Notas de Aula TE050 - ELETRÔNICA DIGITAL I. Parte 1 Sistemas de Numeração, Códigos Binários, Álgebra Lógica e Funções Lógicas

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1 UNIVERSIE FEERL O PRNÁ SETOR E TENOLOGI EPRTMENTO E ENGENHRI ELÉTRI Notas de ula TE050 - ELETRÔNI IGITL I Parte 1 Sistemas de Numeração, ódigos inários, Álgebra Lógica e Funções Lógicas demar Luiz Pastro 2017

2 ELETRÔNI IGITl I SISTEMS E NUMERÇÃO INTROUÇÃO Os sistemas digitais envolvem circuitos eletrônicos nos quais existem somente dois estados, normalmente representados por dois níveis diferentes de tensão. Toda a operação dos circuitos digitais está fundamentada neste conceito de dois estados, caracterizando desta maneira um sistema binário. ssim sendo, para entender os princípios da eletrônica digital é necessária uma familiarização com o sistema binário de numeração Representação de um número Em um sistema numérico de base b qualquer, um número positivo é representado pelo polinômio: N (b) = a q-1 b q-1 a q-2 b q-2... a 1 b 1 a 0 b 0 a -1 b -1 a -2 b a -p b -p = a i= p Sendo: b = ase (ou raiz) do sistema de numeração (inteiro >1) a i = Inteiro no intervalo (0 a i b-1): são os dígitos do número p = Número de dígitos da parte fracionária do número q = Número de dígitos da parte inteira do número. sequência de dígitos a q-1 a q-2...a 1 a 0, representa a parte inteira do número, enquanto a sequência de dígitos a -1 a -2...a -p, representa a parte fracionária do numero N. O dígito a -p é o dígito menos significativo e a q-1 é o dígito mais significativo do número N. ssim, um número decimal pode ser representado através de um polinômio de potências de 10, enquanto um número binário pode ser representado por um polinômio de potências de 2. Por exemplo, o número decimal 38275,618 pode ser representado pelo polinômio: 38275,618 = Nesse polinômio, número 10 representa a base (ou raiz) do sistema decimal. q 1 i ib onversão de ases Quando se trabalha com sistemas de numeração de bases diferentes, com freqüência é necessário converter um número representado em um determinado sistema de numeração, para o seu equivalente em outro sistema de numeração. Esta operação é denominada conversão de bases. Existem três métodos que podem ser utilizados para converter um número de uma base b 1 para uma base b Método do polinômio Esse método consiste em representar o numero N como um polinômio de potências da base b 1 (base de origem) e utilizar a aritmética da base b 2 (base de destino) para calcular o valor deste polinômio. Exemplo: onverter para base 10 os números 537,24 (8) e 11010,101 (2) respectivamente. Representação dos polinômios: demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

3 ELETRÔNI IGITl I 3 537,24 (8) = 5x8 2 3x8 1 7x8 0 2x8-1 4x8-2 = 351,3125 (10) 11010,101 (2) = 1x2 4 1x2 3 0x2 2 1x2 1 0x2 0 1x2-1 0x2-2 1x2-3 = 26,625 (10) É importante observar que, em ambas as conversões, as operações aritméticas para o cálculo do valor do polinômio foram realizadas na base 10 que é a base de destino (b 2 ). onverter o número 327 (8) para a base 5: 327 (8) = 3x8 2 2x8 1 7x8 0 = = 1330 (5) Observe que no último exemplo, o método de conversão é o mesmo das conversões anteriores porém, é necessário utilizar a aritmética da base 5 para efetuar o cálculo do polinômio, o que para nós representa uma dificuldade, visto que não estamos habituados a trabalhar com uma base diferente da base 10. Portanto, pode-se deduzir que o método do polinômio, embora possa ser utilizado em qualquer conversão, é adequado somente quando a base de destino for a base 10, pois nessa situação as operações aritméticas são efetuadas no sistema decimal. Exercícios: onverter os números abaixo para o sistema decimal: a) 2043,14 (5) ; b) 627,73 (8) ; c) ,1101 (2) ; d) 10231,312 (4) Método das divisões e multiplicações sucessivas Nesse método, os cálculos são feitos utilizando a aritmética da base b 1, que é a base de origem. s conversões das partes inteira e fracionária do número, são efetuadas separadamente. Seja N (b1 ) um número inteiro. omo já vimos, sua representação na base b 2 é dada pelo polinômio: N (b1 ) = a q-1 b 2 q-1 a q-2 b 2 q-2... a 1 b 2 1 a 0 b 2 0 ividindo ambos os lados da igualdade por b 2 teremos: N (b1 )/b 2 = a q-1 b 2 q-2 a q-2 b 2 q-3... a 1 a 0 /b 2 Fazendo: a q-1 b 2 q-2 a q-2 b 2 q-3... a 1 = Q 0 (Quociente da divisão) N (b1 )/b 2 = Q 0 a 0 /b 2 Então: a 0 = N (b1 ) - b 2 Q 0, que é o resto da divisão de N (b1 ) por b 2. Portanto, o resto da primeira divisão de N por b 2, representa o dígito menos significativo do número N (b2 ) isto é, o dígito a 0. O próximo dígito significativo (a 1 ), é obtido dividindo-se o quociente obtido na divisão anterior (Q 0 ) novamente por b 2. Q 0 /b 2 = a q-1 b 2 q-3 a q-2 b 2 q-4... a 2 a 1 /b 2 O resto desta segunda divisão, representa o segundo dígito menos significativo (a 1 ). demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

4 ELETRÔNI IGITl I 4 obtenção dos demais dígitos é feita através de divisões sucessivas dos quocientes obtidos, até que o quociente seja zero. O número N (b2 ) é composto pelos restos das divisões efetuadas, lembrando que o resto da primeira divisão é o dígito menos significativo do número. parte fracionária do número, é representada por: N (b1 ) = a -1 b 2-1 a -2 b a -p b 2 -p O dígito mais significativo (a -1 ) pode ser obtido multiplicando o polinômio por b 2 : b 2.N (b1 ) = a -1 a -2 b a -p b 2 -p1 Se o produto obtido nesta multiplicação for menor do que 1, então o dígito a -1 é igual a zero. Se o produto for maior do que 1, então o dígito a -1 é igual à parte inteira do produto. O próximo dígito é obtido multiplicando a parte fracionária do produto anterior novamente por b 2 e determinando a parte inteira deste novo produto, e assim sucessivamente. Este processo não necessariamente termina, visto que nem sempre é possível representar a fração na base b 2 com um número finito de dígitos. Exemplo: converter o número 435,78125 (10) para a base 4. a) Parte inteira (divisões sucessivas): 435 4_ _ _ 3 6 4_ 2 1 4_ 1 0 b) Parte fracionária (multiplicações sucessivas): 0, , ,50000 x 4 x 4 x 4 3, , ,00000 ssim: 0,78125 (10) = 0,302 (4) ssim: 435 (10) = (4) Portanto: 435,78125 (10) = 12303,302 (4) Exercícios: Efetuar as conversões de base indicadas abaixo: 795,1875 (10) para base 8; 349,36 (10) para base 8; 187,0625 (10) para base 2; 109,85 (10) para base Método da substituição direta O método de conversão de bases por substituição direta pode ser utilizado quando uma das bases for potência inteira da outra. onsidere por exemplo, dois sistemas de numeração de bases b 1 = 2 e b 2 = 4. Representando os 4 dígitos do sistema base 4 e seus respectivos valores equivalentes no sistema base 2 temos a seguinte tabela de conversão: demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

5 ELETRÔNI IGITl I 5 base 4 base omo se observa, cada dígito do sistema base 4 corresponde à dois dígitos do sistema base 2. esta forma, a conversão de um número de uma base para outra pode ser feita através da simples substituição de um dígito do sistema base 4 por dois dígitos do sistema base 2, e vice versa Exemplos: a) (8) base (8) = (2) b) (3) base (3) = (9) Exercícios: Efetuar as conversões indicadas abaixo: a) , (2) para base 4; b) ,3201 (4) para base 2; c) (8) para base 4; Operações aritméticas É possível efetuar operações aritméticas em sistemas de numeração de qualquer base, da mesma forma que as operações são efetuadas no sistema decimal. baixo estão mostrados exemplos das operações de soma e subtração em outros sistemas de numeração que não o decimal. Soma: (5) 32704,316 (8) (4) (5) 26105,405 (8) (4) (5) 61011,723 (8) (4) Subtração: (7) 51042,314 (6) (8) (7) ,231 (6) (8) (7) 30151,043 (6) (8) Exercícios: Efetuar as operações indicadas abaixo: (9) 12041,432 (5) (7) (4) (9) 20432,231 (5) (7) (4) SISTEM E NUMERÇÃO INÁRIO No sistema binário, a base é 2 e são utilizados somente 2 dígitos para representar um número qualquer: os dígitos utilizados são 0 e 1. ada um dos dígitos utilizados para representar valores no sistema binário (0 e 1) é denominado bit, que é uma contração das palavras binary digit onversão de números do sistema binário para decimal conversão de um número do sistema binário para o sistema decimal é feita utilizando o método do polinômio. Exemplo: onverter o número ,1101 (2) para decimal. demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

6 ELETRÔNI IGITl I 6 Representando o número na forma de polinômio temos: 1x2 7 1x2 6 0x2 5 1x2 4 1x2 3 0x2 2 1x2 1 0x2 0 1x2-1 1x2-2 0x2-3 1x2-4 alculando o valor do polinômio, temos: ,5 0,25 0 0,0625 = 218,8125 Portanto: ,1101 (2) = 218,8125 (10) onversão de números do sistema decimal para binário conversão de um número do sistema decimal para o sistema binário é feita utilizando o método das divisões e multiplicações sucessivas. Exemplo: onverter o número 185, (10) para binário. parte inteira do número deve ser dividida sucessivamente por 2 até se chegar a um quociente zero, e a parte fracionária do mesmo deve ser multiplicada sucessivamente por 2 até se chegar a um produto igual a 0. Parte Inteira: Parte Fracionária: , , , x 2 x 2 x , , , , , , x 2 x 2 x , , , Portanto: 185, (10) = , (2) Nem sempre a conversão de um número do sistema decimal para o sistema binário pode ser feita de forma exata. Existem situações em que a parte fracionária do número tem que ser aproximada, como se observa no exemplo abaixo: onverter o número 137,475 (10) para binário ,475 0,950 0,900 0,800 0,600 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 0,950 1,900 1,800 1,600 1,200 0,200 0,400 0,800 0,600 0,200 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 0,400 0,800 1,600 1,200 0,400 demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

7 ELETRÔNI IGITl I 7 Fica claro que, não é possível chegar a um resultado zero na multiplicação, o que significa que o número não tem representação exata no sistema binário. ssim: 137,475 (10) = , (2) Nesta situação, o grau de aproximação vai depender do número de bits que estão disponíveis para representar o número binário SISTEM E NUMERÇÃO HEXEIML O sistema de numeração hexadecimal é utilizado para simplificar a representação de números binários. través do sistema hexadecimal, pode-se compactar um conjunto de bits, que representa o número no sistema binário, em um conjunto menor de dígitos do sistema hexadecimal. aracterísticas: ase = 16; 16 dígitos para representar um número; dígitos 0 a 9, para representar os valores de 0 a 9; dígitos a F, para representar os valores de 10 a 15. Um byte representa a unidade básica de dados em um sistema digital, sendo formado por um conjunto de 8 bits. ividindo-se o byte em duas partes, temos dois grupos de 4 bits que são denominados nibbles. om os 4 bits que compõem cada nibble é possível formar 16 combinações distintas, sendo que, cada uma destas combinações corresponde à um dígito do sistema hexadecimal. ssim, o conteúdo de um byte pode ser representado por 2 dígitos hexadecimais. conversão de um número do sistema binário para o sistema hexadecimal não envolve nenhuma operação aritmética. Para esta conversão é utilizado o método da substituição direta, onde cada grupo de 4 bits corresponde a um dígito hexadecimal. tabela abaixo mostra a conversão do sistema binário para o sistema hexadecimal: ecimal inário Hexadecimal ecimal inário Hexadecimal E F onversão binário hexadecimal Para converter um número do sistema binário para o hexadecimal, basta formar grupos de 4 bits(nibbles) da direita para a esquerda, completando com zeros o último grupo à esquerda, se for necessário. ada um dos grupos de 4 bits formados, corresponde à um dígito hexadecimal. demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

8 ELETRÔNI IGITl I 8 Exemplos: a) onverter para hexadecimal o número binário Separando em grupos: E Portanto, (2) = 4E583 (16) b) onverter para hexadecimal o número binário Separando em grupos: F E Portanto, (2) = 180FE (16) onversão hexadecimal binário Para converter um número do sistema de numeração hexadecimal para o sistema binário, simplesmente tomamos cada dígito hexadecimal e representamos através de um grupo de 4 bits. Exemplos: a) onverter para binário o número hexadecimal _ Número binário equivalente: b) onverter para binário o número hexadecimal 5F07E 5 F 0 7 E Número binário equivalente: SISTEM E NUMERÇÃO OTL O sistema de numeração octal tem a mesma finalidade do sistema hexadecimal, ou seja, simplificar a representação de números binários. diferença é que, ao invés de grupos de 4 bits como no sistema hexadecimal, são considerados grupos de 3 bits. Tomando-se um grupo de 3 bits, é possível formar 8 combinações diferentes, sendo que, cada uma destas combinações corresponde à um dígito do sistema octal. aracterísticas: ase = 8 8 dígitos para representar um número dígitos: 0 a 7 a mesma forma que no sistema hexadecimal, a conversão de um número do sistema binário para o sistema octal não envolve nenhuma operação aritmética. Existe simplesmente uma correspondência entre cada grupo de 3 bits e um digito octal onversão binário octal Para converter um número do sistema binário para o sistema octal, basta formar grupos de 3 bits da direita para a esquerda, completando com zeros o último grupo à esquerda se for necessário. À cada um dos grupos formados, temos um dígito do sistema octal. demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

9 ELETRÔNI IGITl I 9 Exemplos: a) onverter para octal o número binário Separando em grupos: (2) = (8) b) onverter para octal o número binário Separando em grupos: (2) = (8) onversão octal binário Para converter um número do sistema de numeração octal para o sistema binário, simplesmente tomamos cada dígito octal e representamos através de um grupo de 3 bits. Exemplos: a) onverter para binário o número octal Representando cada dígito pelos 3 bits, temos: (8) = (2) b) onverter para binário o número octal onvertendo cada dígito, temos: (8) = (2) Exercícios: Efetuar as conversões indicada abaixo: a) (2) para hexadecimal b) 5389 (16) para binário c) (2) para octal d) (8) para binário e) (8) para hexadecimal f) 30F5 (16) para octal RITMÉTI INÁRI s operações aritméticas no sistema binário são feitas da mesma maneira que nos outros sistemas de numeração, com a diferença que, no sistema binário temos somente os dois dígitos 0 e 1. demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

10 ELETRÔNI IGITl I Soma omo existem somente os dígitos 0 e 1, numa soma de dois números binários ocorrem quatro situações possíveis, que são: 0 0 = = = 1 = 0 vai um para a casa seguinte Exemplos de soma: Subtração a mesma forma que na operação de soma, na subtração de dois números binários podem ocorrer somente 4 possíveis situações: 0-0 = = = = 1 empresta um da casa anterior Exemplos de subtração: Multiplicação Para entender o processo de multiplicação de dois números binários, pode-se inicialmente analisar a multiplicação de dois números no sistema decimal, uma vez que o procedimento é idêntico para os dois sistemas. Seja por exemplo, a multiplicação no sistema decimal: Multiplicando x 2735 Multiplicado omo se observa no exemplo, é realizada a multiplicação de cada dígito do multiplicador pelo multiplicando, formando produtos parciais. Observe que cada um dos produtos parciais sofre um deslocamento para a esquerda. O resultado da multiplicação é a soma de todos os produtos parciais obtidos. omo no sistema binário existem somente os dígitos 0 e 1, os produtos parciais são zero, no caso do dígito do multiplicador ser 0, ou o próprio multiplicando no caso do dígito ser 1. Exemplo de multiplicação de dois números binários: demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

11 ELETRÔNI IGITl I Multiplicando x 1011 Multiplicado ivisão o mesmo modo que a multiplicação, a divisão binária é mais simples que a divisão decimal. Seja por exemplo, a divisão de dois números binários: / omo o divisor possui três dígitos (101), perguntamos se o mesmo cabe nos três primeiros dígitos do dividendo (110). omo isto ocorre, o dígito correspondente do quociente é 1, e o divisor é subtraído dos três primeiros dígitos do dividendo. O restante da divisão segue o mesmo procedimento da divisão decimal. No exemplo acima, a divisão tem como resultado um quociente e um resto Representação de números negativos através do complemento de 2 O complemento de 2 de um número binário é definido como: [N] 2 = 2 n (N) 2 Onde: (N) 2 : número binário n : número de bits que formam o número [N] 2 : complemento de 2 do número Seja por exemplo, o número N = (2), em cuja representação são utilizados 8 bits. O complemento de dois deste número é: 2 8 = Uma maneira simples de obter o complemento de dois de um número binário é inverter (ou negar ou complementar) todos os bits do número e depois somar 1. ssim, considerando o número visto anteriormente temos: invertendo somando demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

12 ELETRÔNI IGITl I 12 Uma das formas utilizadas para representar números negativos no sistema binário é através do complemento de 2. Esta forma de representação é muito utilizada em sistemas digitais para o tratamento de operações aritméticas envolvendo números com sinal. Na representação de números negativos através de complemento de 2, os números positivos são representados na sua forma natural, como já foi visto anteriormente. Os números negativos são representados como complemento de 2 do correspondente número positivo. Seja por exemplo, o número binário (2) = 90 (10). O complemento de 2 deste número é: Invertendo: Somando 1: ssim, na representação de números binários negativos através de complemento de 2, o número (2) representa o valor -90 (10) Operação de soma utilizando complemento de 2 Será analisada a seguir a vantagem de se utilizar o complemento de dois, para a realização de operações aritméticas no sistema binário. onsidere uma operação de subtração de dois números binários: a - b Esta operação pode ser escrita como: a - b = a (-b) Ou seja, a operação de subtração pode ser substituída por uma operação de soma, onde é utilizado o valor negativo do subtraendo. Portanto, no sistema binário, uma operação de subtração é feita somando o minuendo com o complemento de 2 do subtraendo. Neste tipo de operação, é importante que seja estabelecido, o número de dígitos que será utilizado para representar todos os números binários, tendo em vista que na operação de soma o último dígito normalmente deve ser ignorado. omo exemplo, vamos efetuar a subtração 106 (10) 39 (10) no sistema binário. Para isto, será estabelecido que os números binários serão representados com 8 bits. 106 (10) = (2) 39 (10) = (2) O complemento de 2 de 39 é: , que representa o número -39. operação a ser realizada é: = 106 (-39) Temos então: (106) (-39) omo foi definido que seriam utilizados 8 bits para representar os números binários, o bit adicional que apareceu no resultado deve ser desprezado. O resultado da operação é portanto , equivalente ao valor 67 decimal, que é o resultado esperado para a operação. Exemplo: Efetuar a operação 115 (10) 77 (10) no sistema binário: demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

13 ELETRÔNI IGITl I = = = operação fica portanto: O resultado da operação é = 38 (10), conforme era esperado. Vejamos agora, a operação: 43 (10) 109 (10). 43 = = = ssim: Se convertermos diretamente o resultado da operação ( ) para decimal, tem-se o valor 190 (10), que não é o resultado esperado da operação, cujo valor correto deveria ser -66. No entanto, tomando-se o complemento de 2 do resultado da operação, tem-se o valor , que corresponde ao valor decimal 66. Observa-se então que, como o resultado da operação é negativo, o mesmo apareceu na forma de complemento de 2. esta forma, pode ser estabelecida a regra para a representação de números positivos e negativos no sistema binário. a) O primeiro bit(bit mais significativo) sempre indica o sinal do número: 0: o número é positivo 1: o número é negativo b) Se o número for positivo, ele está representado na sua forma real. Se for negativo, está representado na forma de complemento de 2. Utilizando esta forma de representação, a operação de soma é realizada normalmente, sendo que o resultado, positivo ou negativo, aparecerá naturalmente. Exemplos: a) 95 ( 44) Eliminando o dígito adicional: = 51 b) 27 ( 79) c) (d) (-47) ( 72) e) Observe na última operação (e), o resultado foi -96, quando o valor correto é 160. Neste caso, ocorreu uma condição de estouro (overflow), ou seja, o resultado da operação não cabe nos 8 bits previamente definidos para isto. Fica claro portanto, que existem limites para os valores que podem ser representados, limites estes que dependem do número de bits que estão sendo utilizando para representar o números. No caso da representação de números binários com 8 bits, estes limites são: = 127 e = -128 demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

14 ELETRÔNI IGITl I 14 omo regra geral, temos os seguintes limites: -(2 n-1 ) N 2 n-1-1 onde: n é o número de bits utilizados para representar o número. 2 - ÓIGOS INÁRIOS Nos sistemas digitais existem situações em que é necessário, ou desejável, a representação dados que não sejam números binários, tais como strings de caracteres alfanuméricos ou numéricos. Vários tipos de códigos foram desenvolvidos com esta finalidade, podendo se enquadrados em duas principais categorias: ódigos numéricos: utilizados para representar valores numéricos; ódigos não numéricos: utilizados para representar caracteres alfanuméricos ÓIGOS NUMÉRIOS ódigo O código -inary oded ecimal (ecimal odificado em inário) é um código numérico, utilizado para representar números decimais, sendo muito utilizado na interface entre dispositivos digitais. O código nada mais é o do que o próprio código binário, com os valores limitados ao intervalo de 0 a 9, utilizando portanto 4 bits para cada dígito decimal. O código é também denominado -8421, pelo fato dos 4 bits que formam o código terem pesos de 8, 4, 2 e 1 respectivamente. Na tabela abaixo é mostrada a correspondência entre cada dígito decimal e sua representação no código. ecimal ecimal Para representar um número decimal no código, representa-se cada um dos dígitos através de um conjunto de 4 bits. Exemplo: representar o número no código. Substituindo cada dígito decimal por um grupo de 4 bits, temos: demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

15 ELETRÔNI IGITl I ódigo 3-em-excesso O código 3-em-excesso é formado adicionando-se 3 ao código (ou binário). Trata-se de um código não ponderado, visto que existe um peso para cada um dos 4 bits que forma o código. Na tabela abaixo, temos a correspondência entre os códigos decimal, e 3-em-excesso: ecimal 3-em-excesso ecimal 3-em-excesso ódigo GRY O código Gray é um código cíclico, cuja característica é a mudança de somente um bit entre dois valores consecutivos. evido a esta característica, o código Gray é muito utilizado em codificadores(encoders) pois, o fato de existir somente um bit diferente entre valores consecutivos diminui a probabilidade da ocorrência de erros. tabela abaixo mostra a correspondência entre os códigos decimal, binário e Gray de 4 bits: ecimal inário Gray ecimal inário Gray ódigo Johnson O código Johnson é um código numérico, gerado a partir do contador Johnson. O número de valores possíveis depende da quantidade de bits utilizados para representar estes valores. Para representar os 10 dígitos decimais, são necessários 5 bits no código Johnson. Na tabela abaixo, está representado o código Johnson de 5 bits: ecimal Johnson ecimal Johnson demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

16 ELETRÔNI IGITl I etecção e correção de erros Um eventual erro em um dado binário qualquer, significa um valor incorreto em um ou mais bits que formam este dado. Podemos ter um erro simples quando existe somente um bit incorreto e um erro múltiplo quando mais de um bit está incorreto. Erros podem ser causados por falhas de hardware, ruído ou interferência externa ou outro evento indesejado. Os códigos vistos até agora para representar valores numéricos, embora adequados para a representação dos dígitos decimais, são sensíveis a erros de qualquer natureza. Na prática, existe sempre a probabilidade da ocorrência de um erro simples. probabilidade da ocorrência de um erro múltiplo é mais baixa ódigos de detecção de erros Em um código binário, a ocorrência de um erro em um dos bits de um dado pode resultar em outro dado válido, porém incorreto. onsideremos como exemplo, os dois dispositivos e mostrados na figura abaixo, conectados através de uma interface, através da qual trafegam dados no formato. Supondo que, em determinado instante, o dispositivo enviou através da interface, a seqüência de bits 0101, que corresponde ao dígito decimal 5 no código Supondo ainda que, devido à uma interferência externa qualquer (ruído), o segundo bit (da direita para a esquerda) da sequência enviada, foi corrompido, passando de 0 para 1. esta forma, o dispositivo recebe o dado 0111, que corresponde à um valor válido (digito 7), porém diferente daquele que foi enviado pelo dispositivo. ssim, enviou o dígito 5 e recebeu o dígito 7 tratando este valor como sendo correto, pois não possui nenhum mecanismo para detectar que ocorreu o erro, pois o código não tem capacidade para detectar o erro. É possível tornar o código capaz de detectar um erro simples, adicionando ao mesmo um bit de paridade, que pode ser par ou ímpar. Paridade par : o número de bits 1, incluindo o bit de paridade, deve ser par. Paridade ímpar : o número de bits 1, incluindo o bit de paridade, deve ser ímpar. demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

17 ELETRÔNI IGITl I 17 Na tabela abaixo está mostrado o código, acrescido de um bit de paridade: Paridade par Paridade ímpar ecimal 8421 P 8421 P O propósito do bit de paridade é adicionar um bit extra ao código, de modo a fazer com que o número total de bits 1 seja par ou ímpar, conforme o tipo de paridade desejada. om isto, é possível detectar um erro simples do tipo descrito acima. onsiderando o exemplo visto e supondo uma paridade par, o dispositivo envia o dígito 5 que corresponde a 01010, sendo que o dispositivo por sua vez, recebe o dado o verificar a paridade do valor recebido, o dispositivo, percebe a existência de 3 bits 1 no número recebido, o que, considerando a paridade par está incorreto ódigo 2-entre-5 Outro código numérico utilizado para representar os dígitos decimais e que possui a capacidade de detectar a ocorrência de um erro simples é o código 2-entre-5, que é um código de 5 bits. O código 2-entre-5 é formado pelas 10 possíveis combinações de 5 bits, onde 2 dos 5 bits são iguais a 1 e 3 são iguais a 0. detecção de um erro é feita contando-se o número de bits iguais a 1 existentes na seqüência de bits do código. Sempre que este número for diferente de 2, existe um erro. tabela abaixo mostra a configuração do código 2-entre-5: ecimal 2-entre-5 ecimal 2-entre demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

18 ELETRÔNI IGITl I istância de um código binário distância entre duas palavras(valores) quaisquer, em um código binário, representa o número de bits que precisam ser alterados para tornar um valor válido em outro valor válido. Por exemplo, a distância entre as palavras 1010 e 0100 é três, visto que os dois valores possuem 3 bits diferentes. distância mínima de um código binário, representa o menor número de bits diferentes entre dois valores quaisquer. ssim, nos códigos e 3-em-excesso, a distância mínima é um, enquanto que no código 2-entre-5, a distância mínima é dois. Para que um código possua a capacidade de detectar um erro simples, é necessário que a distância mínima seja maior ou igual a dois. 2.2 ÓIGOS NÃO NUMÉRIOS Os códigos não numéricos são utilizados para representar dados que não são numéricos. Por exemplo, um computador tem a capacidade de armazenar e trabalhar tanto com dados numéricos como com dados alfanuméricos. Para que isto seja possível, é necessária a utilização de um código capaz de representar os dados alfanuméricos ódigo SII O código SII (merican Standard ode for Information Interchange) é um código não numérico, amplamente utilizado na indústria de computadores. É um código utilizado para representar um conjunto de caracteres alfanuméricos, através de combinações pré-definidas de bits. TEL SII (7 bits) ec Hex aracter ec Hex aracter ec Hex aracter ec Hex aracter 0 00 NUL SP ` 1 01 SOH 33 21! a 2 02 STX b 3 03 ETX # c 4 04 EOT $ d 5 05 ENQ % E e 6 06 K & F f 7 07 EL ' G g 8 08 S ( H h 9 09 HT ) I i 10 0 LF 42 2 * 74 4 J j 11 0 VT K k 12 0 FF 44 2, 76 4 L l 13 0 R M m 14 0E SO 46 2E. 78 4E N 110 6E n 15 0F LF 47 2F / 79 4F O 111 6F o LE P p Q q R r S s T t 25 NK U u SYN V v ET W w N X x demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

19 ELETRÔNI IGITl I EM Y y 26 1 SU 58 3 : 90 5 Z z 27 1 ES 59 3 ; 91 5 [ { 28 1 FS 60 3 < 92 5 \ GS 61 3 = 93 5 ] } 30 1E RS 62 3E > 94 5E ^ 126 7E ~ 3F US 63 3F? 95 5F _ 127 7F EL TEL SII EXTENI demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

20 ELETRÔNI IGITl I ódigo EI O código EI Extended inary oded ecimal Interchange ode, foi desenvolvido pela IM no início da década de 60. É um código de 8 bits, onde cada caracter é representado através uma combinação específica destes 8 bits. ódigo EI demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

21 ELETRÔNI IGITl I ÁLGER LÓGI OU ÁLGER OOLEN 3.1 ONEITO E FUNÇÃO LÓGI Variáveis e funções Estamos normalmente familiarizados com o conceito de variável e de função, sob o ponto de vista da álgebra tradicional. entro deste conceito, o campo de existência de uma variável, isto é, o intervalo de variação dos valores que podem ser assumidos por uma variável x qualquer, pode ser especificado de diversas maneiras, dependendo do contexto em que a função está definida. Por exemplo: x é um número real, com - < x < x é um número real, com -1 x 1 x é um inteiro, com 20 < x < 50 x é um inteiro com 0 x 5 Uma função pode ser definida como uma regra, de acordo com a qual podemos determinar o valor de uma variável chamada variável dependente, a partir de uma ou mais variáveis chamadas variáveis independentes. enominando y a variável dependente e x a variável independente, a relação de dependência entre as variáveis pode ser escrita como: y = f(x). Supondo que desejamos determinar o valor da variável y a partir da variável x, de acordo com a seguinte regra: a variável x deve ser multiplicada por ela mesma, este produto deve ser multiplicado por 2 e o resultado destas duas operações deve ser somado à constante -7. relação entre as variáveis y e x pode ser representada algebricamente através da equação: y = 2x 2-7 No exemplo acima, considerando que o domínio da variável x seja - < x <, determinamos o valor de y através da aplicação de operações algébricas de exponenciação, multiplicação e soma. No entanto, se considerarmos que o número de valores possíveis para a variável x seja pequeno, é possível especificar uma função através da elaboração de uma tabela na qual colocamos todos os possíveis valores para a variável x e os respectivos valores para a variável y. Supondo que na função vista acima, (y = 2x 2-7), o domínio da variável x seja -2 x 2, com x inteiro. Nesta situação, considerando que existem apenas cinco valores diferentes para as variáveis x e y, é possível representar o relacionamento entre as variáveis através de uma tabela, como está mostrado abaixo: x y = f(x) demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

22 ELETRÔNI IGITl I 22 esde que seja possível representar uma função através de uma tabela, não é necessário que as variáveis envolvidas sejam numéricas, uma vez que não há necessidade de efetuar nenhuma operação algébrica sobre as mesmas. Esta constatação sugere que é possível definir uma função na qual as variáveis envolvidas não sejam numéricas. Seja por exemplo, uma variável independente x que pode assumir como valores, as cores de um sinal de trânsito em um cruzamento de ruas, e uma outra variável dependente y que representa a possível atitude de um motorista ao se aproximar do cruzamento (supondo um motorista consciente que obedeça as leis de trânsito). O relacionamento entre as variáveis x e y está mostrado na tabela abaixo: x Verde marelo Vermelho y = f(x) Prosseguir tenção Parar omo pode-se observar, os valores assumidos pela variável independente x são expressos através de condições como o sinal está verde ou o sinal está amarelo ou o sinal está vermelho. a mesma forma, os valores assumidos pela variável dependente y também representam condições, como o motorista deve prosseguir ou o motorista deve prestar atenção ou o motorista deve parar onceito de Variável Lógica Uma variável lógica possui as seguintes características: Uma variável lógica pode assumir somente dois valores possíveis; Os valores possíveis de serem assumidos pela variável, representam condições e não valores numéricos; Os dois valores possíveis de serem assumidos pela variável são mutuamente exclusivos. Para efeito de análise, vamos assumir que o sinal de trânsito possui somente as luzes verde e vermelha e excluir a possibilidade de ambas as luzes estarem acesas ou apagadas no intervalo da mudança de uma para outra. Neste caso, a variável x que representa o estado do sinal assume as características de uma variável lógica, visto que: a) Existem somente dois valores possíveis: o sinal está verde ou o sinal está vermelho ; b) Os valores representam condições; c) Os valores são mutuamente exclusivos, pois se o sinal não está verde só pode estar vermelho e vice versa. O valor da variável x, que representa o estado do sinal pode ser representado através das expressões: x = verde, significando que o sinal está verde, ou x = vermelho, significando que o sinal está vermelho. demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

23 ELETRÔNI IGITl I 23 onsiderando a condição de mútua exclusividade, pode-se escrever: x = vermelho = não verde = verde x = verde = não vermelho = vermelho O não ou a barra sobre a variável, representa uma negação. função que relaciona a atitude do motorista (y) com o estado do sinal de trânsito (x), é uma função lógica, pois é uma regra que estabelece o relacionamento entre variáveis lógicas. x Verde Vermelho y = f(x) Prosseguir Parar Valores para uma variável lógica Na álgebra tradicional, as variáveis de uma equação algébrica podem representar uma grandeza física qualquer, como temperatura, pressão, distância, velocidade, tempo, corrente, tensão, potência, campo elétrico, campo magnético, etc. o ponto de vista puramente matemático, o que interessa é o relacionamento entre as variáveis e não o que elas representam. ssim, na equação y = 2x 2-7 para x = 3, calculamos o valor de y = 11, independentemente do que x e y representam. a mesma maneira, podemos associar dois nomes quaisquer aos dois valores possíveis de serem assumidos por uma variável lógica, não importando o que esta variável representa. Quaisquer nomes podem ser utilizados, porém é interessante que usemos nomes que ressaltem a condição de mútua exclusividade. ssim, podem ser usados nomes, tais como: Frio e Quente Entrada e Saída lto e aixo Ligado e esligado Verdadeiro e Falso Verde e Vermelho berto e Fechado Num primeiro momento utilizaremos a notação Verdadeiro (V) e Falso (F) para representar os dois valores possíveis para as variáveis lógicas. lém disso, ao invés de representar as variáveis lógicas pelas letras x, y, z, w,..., será utilizada a nomenclatura,,,,..., com objetivo de não causar nenhuma confusão com as funções algébricas tradicionais. ssim, uma função lógica será representada por: Z = f(,,,...) Voltando ao exemplo do sinal de trânsito, pode-se estabelecer o seguinte critério: variável independente, que representa o estado do sinal de trânsito; Z variável dependente, que representa a atitude do motorista. demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

24 ELETRÔNI IGITl I 24 om a seguinte nomenclatura: = F, o sinal está vermelho; = V, o sinal está verde; Z = F, o motorista deve parar; Z = V, o motorista deve prosseguir. om estes critérios definidos, o relacionamento entre as variáveis lógicas Z e pode ser representado pela tabela abaixo: F V Z = f() F V Esta tabela, na qual são representadas todas as combinações possíveis para as variáveis lógicas, é denominada tabela verdade FUNÇÕES LÓGIS E UM VRIÁVEL onsiderando que existem somente dois valores possíveis para uma variável lógica, existem quatro resultados possíveis para uma função lógica de uma variável, o que nos dá um número de quatro possíveis funções. F V Z = f() s quatros funções possíveis são: F V Z = f() F F Representação: Z = f ( ) = F F V Z = f() V V Representação: Z = f ( ) = V F V Z = f() F V Representação: Z = f ( ) = F V Z = f() V F Representação: Z = f ( ) = função Z = é denominada Negação ou Inversão ou omplementação. demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

25 ELETRÔNI IGITl I FUNÇÕES LÓGIS E US VRIÁVEIS Funções ásicas: E, OU e NÃO Seja uma função Z = f(,) com duas variáveis lógicas independentes e. omo existem quatro combinações possíveis para as variáveis lógicas e, significa que a tabela verdade para esta função possui 4 linhas, como pode ser observado a seguir. Z = f(,) F F F V V F V V Existem portanto, 16 possíveis combinações para a variável dependente Z e, consequentemente, 16 possíveis funções para estas duas variáveis. lgumas destas 16 possíveis funções têm interesse especial, conforme será mostrado a seguir Função E (N) função Z = f(,) definida pela tabela verdade mostrada abaixo é denominada operação lógica E (ou função lógica E), ou N em inglês: Z = f(,) F F F F V F V F F V V V Nesta função, a variável dependente Z é igual a V somente quando e forem iguais a V, daí o nome, operação E. representação da função E é: Z = E, ou Z = N, ou Z =, ou simplesmente Z = Propriedades da operação E: a operação lógica E possui as mesmas propriedades da multiplicação algébrica, que são as propriedades comutativa e associativa. Propriedade comutativa: Z = = Propriedade associativa: Z = () = () demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

26 ELETRÔNI IGITl I 26 Exercício: Provar, através da tabela verdade, a validade da propriedade associativa da operação lógica E. () () () () F F F F F F F F F V F F F F F V F F F F F F V V F F V F V F F F F F F V F V F F F F V V F V F F F V V V V V V V Na tabela verdade acima, pode-se verificar que as colunas correspondentes às operações () e () são idênticas, o que prova a validade da propriedade associativa da operação E Função OU (OR) função Z = f(,) definida pela tabela verdade mostrada abaixo é denominada operação lógica OU (ou função lógica OU), ou OR em inglês: Z = f(,) F F F F V V V F V V V V Na função lógica OU, a variável dependente Z é igual a V se as variáveis ou, ou ambas, forem iguais a V. operação OU é representada por: Z = OU, ou Z = OR, ou Z = Propriedades: a mesma forma que a operação lógica E, a operação OU possui as propriedades comutativa e associativa. omutativa: Z = = ssociativa: Z = ( ) = ( ) Propriedade istributiva: s operações lógicas E e OU em conjunto, possuem também a propriedade distributiva: Z = ( ) = demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

27 ELETRÔNI IGITl I 27 s funções lógicas E, OU e NÃO (N, OR e NOT) são chamadas funções básicas ou funções fundamentais, pois a partir de combinações destas três funções, é possível representar qualquer outra função lógica, independente da complexidade REPRESENTÇÃO TRVÉS NOTÇÃO 0-1 té este ponto foi propositalmente, utilizada a notação Verdadeiro(V) e Falso(F) para representar os dois possíveis valores para uma variável lógica. escolha desta notação foi intencional, com objetivo de caracterizar o fato de não estarmos tratando com valores numéricos e sim com valores lógicos, que representam condições. partir deste ponto será utilizada a notação 0-1 para representar os dois valores possíveis para as variáveis lógicas. evemos estar cientes no entanto que, embora os valores lógicos sejam representados pelos dígitos 0 e 1, estamos tratando de condições e não de valores numéricos. Podemos estabelecer a seguinte correspondência entre os valores: F <=> 0 V <=> 1 om a utilização desta notação, as tabelas verdades correspondentes às funções lógicas E e OU ficam assim representadas: Z = Z = onsiderando a analogia com as operações algébricas de multiplicação e soma, temos as seguintes situações: 0.0 = =0 0.1 = =1 1.0 = =1 1.1 = 1 =1 expressão 1 1 = 1 é importante no sentido de lembrar que não estamos tratando com valores numéricos e sim com condições. 3.5 OUTRS FUNÇÕES E US VRIÁVEIS omo foi visto, para duas variáveis lógicas existem 16 funções distintas, dentre as quais estão as funções básicas E e OU já analisadas. Na tabela abaixo, estão representadas todas as 16 possíveis funções. Observe que todas as funções estão representadas através de uma combinação das funções básicas E, OU e NÃO. demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

28 ELETRÔNI IGITl I Função f f = 0 f f = f f = f f = f f = f f = f f = f f = f f = f f = f f = f 1 0 f = f f = f f = f f = f 15 f = 1 lém das funções E e OU vistas acima, existem outras funções neste conjunto, que têm interesse especial, conforme será visto a seguir Função Ou-Exclusivo função f 6 =, cuja tabela verdade está mostrada abaixo, é denominada OU-Exclusivo (em inglês, Exclusive-OR), também conhecida como XOR. Z = f() O resultado da função é 0 quando as duas variáveis forem iguais e 1 quando as duas variáveis forem diferentes. função Ou-Exclusivo é representada pelo símbolo : Z = = Função Equivalência função f 9 =, cuja tabela verdade está mostrada abaixo, é a negação da função OU- Exclusivo, também denominada função Equivalência(ou oincidência). Essa função também é denominada XNOR (Exclusive Not OR). demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

29 ELETRÔNI IGITl I 29 Z = f() O resultado da função é 1 quando as duas variáveis forem iguais e 0 quando as duas variáveis forem diferentes. função Equivalência é representada pela negação expressão Ou-exclusivo. Z = = Função NN função f 14 = cuja tabela é mostrada a seguir, é a negação da função E, chamada função NÃO E (em inglês, NOT N), abreviada como NN. Z = f() Função NOR função f 8 =, mostrada na tabela abaixo, é a negação da função OU, chamada NÃO OU (em inglês, NOT OR), abreviada como NOR. Z = f() PORTS LÓGIS onceito de Porta Lógica Uma porta lógica é um dispositivo físico que realiza uma operação lógica. onsiderando as três operações lógicas fundamentais E, OU e NÃO, existe uma porta lógica que realiza fisicamente cada uma destas operações. Porta lógica NÃO: é o dispositivo que realiza a operação lógica NÃO; Porta lógica OU: é o dispositivo que realiza a operação lógica OU; Porta lógica E: é o dispositivo que realiza a operação lógica E. forma como uma porta é implementada, depende da tecnologia utilizada na sua fabricação. Na figura abaixo está mostrado o circuito correspondente à uma porta inversora(não) MOS: demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

30 ELETRÔNI IGITl I 30 V Entrada p n Saída Porta inversora MOS Quando uma tensão alta (V ) é aplicada na entrada, o transistor canal p está em corte e o transistor canal n está conduzindo. Nesta situação, a saída está ligada ao terra através do transistor canal n. tensão de saída neste caso é 0V. V V V p 0V 0V p V n n Quando é aplicada uma tensão baixa (0V) na entrada, o transistor canal p está conduzindo e o transistor canal n está em corte, ficando a saída ligada à alimentação através do transistor canal p. tensão de saída nesta situação é V. Na tabela verdade abaixo, estão representadas estas duas condições: Entrada Saída 0 V V 0 omo pode-se observar, esta tabela verdade corresponde à uma operação NÃO, onde 0V corresponde ao valor lógico 0 e V corresponde ao valor lógico 1. onsequentemente, o circuito mostrado acima realiza uma operação lógica NÃO, sendo portanto uma porta lógica NÃO. O circuito MOS que implementa a porta lógica NN está mostrado na figura abaixo: Quando = 0V e = 0V, os transistores p 1 e p 2 estão conduzindo, n 1 e n 2 estão em corte. saída Z está ligada à alimentação através de p 1 e p 2, sendo portanto V. Quando = 0V e = V, o transistor p 1 está conduzindo, p 2 está em corte, n 1 está em corte e n 2 conduzindo. saída está ligada à alimentação através de p 1, sendo portanto V. Quando = V e = 0V, o transistor p 1 está em corte, p 2 está conduzido, n 1 está conduzindo e n 2 em corte. saída está ligada à alimentação através de p 2, sendo portanto V. Quando = V e = V, os transistores p 1 e p 2 estão em corte, n 1 e n 2 estão conduzindo. saída está ligada à terra através de n 1 e n 2, sendo portanto 0V. demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

31 ELETRÔNI IGITl I 31 V p 1 p 2 Z n 1 n 2 Porta Lógica NN tabela verdade do circuito está mostrada abaixo e corresponde à tabela verdade da operação lógica NN. Z 0V 0V V V V V 0 V 0V V V V 0 0 O circuito MOS que implementa a porta lógica NOR está mostrado na figura abaixo: V p 1 p 2 Z n 2 n 1 Porta Lógica NOR Quando = 0V e = 0V, os transistores p 1 e p 2 estão conduzindo, n 1 e n 2 estão cortados. saída está ligada à alimentação através de p 1 e p 2, sendo portanto V. Quando = 0V e = V, o transistor p 1 está conduzindo, p 2 está cortado, n 1 está cortado e n 2 conduzindo. saída está ligada à terra através de n 2, sendo portanto 0V. Quando = V e = 0V, o transistor p 1 está cortado, p 2 está conduzido, n 1 está conduzindo e n 2 cortado. saída está ligada à terra através de n 2, sendo portanto 0V. Quando = V e = V, os transistores p 1 e p 2 estão cortados, n 1 e n 2 estão conduzindo. saída está ligada à terra através de n 1 e n 2, sendo portanto 0V. demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017

32 ELETRÔNI IGITl I Simbologia das portas lógicas Na representação de um circuito digital cada porta lógica possui uma simbologia. Existe a simbologia padrão NSI/IEEE bem como a simbologia usual utilizada no mercado Porta lógica NÃO: Simbologia: Símbolo usual Padrão NSI/IEEE 1 Na porta NÃO, também chamada porta inversora, o sinal de saída representa a negação (ou inversão ou complementação) do sinal de entrada. No diagrama de tempo abaixo, é mostrado um exemplo de sinais de entrada e saída de uma porta lógica NÃO Porta lógica E: Simbologia: Símbolo usual Padrão NSI/IEEE & Porta lógica OU: Simbologia: Símbolo usual Padrão NSI/IEEE 1 demar Luiz Pastro UFPR-epartamento de Engenharia Elétrica / 2017