Resolução de Sistemas de Equações do Primeiro Grau Com Auxílio do Aplusix.

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1 Resolução de Sistemas de Equações do Primeiro Grau Com Auxílio do Aplusix. Florisvaldo de Oliveira Rocha INTRODUÇÃO Quando estudamos sistemas de equações do 1º grau no 8º ano do Ensino Fundamental, praticamente não entendi nenhum dos processos de resolução expostos pelo professor. Lembro-me que tive dificuldades na aprendizagem desse conteúdo, apesar de fazer uso de seus processos de resolução mecanicamente, sem compreensão dos mesmos. Atualmente como professor de matemática, tenho refletido bastante sobre a dificuldade de aprendizagem dos alunos na Álgebra e como o assunto que vamos investigar se inclui nesse campo, percebo que é grande a dificuldade, principalmente na interpretação e montagem de sistemas de equações do 1º grau como comprovam diversas pesquisas (BURIGATO, 2007; NOGUEIRA, 2008; VALENZUELA, 2007). Entretanto, sabemos que o ensino de sistemas de equações do 1º grau está relacionado com o bloco Número e Operações nos conteúdos de Matemática dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática PCN s (BRASIL, 1998). Diante disso, na transição das séries iniciais para as séries finais do Ensino Fundamental, a passagem do 5º ano para o 6º, o aluno se depara com situações diferentes daquelas que faziam parte de seu cotidiano escolar, embora, segundo os PCN s (BRASIL, 1998) nas séries iniciais o aluno já possa desenvolver algum aspecto algébrico, as mudanças significativas começam no 7º ano quando é iniciada a Álgebra em sua vida estudantil. Nessa fase, o aluno descobre que são possíveis as operações com letras no lugar de números, sendo necessário que ele compreenda a noção de variável e reconheça expressões algébricas e seus termos, pois, pelos PCN s (BRASIL, 1998, p. 68), é necessário um trabalho que vise o aprofundamento das operações com expressões algébricas e equações, devido à complexidade que caracteriza esse conceito. No 8º ano inicia-se a fase de amadurecimento dos conceitos algébricos do aluno. Com isso, o aluno começa a se

2 2 apropriar, de acordo com os PCN s (BRASIL, 1998), dos conceitos como o de variável e de função; da representação de fenômenos na forma algébrica e na forma gráfica; formulação e representação de problemas por meio de equações e o conhecimento das regras para resolução de equações. Nessa fase o aluno, após trabalhar com equações do 1º grau e resolução de problemas envolvendo equações do 1º grau, trabalha sistema de equações do 1º grau. Trata-se de um assunto mais amplo pelo fato de que o aluno tenha que resolver duas equações ao mesmo tempo para encontrar dois valores correspondentes a duas incógnitas a dificuldade de compreensão se torna maior ainda. Como professor de matemática sempre procurei entender as origens das dificuldades dos alunos quanto ao aprendizado da Álgebra. Na qualidade de pesquisador em educação matemática, resolvemos fazer uma investigação sobre a aprendizagem da Álgebra no 8º ano. Por outro lado, por ter certa experiência com tecnologia vamos utilizar um software como ferramenta auxiliar nessa investigação, pois acreditamos que com o avanço da tecnologia, novas técnicas de auxílio à aprendizagem surgirão. Quando discutimos a tecnologia aplicada à educação, verificamos que, devido à crescente difusão tecnológica ocorrida na sociedade, existe uma busca constante por um modelo pedagógico que favoreça os processos de ensino e de aprendizagem. Diante disso, várias pesquisas têm sido realizadas para investigar as possibilidades quanto ao aprendizado dos alunos com a ajuda da tecnologia (BURIGATO, 2007; VALENZUELA, 2007). Na expectativa de atingirmos nossos objetivos com a execução desse projetivo, esperamos também contribuir nessa busca, produzindo um trabalho que sirva de referência para pesquisadores nessa área. Entretanto, o uso das novas tecnologias como ferramenta auxiliar não pode ser visto como a panacéia das dificuldades de aprendizagem, como afirma Almeida (2000, p. 12): O clima de euforia em relação à utilização de tecnologias em todos os ramos da atividade humana coincide com um momento de questionamento e de reconhecimento da inconsistência do sistema educacional. Embora a tecnologia informática não seja autônoma para provocar transformações, o uso de computadores em educação coloca novas questões ao sistema e explica inúmeras inconsistências. Na Matemática a busca de uma ferramenta que faça com que essa ciência seja muito mais atraente para os alunos, tem cada vez mais acentuados estudos sobre o uso das

3 3 novas tecnologias, pelo fato de que não se pode andar a contramão ou ficar estático diante desse boom tecnológico. Entretanto, não basta tornar a Matemática mais atraente, essa ferramenta tem que atingir seu objetivo que é o de apoiar os processos de ensino e de aprendizagem. Com o avanço da tecnologia, softwares com finalidade pedagógica para o ensino da matemática foram e são criados. No entanto, nem todos se encaixam aos preceitos dos professores que pretendem usá-los, como afirma BITTAR (2005, p. 78): Os professores são assim confrontados a questões como qual o software mais adaptado para determinada aprendizagem e como usá-lo com os alunos. Ainda com relação aos programas específicos, BITTAR (2005) comenta que são bastante conhecidos softwares de geometria que permitam que o aluno controle as atividades realizadas por meio de retroações dentro de uma perspectiva construtivista e que isso não acontece no ensino da álgebra, sendo que o aluno dispõe de pouco ou nenhum controle sobre suas atividades e que nesse caso precisa do professor para validar seu trabalho. Partindo desse pressuposto, buscamos em nossa pesquisa investigar a aprendizagem de sistemas de equações do primeiro grau por alunos do 8º ano do Ensino Fundamental com o auxílio de um software. Para tanto, buscaremos investigar: a passagem da linguagem natural para a linguagem algébrica na resolução de problemas envolvendo sistemas de equações do 1º grau; possibilidades do uso do Aplusix para a aprendizagem de sistemas de equações do 1º grau; dificuldades da resolução de sistemas de equações do 1º grau por alunos do 8º do Ensino Fundamental. REFERENCIAL TEÓRICO Para que atinjamos nossos objetivos é preciso que o aluno seja ativo, busque, diante das situações propostas, seu aprendizado. Acreditamos que a Teoria das Situações Didáticas é um referencial teórico que nos permitirá organizar nossa pesquisa, tendo em vista que a mesma é um [...] modelo teórico desenvolvido na França por Guy Brousseau (1986), que trata de formas de apresentação, a alunos, do conteúdo matemático, possibilitando melhor compreender o fenômeno da aprendizagem da matemática (FREITAS, 2008, p. 77). Além disso, essa teoria é usada em vários estudos como referência para o aprendizado da matemática em sala de aula com o envolvimento do professor, aluno e o conhecimento matemático. Cabe ao professor, segundo Freitas (2008,

4 4 p. 78), [...] criar condições suficientes para que o aluno se aproprie de conteúdos matemáticos específicos. O professor ao organizar essas condições, cria um meio, no qual aluno e professor se envolvem na construção do saber matemático. O meio é onde ocorrem às interações do sujeito, é o sistema antagonista no qual ele age. É no meio que se provocam mudanças visando desestabilizar o sistema didático e o surgimento de conflitos, contradições e possibilidades de aprendizagem de novos conhecimentos. (FREITAS, 2008, p. 79) Nessas condições, o trabalho do professor consiste em criar situações para que o aluno aprenda em pouco tempo uma noção que demorou muito tempo para ser desenvolvida. O professor deve não apenas comunicar um conhecimento, mas devolver 1 um bom problema que faça com que o aluno assuma-o como se fosse seu e busque conhecimentos antigos para tentar resolvê-lo. Dessa forma, caso o professor consiga êxito, o aluno tem seu processo de aprendizado iniciado. A teoria das situações didáticas visa o perfeito envolvimento dos atores professor e aluno; o professor como ator tem o papel de organizador do meio e o aluno de entrar em ação, assumindo o papel de protagonista. Se o aluno assumir a situação, ou seja, assumir a responsabilidade da pesquisa, ou da resolução do problema, sem que haja a interferência do professor, houve a devolução e a situação passa a ser adidática. Desse modo, cabe ao professor apenas administrar a situação e ter controle sobre seu andamento, sem interagir diretamente. Caso haja alguma intenção do professor na orientação para aprendizagem de um determinado conteúdo matemático, a situação deixa de ser adidática. Segundo FREITAS (2008, p. 79): Uma situação adidática caracteriza-se essencialmente pelo fato de representar determinados momentos do processo de aprendizagem nos quais o aluno trabalha de maneira independente, não sofrendo nenhum tipo de controle direto do professor relativamente ao conteúdo matemático em jogo. A resolução de problemas é que impulsiona o processo de ensino e de aprendizagem matemática. Por uma questão técnica o professor tem a responsabilidade de escolher um bom problema que deve ser compatível com o nível de conhecimento de cada aluno, pois é o professor quem tem as condições de conhecer a realidade da sala de aula. 1 Devolução, aqui, tem o significado de transferência de responsabilidade, uma atividade na qual o professor, além de comunicar o enunciado, procura agir de tal forma que o aluno aceite o desafio de resolvêlo, como se o problema fosse seu [...] (FREITAS, 2008, p. 83)

5 5 Por outro lado, pelo fato de o saber ter diversos níveis de funcionalidade, é de se esperar que os conhecimentos elaborados pelos alunos não sejam uniformes e para descrever as relações do aluno com essa diversidade, Brousseau desenvolveu uma tipologia de situações didáticas, analisando as principais atividades específicas da aprendizagem da matemática (FREITAS, 2008). Na tipologia das situações didáticas, Brousseau considerou a primeira fase da situação aquela a qual o aluno ao aceitar as regras do jogo executa ações imediatas, busca maneiras para resolvê-lo. Muitas vezes chega ao resultado esperado, mas não explica os argumentos utilizados. Numa situação adidática de ação o conhecimento adquirido é de natureza mais intuitiva, experimental do que teórica. Na segunda fase, denominada formulação o aluno ao interagir com o problema faz conjecturas na tentativa de chegar à solução, mas sem a intenção de justificar a validade do procedimento adotado, embora contenham implicitamente intenções de validação (FREITAS, 2008). A terceira fase nomeada como validação o aluno além de usar conhecimentos adquiridos, valida; prova, demonstra e utiliza um conhecimento mais elaborado. Segundo FREITAS (2008, p. 79): As situações de validação são aquelas em que o aluno já utiliza mecanismos de prova e em que o saber é usado com essa finalidade. Essas situações estão relacionadas ao plano da racionalidade e diretamente voltadas para o problema da verdade. Elas podem ainda servir para contestar ou mesmo rejeitar proposições. Nessa situação o aluno comprova que o conceito utilizado é eficaz, ou seja, chegou a um resultado que satisfaz o enunciado proposto pelo professor. Alguns estudos apresentam uma quarta fase de situação adidática, denominada de institucionalização. Entretanto, Brousseau (1986) considera essa fase como uma situação didática, tendo em vista que a responsabilidade compete ao professor validar ou não os resultados obtidos. Validação aqui entendida de uma forma comparada a um agricultor que depois de semear a semente, espera que essa germine e cresça e, na colheita, os bons frutos são aproveitados e os podres refutados. Nessa fase, pelo fato de o professor ser a instituição máxima em sala de aula, ele tem a responsabilidade de aceitar ou não os resultados obtidos pelos alunos. Pois esses resultados podem estar incorretos ou corretos,

6 6 só que, os processos utilizados não terem nenhuma coerência matemática. Nesse caso, cabe ao professor mostrar porque a solução encontrada não está correta. Uma vez definida a Teoria das Situações como referencial teórico, buscamos uma metodologia de pesquisa que permita elaborar situações de aprendizagem coerentes com esse referencial. Nesse sentido, acreditamos que a Engenharia Didática (ARTIGUE, 1988) possa contribuir para a realização dessa investigação. METODOLOGIA A Engenharia Didática é uma metodologia de pesquisa empregada pela Didática da Matemática que tem como objetivo a organização dos procedimentos metodológicos de pesquisas desenvolvidas no contexto de sala de aula (ARTIGUE, 1988). Segundo Artigue (1988) o termo engenharia didática foi adotado por ser comparado ao trabalho do engenheiro que na realização de um projeto se baseia em conhecimentos científicos de seu domínio. Ao mesmo tempo em que aceita a rigorosidade do controle científico, trabalha sobre objetos mais complexos que os objetos que seguem uma cientificidade, em vista disso, ele tende a enfrentar, com quase todos os meios de que dispõe, problemas que a ciência não reconhece. A metodologia da Engenharia Didática se divide em quatro fases: Análises preliminares: nessa fase é feito o levantamento epistemológico do assunto pesquisado; análise do atual ensino; análise do conhecimento do aluno, ou seja, os conhecimentos que o aluno tem para que haja evolução no aprendizado visado; análise das possíveis dificuldades e obstáculos que determinam sua evolução. Concepção e análise a priori das situações didáticas: Nessa fase o pesquisador, com base nas análises preliminares, [...] delimita certo número de variáveis pertinentes do sistema sobre o qual o ensino pode atuar, as quais são chamadas de variáveis de comando. (MACHADO, 2008, P. 235). Essas variáveis, para facilitar a análise da engenharia, Artigue (1988) as distinguiu como: microdidáticas ou locais; tem relação com a organização de uma sessão de uma fase e macrodidáticas ou globais; tem relação com a organização global da engenharia. Segundo Machado (2008, p.

7 7 242). Vale lembrar que, embora as escolhas globais possam aparecer separadamente das escolhas locais, elas são interdependentes, [...]. A análise a priori visa que o aluno considere dois aspectos: descritivo e o previsivo. Nela o professor só aparece no aspecto descritivo. O aluno é considerado o protagonista e nela cabe ao professor a organização do meio, parte do contrato didático e na institucionalização (MACHADO, 2008). Fase de experimentação: Essa é a fase da realização da engenharia, é nela que o pesquisador/professor aplica o que foi instituído na análise a priori com o grupo de alunos. Segundo Machado (2008, P. 244) a fase de experimentação supõe: - a explicitação dos objetivos e condições de realização da pesquisa à população de alunos que participará da experimentação; - o estabelecimento do contrato didático; - aplicação dos instrumentos de pesquisa; - registro das observações feitas durante a experimentação (observação cuidadosa descrita em relatório, transcrição dos registros audiovisuais, etc.). Análise a posteriori e validação: Essa é a última fase do processo experimental da engenharia didática, nela os dados colhidos na experimentação são tratados conforme propusera a análise a priori. Por fim, é na confrontação das análises a priori e a posteriori que as hipóteses levantadas são validadas ou refutadas (MACHADO, 2008). Na aplicação dessa metodologia, com base na Teoria das Situações Didáticas, utilizaremos como ferramenta auxiliar de aprendizagem o software Aplusix, criado pelo laboratório IMAG-Leibniz - França, voltado para o ensino da Aritmética e Álgebra, conforme define o site (APLUSIX, 2007): Aplusix é um software de ajuda a aprendizagem da Aritmética e da Álgebra que permite que o aluno resolva exercícios fornecendo-lhe retroações: verifica a validade dos cálculos feitos e o fim dos exercícios. Aplusix foi criado para ser integrado no trabalho regular da classe: ele se aproxima do ambiente papel e lápis; utiliza um editor de expressões algébricas bastante intuitivo (em duas dimensões) e contém 400 tipos de exercícios. As experimentações, desde 2002, em vários países e em diversas situações, forneceram resultados bastante positivos, avaliados em pré-testes e pós-testes

8 8 Nesse ambiente, desenvolveremos situações-problema; aplicando algumas sessões de resolução de exercícios de sistemas de equações do 1º grau e modelagem matemática. Entretanto, ainda não decidimos quais os recursos que utilizaremos para coleta das informações necessárias; gravação, filmagem, relatórios ou questionários. No entanto, o software disponibiliza alguns recursos que utilizaremos como gráficos estatísticos; fornece informações da evolução do aluno e a ferramenta videocassete; possibilita a verificação de todos os passos tomados pelo aluno, pois, o software grava todas as passagens na resolução do exercício, inclusive as que o aluno apagou. Pretendemos desenvolver essa pesquisa com uma turma do 8º ano do Ensino Fundamental de uma Escola Municipal no Município de Alvorada do Sul no Estado de Mato Grosso do Sul. Essa escola disponibiliza uma sala de tecnologia com dez microcomputadores instalados em rede. No quarto bimestre deste ano letivo aplicaremos as engenharias didáticas. No entanto, antes da aplicação faremos algumas aulas de ambientação do software para que o aluno se familiarize com o novo ambiente. Nessa oportunidade, aproveitaremos para verificar os conhecimentos anteriores do aluno para que possamos aplicar nossas estratégias de investigação com maior eficiência, sem que, no entanto, percamos tempo. Esperamos que nossos objetivos sejam atingidos e que no término dessa pesquisa possamos dar algumas respostas às hipóteses em questão: Bibliografia ALMEIDA, Maria Elizabeth. Informática e Formação de Professores. Brasília: Parma Ltda, v. (Educação à Distância) APLUSIX STANDARD. Manual de Utilização, versão França: MeTAH au laboratoire IMAG-Leibniz, Grenoble,. última visita em 07/2008. ARTIGUE, M. Ingénierie didactique: Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 9, n. 3, Éditions La Pensée Sauvage, 1990.

9 9 BITTAR, Marilena; CHAACHOUA, Hamid; NICAUD, Jean-François. Determinação automática de concepções de alunos em álgebra. Série-estudos, Campo Grande, p , 2005 BRASIL, Secretaria de educação fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, BROUSSEAU, Guy. Théorie des situations didactiques. Recherches em didactique des Mathèmatiques. Vol. 7.2, La Pense Savage. Grenoble. Paris. França. BURIGATO, Sonia Maria Monteiro da Silva. Estudo de Dificuldades na Aprendizagem da Fatoração nos Ambientes: Papel e Lápis e no Software Aplusix. Dissertação de Mestrado, Centro de Ciências Sociais e Humanas - PPGEDU - Mestrado, UFMS. Campo Grande: Orientador: Marilena Bittar FREITAS, José Luiz Magalhães de. Teoria das Situações Didáticas. In: MACHADO, Silvia Dias Alcântara (Org). Educação Matemática Uma (nova) Introdução. 3.ed.rev. São Paulo: Educ, p (Trilhas) MACHADO, Silvia Dias Alcântara (Org). Engenharia Didática. In: Educação Matemática Uma (nova) Introdução. 3.ed.rev. São Paulo: Educ, p (Trilhas) NOGUEIRA, Rosane Corsini Silva, A álgebra nos livros didáticos do ensino fundamental: uma análise praxeolégica. Dissertação de Mestrado, Centro de Ciências Sociais e Humanas - PPGEDU - Mestrado, UFMS. Campo Grande: Orientador: Marilena Bittar VALENZUELA, Silvia Teresinha Frizzarini. O Uso de Dispositivos Didático Para o Estudo de Técnicas Relativas a Sistema de Equações Lineares no Ensino Fundamental. Dissertação de Mestrado, Centro de Ciências Sociais e Humanas - PPGEDU - Mestrado, UFMS. Campo Grande: Orientador: José Luiz Magalhães de Freitas