SOFTWARE DERIVE - AUXILIAR NO ENSINO DE CÁLCULO NUMÉRICO

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1 SOFTWARE DERIVE - AUXILIAR NO ENSINO DE CÁLCULO NUMÉRICO Viviana Cocco Mariani Núcleo de Refrigeração, Ventilação e Condicionamento de Ar - NRVA Departamento de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Santa Catarina viviana@nrva.ufsc.br Sérgio Peters Laboratório de Computação Algébrica e Simbólica - LabCAS Departamento de Informática e Estatística Universidade Federal de Santa Catarina peters@inf.ufsc.br Resumo Com a disponibilidade crescente de softwares aplicativos e de acesso à rede de computadores Internet- é freqüente o uso do computador como um recurso didático no processo educativo. Seu potencial deve ser utilizado para motivar, provocar discussões, fornecer resultados básicos, além de simular numérica e graficamente situações que são difíceis de serem simuladas num curso tradicional. Porém, deseja-se usar as ferramentas tecnológicas para que o aluno seja criativo e participativo e não um mero digitador de teclas programadas. Neste contexto, destacam-se os Sistemas de Computação Algébrica e Simbólica (SCAS) voltados para as ciências exatas. Dentre os mais conhecidos estão o Reduce, Macsyma, Maple, Mathematica e Derive. São inúmeras as áreas da ciência e tecnologia em que a Computação Algébrica tem sido utilizada com sucesso. Na indústria muitos problemas, tradicionalmente resolvidos por métodos numéricos computacionais, podem ter seus resultados obtidos com maior precisão e confiabilidade, menor esforço e tempo através do uso de SCAS. O aplicativo Derive é compacto, versátil e dirigido totalmente via comandos listados em menus. Com este software os alunos exploram cálculos numéricos e algébricos, gráficos e programação. O objetivo principal deste trabalho é apresentar alguns exemplos de utilização e aplicação do software Derive nas aulas de Cálculo Numérico. 1. Introdução 2874

2 A relação entre computadores, a matemática e a engenharia é bastante antiga. Acredita-se que a maioria dos engenheiros e principalmente os matemáticos eram indiferentes a utilização de computadores. Entretanto, nos últimos anos, é grande o número de profissionais de todas as áreas aderindo aos avanços tecnológicos e fazendo uso de recursos computacionais em suas atividades diárias. De certa forma os computadores estão se tornando tão familiares como qualquer outro aparelho eletrônico (Salvador e Malagutti, 1997). Para os matemáticos e engenheiros que trabalham com problemas práticos buscando soluções numéricas, o computador é um grande auxiliar. Desta forma o computador propiciou a intensificação de estudos em todas as áreas, bem como nas áreas de Análise Numérica, Teoria Matricial, Teoria de Estruturas Abstratas e Computação Algébrica e Simbólica. Durante as últimas décadas os sistemas computacionais têm sido desenvolvidos com o objetivo de automatizar a manipulação de cálculos matemáticos com expressões, equações e fórmulas, assemelhando-se as operações que são executadas com lápis e papel ou lousa e giz. Com o passar do tempo, tais sistemas ficaram conhecidos como Sistemas de Computação Algébrica (SCA). Dentre os SCA mais difundidos estão: Reduce, Macsyma, Maple, Mathematica, Matlab e Derive (Roque, 1996). É crescente a importância da CAS como ferramenta de apoio ao ensino e à pesquisa científica e tecnológica, tornando-se urgente a sua introdução no cotidiano das atividades em Universidades e Instituições de pesquisa. São inúmeras as áreas da ciência e tecnologia em que a Computação Algébrica têm sido utilizada com sucesso. Na indústria muitos problemas, tradicionalmente resolvidos por métodos numéricos computacionais, podem ter seus resultados obtidos com maior precisão, com menor esforço, com maior confiabilidade e em menor tempo, através do uso de SCAS (Peters et al., 1997). Os SCA são considerados ferramentas importantes de apoio à pesquisa, ao ensino e às atividades de profissionais nas mais diversas áreas que envolvem manipulações algébricas e simbólicas. Experiências de sua utilização em sala de aula já vem sendo desenvolvidas em várias instituições. A utilização de SCA é feita de forma diferenciada nos diferentes cursos. Para alunos de Engenharia a abordagem é direcionada à resolução de problemas, enquanto para alunos de Licenciatura são vistos como uma ferramenta de Informática voltada ao ensino. Segundo Roque os SCA podem ser vistos como uma ferramenta de auxílio nos cursos de graduação e pós-graduação trazendo grandes benefícios (Roque, 1996), permitindo: 1) motivar os alunos, particularmente, nos cursos introdutórios de Cálculo Diferencial e Integral, Equações Diferenciais, Álgebra Linear, Cálculo Numérico e Análise Numérica, os quais formam a base para os cursos de Ciências Exatas, Engenharias e Ciência da Computação; 2) elevar o grau de riqueza dos modelos matemáticos abordados nas disciplinas, através de hipóteses simplificativas mais realísticas; 3) melhorar a compreensão e a visualização gráfica; 4) estimular a abordagem dos problemas através de algoritmos; 5) estimular o uso de computadores munidos de sistemas de computação algébrica e simbólica, como uma espécie de laboratório experimental de matemática, testando hipóteses; 6) rapidez no acesso a conceitos mais sofisticados de matemática; 7) melhorar o nível dos profissionais formados. 2875

3 2. O Sistema Derive Com uma interface cada vez mais próxima da notação matemática convencional e uma eficiente maneira de apresentar os resultados, os programas matemáticos tornam-se uma importante ferramenta para pesquisadores, engenheiros, professores e estudantes, entre outros - que buscam na matemática a solução de seus problemas. O sistema Derive é uma ferramenta computacional de fácil operação, instalação e assimilação, podendo ser executado em plataformas de hardware, inclusive a partir de discos flexíveis. Este sistema foi criado, inicialmente, com a finalidade de ser utilizado como uma espécie de calculadora algébrica altamente sofisticada. Por ser um sistema compacto, apresenta-se como um forte candidato a uma ferramenta computacional de apoio em várias situações, sendo perfeitamente adequado para a resolução da grande maioria dos problemas estudados em cursos de graduação (Mariani, 1997). Os comandos do Derive estão todos disponíveis em um menu de fácil utilização, conforme apresentado na Figura 1. Figura 1 - Tela principal do Derive, com um exemplo. O aplicativo Derive possui dois ambientes de trabalho: o algébrico e o gráfico. Os recursos disponíveis no ambiente algébrico e, respectivamente, no gráfico são apresentados na Figura 2. Recursos Algébricos Recursos Gráficos Aritmética e Álgebra; Declaração de constantes, variáveis, matrizes e funções; Solução de equações algébricas lineares, sistemas de equações e inequações; Cálculo com vetores e matrizes; Soma e produtos de forma fechada. Representação de curvas paramétricas; Representação de curvas (2D); Representação de superfícies 2876

4 Figura 2 - Recursos do ambiente algébrico e gráfico do Derive. O Derive permite o uso de janelas que podem apresentar na mesma tela as expressões algébricas, gráficos e resultados de operações, vide figura 3. Os arquivos utilitários dão ao Derive capacidade adicional de calcular e construir gráficos. Figura 3 Janela gráfica e algébrica. 3. Experiência nas aulas de Cálculo Numérico Os cursos de Engenharia e Computação possuem disciplinas como Cálculo Numérico, Análise Numérica, Cálculo Diferencial e Integral, as quais adquirem um caráter teórico e/ou prático. Isto significa que tanto softwares de resolução numérica como os de resolução algébrica sejam utilizados como ferramentas na solução de problemas, exercícios, trabalhos e projetos (Salvador e Malagutti, 1997). A proposta de melhoria do ensino de Cálculo Numérico visa motivar, valorizar e estimular a dedicação contínua do aluno ao estudo da disciplina bem como o esforço para assimilar e utilizar as novas tecnologias que se aplicam à solução de problemas (Peters et al., 1996). O Derive é utilizado nas aulas de Cálculo Numérico, onde sugere-se que o estudo do modelo e a resolução do problema seja feita primeiro manualmente e em seguida, os resultados sejam conferidos e visualizados graficamente com o uso do aplicativo. O professor-orientador elabora um roteiro de atividades a serem seguidas, após esta etapa ser concluída os alunos são motivados a descobrir novas formas de resolver os mesmos 2877

5 exercícios. Como exercícios extraclasse sugere-se outros problemas. Os trabalhos podem ser entregues em disquetes e um relatório é solicitado, oportunidade na qual os alunos expõem suas idéias e opiniões, onde a criatividade e conhecimento do aluno poderá ser verificada (Mariani, 1997). A seguir descreve-se alguns métodos para a resolução de equações algébricas lineares e a forma como podem ser explorados usando-se o aplicativo Derive Método da iteração linear O método da iteração linear consiste em obter a solução aproximada de uma equação f(x) = 0, onde f(x) é uma função definida num intervalo [a, b], utilizando-se do artifício algébrico de expressar a função f(x) na forma: x = F(x), onde a função F(x) é denominada função de iteração ou iterativa. Escolhendo o valor x 0 como uma primeira aproximação da raiz da equação f(x) = 0, calcula-se F(x 0 ) e atribui-se este valor à nova raiz x 1. Em seguida considera-se o valor da raiz x 1 para gerar a nova aproximação da raiz tomando-se x 2 = F(x 1 ), e assim sucessivamente até alcançar uma tolerância desejada. Seguindo o processo tem-se o processo da iteração linear dado por x n+1 = F(x n ) onde n = 0, 1, 2,... indica o número de iterações (Faires & Burden, 1993). O sistema Derive dispõe do operador iterates que permite o desenvolvimento de procedimentos iterativos. Com este operador o método da iteração linear é facilmente implementado da seguinte forma: Iterates(F, x, x 0, n) (1) onde F é a função de iteração, x 0 é o valor inicial da raiz, x corresponde a variável a ser iterada e n indica o número de iterações desejadas. O resultado deste operador é um vetor de n elementos correspondendo a um valor aproximado da raiz. Desejando conhecer apenas o valor na última iteração utiliza-se o comando iterate ao invés do comando iterates. Na figura 3 apresenta-se a solução por este método da equação xln(x)-3,2 = 0, linearizada por F(x)=3,2/ln(x). 2878

6 Figura 3 - Resolução de uma equação algébrica utilizando o método da iteração linear Método de Newton-Raphson Este método é utilizado para encontrar o zero de uma função f(x) que seja contínua num intervalo [a, b] e cujas derivadas f (x) e f (x) sejam contínuas. A fórmula iterativa do método é apresentada pela expressão que segue: X n+1 = x n - f ( xn ), n = 0, 1, 2,... f ( x ) n (2) onde x n+1 é uma aproximação da raiz. O comando iterates ou iterate é facilmente implementado neste método como: Newton(f,x,x 0,n):=iterate(x-(f / dif(f,x)),x,x 0,n) (3) onde f é a função, x é a variável da função (se variável é outra muda-se este valor), x 0 é o valor inicial, e n é o número de iterações realizado pelo método de Newton. Com o gráfico da função obtém-se o valor aproximado ou o intervalo onde está localizada a raiz. Apresenta-se a seguir as etapas para o uso do método de Newton- Raphson usando o aplicativo Derive. Na figura 4 estas etapas são efetuadas. 1) Declarar a função ln(x) - 2, f:=ln(x)

7 2) Fazer o gráfico da função, verificando o intervalo onde encontra-se a raiz. 3) Implementar o método de Newton, Newton(f,x,x 0,n):=iterate(x-(f / DIF(f,x)),x,x 0,n). 4) Chamar a função Newton, atribuindo o valor inicial e número de iterações, Newton(f,x,5,10). 5) Aproximar a função Newton com (presente no menu principal da janela algébrica) obtém-se o valor aproximado da raiz de f = 0 com 10 iterações, cujo valor inicial é 5. Figura 4 - Resolução de uma equação algébrica utilizando o método de Newton-Raphson Método das Cordas Neste método dada uma função f(x) definida e contínua num intervalo [a,b], considera-se a corda que passa pelos pontos [a, f(a)] e [b, f(b)]. Onde a corda intercepta o eixo x tem-se uma raiz aproximada da equação. A regra geral iterativa para este método é dada pela expressão (4), onde o ponto c é um dos extremos do intervalo [a, b] escolhido de tal forma que a condição f(c)f (c) > 0 seja satisfeita. O ponto x 0 é o outro extremo do intervalo, depois de ser escolhido o ponto c (Barroso et al., 1987). x n+1 = x n - f ( x x c n )( n ), n = 0, 1, 2,... f ( x ) f ( c) n (4) Cordas(f, x, x 0, n, c, fc):= iterates(x-f*(x-c)/(f-fc),x,x 0,n) (5) Na equação (5) deve-se declarar a função f(x) e em seguida definir fc := f(c). Apresenta-se a seguir as etapas para a aplicação do método das cordas, o que é exemplificado na figura 5. 1) Implementar o método: cordas(f, x, x 0, n, c, fc):= iterates(x-f*(x-c)/(f-fc),x,x 0,n) 2) Declarar a função x log(x+2)-x 2, f:=xlog(x+2)-x^2 2880

8 3) Fazer o gráfico da função, verificando o intervalo onde encontra-se a raiz. 4) Calcular a função f no ponto c, fc. 5) Chamar a função cordas, atribuindo o valor inicial x 0, o valor c e o número de iterações, cordas(f, x, 2, 10, 3, fc), por exemplo. 6) Aproximar a função cordas com (presente no menu principal da janela algébrica). Figura 5 - Resolução de uma equação algébrica utilizando o método das cordas. No aplicativo Derive existem outras formas de resolver analiticamente as equações algébricas, para isto basta utilizar o comando Solve (Algebricamente, Numericamente, Sistemas) ou Simplify (Fatorar). Contudo, muitas equações não tem solução analítica, ou esta obtenção será muito demorada, ou talvez seja necessário refinar o intervalo onde se encontram as raízes (isto visto graficamente), para que o aplicativo Derive obtenha a solução com rapidez e eficiência. 4. Conclusão Neste trabalho descreveu-se a experiência sobre o ensino de Cálculo Numérico utilizando CAS como ferramenta auxiliar no processo educativo. Observou-se que a interação entre todos os componentes envolvidos no processo de aprendizagem, explorando o aplicativo computacional Derive, é uma necessidade, tornando o processo mais rico. Dos alunos é exigido um período para explorar o aplicativo, e do professor é exigido um tempo bem maior para planejamento das aulas. O uso dos aplicativos algébricos no ensino da disciplina de Cálculo Numérico não descarta que o aluno elabore programas computacionais com uma linguagem de 2881

9 programação, mas auxilia o aluno a validar os resultados e a verificar que os resultados encontrados podem armazenar erros de acordo com a precisão da máquina, enquanto sistemas de computação algébrica e simbólica podem obter o valor exato como 1/3 ao invés de 0,33333, tornando-os bastante atrativos ao ministrar-se disciplinas como Cálculo Numérico, Análise Numérica, entre outras. Referências Bibliográficas Barroso, L. C., Barroso, M. A., Campos, F.F., Carvalho, M. L. e Maia, M. L., 1987, Cálculo Numérico (com aplicações), Editora Harbra. Faires, J. D. & Burden, R. L., 1993, Numerical Methods, PWS Publishing Company. Mariani, V. C., 1997, Uso do Derive como Ferramenta de Ensino - mini-curso, II Simpósio Nacional de Informática, Santa Maria. Peters, S., Custódio, R., Eger, R., Mendonça, N., 1996, A Computação Algébrica no Ensino, XIX Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional, p. Goiânia. Peters, S., Mendonça, N. D. A, Szeremeta, J. F., 1997, O Ensino de Cálculo Numérico Usando Novas Metodologias na Prática Didático-Pedagógica. XX Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional, p , Gramado. Roque, W. L., 1996, Laboratório de Matemática Experimental com SCA, EIMAC 96, p , Porto Alegre. Mariani, V. C., e Peters, S., 1998, Utilização do Software Derive no Ensino de Cálculo Numérico, Revista Exatas, N 2, Ano 2, p Salvador, J. A. e Malagutti, P. L. A., 1997, Explorando Métodos de Matemática Aplicada à Engenharia com Maple V, XXV Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia, p , Salvador. 2882