Palavras chaves: Arte e Matemática; ensino e aprendizagem de Matemática; Geometria dinâmica.

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1 A GEOMETRIA DOS POLÍGONOS E AS TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS NO PLANO APLICADAS NA CONSTRUÇÃO DE FRISOS E LADRILHOS Resumo Gicele da Rocha Rossi 1 Eleni Bisognin 2 O presente trabalho faz parte do Projeto de Dissertação que vem sendo desenvolvido junto ao curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática que tem como tema: A Geometria dos Polígonos e as Transformações Geométricas no Plano aplicadas à construção de frisos e ladrilhos. Nosso objetivo é o de analisar as contribuições da utilização dos frisos e ladrilhos das Igrejas da Quarta Colônia de Imigração Italiana, juntamente com a utilização de um programa computacional como o Cabri-Géomètre II, na construção de conceitos e exploração das propriedades geométricas dos polígonos bem como das transformações geométricas no plano. Este trabalho é desenvolvido seguindo as etapas da metodologia da Engenharia Didática que se justifica pela maneira em que organiza os procedimentos metodológicos dentro de uma pesquisa desenvolvida em contextos de sala de aula estabelecendo uma relação entre a teoria e a prática. É embasado em um referencial teórico cujos alguns autores estão citados no texto e vem sendo aplicado a uma turma de dezoito alunos da Escola São Vicente de Paulo. As atividades são realizadas no laboratório de informática da escola, o computador será visto neste estudo como uma ferramenta para auxiliar o aprendizado por meio da qual serão desenvolvidas atividades pelos estudantes e por isso considera-se que um ambiente computacional vem de encontro com o caráter exploratório que atividades de Geometria podem assumir. Os alunos participantes da pesquisa, realizam os trabalhos em duplas de modo a favorecer a criação de um ambiente cooperativo e interativo de aprendizagem, buscando reforçar a produção coletiva do conhecimento. Palavras chaves: Arte e Matemática; ensino e aprendizagem de Matemática; Geometria dinâmica. Introdução Atualmente vive-se em um mundo em que a imagem é extremamente utilizada como instrumento de informação, portanto torna-se indispensável que os alunos tenham 1 Aluna do Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática UNIFRAgicelerossi@yahoo.com.br 2 Professora Doutora do Curso de Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática UNIFRA- eleni@unifra.br

2 a oportunidade de desenvolver na escola, a capacidade de observar o meio em que se inserem e de elaborar modos de comunicação com o mesmo. Também é cada vez mais indispensável que as pessoas desenvolvam a capacidade de observar o espaço tridimensional e de elaborar modos de comunicar-se a respeito dele, pois a imagem é um instrumento de informação essencial no mundo. (PCN s p. 122) O ideal é que o aluno desenvolva suas capacidades e construa o conhecimento de forma clara e eficaz e, o estudo da Geometria, propicia a ele a possibilidade de desenvolver essas habilidades. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), a Geometria tem um importante papel no ensino de Matemática, pois apresenta um modo de descrever o mundo que está presente em várias situações do dia-a-dia. Vários são os objetos do mundo físico que podem ser analisados através da Geometria. É preciso levar em conta que o pensamento geométrico é um recurso importante para a solução de muitos problemas. Muitas vezes surgem dificuldades na busca de soluções destes problemas por falta de habilidades geométricas as quais são desenvolvidas a partir de situações onde, a compreensão, a representação e a construção estão presentes. Fainguelernt (1999, p.82) salienta que a presença da Geometria em todos os níveis de ensino mostra a evidência da relevância do seu estudo. A Geometria enfatiza a oportunidade de promover valores culturais e estéticos importantes para melhor compreender e apreciar as obras do homem. Conceitos geométricos estão presentes nas mais variadas profissões, engenharia, arquitetura, artes plásticas, na atividade de um mestre de obras, de uma costureira, de um atleta e outros. Lorenzato (1995) diz que a Geometria é uma oportunidade de matematizar a realidade. Lorenzato (1995) afirma que, para justificar a necessidade de se ter a Geometria na escola, bastaria o argumento de que sem estudá-la as pessoas não obteriam um maior e melhor desenvolvimento do pensamento geométrico ou raciocínio visual e, sem essa habilidade, elas dificilmente conseguiriam resolver as situações de vida que fossem geometrizadas, também não poderiam se utilizar da geometria como fator facilitador para a compreensão e resolução de questões de outras áreas do conhecimento humano. Sem conhecer Geometria a leitura interpretativa do mundo torna-se incompleta, a comunicação das idéias fica reduzida e a visão matemática torna-se distorcida. Para Pavanello (1999, p. 37):

3 O objetivo do trabalho com a Geometria no Ensino Fundamental não deve ser a memorização de definições, enunciados, demonstrações ou fórmulas, mas o de proporcionar oportunidades para que os alunos realizem as suas primeiras explorações sistemáticas. É somente explorando figuras, propriedades e relações, comparando, classificando, medindo, representando, construindo, transformando que os alunos poderão construir significativamente o seu conhecimento. Entretanto parece que a Geometria nas escolas está precisando de revisão, pois seu estudo esta relegado a um segundo plano. Alguns autores preocupados com esta área da Matemática estão contribuindo com pesquisas e buscando descobrir a causa da falta de incentivo aos conteúdos geométricos nas aulas de Matemática. Dentre alguns dos autores que buscam um resgate para a Geometria nas escolas: Almouloud, (2000); Lorenzato, (1995); Pavanello, (1999), Fainguelernt (1999), todos chegam a mesma conclusão: Está faltando Geometria nas escolas. E hoje passados quinze anos de algumas destas pesquisas, parece que há pouca mudança. Com um papel tão importante, a Geometria deve ter um papel preponderante nas escolas. Segundo Fainguelernt (1999): Nos últimos anos, a pesquisa em Geometria tem sido amplamente estimulada por novas idéias da própria Matemática e de outras disciplinas. Portanto é necessário desenvolver uma educação visual adequada a fim de que possam ser exploradas as possibilidades que emergem a computação gráfica que influenciam muitos aspectos de nossas vidas. (p.21) Apesar dos enganos a seu respeito, parece que a Geometria está conseguindo ganhar um espaço, o descaso com o seu ensino pode estar se afastando das aulas de Matemática, ocorre uma preocupação maior com a contextualização do ensino, com a validação de novas estratégias. Hoje se busca um resgate ao ensino por meio dos cursos de pós-graduações e oficinas de formação de professores que procuram implantar novas alternativas e metodologias para a Geometria, utilizando softwares que contribuem para um novo olhar para esta disciplina. Na tentativa de trazer uma nova perspectiva para o ensino e aprendizagem de Geometria, faz-se necessário desenvolver e testar novas metodologias. Nesse sentido, o presente trabalho elaborado sob a ótica da metodologia da Engenharia Didática, tem como propósito investigar que contribuições a análise dos frisos e ladrilhos das igrejas da Quarta Colônia de Imigração Italiana do Rio Grande do Sul,juntamente com a

4 utilização do programa computacional Cabri-Géomètre II, podem trazer na construção de conceitos e exploração das propriedades geométricas dos polígonos e das transformações geométricas no plano. Nesse estudo o computador será visto como uma ferramenta para auxiliar o aprendizado por meio da qual serão desenvolvidas atividades pelos estudantes e por isso considera-se que um ambiente computacional é propício para exploração e construção de conceitos geométricos. A Geometria é a área da Matemática que mais se beneficiou com o uso do computador. Estudar com o auxilio de programas computacionais, permite um processo mais atrativo para os alunos por que conceitos geométricos ensinados somente pelo aspecto de identificação de figuras e após definições de conceitos ficam empobrecidos diante da aplicação de um programa em que o aluno pode movimentar, construir e reconstruir figuras, conjecturar e provar suas conjecturas Por acreditar que o software Cabri-GéomètreII pode promover processos de aprendizagem específicos e possibilitar a criação de situações que propiciam os modos de ação e de validação, quando os alunos interagem com a máquina durante a resolução de atividades geométricas, optou-se por utilizar esse instrumento para o desenvolvimento dessa pesquisa. As conexões entre diferentes temas são fundamentais para os alunos aprenderem Matemática, possibilitando que utilizem conceitos matemáticos em problemas de outras áreas, redefinam conceitos quando associados aos novos contextos matemáticos. Nesse sentido a Arte oferece inúmeras opções para mostrar a Geometria de forma contextualizada, cabendo ao professor explorá-la e buscar a forma mais eficaz de colocar estes conhecimentos em prática. A Quarta Colônia de Imigração Italiana, composta por sete municípios, situa-se na região central do Rio Grande do Sul. Estes municípios são unidos pelas origens culturais e religiosas e o uso de elementos dessa cultura regional como os frisos e ladrilhos presentes nas igrejas matrizes da região, pode ser aproveitado em sala de aula como forma de transpor para a Matemática escolar, os conhecimentos oriundos da cultura do povo. Diante disso questionou-se: quais as contribuições que a análise dos frisos e ladrilhos encontrados nas igrejas da Quarta Colônia de Imigração Italiana do Rio Grande do Sul podem trazer para o ensino e aprendizagem de Geometria?

5 Os frisos e ladrilhos compostos de figuras geométricas mostram como a Matemática está integrada à Arte, e como a análise desses frisos, que traduz a cultura de um povo quando trabalhada em atividades de sala de aula, leva os alunos a atribuir sentido aos conteúdos matemáticos estudados. A história da imigração italiana ficou gravada nas pinturas, nos frisos e ladrilhos das igrejas da Quarta Colônia e, a análise desses elementos, permite estabelecer as relações entre a História, a Arte e a Geometria e utilizá-la em sala de aula para que o aluno, ao analisar a cultura desse povo, perceba as formas geométricas e as transformações geométricas utilizadas dando um sentido aos conceitos geométricos estudados. Para a realização dessa pesquisa utilizou-se a metodologia da Engenharia Didática. Essa metodologia aborda a concepção, realização, observação e análise de seqüências de ensino, procurando associar a pesquisa e o ensino, ela estabelece uma relação entre a teoria e a prática. Ela é importante para o processo de ensino e aprendizagem, pelo fato de permitir a compreensão dos efeitos causados pelas práticas docentes desenvolvidas em sala de aula. Pais (2002), considera que: A Engenharia Didática caracteriza uma forma particular de organização de procedimentos metodológicos da pesquisa em didática da matemática. O interesse pelo seu estudo justifica-se pelo fato de se tratar de uma concepção que completa tanto a dimensão teórica como experimental da pesquisa em didática. (p. 99). Esta metodologia caracteriza-se pela elaboração de uma seqüência didática (que explicita a relação existente entre professor, aluno e o elemento do saber matemático) e pelo modo de validação interno. Neste estudo é analisado o modo como os alunos aliam formas e movimentos para a compreensão dos conceitos e propriedades dos polígonos e das transformações geométricas no plano, como os alunos exploram os conceitos geométricos essenciais para a construção de frisos e ladrilhos e quais as contribuições do Cabri- Géomètre II para a compreensão dos conceitos geométricos empregados. Procurou-se elaborar atividades que levem os alunos à construção das figuras geométricas, e não apenas à identificação e a conceituação das mesmas. Procurou-se também, elaborar atividades com aspecto investigativo por considerar que atividades investigativas estimulam o envolvimento dos alunos na busca de solução.

6 pesquisa. A seguir é apresentada uma das atividades que está sendo desenvolvida nesta Atividade1 Objetivo desta atividade é explorar o conceito de eixo de simetria e a reflexão em torno desse eixo. 1) Analise o desenho abaixo e observe a transformação da figura. A seguir responda as seguintes questões. a) Quando à figura se dobrou, as duas partes coincidiram exatamente? b) A reta que ficou marcada divide a figura em duas partes iguais? c) Explique que movimento foi realizado em cada uma das etapas. 2- Analisando o piso da Igreja da Santíssima Trindade de Nova Palma identifique um eixo de simetria. Faça um desenho explicando porque o eixo escolhido é de simetria.

7 Atividade 2 O objetivo dessa atividade é explorar o movimento de translação. questões. 1) Observe o movimento dos triângulos na figura abaixo e responda às seguintes a) A forma e o tamanho da figura original são mantidos após o movimento? b) É possível que os triângulos se sobreponham e formem um triângulo só? Quando isso acontece? c) O que você pode afirmar em relação ao primeiro triângulo e cada triângulo transladado? d) O que está determinado a distância de um triângulo ao outro? e) A translação de uma figura é sempre a mesma? 2) Analise o friso da Igreja São José de Dona Francisca, e explique que transformações você percebe neste friso.

8 Considerações finais Por meio do estudo que vem sendo realizado pode-se perceber o quanto é importante buscar atividades para o ensino de Geometria, onde os alunos possam construir, com mais facilidade, os conceitos geométricos. A análise de frisos e ladrilhos presentes nas Igrejas da Quarta Colônia de Imigração Italiana têm se apresentado como uma ferramenta para explorar os conceitos geométricos e valorizá-los em atividades de sala de aula. Ressalta-se, também, a importância de aliar o estudo de Geometria a softwares educacionais como o Cabri Géomètre II pelo fato de auxiliar em atividades onde se prioriza a construção de conceitos e não apenas a identificação e a conceituação das figuras geométricas de modo estático. Pretende-se que este trabalho contribua para incentivar o estudo da Geometria sob um olhar mais dinâmico na sala de aula e que a relação entre Arte e Matemática seja um modo de despertar a criatividade dos alunos. Referências Bibliograficas ALMOULOUD, S. A. Iniciação à demonstração apreendendo conceitos geométricos. In: 23 reunião Anual da ANPed, 2000, Caxambu. Anais 23ª Reunião anual da ANPed, Caxambu, de setembro de Rio de Janeiro: ANPed, v. 1. p ARTIGUE, Michele. Engenharia Didática. Didáticas das matemáticas (Dir.. Jean Brun). Trad. Maria José Figueiredo. Lisboa: Instituto Piaget, (Horizontes Pedagógicos).

9 BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, FAINGUELERNT, Estela Kaufman; NUNES, Kátia Regina Ashton. Fazendo Arte com a Matemática. Porto Alegre: Artmed, FAINGUELERNT, Estela Kaufman. Educação Matemática: Representação e Construção em Geometria. Porto Alegre: Artes Medicas Sul, LORENZATO, Sérgio. Por que não ensinar Geometria? Educação Matemática em Revista. Geometria, SBEM. São Paulo, Vol. 4. p PAIS, Luiz Carlos. Didática da Matemática: Uma análise da influência francesa. Belo Horizonte: Autêntica, 2002, 2. ed., 128p. PAVANELLO, Regina Maria. A Geometria no Ensino Fundamental. Revista Teoria e prática da Educação. Volume 1, n 2, p , março de 1999.