MODELAGEM MATEMÁTICA E A GEOMETRIA DINÂMICA: UM ESTUDO DAS TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS COM O AUXÍLIO DO GEOGEBRA

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1 MODELAGEM MATEMÁTICA E A GEOMETRIA DINÂMICA: UM ESTUDO DAS TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS COM O AUXÍLIO DO GEOGEBRA REFATTI, Liliane R. UNIFRA- lilianerefatti@hotmail.com BISOGNIN, Eleni 1 UNIFRA- eleni@unifra.br RESUMO Este trabalho relata resultados parciais de uma pesquisa realizada com alunos de um Curso de Licenciatura com a finalidade de elaborar a dissertação num curso de Mestrado em Ensino de Matemática. Foi elaborada uma sequência didática, segundo os pressupostos da Engenharia Didática, em que utilizou-se a Modelagem Matemática e a utilização de recursos de programas computacionais como o GeoGebra, para representação dos modelos matemáticos construídos para o desenvolvimento das atividades.uma das questões de pesquisa foi analisar se as interações propiciadas pelos softwares auxiliam na compreensão dos conceitos relativos às transformações geométricas e se as ferramentas e/ou recursos computacionais auxiliam a aprendizagem dos alunos sobre este conteúdo. Ao analisar os dados obtidos, foi possível concluir que a interação dos alunos com o software, ao trabalhar com as atividades elaboradas, facilitou a visualização e a assimilação dos conceitos trabalhados. Os resultados mostraram também, que as atividade da sequência didática,desenvolvidas utilizando-se a Modelagem Matemática, foi uma forma atrativa de ensinar conceitos básicos de transformações geométricas e que estas atividades podem servir de subsídio pedagógico para os professores de Matemática que trabalham com este conteúdo. Palavras-chave: Modelagem Matemática. Geometria Dinâmica. Visualização. Transformações Geométricas no Plano. 1 INTRODUÇÃO Atualmente os recursos computacionais estão sendo utilizados como elementos auxiliares para os professores que utilizam a Modelagem Matemática em suas aulas. A exploração de conteúdos matemáticos por meio de programas computacionais que facilitam a visualização, estão transformando a prática dos professores. No Curso de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática em que a primeira autora elaborou sua dissertação, um dos propósitos é oportunizar um espaço de discussão, experimentação e elaboração de atividades para (re)construção de conceitos matemáticos utilizando diferentes metodologias de ensino e o uso de recursos tecnológicos. Tendo em vista esse propósito, para elaboração da dissertação de mestrado, organizou-se uma sequência didática sobre Transformações Geométricas, seguindo os pressupostos da Engenharia Didática, conforme Artigue (1996), em que algumas atividades foram desenvolvidas seguindo os passos da Modelagem Matemática. Estas atividades tinham como objetivo explorar conceitos básicos de transformações geométricas no plano e no espaço e utilizar um programa computacional para sua execução. Esta foi também uma forma de oportunizar aos licenciandos, participantes da pesquisa, uma familiaridade com programas computacionais, como o GeoGebra, afim de que as tecnologias fossem trabalhadas em sala de aula e incorporadas na prática pedagógica dos futuros professores, para exploração de conteúdos específicos. O propósito era também, que os licenciandos se apropriassem das ferramentas computacionais, principalmente os softwares de Geometria Dinâmica, conhecessem suas potencialidades e aumentassem a destreza de sua utilização adquirindo autonomia em relação ao uso da tecnologia. Neste trabalho foi utilizado o software GeoGebra para representar os modelos matemáticos representativos do Cata-vento e da Rosa Gigante e foi utilizada a Modelagem Matemática para explorar as transformações geométricas no plano que permitiram a construção desses modelos. 1 Projeto CNPq nº:... 1

2 2 A MODELAGEM MATEMÁTICA E A GEOMETRIA DINÂMICA Nos últimos anos, os ambientes de Geometria Dinâmica têm-se tornado indispensáveis para o ensino e aprendizagem de conteúdos geométricos. A questão é verificar como os alunos compreendem e percebem a geometria num ambiente dinâmico propiciado pelo uso de um software. Os softwares de Geometria Dinâmica são suportes que permitem representar graficamente certas situações que não conseguimos reproduzir apenas com o lápis e o papel, pois, é a partir da interpretação da imagem visual construída que o aluno irá estruturar seu raciocínio. Carneiro (apud GRAVINA, 2001) esclarece que os ambientes de Geometria Dinâmica são ferramentas computacionais que proporcionam imagens visuais e oferecem recursos de manipulação sobre os elementos das figuras geométricas. Elas contribuem para o desenvolvimento de habilidades, e consequentemente o aluno perceberá diferentes representações de uma mesma situação, levando-o a descobrir as propriedades das figuras geométricas. A imaginação e o raciocínio também podem ser desenvolvidos por meio da visualização, da observação, da exploração das propriedades de uma figura. Como aponta Gravina (2010), não há dúvidas de que aprendemos e entendemos melhor as propriedades de algum modelo quando temos a oportunidade de vê-lo, manipulá-lo, e mais ainda, construí-lo. (p. 2). Os documentos oficiais ressaltam que as tecnologias da comunicação, especialmente da informática, surgem como um dos caminhos para se fazer Matemática na sala de aula (BRASIL, 1998, p.42). O uso desses recursos, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), traz significativas contribuições para repensar o processo de ensino e aprendizagem de Matemática. O GeoGebra, por exemplo, é um software que proporciona a visualização do movimento das transformações geométricas no plano, bem como propicia a análise e a verificação das propriedades e construir conjecturas. Por outro lado, a associação da Modelagem Matemática com o uso de recursos computacionais favorece a participação dos alunos na elaboração e na busca de solução para as atividades. Para Bassanezi (2004, p.16), a opção pela Modelagem Matemática está no fato de que ela tem a habilidade de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real. Neste contexto, Almeida e Dias (2004, p.25) ressaltam que a Modelagem Matemática pode proporcionar aos alunos oportunidades de identificar e estudar situações-problema de sua realidade, despertando maior interesse e desenvolvendo um conhecimento mais crítico e reflexivo em relação aos conteúdos matemáticos. O processo de construção de um modelo permite aos alunos criar problemas, buscar soluções, fazer perguntas, criar conjecturas, interpretar as soluções, fazer conexões com o modelo real, avaliar e reavaliar o modelo construído. A utilização da Modelagem Matemática rompe a rotina das aulas, modifica a forma de trabalhar em sala de aula e, como infere Barbosa (1999), reorganiza as relações entre professor e aluno, com nova divisão de responsabilidades. 3 A METODOLOGIA DE TRABALHO O trabalho aqui relatado é parte de uma pesquisa de caráter qualitativo desenvolvida na elaboração da dissertação de mestrado em Ensino de Matemática da primeira autora. Ele foi desenvolvido numa turma de oito alunos de um curso noturno de Licenciatura em Matemática, na disciplina de Geometria I. Destacase que esses alunos integrantes da pesquisa, entraram em contato com o conteúdo de transformações geométricas e os conceitos de reflexão, translação e rotação pela primeira vez, com o desenvolvimento das atividades elaboradas especificamente para esta pesquisa. Para o desenvolvimento das atividades o curso de licenciatura disponibilizou uma sala equipada com microcomputadores, sendo um para cada aluno, o software GeoGebra estavam disponíveis. Essas atividades foram previamente elaboradas, considerando-se os resultados de uma avaliação diagnóstica aplicada aos alunos, com o propósito de verificar o conhecimento deles sobre os conceitos de reflexão, translação e rotação de figuras planas e de figuras espaciais. Neste trabalho destacamos algumas atividades que tiveram como propósito explorar os movimentos de translação e rotação de figuras planas. Os alunos trabalharam em duplas e individualmente e foram incentivados a discutir suas ideias com outros 2

3 colegas e registrar suas descobertas. Os registros escritos dos alunos e as observações feitas pela professora em seu diário de campo constituíram o material que analisado, possibilitou conhecer os avanços dos alunos e a apropriação dos conceitos trabalhados em um ambiente computacional. A partir dos resultados das análises preliminares, constituídas por um teste diagnóstico, foi elaborada uma sequência didática em que, para o desenvolvimento das atividades em sala de aula, foram utilizadas as etapas da Modelagem Matemática, conforme Bassanezi (2004), e foram utilizados recursos computacionais do software GeoGebra para exploração das transformações geométricas. 4 A EXPERIÊNCIA EM SALA DE AULA Para o desenvolvimento das atividades, de acordo com a metodologia da Modelagem Matemática e, segundo Bassanesi (2004), o primeiro passo é a escolha do tema. O tema escolhido pelos grupos foi o Cata-vento e a Roda Gigante. A questão que se colocou foi: que transformações geométricas são necessárias para desenhar um Cata-vento e uma Roda Gigante? Para responder a essa questão a professora tinha como propósito que os alunos se apropiassem das transformações geométricas já conhecidas para construir os modelos matemáticos representativos do cata-vento e da roda gigante. O cata-vento é composto por um certo número de pás que gira em torno de um eixo pela ação do vento como o da figura a seguir, construído pela professora utilizando o GeoGebra. Figura 1: Cata-vento Escolhido o tema o próximo passo foi explorar o modelo matemático aqui representado por um desenho. A Professora fez as seguintes perguntas: como construir um cata-vento? Quais as figuras geométricas e movimetos presentes no objeto analisado? A função do professor consistiu em ajudar o aluno na compreensão do exercício e estimulá-lo a usar a criatividade para descobrir estratégias de resolução. Um dos alunos observou que as pás do cata-vento tinham a forma de um triângulo e um colega completou que os triângulos tinham o mesmo tamanho. Percebendo a dificuldade dos alunos em encontrar um ponto de partida, a professora auxiliou-os a desenhar a figura e analisar cada etapa da construção. Neste caso o modelo matemático não foi descrito por equações ou fórmulas algébricas, mas foi representado por meio de um desenho. A Professora indagou: como cada triângulo tem o mesmo tamanho, será que eles podem ser representados num círculo? Percebendo a concordância dos alunos a professora foi fazendo a construção 3

4 juntamente com os alunos. Primeiramente foi desenhada uma circunferência de raio qualquer, foi marcado seu centro, indicado por A e marcado um ponto B sobre ela. Utilizando a ferramenta Controle Deslizante do GeoGebra foi realizada uma rotação obtendo-se o ponto B como mostra a Figura 2 a seguir. Figura 2: Circunferência base do cata-vento O segundo passo consistiu em dividir a circunferência em partes iguais e fazer a rotação do ponto B em torno do ponto A, por um ângulo fixo (neste caso utilizou-se o ângulo de 45º) e unir os dois pontos com o centro da circunferência, como mostrado na Figura 3. Figura 3: Rotação do ponto sobre a circunferência A seguir foi feita uma rotação do centro da circunferência (ponto A). Com centro no ponto B e efetuando uma rotação de um ângulo de 315º, obteve-se o ponto A. Unindo o ponto B a A obteve-se o ponto C e o polígono de vértices A, B e C. Rotacionando este polígono por um ângulo de 45º, com centro em A, obtem-se a Figura 4. 4

5 Figura 4: Rotação do polígono por um ângulo de 45º. Por fim, para movimentar o cata-vento, foi utilizado o controle deslizante do GeoGebra. Cada etapa da construção foi feita pela professora e pelos alunos e ao final da atividade cada aluno deu um colorido especial ao seu desenho. O segundo tema escolhido foi a Roda Gigante. A Roda Gigante é um brinquedo típico dos parques de diversão. Ela é formada por duas rodas paralelas que giram em torno do mesmo eixo, é suspensa por duas torres verticais que sustentam os bancos oscilantes para duas ou mais pessoas. Uma representação é mostrada na Figura 5, construída pela professora com o auxílio do GeoGebra. 5

6 Figura 5: Roda Gigante Analisada a figura a Professora indagou: que figuras geométricas e que movimentos deveremos usar na construção da Roda Gigante? Seguindo o mesmo raciocínio na construção do modelo anterior do Cata-vento, os alunos iniciaram imediatamente a desenhar uma circunferência, marcaram o centro A e um ponto B sobre a circunferência. Em seguida, para movimentar os bancos da roda gigante, foi realizada uma rotação do ponto B de um ângulo α, por meio da ferramenta controle deslizante obtendo-se o ponto B. A seguir dividiu-se a circunferência em partes iguais e foi rotacionado o ponto B em torno do ponto A, por um ângulo fixo. Neste caso foi utilizado um ângulo de 60, como mostrado na Figura 6. Figura 6: Rotação do ponto B por um ângulo fixo O próximo passo foi desenhar os bancos da roda gigante. O desenho dos bancos foi feito seguindo os seguintes passos: a) Construa uma circunferência de centro C e marque um ponto D sobre ela. Trace outra circunferencia de raio igual a medida do segmento CD, indicando por E a intercecção das duas circunferências e construa um triângulo com a ferramenta polígono como mostrado na Figura 7. 6

7 Figura 7: Construção do triângulo b) Marque o ponto médio F do segmento CD e o ponto médio G do segmento de reta FD, trace um segmento de reta DG e com a ferramenta compasso construa uma circunferência de centro D e raio DG, como na Figura 8. Figura 8: Etapa da construção da cadeira da Roda Gigante c) Marque o H, intercecção da circunferência f com o polígono CDE; com a ferramenta polígono regular trace um hexágono que passa pelos pontos D e H e trace um vetor u com ponto inicial em G e final em F e transladando o ponto F segundo este vetor, conforme a Figura 9, a seguir. Figura 9: Etapa da construção da Roda Gigante d) Trace um vetor v com ponto inicial em G e final em F e translade o hexágono segundo este vetor. A translação é mostrada na Figura 10. 7

8 Figura 10:Translação do hexágono e) Na sequência, com a ferramenta exibir objeto, faça uma limpeza na imagem e pode colorir conforme sua preferência. Em seguida trace um vetor w unido os pontos E e B, translade, o polígono acima construido, segundo o vetor w, como mostrado na Figura 11. Figura 11: Translação do hexágono f) Para finalizar a construção faça a translações nos demais pontos, repetindo o passo acima e utilizando a ferramenta exibrir objeto. Esconda os objetos não desejados para ter a representação da Roda Gigante da Figura 12. Para que a roda se movimete basta animar o seletor. 8

9 5 CONSIDERAÇÕES FINAIS Figura 12: Modelo matemático representativo da Roda Gigante Este artigo é fruto das analises das contribuições da aplicação de uma sequência didática e do uso do programa computacional GeoGebra, para o ensino e aprendizagem das transformações geométricas, para alunos de um curso de Licenciatura em Matemática. No desenvolvimento das atividades foi possível observar, nas diferentes etapas de construção dos modelos matemáticos, que os alunos, de modo geral, avançaram em seus conhecimentos geométricos, pois eles demonstraram de alguma forma perceber e reconhecer as transformações geométricas no plano, assim como o conceito de reflexão, translação, rotação e suas propriedades. Os temas escolhidos foram adequados à exploração dos conteúdos matemáticos O software GeoGebra não só auxiliou na visualização como também ofereceu aos alunos a oportunidade de manipulação virtual de formas geométricas e entes matemáticos, fazendo com que eles buscassem soluções e explorassem as propriedades apresentadas. Outro ponto positivo proporcionado pelo uso do software foi a possibilidade de verificar a veracidade das conjecturas. Os alunos podiam comprovar por meio das construções se suas conjecturas eram ou não verdadeiras. Tendo em vista os aspectos observados, pode-se concluir que a visualização proporcionada pelos ambientes computacionais foi de fundamental importância para os alunos na compreensão dos conceitos geométricos envolvidos. Os alunos mostraram-se impressionados com o fato de poderem visualizar os movimentos causados pelas transformações geométricas, assim como de explorar esses movimentos. 6 REFERÊNCIAS ALMEIDA, L. M. W.; DIAS, M. R. Um estudo sobre o uso da Modelagem Matemática como estratégia de Ensino e Aprendizagem. Bolema: Boletim de Educação Matemática, Rio Claro, nº 22, p.19-35, ARTIGUE, Michèle. Engenharia Didática. In: BRUN, Jean. Didáticas das Matemáticas. Lisboa: Instituto Piaget. Horizontes Pedagógicos, p BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. 2. ed. São Paulo: Contexto, BARBOSA, J. C. O que pensam os professores sobre a Modelagem Matemática? Zetetiké, Campinas, v.7, n.11, p.67-85,

10 BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF, CARNEIRO, Vera Clotilde Garcia. Engenharia didática: um referencial para ação investigativa e para formação de professores de matemática. ZETERIKÉ, Campinas, SP, v. 13, n. 23, p , jan./jun., DIAS, Maria da G. A. Modelagem no Ensino da Geometria. In: GRAPHICA 2007, Curitiba. Anais. Disponível em: < f >. Acesso em: 25/11/2010. GRAVINA, Maria Alice; Os ambientes de geometria dinâmica e o pensamento hipotético dedutivo Tese (Doutorado em Informática na Educação) - Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, O Software GeoGebra no ensino da Matemática. In: III Semana de Matemática, 2010, Campos dos Goytacazes, Rio de Janeiro. Anais eletrônicos. Disponível em: < >. Acesso em: 15 jan