GMAT בגרויות פתרונות וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL MY.GEVA.CO.IL

Transcrição

1 GMAT 5) בגרויות + פתרונות וידאו מלאים לכל השאלות בחוברת ב- MY.GEVA.CO.IL MY.GEVA.CO.IL

2 הקדמה מורים ותלמידים יקרים, אappleו שמחים להגיש לכם חוברת הכappleה לקראת הבגרות במתמטיקה לשאלון (5 806 יחידות לימוד). בחוברת תמצאו את 7 מבחappleי הבגרות שappleערכו עד היום בשאלון 806 (מועדי חורף וקיץ), עד וכולל מועד ב', קיץ 017. מה מיוחד בחוברת זו? לכל השאלות בחוברת קיימים סרטוappleי וידאו הכוללים פתרוappleות מלאים באתר m.geva.co.il כיצד צופים בסרטון פתרון? m.geva.co.il לאתר appleכappleסים בוחרים את מספר יחידות הלימוד וappleכappleסים לפתרוappleות וידאו למבחappleי בגרות 806. כעת appleיתן לראות את פתרוappleות הווידאו לכל השאלות ממבחappleי הבגרות. הפתרוappleות לשappleי המבחappleים הראשוappleים הם בחיappleם! כיצד אappleו ממליצים להיעזר בסרטוappleי הפתרון שבאתר?m.geva בכל שבה אתם מתקשים, או שהתשובה הסופית שקיבלתם איappleה תואמת את התשובות המופיעות בסוף המבחן, מומלץ לצפות בסרטון הפתרון המתאים. כמו כן, אם קיים appleושא שבו אתם מרגישים צורך בחיזוק appleוסף, מומלץ לצפות בכל סרטוappleי הפתרון באותו appleושא. (מיון שאלות המבחappleים לפי appleושאים מופיע בהמשך החוברת.) בappleוסף, appleיתן לרכוש באתר m.geva.co.il מappleוי לסרטוappleי פתרון לשאלות מתוך ספרי הלימוד לשאלון 806, בהוצאת יואל גבע.

3 לתשומת ליבכם! החל ממועד קיץ תשע"ד, 014, שאלון 806 כולל 8 שאלות ולא 9 שאלות כפי שהיה בעבר. (הפרק השappleי בשאלון כולל שאלות במקום.) כמו כן, הappleושאים איappleדוקציה מתמטית, בעיות תערובת וסדרות מעורבות איappleם appleכללים עוד בתכappleית הלימודים. כדי להתאים את מבחappleי הבגרות למבappleה הבחיappleה העדכappleי ולתכappleית הלימודים החלפappleו את השאלות בappleושאים הapple "ל בשאלות אחרות הappleכללות בתכappleית הלימודים. זכות היוצרים על שאלות הלקוחות ממבחappleי בגרות שמורות למדיappleת ישראל. כל הזכויות על השאלות האחרות שמורות להוצאת הספרים יואל גבע. אappleו מאחלים לכם הצלחה רבה בבחיappleת הבגרות. יואל גבע הוצאת הספרים, צוות האתר m.geva.co.il

4 המבappleה של שאלון 806 תלמידי 5 יחידות לימוד appleבחappleים בשappleי שאלוappleים. השאלון הראשון הוא והשאלון השappleי הוא בשאלון 806 שלושה פרקים. משך הבחיappleה: שלוש שעות וחצי. בסך הכול צריך לעappleות על 5 שאלות מתוך 8 שאלות. המבappleה של שאלון 05806: פרק ראשון בעיות מילוליות, סדרות, הסתברות (40 appleקודות). הפרק כולל שאלות, מתוכן יש לעappleות על שאלות (לכל 0 appleקודות). פרק שappleי גיאומטריה וטריגוappleומטריה במישור (0 appleקודות). הפרק כולל שאלות, מתוכן יש לעappleות על אחת (לכל 0 appleקודות). פרק שלישי חשבון דיפרappleציאלי ואיappleטגרלי של פוליappleומים, של פוappleקציות רציוappleליות, של פוappleקציות עם שורשים ריבועיים, ושל פוappleקציות טריגוappleומטריות (40 appleקודות). הפרק כולל שאלות, מתוכן יש לעappleות על שאלות. (לכל 0 appleקודות). בעמוד הבא מצורף דף ההוראות לappleבחן כפי שמופיע בטופס הבגרות של שאלון 806.

5

6 מיון שאלות המבחappleים לפי appleושאים בעיות תappleועה בעיות מילוליות עמוד 1,1 עמוד 5,1 עמוד 1,1 עמוד 18, 1 עמוד 1, עמוד 0 1, עמוד 5 1, עמוד 4 1, עמוד 47,1 עמוד 61,1 עמוד 66,1 עמוד 70, 1 עמוד 84, 1 עמוד 89,1 עמוד 94, 1 עמוד בעיות הספק עמוד 9 1, עמוד 6 1, עמוד 9 1, עמוד 5 1, עמוד 57 1, עמוד 75 1, עמוד 80 1, עמוד סדרות, סדרה חשבוappleית עמוד 1 סעיף ב, עמוד 1 עמוד עמוד עמוד, עמוד 18, 5 סעיף א, עמוד 9, עמוד 47 5, עמוד 66, עמוד 70, עמוד סעיף ב, סדרה הappleדסית., עמוד 94, עמוד 9 עמוד 5 סדרה הappleדסית איappleסופית, עמוד 0 6 עמוד 1 סעיף א, עמוד סעיף א,., עמוד 84, עמוד 61 עמוד 57

7 סדרות כלליות וכלל appleסיגה 5, עמוד 0 עמוד סעיף ב, עמוד סעיף ב,, 80, עמוד 47 עמוד 4 סעיף א, עמוד., עמוד 99 עמוד 89 הסתברות טבלה דו ממדית, עמוד 100, עמוד 58 עמוד 6 סעיף א. כפל וחיבור הסתברויות, דיאגרמת עץ עמוד, עמוד 5, עמוד 40 עמוד 48, עמוד 5, עמוד 85 סעיף א,. appleוסחת ברappleולי התפלגות ביappleומית. 81, עמוד 40 עמוד סעיף ב, עמוד בעיות המשלבות טבלה דו ממדית או דיאגרמת עץ עם appleוסחת ברappleולי עמוד 10, עמוד 14, עמוד 19, עמוד 6 עמוד עמוד עמוד, 1, עמוד 4, עמוד 6, עמוד 66, 71, עמוד 76, עמוד 90, עמוד 95, 100, עמוד 105. גאומטריה בעיות עם משולשים ומרובעים (עם או בלי פרופורציה ודמיון) עמוד 6, 4 עמוד 14, 4 עמוד 19, 4 עמוד 7, 4 עמוד 6, 4 עמוד 48, 4 עמוד 95, 4 עמוד בעיות עם מעגל (ללא פרופורציה ודמיון). 4, 4 עמוד 6, 4 עמוד 58, 4 עמוד 5 עמוד

8 , 4, 4. 4, 5, 4 עמוד 40 בעיות עם מעגל (כולל פרופורציה ודמיון), 4 עמוד 1 עמוד 10, 4 עמוד עמוד , 5, 4 עמוד, 4 עמוד, 4 עמוד 71, 4 עמוד , 4 עמוד, 4 עמוד 44 עמוד 81 טריגוappleומטריה הערה: ברוב הבעיות appleדרש ידע בזהויות ומשוואות טריגוappleומטריות., 5 עמוד 15, 5 עמוד 0 בעיות עם משולשים ומרובעים, 5 עמוד 6 עמוד עמוד, 5 עמוד 81, 5 עמוד , 5 עמוד, 5 עמוד 44 עמוד 86, 5, 5, 5, 5 עמוד 1, 5 עמוד 7, 5 עמוד בעיות עם מעגל 58 91, 5 עמוד, 5 עמוד 54 7, 5 עמוד, 5 עמוד 40 67, 5 עמוד, 5 עמוד עמוד 10 עמוד 6 עמוד 6 עמוד, 5 עמוד חשבון דיפרappleציאלי ואיappleטגרלי חקירת פוappleקציות. 8 פוליappleומים עמוד 87, 6, 6 עמוד 4, 7 עמוד 11, 6 עמוד 0 פוappleקציות רציוappleליות עמוד 7 עמוד 7, 7 עמוד 87, 7 עמוד 10. 8

9 פוappleקציות עם שורשים, 6, 8 עמוד 7, 6 עמוד 55, 6 עמוד 7 עמוד 8. 7, 7 עמוד 8 עמוד 77 פוappleקציות ללא תבappleית אלגברית מפורשת, עמוד סעיפים א, ב, ג, עמוד 8, 8 עמוד עמוד 45 סעיפים א, ב, עמוד סעיף א,. 8 עמוד 9, 7 פוappleקציות טריגוappleומטריות עמוד עמוד עמוד עמוד 5 7 סעיפים א ו-ב, עמוד 11 7 סעיפים א, ב ו-ג, 8 סעיף א, עמוד 7 8 סעיפים א ו-ב, 6 סעיפים א, ב, ג, ה, עמוד עמוד, 6 91, 6 עמוד בעיות קיצון בעיות קיצון גאומטריות. 8, 8 עמוד 107, 8 עמוד 50, 8 עמוד 7 עמוד. 8 בעיות קיצון בפוappleקציות וגרפים 7 עמוד, 8 עמוד 11, 8 עמוד בעיות קיצון עם בעיות תappleועה 9 עמוד, 8 עמוד 60 בעיות קיצון עם פוappleקציות טריגוappleומטריות, 6, 8 עמוד 77, 7 עמוד 7, 6 עמוד 64 עמוד 54 תרגיל תרגיל תרגיל, 6 עמוד סעיף א. עמוד 8 תרגיל

10 איappleטגרלים הערה: חלק מהסעיפים בנושא זה נרשמו גם תחת הכותרת חקירת פונקציות. פוליappleומים. 8, 7 עמוד 78, 7 עמוד 59 עמוד 55 פוappleקציות רציוappleליות. 8, 6 עמוד 69, 6 עמוד 6 עמוד 49 פוappleקציות עם שורשים. 7, 7 עמוד 68, 7 עמוד 45, 8 עמוד עמוד 16 חילוק פוליappleומים. 6 עמוד פוappleקציות ללא תבappleית אלגברית מפורשת עמוד, 6 עמוד 45, 8 עמוד פוappleקציות טריגוappleומטריות עמוד, 7 עמוד 11 7 סעיף ד, עמוד 16, 7 עמוד 5 8 סעיף ב, עמוד 8 7 סעיף ג, עמוד עמוד 41, 7 59, 6 עמוד 68, 6 עמוד 96, 6 עמוד 106 איappleטגרל הכולל את זיהוי הappleגזרת הפappleימית של פוappleקציה מורכבת הערה: חלק זה כולל פולינומים, פונקציות רציונליות, פונקציות עם שורשים ופונקציות טריגונומטריות, שבהן לצורך מציאת האינטגרל יש לזהות את הנגזרת הפנימית של פונקציה מורכבת. עמוד 7, 6 עמוד 1, 8 עמוד 7, 7 עמוד 8 עמוד, 8 86, 6 עמוד 9, 7 עמוד 97, 7 עמוד

11 appleפח גוף סיבוב 6, 7 עמוד עמוד 4 סעיף ד.. 8, 8 עמוד 41 בעיות קיצון עם איappleטגרלים 0 עמוד, 7 עמוד פוappleקציות עם ערך מוחלט הערה: השאלות הבאות נרשמו גם תחת כותרות אחרות. עמוד 15 6 סעיף ג, עמוד 8 8 סעיף ב.

12 תוכן עappleייappleים מבחappleי בגרות שאלון 806 מבחן בגרות מספר 1 קיץ תשס"ט, 009, מועד א... 1 מבחן בגרות מספר קיץ תשס"ט, 009, מועד ב... 5 מבחן בגרות מספר חורף תש"ע, מבחן בגרות מספר 4 קיץ תש"ע, 010, מועד א... 1 מבחן בגרות מספר 5 קיץ תש"ע, 010, מועד ב מבחן בגרות מספר 6 חורף תשע"א, מבחן בגרות מספר 7 קיץ תשע"א, 011, מועד א... 6 מבחן בגרות מספר 8 קיץ תשע"א, 011, מועד ב... 0 מבחן בגרות מספר 9 חורף תשע"ב, מבחן בגרות מספר 10 קיץ תשע"ב, 01, מועד א... 9 מבחן בגרות מספר 11 קיץ תשע"ב, 01, מועד ב... 4 מבחן בגרות מספר 1 חורף תשע"ג, מבחן בגרות מספר 1 קיץ תשע"ג, 01, מועד א... 5 מבחן בגרות מספר 14 קיץ תשע"ג, 01, מועד ב מבחן בגרות מספר 15 חורף תשע"ד, מבחן בגרות מספר 16 קיץ תשע"ד, 014, מועד א מבחן בגרות מספר 17 קיץ תשע"ד, 014, מועד ב מבחן בגרות מספר 18 קיץ תשע"ד, 014, מועד ג מבחן בגרות מספר 19 חורף תשע"ה, מבחן בגרות מספר 0 קיץ תשע"ה, 015, מועד א מבחן בגרות מספר 1 קיץ תשע"ה, 015, מועד ב מבחן בגרות מספר חורף תשע"ו, מבחן בגרות מספר קיץ תשע"ו, 016, מועד א מבחן בגרות מספר 4 קיץ תשע"ו, 016, מועד ב

13 מבחן בגרות מספר 5 חורף תשע"ז, מבחן בגרות מספר 6 קיץ תשע"ז, 017, מועד א מבחן בגרות מספר 7 קיץ תשע"ז, 017, מועד ב דף appleוסחאות 5 יחידות לימוד

14 מבחן בגרות מספר 1 קיץ תשס"ט, 009, מועד א פרק ראשון אלגברה והסתברות עappleה על שתיים מבין השאלות -1. רוכב אופניים יצא בשעה 08 : 00 מעיר, A ורוכב אופניים שני יצא בשעה 09 : 00 מעיר. A כל אחד מהרוכבים רכב במהירות קבועה לעיר. B המרחק בין A ל- B הוא 45 ק"מ. כאשר הרוכב הראשון הגיע לעיר, B הרוכב השני עדיין לא הגיע לעיר B והיה במרחק של 5 ק"מ ממנה. מהירות הרוכב הראשון גדולה ב- m קמ"ש ממהירות הרוכב השני,. 0 m וידוע כי 5 א. הבע באמצעות m את שני הפתרונות האפשריים למהירות הרוכב השני. ב. נסמן את שני הפתרונות שהבעת בסעיף א' ב- 1 וב-. מצא עבור אילו ערכי m מתקיים א. נתונות שתי סדרות הנדסיות אינסופיות: מנת הסדרה האחת היא.. b 1,, b ו-..., b. q M a b a b a b 1 1 a 1, a, a,... ומנת הסדרה השנייה היא..., K b b b 1 q 1..., S a a a 1 נסמן:... נתון:. q q q q. SK M הוכח: מהאיבר הראשון. 4 ב. בסדרה חשבונית האיבר התשיעי גדול פי ושארית אם מחלקים את האיבר השישי באיבר השני מקבלים מצא את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה. הערה: אין קשר בין סעיף א לסעיף ב. 1

15 ידוע כי בכפר מסוים 0% מהתושבים חולים במחלת מעיים. רופא הכפר בדק את כל התושבים. 90% מהחולים בכפר אובחנו על ידו כחולים, ו- 10% מהבריאים בכפר אובחנו על ידו כחולים. א. מהו אחוז התושבים בכפר שלגביהם הרופא ביצע אבחנה שגויה?. הרופא נתן תרופה לכל מי שאובחן על ידו כחולה. התרופה גרמה לפריחה אצל 60% מהחולים שאובחנו כחולים, ואצל 5% מהבריאים שאובחנו כחולים. ב. מהי ההסתברות שתושב בכפר הוא חולה, אם ידוע שיש לו פריחה? פרק שappleי גאומטריה וטריגוappleומטריה במישור עappleה על אחת מבין השאלות 5-4. B A S P N C הוא משולש שווה-צלעות החסום במעגל. ABC הן נקודות על המעגל. ו- P N (ראה ציור). נפגשים בנקודה S ו- AP BN. PC BN הוכח כי: נתון: הוא שווה-צלעות. BSP א. המשולש הוא מקבילית. SPCN ב. המרובע. AN PC ג..4 D A. בטרפז שווה-שוקיים (AB DC) ABCD אורך הבסיס הגדול CD הוא, a אורך הבסיס הקטן AB הוא b ואורך השוק הוא. d הזווית ליד הבסיס הגדול DC היא (ראה ציור). א. הוכח כי אורך אלכסון הטרפז הוא ab d b a B d C. ב. הזווית בין אלכסון הטרפז ובין הבסיס הגדול של הטרפז היא.5 sin a ab. sin( ) b הוכח כי אם, 90 אז

16 פרק שלישי חשבון דיפרappleציאלי ואיappleטגרלי של פוליappleומים, של פוappleקציות רציוappleליות, של פוappleקציות שורש ושל פוappleקציות טריגוappleומטריות עappleה על שתיים מבין השאלות 8-6. בציור שלפניך מוצגות סקיצות של שני גרפים: גרף I וגרף. II f(). נמק. אחד הגרפים הוא הגרף של פונקציית II I f'(), והגרף האחר הוא הגרף הנגזרת f"(). של פונקציית הנגזרת השנייה f'(), א. איזה גרף הוא של 1 f"()? נמק. ואיזה גרף הוא של של נקודות הקיצון ב. מצא את שיעורי ה- f(). נמק. של הפונקציה של נקודות הפיתול של הפונקציה ג. מצא את שיעורי ה- וציר ה- II (השטח המקווקו בציור) ד. הוכח שהשטח המוגבל על ידי גרף והצירים (השטח המנוקד בציור). שווה לשטח המוגבל על ידי גרף II.6 sin() נתונה הפונקציה. f() א. הראה כי. f'() sin ב. (1) האם לפונקציה f() יש נקודות קיצון? נמק. () האם לפונקציה f() יש נקודות פיתול? נמק. ג. בציור שלפניך מוצג הגרף של הפונקציה. בתחום g() sin בתחום הנתון מצא את כל השטח המוגבל. על ידי הגרף של g() ועל ידי הישר.7 נתון משולש שאחת מצלעותיו היא 10 ס"מ, וגובה המשולש לצלע זו הוא 5 ס"מ. (המשולש אינו קהה-זווית.) א. מבין כל המשולשים שהם כאלה, מצא את צלעות המשולש שהיקפו מינימלי. ב. מה הן תכונות המשולש שאת צלעותיו מצאת בסעיף א'?.8

17 1 תשובות למבחן בגרות מספר קיץ תשס"ט, 009, מועד א:. 5 m m 10m 65 5 m m 10m 65, 1 1. א.. 4 m ב. 5. f"(). d. ב., a 8. א..10% ב א. גרף, f'() I גרף II 1 1 ב. 0 ג. מינימום, מקסימום ג.., 0.4, 1 7. ב. (1) לא. () כן..8 א. 10 ס"מ, 5 ס"מ, 5 ס"מ. ב. המשולש הוא ישר זווית ושווה-שוקיים. 4

18 מבחן בגרות מספר קיץ תשס"ט, 009, מועד ב פרק ראשון אלגברה והסתברות עappleה על שתיים מבין השאלות -1. הולך רגל יוצא כל בוקר להליכה לאורך מסלול שאורכו הכולל הוא 4 ק"מ. הוא יוצא מביתו לכיוון מזרח והולך m ק"מ. אחר כך הוא פונה צפונה והולך 1.5 שעות. צפוappleה לאחר מכן הוא חוזר לביתו בדרך הקצרה ביותר (ראה ציור). בדרכו חזרה הוא הולך 60 דקות פחות מהזמן שבו הוא הולך בשני הכיוונים יחד, מזרחה וצפונה. בכל קטעי הדרך הוא הולך באותה מהירות קבועה. חשב את הדרך חזרה מזרחה. m יציאה.1 n נתונה סדרה הנדסית שכל n האיברים שלה הם חיוביים. סכום n האיברים הראשונים. האיברים האחרונים גדול פי 8 מסכום א. חשב את מנת הסדרה. ב. נתון כי n הוא מספר זוגי. נסמן: Sn a1a a... a n Tn a1a a... a n a 1, a,,..., a ) a n הם איברי הסדרה הנתונה). חשב את היחס S. T n n. בשכבה י"א יש שתי כיתות: י"א 1 ו-י"א. בכיתה י"א 1 יש 40 תלמידים, ולמחציתם יש מחשב נישא. בכיתה י"א יש 5 תלמידים, ול- 40% מהם יש מחשב נישא. א. בחרו באקראי תלמיד משכבה י"א, ונמצא שיש לו מחשב נישא. מהי ההסתברות שהוא לומד בכיתה י"א? ב. בחרו באקראי בזה אחר זה (בלי החזרה) תלמידים מכיתה י"א-, 1 ובאותו אופן בחרו תלמידים מכיתה י"א. מהי ההסתברות של- התלמידים מכיתה י"א 1 וגם ל- התלמידים מכיתה י"א אין מחשב נישא?. 5

19 פרק שappleי גאומטריה וטריגוappleומטריה במישור עappleה על אחת מבין השאלות 5-4. C G L A K D F E B במשולש שווה-שוקיים (AC AB) ABC חסום מלבן GFED כך שהקדקודים D ו- E מונחים על הצלע, AB והקדקודים F ו- G מונחים על הצלעות BC ו- CA בהתאמה. נקודה, L הנמצאת על צלע המלבן, GF היא מפגש התיכונים במשולש. ABC דרך הנקודה L העבירו אנך לצלע, BC החותך את BC בנקודה K (ראה ציור). א. הוכח:. KAB KLF EFB.4 15 ס"מ, AB אם נתון: 18 ס"מ, BC חשב: ב. את אורך הקטע ג. את אורך הקטע. KF נמק.. FE נמק. E D A בטרפז שווה-שוקיים ABCD הזווית שליד הבסיס הגדול היא E היא נקודה על השוק AD כך ש- ECD (ראה ציור). נתון כי אורך השוק של הטרפז שווה לאורך הבסיס הקטן א. הבע באמצעות ו- את היחס B בין שטח המשולש DEC לשטח SDEC המשולש. BDC S BDC ב. נתון:, AEC 90 אורך האלכסון הטרפז גדול פי 1.5 מאורך הבסיס הקטן C. AB SDEC חשב את היחס. S.. AB BDC.5 6

20 פרק שלישי חשבון דיפרappleציאלי ואיappleטגרלי של פוליappleומים, של פוappleקציות רציוappleליות, של פוappleקציות שורש ושל פוappleקציות טריגוappleומטריות עappleה על שתיים מבין השאלות 8-6. f() cos נתונה הפונקציה 1 sin (ראה ציור). בחלק מהתחום מעבירים משיק לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי המשיק ועל ידי ציר ה-..6. a b ; a, b 0 f() a נתונה הפונקציה ; b המשיקים לגרף הפונקציה בנקודת החיתוך עם הצירים מקבילים זה לזה.. a b א. הוכח כי במידת הצורך). b, a b וענה על הסעיפים ב-ז (הבע באמצעות הצב המקבילות לצירים. f() ב. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה (אם יש כאלה). נמק. f() ג. מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה עם הצירים. f() ד. מצא נקודות חיתוך של הפונקציה. וכלפי מטה ה. מצא תחומי קעירות כלפי מעלה f(). ו. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. b 0 עבור f() ז. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה נמק את שיקוליך בשרטוט הגרף עבור תחומי עלייה וירידה ועבור תחומי קעירות כלפי מעלה וכלפי מטה..7 B C A. ABC נתונה הפונקציה. f() 4 העבירו ישר המשיק לגרף הפונקציה בנקודה A שבה. t מנקודה A העבירו ישר המקביל לציר ה- וחותך את גרף הפונקציה בנקודה. B בנקודה B העבירו עוד משיק לגרף הפונקציה. המשיקים נפגשים בנקודה C שעל ציר ה- (ראה ציור). א. הראה כי הפונקציה זוגית. ב. מצא את השטח המינימלי של המשולש.8 7

21 תשובות למבחן בגרות מספר קיץ תשס"ט, 009, מועד ב:. m 8.1. א.. ב... א ב ב. ס"מ. ג. 4.8 ס"מ.. (b;0), (0;) 1 (1 cos ) sin sin1 sin. ב א. sin( ) sin sin( ) ; ירידה: אין. ד. b או b ג. עלייה:. 1.7 ב., b. b : ; b ה. : ו. ז ב

22 מבחן בגרות מספר חורף תש"ע, 010 פרק ראשון אלגברה והסתברות עappleה על שתיים מבין השאלות -1. שני צינורות, צינור I וצינור, II ממלאים יחד במים את כל הנפח של בריכה במשך 6 שעות (קצב הזרמת המים של כל אחד מהצינורות מילא לבדו מילא לבדו רבע מנפח הבריכה, וצינור II אינו משתנה). יום אחד, צינור I שעות. m עוד רבע מנפח הבריכה, וכך התמלא חצי מנפח הבריכה במשך למלא את כל נפח I את הזמן הדרוש לצינור m א. (1) הבע באמצעות הבריכה לבדו. יש פתרון אחד לבעיה. m () מצא עבור איזה ערך של מנפח הבריכה, צינור I 70% ב. נתון כי כאשר כמות המים בבריכה היא שעות. ממלא לבדו את נפח הבריכה הנותר במשך במקרה זה. m מצא את.1 נתונות שתי סדרות הנדסיות: a 1, a,..., a n,..., b n. b a b 1, b הסדרות מקיימות:, b1 a 11 4 א. הראה כי לכל n טבעי מתקיים:. bn an1 ב. נתון כי מנת הסדרה..., a 1, a, a היא.. a1 a a... an כמו כן, מתקיים: k. b1 b b הבע באמצעות k את הסכום... b n. 9

23 בוחרים באקראי אנשים מעיר גדולה. ההסתברות ששלושתם הם בעלי השכלה גבוהה היא ההסתברות לבחור באקראי אדם שמרכיב משקפיים מבין בעלי השכלה גבוהה בעיר קטנה פי מההסתברות לבחור באקראי אדם שמרכיב משקפיים מבין אלו שאינם בעלי השכלה גבוהה. א. ידוע שאדם מהעיר מרכיב משקפיים. מהי ההסתברות שהוא בעל השכלה גבוהה? ב. בוחרים באקראי 4 אנשים מבין תושבי העיר שאינם בעלי השכלה גבוהה. ההסתברות שארבעתם אינם מרכיבים משקפיים היא מהי ההסתברות שאדם בעיר מרכיב משקפיים והוא גם בעל השכלה גבוהה?. פרק שappleי גאומטריה וטריגוappleומטריה במישור עappleה על אחת מבין השאלות 5-4. D A O E B C. ABCD חסום מרובע O במעגל שמרכזו DA הוא קוטר. המשכי הצלעות DC (ראה ציור). E נפגשים בנקודה ו- CB. BOC, OB DE נתון: את. ABO א. הבע באמצעות שווה לשטח OBC ב. נתון כי שטח המשולש. BEA המשולש. OBC BEA הוכח כי.4 C M D B A. M הן נקודות על מעגל שמרכזו C ו- B, A AC ו- BM נחתכים בנקודה D (ראה ציור). נתון:, CBM ACB שטח המשולש CBD גדול פי 1.5 משטח המשולש. CDM חשב את. CBM.5 10

24 פרק שלישי חשבון דיפרappleציאלי ואיappleטגרלי של פוליappleומים, של פוappleקציות רציוappleליות, של פוappleקציות שורש ושל פוappleקציות טריגוappleומטריות עappleה על שתיים מבין השאלות 8-6. ( b) נתונה הפונקציה. b, f() 4 א. מצא (הבע באמצעות b במידת הצורך): (1) את תחום ההגדרה של הפונקציה, ואת האסימפטוטות שלה המקבילות לצירים. () את השיעורים של נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים. () את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. ב. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ג. על פי הסקיצה של גרף הפונקציה, מצא את התחום שבו פונקציית הנגזרת f'() שלילית וגם פונקציית הנגזרת השנייה f''() שלילית, אם ידוע כי ל- f() יש נקודת פיתול אחת בלבד. נמק. cos 1 f() בתחום נתונה הפונקציה cos. א. הראה כי הפונקציה f() היא זוגית. ב. מצא את האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה בתחום הנתון. ג. לפונקציה יש שלוש נקודות מקסימום בתחום הנתון. מצא את השיעורים של נקודות אלה. ד. העבירו ישר דרך נקודות המקסימום של הפונקציה. את השטח המוגבל על ידי הישר, על ידי גרף מצא בתחום הפונקציה, על ידי שתי האסימפטוטות של הפונקציה ועל ידי ציר ה נתונה הפונקציה מנקודה. a 0, f() a. העבירו אנך לציר ה- ( b 0 ) B(b;0).8 C D E B. f() היא נקודה כלשהי על גרף הפונקציה C העבירו ישר המקביל לציר ה- מנקודה C. D וחותך את האנך בנקודה (ראה ציור). BD היא אמצע הקטע E הנקודה שטח המשולש CBE (4;)C נתון כי עבור. b ואת הערך של a הוא מקסימלי. מצא את הערך של 11

25 :010 תשובות למבחן בגרות מספר חורף תש"ע,.. m 6. ד. (). m 6 ; 1, ב. 0; 1. m m 6m הפתרון קיים בתנאי ש-.1 א. (1),.. 1,,, ב m.. ב. 7 k. 0.5 ב CBM א. 4. א א. (1) תחום הגדרה: אסימפטוטות: 0; b. 4 מינימום, 4 ; 4 b מקסימום. b 4 ; 1 ג..,,, (b;0) (b;0) () (). 4 b,. b 6 ג., a 8 7. ב..8 1

26 מבחן בגרות מספר 4 קיץ תש"ע, 010, מועד א פרק ראשון אלגברה והסתברות עappleה על שתיים מבין השאלות -1. רוכב אופניים אחד יצא ממקום A אל מקום, B ובאותה שעה בדיוק יצא רוכב אופניים אחר ממקום B אל מקום. A כעבור 4 שעות נפגשו רוכבי האופניים. הזמן, שנדרש לרוכב האופניים שיצא מ- A לעבור את הדרך שבין A ל-, B גדול ב- 108 דקות מהזמן שנדרש לרוכב האופניים שיצא מ- B לעבור דרך זו. א. מצא את היחס בין המהירות של רוכב האופניים שיצא מ- B לבין המהירות של רוכב האופניים שיצא מ-. A ב. מצא בכמה שעות עבר כל אחד מרוכבי האופניים את הדרך שבין A ל-. B.1 נתונה סדרה חשבונית שיש בה n איברים (1 n). האיבר הראשון בסדרה הוא a 1 (שונה מאפס), והפרש הסדרה הוא. d בונים סדרה חדשה שגם בה n איברים. האיבר הראשון בסדרה החדשה גדול פי 4 מהאיבר הראשון בסדרה הנתונה, והפרש הסדרה החדשה גם הוא. d סכום הסדרה החדשה גדול פי מסכום הסדרה הנתונה. א. בטא את a 1 באמצעות d ו-. n ב. אם מגדילים את הפרש הסדרה הנתונה ב- (בלי לשנות את a 1 ואת ), n מקבלים סדרה חשבונית שסכומה גדול פי מסכום הסדרה הנתונה. הראה כי הפרש הסדרה הנתונה הוא.. 1

27 באחד הדוכנים בלונה פארק אפשר להשתתף במשחק שבו מסובבים שני גלגלים, A ו-. B כל גלגל מחולק ל- 0 גזרות שוות (לכל אחת מהגזרות יש אותה הסתברות שהגלגל ייעצר עליה, והגלגל אינו נעצר בגבול שבין הגזרות). בגלגל A יש גזרות אדומות והשאר שחורות. בגלגל B יש 4 גזרות אדומות והשאר שחורות. תור אחד במשחק מורכב משני שלבים: בשלב הראשון: משתתף במשחק מסובב את הגלגל. A בשלב השני: אם הגלגל A נעצר על גזרה אדומה בשלב הראשון, המשתתף מסובב את הגלגל. B אם הגלגל A נעצר על גזרה שחורה בשלב הראשון, המשתתף מסובב שוב את הגלגל. A א. ידוע שבתור אחד בשלב הראשון נעצר הגלגל A על גזרה אדומה. מהי ההסתברות שבתור זה התקבלה בשלב השני גזרה שחורה? ב. (1) מהי ההסתברות שבתור אחד תתקבל לפחות גזרה אדומה אחת? () אם ידוע כי בתור אחד הייתה לפחות אחד מהגזרות אדומה, מהי ההסתברות שבתור זה התקבלה רק גזרה אדומה אחת? תורות. n ג. משתתף משחק את ההסתברות שלא תתקבל כלל גזרה אדומה. n הבע באמצעות. פרק שappleי גאומטריה וטריגוappleומטריה במישור עappleה על אחת מבין השאלות 5-4. B A N D M E G F חד-זוויות. ABC נתון משולש. BC הוא גובה לצלע AD ו-, AC הוא גובה לצלע BE. N הגבהים נפגשים בנקודה, AC הוא אנך אמצעי לצלע FM (ראה ציור). BC הוא אנך אמצעי לצלע ו- GM. BAC GFC (1) א. הוכח:. ABN MFG () C. ANB GMF ().4 BN. נמק. FM ב. מצא את היחס 14

28 A a B d b C, AC BD נתון: (AD BC) ABCD בטרפז. (d b), AD d, AB a, BC b, CD c c אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה. O א. הוכח:. a c b d מעבירים ישר ב. דרך קדקוד B. CD הישר חותך המקביל לשוק D. M בנקודה AD את הבסיס bd. cos ac. ABM הוכח: נתון:. ABM (1) את שטח המשולש ו- : b, d ג. הבע באמצעות. ABCD () את שטח הטרפז.5 פרק שלישי חשבון דיפרappleציאלי ואיappleטגרלי של פוליappleומים, של פוappleקציות רציוappleליות, של פוappleקציות שורש ושל פוappleקציות טריגוappleומטריות עappleה על שתיים מבין השאלות g() 4 f() 4 8., נתונה הפונקציה א. בציור מוצגת סקיצה של גרף הפונקציה f() עבור. 0 מעבירים ישר המשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה שבה. 1 מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של f(), על ידי המשיק ועל ידי ציר ה- עבור. 0 ב.( 1 ) מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה f() (אם יש כאלה), עבור כל תחום ההגדרה של הפונקציה. () שרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור כל תחום ההגדרה שלה. ג. נתונה הפונקציה f(). g() שרטט סקיצה של גרף הפונקציה.6 15

29 נתונה הפונקציה f() cossin עבור התחום הנתון ענה על סעיפים א'-ד': בתחום א. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה. f() עם הצירים (אם יש כאלה). f(), וקבע את סוגן. ב. מצא את נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה f() (הפונקציה f'() ג. (1) שרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(). () שרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת גזירה גם בקצות התחום הנתון). () מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת f'(). ועל ידי ציר ה- בתחום ד. נתון כי גרף הפונקציה g() a cos sin משיק לציר בתחום הנתון בנקודה אחת בלבד. מהו הערך של? a נמק..7 f(). בציור מוצג הגרף של. f'(). 4 היא פונקציית הנגזרת של f'() היא פונקציה רציפה המוגדרת בתחום f() f'() נתון: f'(). א. מצא את תחום ההגדרה של f'(). ב. מצא את האסימפטוטה האנכית של של נקודת המקסימום ג. מצא את שיעור ה- f(). נמק. של הפונקציה ד. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(). נמק.. a 0 ה. נתון:, f(a) 4 השטח, המוגבל על ידי הגרף של f'(), על ידי ציר ה- ועל ידי הישר. 8 9, a הוא מצא את ערך הפונקציה f() בנקודת המקסימום שלה. אין צורך למצוא את f(), ואין צורך למצוא את. a בתשובתך תוכל להשאיר העשרונית. f'() או לדייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה.8 16

30 תשובות למבחן בגרות מספר 4 קיץ תש"ע, 010, מועד א: ב. הרוכב שיצא מ- : A שעות. הרוכב שיצא מ- : B שעות. n. 17 ג bd(d b)tan. (d b) () (). 1. א. d(n 1). a1. א ב. (1) bdtan.. א. 4. ב..5 ג. (1) א. (). ירידה: אף ; ב. (1) עלייה: או ג. מקסימום מוחלט, ;) ( מקסימום מוחלט..7 א. (0;1). ב. ;) ( ( ; ) 4 מינימום מוחלט, מינימום מוחלט. () ( ; ) 4 ג. (1). 1 () ג. ; 0 ירידה:. 0 ב. 4. a 1, 4 ד. ד. עלייה: או א. ה. 17

31 מבחן בגרות מספר 5 קיץ תש"ע, 010, מועד ב פרק ראשון אלגברה והסתברות עappleה על שתיים מבין השאלות -1. רוכב אופניים רכב מעיר A לעיר. B במסלול שבין שתי הערים יש תחילה עלייה ואחר כך ירידה (ראה ציור). מהירות הרוכב בירידה היא קבועה, B וגדולה ב- 10 קמ"ש ממהירותו בעלייה. הרוכב עבר את הדרך מ- A ל- B ב- 4.5 שעות. בדרך חזור עבר הרוכב את הדרך מ- B ל- A ב- 6 שעות. מהירות הרוכב בעלייה שבדרך מ- A ל- B שווה למהירות הרוכב בעלייה שבדרך מ- B ל-, A וגם מהירות הרוכב בירידה בכל אחת מהדרכים היא אותה מהירות. אורך המסלול בין שתי הערים הוא 70 ק"מ. א. מצא את מהירות הרוכב בעלייה. ב. מצא את אורך המסלול מ- E ל-. B A E.1 k ובמקום ה- n הם שני איברים בסדרה חשבונית במקום ה- a k ו- a n, a1 בהתאמה. הפרש הסדרה הוא, d והאיבר הראשון בסדרה הוא md. d m מספר טבעי, 0 א. (1) הראה כי מתקיים a1d(nkm). an ak () הבע באמצעות k, n ו- m את המקום בסדרה של איבר השווה לסכום של שני האיברים a n ו-. a k ב. (1) הבע באמצעות d, a 1 ו- m את הסכום. a4 a65 () נתון:, a4 a65 a109 סכום 79 האיברים הראשונים בסדרה הוא מצא את d ואת. a 1. 18

32 ברשותנו שתי קוביות משחק הנראות זהות. קובייה אחת מאוזנת והאחרת לא מאוזנת. בהטלת הקובייה המאוזנת ההסתברות לקבל אחד מהמספרים הרשומים על פאות הקובייה היא אותה הסתברות עבור כל אחד מהמספרים. בהטלת הקובייה הלא-מאוזנת ההסתברות לקבל את המספר שש היא. 1 א. (1) זורקים פעמים את הקובייה המאוזנת. מהי ההסתברות לקבל בדיוק פעמים את המספר שש? () זורקים פעמים את הקובייה הלא-מאוזנת. מהי ההסתברות לקבל בדיוק פעמים את המספר שש? ב. בוחרים באקראי אחת משתי הקוביות, וזורקים פעמים את הקובייה שבוחרים. (1) מהי ההסתברות לקבל בדיוק פעמים את המספר שש? () ידוע כי המספר שש התקבל בדיוק פעמים. מהי ההסתברות שנבחרה הקובייה הלא-מאוזנת? ג. זורקים n פעמים את הקובייה הלא-מאוזנת. הבע באמצעות n את ההסתברות לקבל לפחות פעם אחת את המספר שש.. פרק שappleי גאומטריה וטריגוappleומטריה במישור עappleה על אחת מבין השאלות 5-4. A B C M D נתון טרפז שווה-שוקיים (BC AD) ABCD. דרך הקדקוד D העבירו אנך ל- AD F וישר המקביל לשוק. AB האנך חותך את המשך האלכסון AC בנקודה, M והישר המקביל חותך את המשך (ראה ציור). האלכסון בנקודה F. CAD, BAC נסמן:. ABC FDA א. הוכח כי:. CDM MDF ב. הוכח כי: AC MC. AF MF ג. הוכח כי:.4 19

33 B A E. (AD BC) D ABCD C AED בציור שלפניך טרפז שווה-שוקיים נתון:. BDC, CAD א. הוכח: היחס בין שטח המשולש לשטח המשולש BEC SAED sin ( ). הוא S BEC sin.5. ב. נתון גם:. מצא את S 1 S 4 AED BEC, 0 פרק שלישי חשבון דיפרappleציאלי ואיappleטגרלי של פוליappleומים, של פוappleקציות רציוappleליות, של פוappleקציות שורש ושל פוappleקציות טריגוappleומטריות עappleה על שתיים מבין השאלות f() נתונה הפונקציה 6 9 א. (1) מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f() המקבילות לצירים. () מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f() עם הצירים (אם יש כאלה). () מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(). (4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(). ב. (1) מצא את האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת f'() המקבילות לצירים. () סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f'(). נמק..6 0 (ראה ציור). נתונה הפונקציה f() sin בתחום מעבירים שני ישרים שמשוואותיהם:.( 0 a ), a, a S 1 הוא השטח המוגבל על ידי שני הישרים, על ידי גרף הפונקציה f(), a a ועל ידי ציר ה- (השטח המקווקו בציור). S הוא סכום של שני שטחים, שכל אחד מהם מוגבל על ידי גרף הפונקציה f(), על ידי אחד הישרים ועל ידי ציר ה- (סכום השטחים S1 המנוקדים בציור). מצא עבור איזה ערך של a היחס הוא מקסימלי. S.7 0

34 . f(). f() 15 נתונה הפונקציה א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. ב. מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. ג. על סמך סעיפים א' ו-ב' שרטט סקיצה של גרף הפונקציה, אם נתון כי הפונקציה יורדת בכל התחום שבו היא מוגדרת., ד. נתון כי הישר k8k, k 0 אינו חותך את גרף הפונקציה הישר מחלק את השטח, המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(), על ידי ציר ה- ועל ידי הישרים 4 מצא את הערך של. k ו-, 8 לשני שטחים שווים..8 5 תשובות למבחן בגרות מספר קיץ תש"ע, 010, מועד ב: קמ"ש. ב. 50 ק"מ..1 א. 10. a 1, d. 1 (). a (97 m)d n ג. 1 () n km1 ב. (1). ב. (1) 9 () א. (). א. (1) 5. ב. (4). 1,. (0;11 ).6 א. (1) ()..5 ;.5 () עלייה: ירידה: או (). 0, ב. (1) S S 1 הוא מקסימלי, היחס הוא מקסימלי. הערה: שים לב שכאשר S 1. a 4 או. 15 ג א.. 1, 1, 15 ב., 15. k 8 ד. 1

35 מבחן בגרות מספר 6 חורף תשע"א, 011 פרק ראשון אלגברה והסתברות עappleה על שתיים מבין השאלות ק"מ. לכיוון עיר. B המרחק בין שתי הערים הוא נהג יצא מעיר A שעה 4 בהתחלה נסע הנהג במהירות קבועה כפי שתכנן, אבל כעבור מתחילת נסיעתו הייתה תקלה ברכבו. קמ"ש עד ק"מ במהירות של, A ונסע הנהג חזר מיד לכיוון למוסך הנמצא בדרך ל-. A דקות, ומיד לאחר הטיפול יצא הנהג המוסך טיפל בתקלה במשך במהירות הקטנה ב- 10 קמ"ש ממהירות נסיעתו עד התקלה. לכיוון B באיחור של שעה אחת לעומת השעה המתוכננת. הוא הגיע ל- B מה הייתה מהירות הנסיעה של הנהג עד התקלה?.1 בסדרה שכל איבריה שונים מאפס ומאחד נתון כי סכום של כל שני איברים עוקבים שווה למכפלתם.. a n באמצעות an א. מצא נוסחת נסיגה המביעה את 1. an ב. הוכח כי עבור כל n טבעי מתקיים: an n, a1 הוא מספר זוגי. ג. נתון כי מצא נוסחה לסכום n האיברים הראשונים בסדרה.. משפחה יצאה לטיול במכונית הנוסעת על 4 גלגלים חדשים. בתא המטען של המכונית יש גלגל רזרבי אחד. ההסתברות שיהיה נקר (פנצ'ר) בגלגל חדש בזמן הטיול היא ההסתברות שיהיה נקר בגלגל הרזרבי בזמן הטיול היא. 0.5 א. מהי ההסתברות שיהיה נקר בדיוק בגלגל אחד מבין ארבעת הגלגלים החדשים?.

36 ב. בתחילת הטיול היה נקר בגלגל אחד, והמשפחה החליפה את הגלגל בגלגל הרזרבי. (1) מהי ההסתברות שאחרי ההחלפה יהיה נקר רק בגלגל הרזרבי מבין ארבעת הגלגלים? () מהי ההסתברות שאחרי ההחלפה יהיה נקר רק בגלגל אחד מבין ארבעת הגלגלים? () ידוע כי אחרי ההחלפה היה נקר רק בגלגל אחד מבין ארבעת הגלגלים. מהי ההסתברות שהנקר היה בגלגל הרזרבי? פרק שappleי גאומטריה וטריגוappleומטריה במישור עappleה על אחת מבין השאלות 5-4. A N B D M יוצאים למעגל חותך AF מנקודה A. N וישר המשיק למעגל בנקודה ו-. E החותך נפגש עם המעגל בנקודות D E מנקודה F יוצא ישר המשיק למעגל בנקודה, M ונפגש עם המשך המשיק AN F (ראה ציור). נתון:. AD DE EF בנקודה B. AN MF א. הוכח:. ADN FEM ב. הוכח: יש שתי צלעות מקבילות זו לזו. MNDE ג. הוכח: במרובע.4 F A B O D C משולש חד-זוויות ABC חסום במעגל שמרכזו CF. O הוא קוטר במעגל, והמשך הרדיוס BO חותך את הצלע AC בנקודה, D כמתואר בציור. נתון:. ABD הקשת BC ארוכה פי מהקשת. FB א. חשב את גודל הזווית. BAC ב. הבע באמצעות את היחס בין שטח המשולש BAD לשטח המשולש. BAC ג. נתון גם כי:. AD. מצא את AB.5

37 פרק שלישי חשבון דיפרappleציאלי ואיappleטגרלי של פוליappleומים, של פוappleקציות רציוappleליות, של פוappleקציות שורש ושל פוappleקציות טריגוappleומטריות עappleה על שתיים מבין השאלות a 0 a נתונה הפונקציה a. f() 1 הוא פרמטר, a א. מצא (הבע באמצעות a במידת הצורך): (1) את תחום ההגדרה של הפונקציה. () תחומי עלייה וירידה של הפונקציה. () את שיעורי ה- של נקודות הפיתול של הפונקציה. נמק. (4) נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). (5) אסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים (אם יש כאלה). ב. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(). a ג. הסבר את השינויים בגרף הפונקציה f() עבור 0 לעומת גרף הפונקציה עבור : a 0 (1) בתחום ההגדרה של הפונקציה. () בנקודות הפיתול של הפונקציה..6 נתונות הפונקציות, f() 4 g() 4 (ראה ציור). א. מצא את תחום ההגדרה של כל אחת מהפונקציות הנתונות..7 לפונקציות יש משיק משותף, המשיק לגרף הפונקציה f() בנקודה שבה. 0 ב. (1) הבע באמצעות 0 את השיעורים של הנקודה שבה המשיק המשותף משיק לגרף הפונקציה g(). () מצא את השיעורים של נקודת ההשקה שהבעת בתת-סעיף ב' (1) (ערכים מספריים). ג. השטח המוגבל על ידי המשיק המשותף, על ידי הגרף של הפונקציה g() ועל ידי ציר ה-, מסתובב סביב ציר ה-. מצא את הנפח של גוף הסיבוב שנוצר. 4

38 . f() נתונה הפונקציה f() tan בתחום א. בתחום הנתון: (1) מצא את ערכי ה- שעבורם הפונקציה () מצא את האסימפטוטות של הפונקציה אינה מוגדרת. המקבילות לצירים, f() f() (אם יש כאלה). () מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה. f() וקבע את סוגן. (4) שרטט סקיצה של גרף הפונקציה ב. (1) מצא את פונקציית הנגזרת של הפונקציה. g() tan, מצא את השטח המוגבל על ידי הישר 0 () בתחום f() על ידי הגרף של הפונקציה, על ידי הישר ועל ידי ציר ה-. היעזר בפונקציית הנגזרת של g()..8 :011 תשובות קמ"ש. למבחן בגרות מספר 6 חורף תשע"א,..5n ג. () a. a n n1 an 1 () א. sin cos. ג. sin(0 ) sin(10 ) ב. (1) ב. ב.. 0. (0; 1 1 ) ; 0 ירידה: (4). a א. 5. א. 6. א. (1) כל () עלייה:,. a 0 () (5)..,, (). a () אין נקודות פיתול.,. (). ( ;0) ) (8;. ג.. 4 : g(),. 4 a (). ; 0 0 4,, מינימום, (0;0) מינימום, ב. (1) מינימום.. g'() tan ג. (1).7 א. f() :, ( ;0) ב. (1).8 א. (1) () (4) 5

39 מבחן בגרות מספר 7 קיץ תשע"א, 011, מועד א פרק ראשון אלגברה והסתברות עappleה על שתיים מבין השאלות -1. במפעל לייצור מחשבונים עובדים פועלים ותיקים ופועלים חדשים. פועל ותיק ופועל חדש התבקשו להרכיב מחשבונים. לו פועל ותיק היה עובד 1 מהזמן שנדרש לעובד חדש לבצע לבד עבודה זו, ופועל חדש היה עובד 1 מהזמן שנדרש לעובד ותיק לבצע לבד עבודה זו, אז יחד הם היו מבצעים 1 מעבודה זו. פועל ותיק מבצע לבד את העבודה 18 במספר שעות קטן יותר מזה הדרוש לפועל חדש. א. מצא פי כמה גדול מספר השעות הדרוש לפועל חדש לבצע לבד את העבודה, ממספר השעות הדרוש לפועל ותיק לבצע לבד את העבודה. ב. נתון כי פועל ותיק מרכיב 9 מחשבונים בשעה. בצוות עבודה יש פועל אחד חדש ושני פועלים ותיקים. מצא בכמה שעות הצוות מרכיב 168 מחשבונים..1 נתונה סדרה הנדסית אין-סופית יורדת. כל איבר בסדרה זו קטן פי מסכום כל האיברים שאחריו. סכום הסדרה ההנדסית הנתונה הוא. 4 מצא את סכום כל האיברים שאחרי האיבר העשירי בסדרה.. ממספר 4 בחברת תקשורת גדולה נבדקו הרגלי הצפייה של הלקוחות. נמצא כי מספר הלקוחות שצופים בערוצי אקטואליה גדול פי מהלקוחות שצופים בערוצי סרטים, 5 6 הלקוחות שאינם צופים בהם. צופים בערוצי אקטואליה. מהלקוחות שאינם צופים בערוצי סרטים, צופים בערוצי אקטואליה. 75% בוחרים באקראי לקוח מבין הלקוחות שהרגלי הצפייה שלהם נבדקו.. P ההסתברות שהוא צופה בערוצי סרטים היא את ההסתברות שהלקוח שנבחר צופה בערוצי P א. (1) הבע באמצעות סרטים וגם בערוצי אקטואליה. () מצא את. P. 6

40 ב. (1) נמצא שהלקוח שנבחר אינו צופה בערוצי סרטים. מהי ההסתברות שהוא אינו צופה בערוצי אקטואליה? () בחרו באקראי 5 לקוחות שאינם צופים בערוצי סרטים. מהי ההסתברות שלפחות אחד מהם צופה בערוצי אקטואליה? פרק שappleי גאומטריה וטריגוappleומטריה במישור עappleה על אחת מבין השאלות 5-4. B D A F E. נתון משולש. ABC הנקודות, E, D ו- F נמצאות על הצלעות, AC, AB ו- BC בהתאמה כך ש- DE BC ו- FE BA (ראה ציור). א. נתון: שטח המשולש ADE הוא, S 1 שטח המשולש EFC הוא. S C הבע באמצעות S 1 ו- S BF את היחס. נמק. FC S1 ב. הוכח כי שטח המשולש BEF שווה ל- S.4 A B לשני מעגלים יש משיק משותף המשיק לשניהם בנקודה נקודות C ו- D נמצאות על מעגל אחד C ונקודות A ו- B נמצאות על המעגל האחר כך שהקטעים AD ו- CB נפגשים בנקודה P (ראה ציור).. P נתון: רדיוס המעגל העובר דרך הנקודות CD, הוא 4.5 ס"מ, P ו- D, C AB. DCP, BAP א. מצא את רדיוס המעגל העובר דרך הנקודות B, A ו-. P ב. הבע באמצעות ו- את אורך הקטע. BD PD. BD sin 14sin ג. אם נתון גם כי, הראה כי PB ) ו- הן זוויות חדות.) P D.5 7

41 פרק שלישי חשבון דיפרappleציאלי ואיappleטגרלי של פוליappleומים, של פוappleקציות רציוappleליות, של פוappleקציות שורש ושל פוappleקציות טריגוappleומטריות עappleה על שתיים מבין השאלות 8-6. נתונה הפונקציה א. עבור a a a 0 מצא (הבע באמצעות a (1) את תחום ההגדרה של הפונקציה. a. f() הוא פרמטר שונה מאפס. במידת הצורך): () את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. () תחומי עלייה וירידה של הפונקציה (אם יש כאלה). (4) נקודות חיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). ב. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה עבור. a 0 ג. נתונה הפונקציה. a 0, g() f() a (1) מה הן האסימפטוטות של הפונקציה g()? (הבע באמצעות a במידת הצורך). () מה הם הערכים שהפונקציה g() יכולה לקבל? (הבע באמצעות a במידת הצורך)..6 נתונה הפונקציה ) f() cos( בתחום א. בתחום הנתון מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. ב. בתחום הנתון שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. 0 מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית ג. בתחום הנגזרת f'() ועל ידי ציר ה-. תוכל להיעזר בסקיצה של פונקציית הנגזרת f'()..7 בתשובותיך דייק במידת הצורך עד שתי הספרות אחרי הנקודה העשרונית. 8

42 A D. ABCD נתונה מדשאה בצורת מלבן F שביל B לאורך צלעות המלבן BA ו- CD יש שבילי הליכה. אורך הצלע BA הוא 0.4 ק"מ, ק"מ. הוא 0. ואורך הצלע BC של המדשאה אדם עומד בקדקוד C שביל E C ורוצה להגיע לקדקוד. A הוא הולך לאורך הקטע CE שעל השביל, CD אחר כך הולך לאורך הקטע EF שעל המדשאה (ראה ציור). BA שעל השביל FA וממשיך לאורך הקטע קמ"ש לאורך השבילים, 6 האדם הולך במהירות של קמ"ש. ועל המדשאה הוא הולך במהירות של 4 בזמן הקצר מה צריך להיות אורך הקטע, EF כדי שהאדם יגיע ל- A בתשובתך דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית. ביותר?.8 תשובות למבחן בגרות מספר 7 קיץ תשע"א, 011, מועד א:. S S 1 4. א () א. פי 1.5. ב. 7 שעות... P ב. (1) 0.6 (). 5 6 p. א. (1).5 א. ס"מ. ב. ). BD 6sin 81sin 108sin sincos(. a, a, a, a (). a או a.6 א. (1). a (4) אין חיתוך עם הצירים. () עלייה: אף ; ירידה: a או ב. עבור : a 0. g() a או g() 0 (). a, 0, a, a ג. (1) (;1) (1;0.54) מינימום, (1;0) מקסימום, מינימום, מקסימום,.7 א. 0.5;0.15) ( (0.15;.5) מינימום. ב. ג ק"מ..8 9

43 מבחן בגרות מספר 8 קיץ תשע"א, 011, מועד ב פרק ראשון אלגברה והסתברות עappleה על שתיים מבין השאלות -1. רוכב אופניים יצא ממושב A אל מושב, B ולאחר 1 שעה יצא רוכב אופניים שני ממושב B אל מושב. A הרוכבים נפגשו לאחר שהרוכב השני עבר 1 מהמרחק שבין B ל-. A 4 ביום אחר יצא רוכב האופניים הראשון ממושב A למושב 1 B שעה אחרי שרוכב האופניים השני יצא ממושב B אל מושב. A הרוכבים נפגשו באמצע הדרך שבין A ל-. B מהירויות הרוכבים לא השתנו. א. חשב את היחס בין מהירות הרוכב הראשון ובין מהירות הרוכב השני. ב. ידוע שאם שני הרוכבים יוצאים באותו רגע זה לקראת זה, הם נפגשים במרחק b ק"מ מאמצע הדרך שבין A ל-. B הבע באמצעות b את הדרך שבין A ל-. B.1 א. סכום כל האיברים בסדרה הנדסית אינסופית הוא, 11 וסכום האיברים במקומות הראשון, הרביעי, השביעי וכו' של סדרה זו הוא. 64 מצא את ואת. q a 1.. an1 בסדרה ישנם K איברים ) K זוגי). an ב. בסדרה נתון: 4n 6 הבע באמצעות את ההפרש בין סכום האיברים במקומות הזוגיים K לבין סכום האיברים במקומות האי-זוגיים. הערה: אין קשר בין סעיף א לסעיף ב. 0

44 בקבוצה של 40 אנשים יש 16 גברים והשאר נשים. ל- 1 גברים בקבוצה יש רישיון נהיגה, ול- 16 נשים בקבוצה יש רישיון נהיגה. א. בוחרים באקראי אדם מהקבוצה. מהי ההסתברות שייבחר אדם שיש לו רישיון נהיגה? ב. בוחרים באקראי אדם מהקבוצה. לאחר שהאדם חוזר לקבוצה, שוב בוחרים באקראי אדם מהקבוצה. מהי ההסתברות שלפחות פעם אחת ייבחר אדם שיש לו רישיון נהיגה? ג. האם המאורע "לבחור מהקבוצה גבר" והמאורע "לבחור מהקבוצה אדם שיש לו רישיון נהיגה" הם מאורעות בלתי תלויים? נמק. ד. לכמה נשים בקבוצה צריך שיהיה רישיון נהיגה כדי לקבוע שבקבוצה הנתונה של 40 האנשים אין תלות בין מין האדם לכך שיש לו רישיון נהיגה? (מספר הגברים והנשים בקבוצה אינו משתנה, ומספר הגברים בעלי רישיון אינו משתנה).. פרק שappleי גאומטריה וטריגוappleומטריה במישור עappleה על אחת מבין השאלות 5-4. E A C P O ( CAB במשולש ישר-זווית ) CAB 90 הניצב AB הוא קוטר במעגל שמרכזו. O היתר BC חותך את המעגל גם בנקודה. P המשיק למעגל בנקודה P חותך את הניצב B CA בנקודה E (ראה ציור). א. הוכח כי. CE EA CPE CP ב. אם נתון כי, וכי שטח המשולש EA הוא סמ"ר, מצא את שטח המשולש. PAB נמק..4 D A E F O נתון טרפז שווה-שוקיים (AB DC) ABCD החוסם מעגל שמרכזו AB. O ו- DC משיקים למעגל בנקודות E ו- F בהתאמה. EF הוא קוטר במעגל (ראה ציור). האורך של שוק הטרפז הוא. b נתון כי C) (sin C) sin(90. הבע באמצעות : b א. את רדיוס המעגל החסום בטרפז. ב. את אורך הבסיס הקטן. AB B C בתשובותיך השאר שלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית..5 1

45 פרק שלישי חשבון דיפרappleציאלי ואיappleטגרלי של פוליappleומים, של פוappleקציות רציוappleליות, של פוappleקציות שורש ושל פוappleקציות טריגוappleומטריות עappleה על שתיים מבין השאלות נתונה הפונקציה. f() cos א. מצא אם הפונקציה f() היא זוגית או אי-זוגית או לא זוגית ולא אי-זוגית. נמק. : 0 ב. בתחום (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה, ואת האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה). () מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. נמק. () שרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ג. לשרטוט ששרטטת בתת-סעיף ב( ) הוסף סקיצה של גרף הפונקציה f() בתחום. 0 ד. השטח ברביע הראשון המוגבל על ידי הגרף של f(), על ידי ציר ה-, על ידי הישר, על ידי הישר ועל ידי ציר ה-, מסתובב סביב ציר ה-. מצא את הנפח של גוף הסיבוב שנוצר. ה. בתחום שבין ל-, רשום בצורה כללית את השיעורים: (1) של נקודות המינימום של הפונקציה f(). () של נקודות המקסימום של הפונקציה f()..6

46 f''() 6. 5 (1 ) נתונה הנגזרת השנייה של הפונקציה f() : הפונקציה f() מוגדרת לכל..7 א. מבין הגרפים הנגזרת IV שלפניך, איזה גרף מתאר את פונקציית, III, II, I f'()? נמק. IV III II I ב. (1) מצא תחומי קעירות כלפי מטה ותחומי קעירות כלפי מעלה של הפונקציה f(). נמק. () היעזר בגרף של f'() שבסעיף א', ומצא בין אילו שני מספרים שלמים עוקבים נמצא שיעור ה- של נקודת הקיצון של f(). נמק. () שרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(), אם ידוע כי הגרף חותך את ציר ה- רק בנקודה אחת שבה. לפניך סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת השלישית f'''(). ג. מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של f'''(), על ידי ציר ה- וציר ה-. בתחום 0 ועל ידי הישר ד. על פי הגרף של f'() שבסעיף א', הסבר מדוע הגרף של פונקציית הנגזרת השלישית f'''() חותך את ציר ה- בשלוש נקודות. f '''() g(), f() a נתונות המשוואות של שתי פרבולות: הוא פרמטר שונה מ-. 0 a ראשית הצירים). O ) ו- A O הפרבולות נפגשות בנקודות את השיעורים של הנקודה. A a א. הבע באמצעות שעבורה השטח, המוגבל על ידי A ב. מצא את השיעורים של הנקודה העובר דרך ועל ידי האנך לציר ה- f(), על ידי ציר ה- הגרף של, A הוא מקסימלי. הנקודה.8

47 תשובות למבחן בגרות מספר 8 קיץ תשע"א, 011, מועד ב:.18. K K.1 א.. 5 ב. 8b ק"מ.. q ב.. א., a ב ג. לא. המאורעות תלויים. ד.. 0.8b 1. א. 4. ב. סמ"ר..5 א.. 0.9b ב. 6. א. הפונקציה f() היא זוגית..,, 0 ב. (1) תחום הגדרה:. אסימפטוטות מקבילות לצירים:, () (0;1) מינימום, 1) ( ; מקסימום, ;1) ( מינימום. ג. () k ( k; 1). מינימום. () 1.0 (k;1) ד. מקסימום. הערה: מספר שלם. ה. (1). f'() ().7 א.. IV ב. (1) 1 : או ; : () בין 1 ל-. 0 f'''() ג ד. הפונקציה בגרף של היא למעשה הנגזרת השנייה של שבסעיף א', יש נקודות פיתול ולכן הנגזרת השנייה f'''() f'() של f'() מתאפסת ב- חיתוך עם ציר ה-. נקודות ומכאן שבגרף של יש נקודות. A( ; ) 9 ב. A 1 ; a. 1a (1a ) 8. א. 4

48 מבחן בגרות מספר 9 חורף תשע"ב, 01 פרק ראשון אלגברה והסתברות עappleה על שתיים מבין השאלות -1. משאית יצאה מעיר A לעיר. B בדיוק באותו רגע יצאה מכונית מעיר B לעיר. A כאשר הגיעה המכונית ל- A היא חזרה מיד ל-, B וכאשר הגיעה ל- B היא מיד שוב יצאה ל-. A המכונית פגשה בדרכה את המשאית שלוש פעמים, לפני שהמשאית הגיעה ל-. B הפגישה הראשונה הייתה כעבור שעות מרגע היציאה של המכונית והמשאית לדרך. הפגישה השנייה הייתה כעבור 4 שעות מרגע היציאה. הפגישה השלישית הייתה במרחק 40 ק"מ מ-. B מצא את המהירות של המשאית (המהירויות של המשאית והמכונית אינן משתנות)..1 א. בסדרה חשבונית ישנם n 1 איברים. סכום n איברים הראשונים הוא 760 וסכום n האיברים האחרונים הוא מצא את n אם האיבר הראשון בסדרה הוא. 10. ב. נתונה סדרה המקיימת לכל טבעי: n b b n n1 bn 1 b19 b0 4.5 b b, b 19 n n מצא את. b 10 הערה: אין קשר בין סעיף א לסעיף ב. 5

49 חברה מייצרת טלפונים ניידים חדשניים עם "מסך תלת ממד". כדי לבדוק את הביקוש לטלפונים אלה, ערכה החברה סקר טלפוני. בסקר השתתפו צעירים ומבוגרים. חלק מהמשתתפים בסקר הצהירו שלא יקנו את הטלפון החדשני והשאר הצהירו שיקנו אותו. נמצא כי 50% מהמבוגרים הצהירו כי יקנו את הטלפון החדשני. מבין אלה שהצהירו כי לא יקנו את הטלפון החדשני, היו צעירים. 1 מהמשתתפים בסקר היו 5 צעירים שגם טענו כי לא יקנו את הטלפון החדשני. א. בסקר השתתפו 000 איש. כמה צעירים השתתפו בסקר? ב. כמה צעירים, מבין הצעירים שהשתתפו בסקר, הצהירו שיקנו את הטלפון החדשני?. פרק שappleי גאומטריה וטריגוappleומטריה במישור עappleה על אחת מבין השאלות 5-4. B D A F M N E במשולש ABC הנקודות D ו- E נמצאות על הצלעות AB ו- AC בהתאמה כך ש- CD. DE BC ו- BE נחתכים בנקודה. F AF חותך את DE בנקודה, M והמשכו חותך את BC בנקודה N (ראה ציור). DM EM הוכח: א.. BN CN C EM DM ב.. BN CN.4 ג. DM EM ו-. BN CN, ( AFC ) 90 במשולש ישר-זווית AFC F נמצאת על הגובה ליתר K הנקודה ו-. KAC כך ש- FAK K AC היא נקודה על היתר B (ראה ציור). כך ש- AKB 90 רדיוס המעגל החוסם את המשולש AFC A B C, R ורדיוס המעגל החוסם הוא. r הוא AKB את המשולש AF. AK את היחס ו- א. (1) הבע באמצעות R. r את היחס ו- () הבע באמצעות. AKF בלבד את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ו- r R ב. הבע באמצעות.5 6

50 פרק שלישי חשבון דיפרappleציאלי ואיappleטגרלי של פוליappleומים, של פוappleקציות רציוappleליות, של פוappleקציות שורש ושל פוappleקציות טריגוappleומטריות עappleה על שתיים מבין השאלות 8-6. נתונה הפונקציה. f() א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. () מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה). () מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). (4) מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. (5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ב. נתונה הפונקציה g(), המוגדרת בתחום ההגדרה של הנגזרת של g() מקיימת: '(). g'() f() f מצא את תחום הירידה של הפונקציה g(). נמק.. f().6 נתונה הפונקציה f() a16cos 16sin 9 בתחום a הוא פרמטר גדול מ-. 0 הפונקציה מוגדרת לכל א. בתחום הנתון מצא עבור אילו ערכי :. f() 0 נמק.. f() 0 נמק. () (1) ב. מצא את ערך האינטגרל f() d ג. נתון כי השטח, המוגבל על ידי גרף הפונקציה ועל ידי הישרים ו בתחום הנתון. על ידי ציר ה-, f(), שווה ל-. 8 מצא את הערך של. a.7 C A E B D. R הוא קוטר במעגל שרדיוסו CD הוא מיתר במעגל המאונך AB וחותך אותו בנקודה E CD לקוטר (ראה ציור). כך ש- CE R את השטח המקסימלי R הבע באמצעות של המשולש. ABC.8 7

51 :01. תשובות למבחן בגרות מספר 9 חורף תשע"ב, R. ב. r R cos r cos ( ). b קמ"ש.. n 16 ב א.. א צעירים. ב AF cos ()..5 א. (1) AK cos( ) (5). (0;0) (). ()., 0.6 א. (1). a 1. 0 ג. (4) (0;0) מקסימום, (8;4) מינימום.. ב. 8. ב. 6 () א. (1). R 4.8 8

52 מבחן בגרות מספר 10 קיץ תשע"ב 01, מועד א פרק ראשון אלגברה והסתברות עappleה על שתיים מבין השאלות -1. צינור הזרים.. לברכה 10 מ"ק מים בקצב קבוע. לאחר הפסקה של 1 שעה הוגבר קצב ההזרמה של הצינור ב- מ"ק לשעה. בקצב המוגבר הזרים הצינור עוד 0 מ"ק מים. הזמן שהצינור הזרים את המים, כולל ההפסקה, זהה לזמן שהיה נדרש לצינור, לו היה מזרים 0 מ"ק מים בלי הפסקה בקצב שלפני ההגברה. א. חשב כמה זמן הזרים הצינור את המים עד ההפסקה. 1 ברכה ריקה ב- 18 שעות, ב. נתון גם כי הצינור ממלא מנפח.. כאשר הוא מזרים מים בקצב שלפני ההגברה. שני צינורות מזרימים יחד מים.. לברכה הריקה באותו קצב. קצב זה קטן מהקצב המוגבר של הצינור הנתון וגדול מהקצב שלפני ההגברה. באיזה תחום שעות יהיה הזמן שבו שני הצינורות ימלאו את.. הברכה?.1., 5, 8, 11, 14, נתונה הסדרה..., 17 הסימנים של איברי הסדרה מתחלפים לסירוגין, והערכים המוחלטים של האיברים מהווים סדרה חשבונית. א. הבע באמצעות n את הסכום של: (1) n האיברים הראשונים של הסדרה. n 1 האיברים הראשונים של הסדרה. () ב. בסדרה הנתונה יש מספר אי-זוגי של איברים, וסכום כל איברי הסדרה הוא. 65 מצא את סכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים.. 9

53 א. מחלקים כדורים לבנים וכדור 1 שחור בין שני כדים. בכל כד חייב להיות לפחות כדור אחד. בוחרים באקראי כד ומוציאים ממנו כדור אחד. מצא באיזה אופן צריך לחלק את הכדורים בין שני הכדים, כדי שהסיכוי להוציא כדור לבן יהיה הגדול ביותר. ב. בכד אחד יש 5 כדורים: לבנים ו- שחורים. (1) מוציאים באקראי 5 פעמים כדור מהכד עם החזרה (בכל פעם מחזירים לכד את הכדור שהוצא). מהי ההסתברות להוציא בדיוק פעמיים כדור לבן? () מוציאים באקראי 6 פעמים כדור מהכד עם החזרה. מהי ההסתברות להוציא בדיוק פעמים כדור לבן כך שהכדור הלבן השלישי יוצא בפעם השישית?. הערה: אין קשר בין סעיף א לסעיף ב. פרק שappleי גאומטריה וטריגוappleומטריה במישור עappleה על אחת מבין השאלות 5-4. B E A D C F נתון כי במשולש AEF חוצה-זווית EAF הוא. AD D היא נקודת ההשקה של הצלע EF למעגל, החותך את הצלעות AE ו- AF בנקודות B ו- C בהתאמה. המעגל עובר גם דרך קדקוד A (ראה ציור). הוכח: א.. BC EF. ABD ב. DCF. AD BD ג. DF AB.4 A D K M L C B טרפז שווה-שוקיים (DC AB) ABCD חסום במעגל שמרכזו. M הבסיס AB הוא קוטר במעגל זה. אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה. L המשך ML חותך את DC בנקודה K (ראה ציור). נתון כי. BAD KL הבע באמצעות את היחס. LM.5 40

54 פרק שלישי חשבון דיפרappleציאלי ואיappleטגרלי של פוליappleומים, של פוappleקציות רציוappleליות, של פוappleקציות שורש ושל פוappleקציות טריגוappleומטריות עappleה על שתיים מבין השאלות 8-6. היא פונקציה רציונלית המקיימת: f() א. נתון כי הפונקציה. 0, 1, לפונקציה יש שלוש אסימפטוטות: 4 -. ו- 4 הפונקציה מוגדרת לכל 1 - f(0) 0 - f(1.5) 0-14 רק עבור f'() 0 -. עבור 1 f() ו- 0 עבור 4 0 f() - (1) על פי הנתונים שבסעיף זה, סרטט סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(). () על פי הגרף שסרטטת, הראה כי לפונקציית הנגזרת f'() יש נקודת קיצון בתחום, 14 וקבע את סוגה. נמק. אין צורך למצוא את השיעורים של נקודת הקיצון. ב. נתון גם כי הפונקציה f() מקיימת a ו- b הם פרמטרים. מצא את הפונקציה f() a b. ( a 4). f().6 f(). 0 בתחום f() 4sin cos נתונה הפונקציה בתחום הנתון: עם הצירים. f() א. מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(), וקבע את סוגן. ב. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה f(). ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה ד. (1) נתונה הפונקציה 1sin(4). g() 1 8 הראה כי f(). g'() () בתחום הנתון מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ועל ידי ציר ה-..7 ישר משיק לפרבולה בנקודה שבה המשיק יוצר משולש עם ציר ה- ועם הישר מצא את השטח המקסימלי של המשולש הנוצר באופן שתואר..8 41

55 תשובות למבחן בגרות מספר 10 קיץ תשע"ב 01, מועד א': שעות, כלומר 50 דקות. ב. בין 1.6 שעות ל- 7 שעות. () א ב.. Sn1 n (). Sn. א. (1) n. א. כד א': 1 לבן; כד ב': 1 לבן ו- 1 שחור. ב. (1). cos.5.6 א. (1) () קיימת נקודת קיצון מסוג מקסימום. ;1 4 ;0) f() 9 6. ( 4). ( ;0) 4 ;1, ;0, (0;0) (0;0) ב. 7. א. ב. מינימום, מקסימום, מינימום, מקסימום, ;0) ( מינימום. ג.. ד. ()

56 מבחן בגרות מספר 11 קיץ תשע"ב, 01, מועד ב פרק ראשון אלגברה והסתברות עappleה על שתיים מבין השאלות -1. רוכב אופנוע יצא מ-, A ובאותה שעה יצא רוכב אופניים מ-. B הם רכבו זה לקראת זה ונפגשו בדרך. רוכב האופנוע הגיע ל- B שעה מרגע הפגישה, ורוכב האופניים הגיע ל- A 1 4 כעבור שעות מרגע הפגישה (מהירויות הרוכבים היו קבועות). 4 כעבור א. מצא את היחס בין המהירות של רוכב האופנוע למהירות של רוכב האופניים. ב. נתון כי המרחק בין A ל- B גדול מ- 90 ק"מ. מצא באיזה תחום מספרים נמצאת המהירות של כל אחד מהרוכבים. (מהירות רוכב האופנוע אינה עולה על 10 קמ"ש)..1 סדרה מוגדרת על-ידי כלל הנסיגה: a. a n n1 1 a n a. b n n1 bn הוכח:. bn א. מגדירים סדרה חדשה לפי an. חשב את a 1. b b4 b6... b0 ב. נתון: נערך סקר בקרב מספר גדול של סטודנטים (בנים ובנות). חצי מהסטודנטים המשתתפים בסקר היו בנים. בסקר נמצא כי מספר הבנות הסובלות מרעש גדול פי ממספר הבנים הסובלים מרעש. נמצא גם כי 5% מבין הבנים סובלים מרעש. א. ידוע כי אחד המשתתפים בסקר שנבחר באקראי, סובל מרעש. מהי ההסתברות שהנבחר הוא בת? ב. בחרו באקראי 5 סטודנטים מבין משתתפי הסקר. ידוע כי לכל היותר מבין הסטודנטים שנבחרו באקראי, סובלים מרעש. מהי ההסתברות שבדיוק אחד מהם סובל מרעש?. 4

57 פרק שappleי גאומטריה וטריגוappleומטריה במישור עappleה על אחת מבין השאלות 5-4. A I G נחתכים בנקודות ו- II שני מעגלים I בנקודה, S משיק למעגל I הישר ST בנקודה. T ולמעגל II בנקודה חותך את המעגל II המשך SF A בנקודה חותך את מעגל I והמשך TF ו-. F, B G II (ראה ציור). ST TB א. הוכח כי. AS ST (1) הוכח כי. AGF SFA SAF () הוכח כי אם הנקודות G, A ו- B נמצאות על ישר אחד, אז. SFA 60 S F T B.4 A E F D B C. AECF נתון מעוין E. ABCD ו- F הן נקודות על הצלעות AD ו- AB בהתאמה כך ש- AE AF ו-. FB AF נתון כי. DCB 60 א. מצא את גודל הזווית. FCB ב. נתון כי אורך האלכסון AC הוא. b הבע באמצעות b את היקף המרובע.5 פרק שלישי חשבון דיפרappleציאלי ואיappleטגרלי של פוליappleומים, של פוappleקציות רציוappleליות, של פוappleקציות שורש ושל פוappleקציות טריגוappleומטריות עappleה על שתיים מבין השאלות 8-6. נתונה הפונקציה ), f() cos ( המוגדרת לכל א. בתחום 0 מצא:. (1) את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. () את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן..6 44

58 ב. (1) הוכח כי הפונקציה זוגית. () סרטט סקיצה של גרף הפונקציה בתחום. ג. רשום את משוואות הישרים המשיקים לגרף הפונקציה. ומאונכים לציר ה- בתחום נתונה הפונקציה א. מצא:. f() 1 9 (1) את תחום ההגדרה של הפונקציה. () את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה). () את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים. (4) את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה. ב. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. ג. מצא את הסימן של האינטגרל המסוים אם נתון כי, (k t) t f'()d k k ו- t גדולים מ-. נמק..7 1, f() הפונקציה f() היא פונקציית מנה המוגדרת עבור. 1 בציור מוצג הגרף של פונקציית הנגזרת f'(). א. מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה f(). נמק. ב. נתון כי לפונקציה f() יש שתי. 1 אסימפטוטות בלבד:, 1 גרף הפונקציה f() חותך את ציר ה- בנקודה שבה. 1 סרטט סקיצה של גרף הפונקציה על פי תשובתך לסעיף א' ועל פי הנתונים שבסעיף ב'. f() a b ג. נתון גם c, b, a. ו- d הם פרמטרים שונים מאפס. c d (1) הבע באמצעות a את c, b ו-. d () חשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת f'(), על ידי הישר 1 ועל ידי הצירים..8 45

59 תשובות למבחן בגרות מספר 11 קיץ תשע"ב, 01, מועד ב: 1. א. היחס הוא. 4 ב. מהירות רוכב האופנוע גדולה מ- 7 קמ"ש וקטנה או שווה ל- 10 קמ"ש. מהירות רוכב האופניים גדולה מ- 18 קמ"ש וקטנה או שווה ל- 0 קמ"ש. ; b., ;0 6 ;0 מקסימום, מינימום, ;1 מינימום.. ב.. a 1. ב ב., (0; 1) (0; 1) (). א. 5. א..6 א. (1) () ב.. 0,. 1, 1 ג. או ב..7 א. (1) () אין.. 1, 1,. 9 ; 9, () (4) עלייה: ירידה: או ג. הסימן שלילי.. 1 ב. :, 1.8 א. :. 1 (). d a, c a, b a ג. (1) 46

60 מבחן בגרות מספר 1 חורף תשע"ג, 01 פרק ראשון אלגברה והסתברות עappleה על שתיים מבין השאלות -1. דן יצא מתל אביב להרצליה על אופניו, ורכב במהירות קבועה של v קמ"ש. כעבור 1 שעה מרגע היציאה של דן, גם אילנית יצאה על אופניה מתל אביב להרצליה, ורכבה באותו מסלול במהירות הגדולה ב- קמ"ש ממהירותו של דן. אילנית ודן נפגשו בדרך להרצליה, ו- 1 שעה לאחר הפגישה הגיעה אילנית להרצליה. מצא באיזה תחום מספרים נמצאת המהירות, v אם נתון כי מסלול הרכיבה מתל אביב להרצליה קטן מ- 5 ק"מ וגדול מ- 9 ק"מ..1 6,1 4, 48, א. נתונה סדרה הנדסית..., 4, 6, 1, מסדרים את איברי הסדרה בשורות כך שבשורה הראשונה יש איבר אחד ובכל שורה אחרת מספר האיברים גדול באחד מזה שבשורה הקודמת. הבע באמצעות n את סכום האיברים ב- n השורות הראשונות.. 58, 6, ב. נתונה סדרה חשבונית שאיבריה הם: 6) (4n,..., 66. (n 1) הבע את סכום הסדרה באמצעות n הערה: אין קשר בין סעיף א לסעיף ב. 47