na matemática ou em outros campos, conduz a sistemas dedutivos alternativos, entre outros. Contudo, De Villiers (2001, 2002) afirma que embora as funções da demonstração tenham características próprias, elas aparecem misturadas em alguns casos específicos, ou em outros casos, certas funções se sobressaem sobre outras, ou às vezes nem estão presentes. Na nossa investigação, fizemos a opção por focar as atividades nas funções de explicação, descoberta e sistematização, por acreditarmos que dentre as seis funções apontadas pelo pesquisador essas são as que deverão ser trabalhadas com os alunos do Ensino Fundamental, uma vez que os professores envolvidos na nossa pesquisa lecionavam nesse nível. Inferimos que as funções de verificação, comunicação e desafio intelectual estão mais ligadas ao trabalho do matemático, porém não negamos o seu aparecimento em outros contextos. Passaremos agora a destacar algumas recomendações dadas pelos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática (1998) PCN do Ensino Fundamental, pois sendo esse documento uma orientação do que deve ser desenvolvido nas aulas de matemática, um trabalho com professores deve contemplá-lo. 3

4 Os PCN sugerem no bloco Espaço e Forma que o professor de Matemática explore situações em que sejam necessárias algumas construções geométricas com régua e compasso, como visualização e aplicação de propriedades das figuras, além da construção de outras relações. Esse documento afirma que uma argumentação não é, contudo, uma demonstração. Assim, a argumentação está mais próxima das práticas discursivas espontâneas e é regida mais pelas leis de coerência da língua materna do que pelas leis da lógica formal, que por sua vez, sustentam a demonstração, sugerindo, que no terceiro ciclo se trabalhe para desenvolver a argumentação, de modo que os alunos não se satisfaçam apenas com a produção de respostas a afirmações, mas assumam a atitude de sempre tentar justificá-las. Tendo por base esse trabalho, pode-se avançar no quarto ciclo para que o aluno reconheça a importância das demonstrações em Matemática. Por outro lado, entendemos que a demonstração é um discurso diferente do que é praticado na maioria das aulas de matemática, buscamos em Duval (2003) alguns fundamentos necessários para tal premissa. Duval (2003) salienta que a distinção entre um objeto matemático e sua representação é um ponto estratégico para a compreensão matemática. A confusão entre objeto e representação é quase inevitável, pois, a apreensão dos objetos matemáticos é conceitual, mas, é somente por meio de representações semióticas que uma atividade sobre estes objetos é possível. Em verdade, a originalidade da atividade Matemática está na possibilidade de mobilizar simultaneamente ao menos dois registros de representação, ou na possibilidade de trocar a todo momento de registro de representação afirma Duval (2003), garantindo também que em alguns domínios pode-se privilegiar explicitamente um determinado registro, porém deve existir a possibilidade de passar de um registro a outro. Acerca do ensino da demonstração em Geometria, o autor afirma que os problemas de Geometria apresentam uma grande originalidade em relação a muitas tarefas matemáticas que podem ser propostas aos alunos, a resolução de tais tarefas exige uma forma de raciocínio referendado numa axiomática local, a qual se desenvolve no registro da língua natural; relatando também que a aprendizagem da demonstração consiste primeiramente na conscientização de que se trata de um discurso diferente do que é praticado pelo pensamento natural, ou seja, uma demonstração somente ocorre numa 4

5 articulação de ao menos dois registros, dos quais um é a utilização da linguagem natural (apud Almouloud, 2003). ASPECTOS METODOLÓGICOS Utilizamos a abordagem qualitativa de pesquisa, uma vez que o estudo que realizamos procurava entender o processo através do significado produzido pelos professores. Além disso, a desenvolvemos no projeto: O raciocínio dedutivo no processo de ensino-aprendizagem da matemática nas séries finais do Ensino Fundamental, o qual já estava em andamento, sendo que esse estudo tornou-se mais um trabalho a ser desenvolvido com o grupo de professores em formação continuada e, por isso, deveria se adequar aos aspectos metodológicos adotados no projeto. A metodologia utilizada para a formação dos professores, nesse projeto, é a pesquisa-ação, que destacamos enquanto linha de pesquisa associada a diversas formas de ação coletiva orientada em função da resolução de problemas ou de objetivos de transformação. Acrescentamos ainda que: A pesquisa-ação é um tipo de pesquisa social com base empírica, que é concebida e realizada em estreita associação com uma ação ou com a resolução de um problema coletivo e no qual os pesquisadores e participantes representativos da situação e do problema estão envolvidos de modo cooperativo ou participativo. (THIOLLENT, 2003, p. 14) Desenvolvemos nesse projeto uma seqüência de atividades, construída e analisada com base nos pressupostos da Engenharia Didática, que pudesse favorecer aos professores em formação continuada construir conhecimentos acerca da demonstração em Geometria. De acordo com Artigue (1996), a Engenharia Didática é um método que se caracteriza por ser um processo empírico que objetiva conceber, realizar, observar e analisar situações didáticas. As atividades contemplaram principalmente as funções de explicação e sistematização da demonstração sugeridas por De Villiers (2001; 2002) e esperávamos que algumas descobertas fossem sinalizadas, fomentando a função de descoberta proposta por este autor. A mudança de registros de representação semiótica (língua natural, registro simbólico e registro figural) proposta por Duval (2003) foi enfocada nas atividades e esperava-se que os professores utilizassem este recurso em suas redações. 5

6 Para operacionalizá-la, contamos com dois grupos de professores voluntários que lecionavam matemática nas séries finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio. As atividades foram desenvolvidas em 9 encontros de 3 horas cada. Os encontros ocorriam no laboratório de Educação Matemática. As atividades versaram sobre a construção da definição de mediatriz e justificativa de propriedades decorrentes da definição. A partir dessa definição e/ou propriedade os professores tinham que justificar de maneira formal as construções geométricas (régua e compasso com lápis e papel) envolvidas. Os dados foram coletados pelos observadores, que tinham como função registrar por escrito as ações ocorridas durante o processo de formação, gravar as falas em áudio e redigir as informações obtidas e nos enviar semanalmente. Para analisar os dados, recorremos às observações enviadas e em muitos momentos nos reportamos ao áudio para sanar possíveis dúvidas. Foram propostas um total de 12 atividades. A primeira, usando dobraduras com o objetivo de (re)construir a definição de mediatriz, a segunda atividade foi pedido para investigar uma propriedade através de construções geométricas (lápis e papel) e dobraduras, a terceira teve como objetivo justificar de maneira formal a propriedade destacada e na quarta objetivou-se construir a definição de mediatriz a partir da propriedade destacada, levantando-se como propriedade a definição inicial e posteriormente justificá-la de maneira formal. Nas demais atividades, algumas tiveram como foco a construção geométrica seguida da descrição do processo de construção e por último da justificativa matemática que permitia àquela construção e outras versavam sobre as demonstrações dentro do contexto das construções geométricas. Neste artigo, analisaremos o problema VII da atividade 7. 6

7 APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS ATIVIDADE 7: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS GEOMÉTRICOS PROBLEMA VII a) Trace uma reta d, e marque um ponto M pertencente à d e um ponto A não pertencente à d. Construa a circunferência tangente à d em M passando por A. b) Descreva o processo de construção que você utilizou. c) Justifique matematicamente essa construção. Análises Prévias a) Nesse problema uma das possibilidades de construção é apresentada na figura 1. Figura 1: Construção - problema VII Além disso, fizemos uma descrição detalhada do processo de construção e a justificamos matematicamente (itens b e c). Esboçar uma figura de apoio e fazer uma discussão sobre ela era fundamental para realizar a construção, nesse problema, em especial a discussão sobre ponto de tangência. Esperávamos pela descoberta da propriedade que diz: o raio da circunferência é perpendicular à reta tangente no ponto de tangência, pois acreditávamos que nem todos os professores em formação continuada a conheciam. O formador institucionalizaria tal propriedade garantindo que ela ficasse disponível para uso em outras situações-problema, ou, até mesmo, para justificar passos de demonstração. Análise a posteriori A hipótese que consideramos, desconhecimento por parte de alguns professores da propriedade que destacamos, foi constatada no decorrer da atividade pela fala e anotações de alguns professores. Constatamos também, que o objeto geométrico mediatriz de um segmento estava cada vez mais disponível para solucionar novas questões. Os professores 7

8 participantes utilizavam a definição de mediatriz e a propriedade associada a esta em seus argumentos e justificativas. O professor José tinha resolvido o problema sem levar em consideração a propriedade, pois, na verdade, a desconhecia. Ele apresentou uma construção na qual a sua reta tangente era secante. A professora Maria pergunta se ele sabia o que é reta tangente, e ele explica partindo da definição de reta que toca a circunferência em um único ponto. A professora Maria lhe fala da propriedade sobre reta tangente (perpendicularismo entre a reta e o raio). Todavia, como constatamos em sua fala, o professor José diz não conhecer esta propriedade. José: Eu não conhecia essa propriedade, fui aplicando o que conhecia sobre mediatriz, e que aprendi aqui. Tracei o segmento AM e achei o ponto O, seu ponto médio. E construí a circunferência de centro O e raio OM. Maria: Você percebeu que não ficou tangente? A professora Maria diz aos professores José e Mirtes que eles têm que saber o que é tangente, e fala sobre posição relativa de reta e circunferência (tangente, secante e exterior) e explicita mais uma vez a propriedade que relaciona a reta tangente e o raio no ponto de tangência. Mirtes: Então, José, para ser tangente Mˆ deve ter 90. Como é que faz a construção Maria? Formador: Tentem refazer a figura a partir do que vocês discutiram. Mirtes: Eu preciso traçar uma reta perpendicular por M. Maria: Isso mesmo. A professora Mirtes inicia a construção e o professor José vai descrevendo o processo de construção, obtendo a figura 2. Os professores José e Mirtes fazem a descrição do processo de construção quadro 1 em linguagem natural e, em seguida, convertem para a linguagem simbólica. A professora Maria não intervém nesse processo. Figura 2: Construção dos professores José e Mirtes - problema VII 8

9 Com a ponta seca em M, construí a circunferência C de raio qualquer encontrando os pontos B e C na reta d. Ponta seca em C e ponta seca em B, tracei duas circunferências encontrando o ponto de intersecção E. Por E e M, determinei a reta s, que é perpendicular à reta d. Em seguida, tracei o segmento MA. Ponta seca em A, tracei a circunferência C1. Analogamente, ponta seca em M, tracei a circunferência C2. Encontrei os pontos F e G. Tracei a reta r que passa por F e G a qual é mediatriz do segmento AM. A intersecção das retas r e s é o ponto O. Ponta seca do compasso em O, construí a circunferência tangente a d em M passando por A. Quadro 1: Descrição do processo de construção de José e Mirtes A professora Mirtes, juntamente com o professor José, limpa as descrições redundantes de mediatriz e perpendiculares, trocando por: construir a perpendicular e construir a mediatriz. Passando a fazer a descrição em linguagem simbólica. Construção de s d em M. Construção de MA. Construção da mediatriz r de MA. s r = O O é o centro da circunferência procurada. A professora Maria aponta que o ponto O deveria estar entre chaves. O formador interferiu um pouco nessa discussão destacando que a intersecção era entre dois conjuntos e que sendo assim a resposta deveria ser um conjunto. E ao final a professora Mirtes revela: Jamais ia imaginar que a tangente era perpendicular ao raio. Além da função de explicação (DE VILLIERS, 2001; 2002), a fala da professora Mirtes deixa evidente o quanto a justificativa matemática da construção desse problema contribuiu para essa descoberta, função de descoberta proposta por esse autor, ou seja, que, na busca para encontrar a solução de um problema, se descobre resultados novos. Destacamos que discussões similares ocorreram em outros grupos. No momento da discussão geral, o formador fez o registro figural, apontado por um dos professores, que comentou que, sem descobrir ou conhecer a propriedade, não seria possível ter sucesso no problema. Por fim, o formador institucionalizou com o grupo, a propriedade escrevendo na lousa: a reta tangente a uma circunferência é perpendicular à reta que passa pelo centro dessa circunferência e pelo ponto de tangência. Outro ponto observado, durante a resolução desse problema, foi que os professores usaram uma figura de apoio na tentativa de compreender melhor o problema e discutir o caminho (matemático) a seguir. 9

10 Evidenciamos também o uso dos vários registros de representação semiótica (linguagem natural, figural e simbólica) e a sua potencialidade, pois ao fazer uso dos vários registros, os professores em formação continuada puderam compreender melhor a solução do problema destacando a propriedade em questão, bem como perceber evidências que aparecem em um dos registros e não aparece no outro. Destacamos ainda que ao elaborarmos as atividades da oficina, em um primeiro momento pensamos que a descrição do processo de construção seria uma tarefa pouco aceita pelos participantes, pois teriam que escrever muito e poderiam se desestimular. Entretanto, percebemos que tal escolha favoreceu a uma aprendizagem com mais significado, visto que permitiu a mudança de registros de representação semiótica figural, natural e simbólico e ainda a justificativa de suas construções. Isso nos leva a inferir que esse tipo de postura pode se tornar hábito, como nos revelou os professores Mirtes e José, que de início não sabiam o que fazer; fizeram experimentos, descobriram a propriedade e justificaram matematicamente por escrito, passando pelas funções de explicação, descoberta e sistematização propostas por De Villiers (2001; 2002). CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste artigo procuramos trazer algumas perspectivas sobre o trabalho com demonstrações em atividades de construções geométricas que foram desenvolvidas com um grupo de professores de matemática em formação continuada. Com relação às funções da demonstração que focamos neste estudo, identificamos na análise apresentada que os professores não estavam apenas satisfeitos em dar uma resposta ou apresentar uma construção, mas, sobretudo, preocupados em entender o porquê de cada resposta e/ou construção, fomentando desta forma a função de explicação proposta por De Villiers (2001; 2002). Além disso, percebemos a descoberta de um fato novo para os professores participantes, ao resolverem situação-problema (função de descoberta) e, nas escritas de suas demonstrações, os professores percebiam algumas inconsistências matemáticas nas suas elaborações e retomavam para reescrevê-las (função de sistematização). No que diz respeito aos registros de representação semiótica, constatamos a sua potencialidade durante o trabalho, pois na atividade, os professores trabalharam com, pelo 10

11 menos, dois registros de representação, efetuando mudança de registros. Nesse problema, a mudança de registros além de favorecer uma melhor compreensão da solução em questão, contribuiu para que os professores pudessem perceber que um registro tem vantagens em relação ao outro, quer seja na economia da escrita, como é o caso do registro simbólico, ou no que diz respeito a explicitar informações não presentes em outro. Com esse estudo notamos que as construções geométricas podem contribuir para desencadear um processo de demonstrações em Geometria, pois ao parar para refletir o que fundamenta a construção realizada, os professores construíam conhecimentos geométricos e potencializavam o trabalho com demonstrações. Nesse sentido, a escolha de trabalhar com as funções da demonstração que vão além da verificação de uma evidência e com os vários registros de representação semiótica foi acertada. Vislumbramos que trabalhos com este enfoque possam ser desenvolvidos futuramente. REFERÊNCIAS ALMOULOUD, S. A.. Registros de representação semiótica e compreensão de conceitos geométricos. In: MACHADO, S. D. A. (Org.) Aprendizagem em Matemática: registros de representação semiótica. São Paulo: Papirus, ALMOULOUD, S. A. e MANRIQUE, A. L.. A geometria no ensino fundamental: concepções de professores e alunos. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 24, Caxambu, Anais... (CD-ROM). Caxambu: ANPED, ARTIGUE, M.. Engenharia Didática. In: BRUN, J. (Org.). Didáctica das Matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget, BRASIL. Secretaria do Ensino Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais Matemática 5ª a 8ª séries. Brasília: MEC/SEF, 1998, v. 3. DE VILLIERS, M. D.. Papel e funções da demonstração no trabalho com o Sketchpad. Educação e Matemática, n. 63, p , jun Disponível em: < Acesso em: 15 set DE VILLIERS, M.. Para uma compreensão dos diferentes papéis da demonstração em Geometria Dinâmica. Trad. Rita Bastos. ProfMat, 10, 2002, Visue, Portugal. Actas... (CD- ROM) Visue: Associação de Professores de Matemática, Disponível em:< Acesso em: 17 set DUVAL, R.. Registros de representação semióticas e funcionamento cognitivo da compreensão em matemática. In: MACHADO, S. D. A. (Org.) Aprendizagem em Matemática: registros de representação semiótica. São Paulo: PAPIRUS, MAIOLI, M.. Uma oficina para formação de professores com enfoque em quadriláteros f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, THIOLLENT, M.. Metodologia da pesquisa-ação. São Paulo: Cortez,