Matemática 2 aula 6 COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA GEOMETRIA PLANA IV. 1. Sendo AÔB = α, teremos a seguinte distribuição:

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1 Matemática aula 6 GEOMETRIA PLANA IV 4. COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA 1. Sendo AÔB α, teremos a seguinte distribuição: ACB α AB I. Como CÔD 60 o, então: 3α 60 o α 0 o. Se CD R, então CD corresponde a um arco de 60 o. a b 47 a b 94 α o o II. Como sabemos que a + b 360, temos o sistema: a+ b a b 94 a 454 a 7 a 133 α 80 o Resposta correta: 80º 3. Ângulo inscrito: 5. Resposta correta: A Temos a circunferência abaixo, de diâmetro AC. Note que cada pedaço marcado vale 1 de 1 do comprimento de uma circunferência com raio de 48m. Daí, 3 4 como temos 4 pedaços, concluímos que: 1 1 Perímetro 4.. (.48 π ) 3π m 3 4 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA 1

2 COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS Temos que: I. B C E BE 5º BE BE 50º II. C A D CD BE CD 50º 40º CD 130º III. x BE + CD 50º + 130º x x 90º Resposta correta: A. Como a corda AC é o lado de um hexágono regular, então o arco AC é igual ao ângulo central desse hexágono. AC a c n 6 Como NB é lado de um triângulo equilátero, o arco NB é igual ao ângulo central que este triângulo determina na circunferência: NB a c O mesmo para AM : AM a c Como AB é diâmetro: I. AN+ NB 180 AN AN 60 II. AM+ MB MB 180 MB 90 III. NAM AN+ AM IV. NBM NB + MB Desta maneira: α NAM NBM Resposta correta: 30º Considere o triângulo inscrito na circunferência. Como B e C são fixos, o arco BC será constante. Desta maneira: I. AOC AC II. DOB DB AÔC 60º 60 DB DB 60 DB III. BÂD BÂD 60 IV. C ÔB + DÔB 180 C ÔB BÂD 30 C ÔB 10 Resposta correta: 30º e 10º 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA

3 O ângulo Â será igual à metade do arco BC A BC. 7. Para que o ângulo não mude, A tem de se localizar sobre o arco BEC ou sobre o arco BDC. Desta maneira, o vértice A pode ser qualquer ponto dos arcos BDC e BEC. 5. I. AB 360 º 6 AB 60º II. CD 360 º 4 CD 90º Observe que: α AB 15 AB β β BAD AED + AB AB 30 como AED 180 : β β 105 III. 180º α AB + CD 60º + 90º 180º α 180º α 75º α 105º Resposta correta: E 8. A tangente forma com o raio um ângulo de Os arcos AB 360 º 360º 45º e AC 90º, portanto: 8 4 I. CB 360º 90º 45º CB 5º CB 56 º 4 Observe que os triângulos OCR e OQR são congruentes sendo OCR QOR α, da mesma maneira que CÔR QÔR β. PÔR α + β. II. C A B CB 5π α 4 α 5 π rad 8 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA 3

4 Como o ângulo Â é 8 90 β + 90 α 8 α + β (α + β) 15 α + β 76 PÔR 76º Resposta correta: 76º 9. Lembrando: Todo polígono regular é inscritível a uma circunferência. Se o pentágono é regular, os seus vértices formam cinco arcos iguais de 7 I. II α a 108 Resposta correta: 108 CD + AB α 10. Cada arco mede , pois cada AB é lado de 9 um eneágono. Com os prolongamentos dos lados BH e FC obtemos o ângulo α: α FH BC O ângulo β é um ângulo inscrito: β O ângulo θ tem seu vértice no interior da circunferência HG + DE θ O ângulo γ também tem seu vértice no interior, então: γ GE + BD O único ângulo que não pode ser obtido é Temos que: I. A B C AEC x AEC 1. I. AEC x II. A E D ABD y ABD ABD y III. ABC ABD CD ABC y 60º IV. ABC + AEC 360º y 60º + x 360º x + y 40º x + y 10º 4 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA

5 II. III. M P N MGN MFN M P 88º 7º N M P N 108º Resposta correta: Como a corda AB é o lado de um triângulo equilátero, então AB 360 º π 10º e α AB 10º rad 3 3 Resposta correta: A 13. Observe a figura: GEOMETRIA PLANA V aula 7 O COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA 1. Pela condição de existência de um triângulo, sabemos que qualquer lado deve ser menor que a soma dos outros dois. I. Da figura podemos localizar três triângulos: ΔNOP, ΔPOM e ΔMON I. O E B AC + BD 70º AC + 90º AC + 90º 140º AC 50º II. AC + CD 180º 50º + CD 180º CD 130º III. α CD AC 130º 50º α α 40º. II. Do triângulo NOP, temos: 16 < a + c a + c > 16 Do triângulo POM, temos: 18 < c + b b + c > 18 Do triângulo MON, temos: 30 < a + b a + b > 30 + a + b + c > 64 a + b + c I. MGN + MFN 360º 4. MFN + MFN 360º 5MFN 360º MFN 7º II. MGN 4 MFN MGN 4. 7º MGN 88º Pela desigualdade triangular, temos: AP + NA > PN PB + BM > PM Somando NC + MC > MN (AP + PB) + (AN + NC) + (BM + MC) > PN + PM + MN AB + AC + BC > PN + PM + MN 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA 5

6 3. Suponha que a medida seja 14cm, mas < 38, absurdo, pois isso vai de encontro a desigualdade triangular. Então 38cm é a resposta, mas mesmo assim, façamos o teste, > > 38 Resposta correta: 38cm 4. Prolongue AM até um ponto M de tal forma que MM AM (1) Note que esse é um quadrilátero em que as diagonais se cortam ao meio, ou seja, é um paralelogramo. Daí, BM AC I. Da desigualdade triangular, temos: AM + MM < AB + BM ZAM < AB + AC. Analogamente CP < AC + BC BN < AB + BC Somando as três (AM + CP + BN) < (AB + BC + CA) AM + CP + BN < AB + BC + CA II. Da desigualdade triangular AM+ BM> AB + ZAM+ BC > AB + AC AM+ MC > AC AM > AB + AC BC Analogamente BN > AB + BC CA CP > AC + BC AB Somando as três: (AM + BN + CP) > AB + BC + CA AB + BC + CA AM + BN + CP > 1.. COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS I. 4y y 5º II. x + y 180 x 130º I. y y 100 y 50º II. y + x 180 x 130 x 65º 3. O triângulo ADE é isósceles, pois AD AE, sendo DAE ˆ DEA ˆ α: 5. Traçando a mediana relativa ao triângulo BDE e considerando DE : ABF é isósceles B A F B ˆF A Observe o triângulo BDF: No triângulo ADE: α α 180 α 15 x é ângulo externo do triângulo ADF, portanto: x 90 + α x x 105 Resposta correta: 105º x + 7º + 7º 180º x 36º Resposta correta: 36º 4. Aˆ + Bˆ + Cˆ 180, como ˆB C, ˆ então: 0 + ˆB +ˆB 180 ˆB 80 Ĉ ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA

7 6. Todos os 9 losangos são congruentes, então o ângulo α mede α α é ângulo externo do triângulo AEC, α Então EBC é um triângulo isósceles, sendo EC BC. β é ângulo externo do triângulo ABC, β Então EDC é um triângulo isósceles, sendo EC DC. I. α + α + β + β 360 α + β β 360 β 140 II. x + β + β 360 x x Observe os lados e ângulos iguais: Observe que BC DC, então os ângulos Ê e ˆD do triângulo EDC são iguais: Ê + ˆD ˆD + ˆD ˆD 10 ˆD 60 Como ˆD x + 50, então: 60 x + 50 x 10 Resposta correta: 10º 5. Observe parte da estrela: 8. Observe que EFC é um triângulo isósceles, pois EC FC α + α α 45 x é ângulo externo do triângulo FGC, então: x α + 60 x x 105 Resposta correta: 105º O polígono central é um octógono: a e 360 a e 360 ae 45 n 8 x é ângulo externo do triângulo x a e + a x a e e x. 45 x 90 Como APQ é um triângulo isósceles, então os ângulos APQ ˆ e PQA ˆ são iguais a β: Do triângulo APQ: β + β β β ˆ BPA e Os ângulos α + β 90 α α º30 ˆ APD são iguais a 90 o : 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA 7

8 9. Do triângulo abaixo, temos: 1. M é ponto médio de BC < a > < a < 14, como a é par e inteiro, temos que a 10 ou a 1. Resposta correta: 10cm ou 1cm Primeiro ficaremos com ACM e ABM isósceles. Daí α + α + β + β 180 (α + β) 180º + β 90º ABC é retângulo em A. 13. Se a > b + c, o triângulo é obtusângulo (1 ângulo obtuso). O maior lado é o a, se opondo ao maior ângulo, o obtuso I. No ABC: β + 3β β 100 β 5 II. No CEP: x + 100º β 180 x 6β 100 x 50º L BCB 1 C 1 B C... L L ( ) L C Resposta correta: A 15. Como o triângulo ABC é isósceles, então os ângulos da base são iguais a 70 o para soma total ser 180 o. ABC é um triângulo isósceles ABC ACB β ADE é um triângulo isósceles ADE ˆ AÊD θ O ângulo ADC ˆ (α + θ) é externo ao triângulo ABD: α + θ 0 + β θ 0 + β α (I) O ângulo AÊD (θ) é externo ao triângulo ECD: θ α + β (II) Igualando (I) e (II) α + β 0 + β α α 0 α 10 Observe que BP é bissetriz e altura no triângulo EBC, já que este é isósceles, desta maneira BP também será mediana. Da mesma maneira, no triângulo EDC, PD é altura e mediana, então EDC é um triângulo isósceles, sendo PD bissetriz, portanto: PÊD PDC x 75 Resposta correta: 75º 8 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA

9 GEOMETRIA PLANA VI aula Verdadeiro. Verdadeiro 3. Verdadeiro 4. Verdadeiro, pois os catetos servem de altura. 1. COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA Falso. São concêntricas num triângulo equilátero.. Verdadeiro. 3. Verdadeiro. O lado oposto ao ângulo reto mede r, ou seja, 4cm. 4. Falso. Isso acontece no centro da circunferência circunscrita. Primeiro comprovaremos um lema que ajudará bastante na demonstração, na verdade, ele é a demonstração. Lema: a base média de um triângulo é paralela ao lado correspondente. Prova: 5. I. Observe o triângulo ABC. AM AN 1 MB NC. Pela recíproca do Teorema de Tales MN // BC. Sendo assim: MN é base média do ΔABD MN // DB. DP é base média do ΔBCD OP // DB. Daí, MN // OP, analogamente MP // NO. Conclusão: MNOP é paralelogramo. Como AD é bissetriz e o ângulo é formado por AD e BE, temos que DBA ˆ DEÂ. ˆ. Assim ΔABD ΔADE. Como m é ponto base média do ΔEBC. Assim: II. DM EC 6 3 COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS Alternos internos: I y 180 y 70 y 35 II. x + z 180 Soma dos ângulos internos do ΔCDP: x x+ z 160 x+ z 180 Temos um sistema x + z 160 x 140 e BCD ˆ z 40 Resposta correta: x 140 e ˆ BCD 40 subtraindo z 0 1. α θ 3 Soma dos ângulos internos de BPSQ, α + θ ( 3) 3 θ+θ θ + 3θ θ θ α.3.36 α 7 3 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA 9

10 Soma dos ângulos internos do ΔABC: α + β 180 β Resposta correta: 36, 7, 7 5. Os ângulos QBC ˆ e RQB ˆ são iguais, pois são alternos internos, do mesmo modo SQC QCB. ˆ Desta maneira os triângulos RQB e QSC são isósceles.. A mediana relativa à hipotenusa é igual à metade desta, AC 30 portanto BP 15cm, sabemos ainda que O é o baricentro do triângulo ABC, portanto BO PO. BP 15 PO + BO 15 PO + PO 15 3PO 15 PO 5cm 3. Resposta correta: 5cm O perímetro do triângulo ARS é: p 15 x + x + y + 18 y p 33 Resposta correta: Seja o triângulo: r1+ r 7 r1+ r 7 r1+ r 7 r + r3 6 r3 r1 1 r1 r3 1 r 1 r3 5 + r1 r r3 Daí, r1 3 e r 4 Resposta correta: r 1 3; r 4 4. Traçando a diagonal BD veremos que P é o baricentro do triângulo ABD: Podemos afirmar que MP QN, pois ambos são bases médias de triângulos que possuem a mesma base (11). 11 Assim, MP QN. CD + AB Sabemos também que MN, 11 x + 11 Assim:. + 3 x x Considere o triângulo abaixo: I. PN 16 8 II. MN x x 8 III. P do MNP Resposta correta: 8 Resposta correta: A 10 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA

11 8. Observe a figura: 10. PA R Como o triângulo AMB é equilátero, então AM 15 Chamaremos o perímetro do ΔPDE de S. S DO' + O'E + PE + PD. Pelo teorema do bico: AD DO' e O'E BE Então, S PE + BE + PD + AD S PA + PB Também pelo teorema do bico: PA PB Assim, S PA s 1r 11. I. Temos a figura: P é o baricentro, portanto: I. PA PM II. PA PM PA + PM AM 15 PA. 5 PM + PM 15 PA 10 3PM 15 PM 5 Resposta correta: Como MN//BD, M e N são pontos médios de seus respectivos lados, temos que MN BD BD BD 4. II. Como AB BD DA, temos que o triângulo é equilátero; logo, os ângulos internos medem 60. III a 150 a 90. IV. Área B.h Sendo G o baricentro, teremos AG GM I. Sendo S o ponto médio de PQ, então AS é a mediana saindo do vértice A. Sabemos que a mediana relativa a hipotenusa é a metade da medida da hipotenusa; assim, PS SQ AS R. II. Como PQ 0A R. III. O triângulo OAS é isósceles, então OSA ˆ AOS 5. IV. Assim AON Sabemos que AM 1, então: AM 1 AG + GM 1 GM + GM 1 3GM 1 GM 4 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA 11

12 Portanto: AG GM AG. 4 AG 8 Resposta correta: A 13. Considerando um triângulo obtusângulo: II. sen30 o h' 1 h' h 4 III. H + h + h H H 10,5cm GEOMETRIA PLANA VII aula 9 1. COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA O circuncentro e o ortocentro podem ser externos ao triângulo. 14. Traçando as alturas relativas aos vértices B e C: I. II. Considerando o quadrilátero AHDH : α α Observe a figura:. Depois de localizarmos os ângulos na figura, retirarmos dois triângulos (I e II) que são semelhantes. Assim: x 1 x + x 1 x + x x+ 1 h I. sen h 3 3 h 9 Pelo teorema da bissetriz: 3 3x 8 + x x 8 4+ x x 1 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA

13 Demonstração do teorema da bissetriz: Igualando (I) e (II): x x 8x x x 84 x 4 Resposta correta: 4 Por C passa uma paralela a AD. Digamos que tal reta toca AD em E. Por alternos internos ACE ˆ α e também AEC ˆ α, daí o ΔACE é isósceles AE AC *. Note que ΔBCE ΔBDA, então: (* AB BE ** EA ) AB AC BD BC CD BD CD (**) Teorema de Tales A situação é representada pela figura abaixo: I. Pelo teorema do bico sabemos que: AD 3; (*) CF 6, BF x (*) II. Como Cz 7 CF + Fz Cz (**) e BF x Fz + zb BF zb x 1 (**) Fz Aplicando o teorema da bissetriz externa: x x 7x 6x + 30 x 30 III. Pelo teorema da bissetriz interna: AC AB x 9x x Cz zb 7 x 1 x 30 x 15 COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS 1. Do enunciado, temos: Resposta correta: Aplicando os teoremas da bissetrizes interna e externa: x x x x 40 x Resposta correta: 40. I. II. a 8 b a 8 6 b 6 a b a 14 + x x x b x A questão exige que apliquemos os teoremas das bissetrizes (internas e externas). Chamemos AB a e AC b. 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA 13

14 I. II. Chamando AD x DC 13 x. Aplicando o teorema da bissetriz interna, temos: 3 4 7x 3. 13, como x 13 x 13 3,6; temos que 7x 3.3,6 7x 10,81 x 1,54 a b a 5b Temos a figura: II. Aplicando o teorema da bissetriz externa, temos: a 1+ x b a b 5b b x 14 x 1 + x x 1 + x x x 8(8+x) x x x 3. Considere o trapézio abaixo. Assim: CD 3 e BD BD 60 D 3 e BD Temos a seguinte figura: Pelo Teorema de Tales, temos: 10 x 3x + x 10x x 8x x + x + 6 x 6 e x F (pois é negativo e, isso não é possível, porque x é uma medida). 4. Seja a figura: Observe que os degraus estão representados pelos segmentos AB, CD, EF, GH e IJ. Assim, devemos somar todos. I. EF é base média do trapézio ABIJ. Assim: x 45 II. z z 37,5 I. Pela Lei dos cossenos, temos: (AC) cos60 o (AC) AC III. y y 5,5 IV. Somando todos, temos: , , ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA

15 7. Atenção! BC b e CD d 10. Observe a figura: I. AD d b AD d b II. Aplicando Teorema de Pitágoras, temos: (d) (d + b) + (b) 4d d + bd + b + 4b 3d bd 5b 0 variável d Δ 64b d b + 8b 5 b 3. 3 d b 8 b b (não convém) 3. d 5 b 3 8. Seja o triângulo equilátero abaixo. Traçamos MN //BC, de modo que P 1 (triângulo AMN) P (trapézio MNBC). p 1 y + x p 4 y + x Como p 1 p y + x 4 y + x 4y 4 y 6 1. Observe que AS é bissetriz do ângulo externo do triângulo ABC. Assim, temos a proporção: x x x 13 GEOMETRIA PLANA VIII aula 10 COMENTÁRIOS ATIVIDADES PARA SALA Resposta correta: E 9. Seja a figura: Note que ΔABC ΔADB: x 5 x 1 4+ x 10. Aplicando o teorema de tales, temos: 7 5 x 7 7 5x x 84 x 16,8 a b b b tgα x b x a b Resposta correta: b a b 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA 15

16 3. O pentágono regular pode ser inscrito numa circunferência. Cada arco da circunferência será de 360 o 7. 5 Pela simetria, os segmentos BF, BG e AF são iguais: 4. I. Da figura destacamos os triângulos semelhantes PST e PRQ. Observe os triângulos semelhantes ABG e BFG: 3 5 3y x x y y 4 y y 16 8y + y 4 y 1y Δ ( 1) II. Aplicando o Teorema de Pitágoras no ΔPQR, temos: y 8 + x y 9y 64 + y 10 5 III. Se y 10, então x 6 5. I. Considere o triângulo ABC abaixo: y não convém, pois y < 4 y Ao trocarmos duas diagonais teremos os segmentos: II. Separando os triângulos, temos: O menor segmento será 4 y, portanto: x 4 y x 4 (6 5) x 5 Portanto: ( 5 + 1) x ( 5 + 1) ( 5 ) ( 5 + 1) x ( 5 + 1) x 8 Resposta correta: ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA

17 Como ΔABC ΔBCM, temos: x y x x x y y x y y COMENTÁRIOS ATIVIDADES PROPOSTAS 1. 7 x x 7 Observe o triângulo ADE: sen45 o AD x x AD AD x, como x então: 1 3, AD. 7 7 AD 4 3 (x 3) É fácil perceber que <BAD <DEC. Daí, ΔABC ΔCDE. x x Resposta correta: E. Traçando uma reta perpendicular a AC, passando por D, formaremos um triângulo isósceles, ADE AD AD 7 Resposta correta: 7 3. Observe a figura: 3 Os triângulos ABC e CDE são semelhantes, pois possuem ângulos iguais. Do triângulo retângulo: d d 10 Resposta correta: A x x 4x 1 3 3x Note que <ABC <AEC α Então, pelo caso AAA: ΔABD ΔACE Assim, AB AE 6 30 h cm AD AC n 10 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA 17

18 5. Os triângulos ABC e CDE são semelhantes: 7. EF + EG 1 Mas note que ΔCDE ΔMBE e MB 1 (razão de semelhança). DC Daí, EG EF 3EF 1 EF 4 Podemos fazer uma proporção entre os lados opostos aos ângulos iguais e as áreas dos triângulos: A A ABC CDE F HG I 3 3 KJ 4 8. Temos que: 6. Os triângulos AFG e ADE são semelhantes: Os triângulos BEF e BAD são semelhantes, então: h y y 5h Os triângulos ABC e AEF são semelhantes, então: d+ 4 d d + 4 4d + 56 d 3 d 16 A altura do triângulo é d m Resposta correta: E h x 100h x 80 x 1,5h Como x + y 100, então: 1,5h + 5h 100 h ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA

19 9. Seja a figura: PM + MN AD PM + MN AD x x 11. Os triângulos indicados são semelhantes: I. F (Δ BDM ~ ΔEFD) x x 6 + x 11 II. AC AE + EC 10 AE AE + 11 AE Resposta correta: E 10. Observe a figura: Portanto: 3 6 x 6 x 3x 36 6x 9x 36 x 4 O perímetro do quadrado será p 4x Resposta correta: Observe a figura: Temos: ΔPMC ~ ΔACD e ΔABD ~ ΔMNB, veja: I. Os triângulos ASR e ABC são semelhantes, pois possuem ângulos iguais. PM AD x+ a AD PM x x x+ a II. AD MN x AD MN x a x x a x 5 x Resposta correta: Separando os triângulos: III. Igualando (I) e (II), temos: PM MN PM MN x+ a x a + ( x+ a) + ( x a) PM x+ a F H G ADI K J x 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA 19

20 Observe que os triângulos possuem um ângulo comum e 8 10 dois lados proporcionais, então os triângulos 0 5 são semelhantes, pois possuem dois lados proporcionais e o ângulo entre eles igual, caso L.A.L. Completando a proporção com o terceiro lado: x x 300 x 30 5 x Resposta correta: Observe a figura: 18r r 5 + h r (II) Das equações (I) e (II): 18r r + h r + h r r h r + h 65 r x ( 1) 104r + h r h r + 65 Temos dois triângulos semelhantes: ABC e ADE: 39r 56 r 5 39r r 64r 6400 r 100 r 10 Desta maneira: 16 5 r x r r 50r 5x 18r 5x 18r x 5 Aplicando o teorema de Pitágoras nos triângulos ADE e OED: 104 Como + r + h 56, então: h 56 h 48 5 Resposta correta: Os triângulos ACE e ADB possuem ângulos iguais: h + (r x) 16 18r h + r 16 5 (I) x x 88 5x x 5 Resposta correta: 63 5 (r x) + h r 18r, como x Rev.: Jéssica 0 3ª SÉRIE E EXTENSIVO VOLUME MATEMÁTICA