Circuitos Digitais I. Notas de Aula. Sistemas de Representação. Bases e Códigos. Bases. É importante representar valores das informações que desejamos

Transcrição

1 Sistemas numéricos Sistemas numéricos 2 Bases Circuitos Digitais I Notas de Aula É importante representar valores das informações que desejamos processar; Por exemplo, num sinal amostrado, converter uma amplitude em uma sequência de bits; O mais comum é utilizar a base : = Existem outras bases importantes: 2, 8, 6. Sistemas de Representação Numéricos Bases e Códigos Ricardo Tokio Higuti Departamento de Engenharia Elétrica - FEIS - Unesp

2 Sistemas numéricos 3 Sistemas numéricos 4 Representação em uma base b Número representado numa base inteira b >, com n dígitos na parte inteira e m dígitos na parte fracionária: N b = (a n a n 2 a 2 a a a a 2 a m+ a m ) b N b = a n b n +a n 2 b n 2 + +a 2 b 2 +a b +a b + +a b +a 2 b 2 + +a m+ b m+ +a m b m Dígitos válidos: a (b ) Parte inteira (positiva) com n dígitos: valores de a (b n ) Base 2 É uma das bases mais importantes em circuitos digitais; Dígitos válidos: e ; BIT: BInary digit - dígito binário; Número representado na base 2:. 2 = =.75 Um conjunto de 8 bits é chamado de Byte (B); Um conjunto de 4 bits (meio Byte) é chamado de Nibble. Conversão da base para uma base b Parte inteira Seja um número inteiro positivo escrito na base b: N b = a n b n +a n 2 b n 2 + +a 2 b 2 +a b +a b, onde lembra-se que a i b, Utilizando-se divisões inteiras (/3 = 3, resto 2), divide-se N b por b, obtendo-se: N b = N b b = a n b n 2 +a n 2 b n 3 + +a 2 b +a b, restoa. Ou seja, o resto da divisão inteira de N b por b é igual ao dígito menos significativo do número escrito na base b. Repetindo-se a operação de divisão: N b = N b b = a n b n 3 +a n 2 b n 4 + +a 2 b, resto a. e assim por diante. Esta operação é feita até que o resultado da divisão seja menor que b, que será o último resto da divisão, e portanto o valor do dígito mais significativo. Portanto, para converter um número inteiro positivo da base para a base b, basta fazer divisões inteiras sucessivas por b. Os restos das divisões são os dígitos do número na base b.

3 Sistemas numéricos 5 Exemplos O número 8 na base, convertido para a base 2, seria: Portanto: 8 2 = 9,resto a = 9 2 = 4,resto a = 4 2 = 2,resto a 2 = 2 2 =,resto a 3 = 2 =,resto a 4 = 8 = 2 = Convertendo o número 8 da base para a base 3: Portanto: 8 3 = 6,resto a = 6 3 = 2,resto a = 2 3 =,resto 2 a 2 = 2 Sistemas numéricos 6 Conversão da base para uma base b Parte fracionária Seja um número fracionário escrito na base b: N b = a b +a 2 b 2 +a 3 b 3 +a 4 b 4 + Ao multiplicar N b por b, fica-se com: N b b = a +a 2 b +a 3 b 2 +a 4 b 3 + Ou seja, o resultado tem uma parte inteira (a ) e uma parte fracionária. Portanto, a parte inteira é o valor do dígito logo após o ponto decimal: a. Repetindo-seaoperação, toma-seapartefracionáriade(n b b) e multiplica-se por b novamente, obtendo-se o dígito a 2, e assim sucessivamente. 8 = 2 3 = 2 3 2

4 Sistemas numéricos 7 Exemplos O número.75 na base, convertido para a base 2, seria: Portanto:.75 2 =.5 a =.5 2 =. a 2 =.75 =. 2 = Convertendo o número.75 da base para a base 3:.75 3 = 2.25 a = =.75 a 2 =.75 3 = 2.25 a 3 = =.75 a 4 = e portantoresultanuma dízima, eonúmero.75não temuma representação exata na base 3 (se for utilizado um número finito de dígitos): Sistemas numéricos 8 Conversão de base Parte inteira: resto das divisões sucessivas (divisão inteira) Parte fracionária: multiplicações sucessivas (parte inteira da multiplicação e mantém a parte fracionária) Para converter de uma base b para uma base b 2 deve-se, de forma geral, converter para a base e depois para a outra base Há relação direta entre algumas bases, por exemplo, da base 2 para a base 8 ou base 2 para base 6 Bases importantes Base 2 - Binária Base 8 - Octal dígitos: a 7 Base 6 - Hexadecimal.75 = = Se usarmos apenas três dígitos após o ponto decimal, fica-se com a aproximação:.22 3 = = ou seja, há um erro na representação.

5 Sistemas numéricos 9 Base Hexadecimal Há 6 dígitos possíveis: de a 5 ; De a 9 os dígitos hexa são os próprios números arábicos; De a 5, utilizam-se as letras de A a F; Dois dígitos hexadecimais formam um Byte (oito bits); É uma forma mais compacta de representar uma sequência de bits. A representação de um número na base hexadecimal também pode ser feita usando um sufixo h ou H: A8 6 = A8h = A8H Em algumas linguagens de programação, um número na base hexadecimal pode ser representado com o prefixo x: A8 6 = xa8 Sistemas numéricos Base Hexadecimal decimal hexadecimal binário A B 2 C 3 D 4 E 5 F

6 Sistemas numéricos Exercícios Faça as seguintes conversões entre bases:.. da base 2 para a base ; da base para base 2; da base 4 para a base 3; 4. AF.8 da base 6 para a base ; 5. AF.8 da base 6 para a base 2. Sistemas numéricos 2 Códigos As bases seguem uma lei de formação dos números. Se um número está escrito em determinada base, saberemos seu valor. Pode-se utilizar também códigos, que não necessariamente precisam seguir uma lógica para representar os números. Alguns códigos de interesse: BCD - Binary-coded decimal Dígitos da base ( a 9) codificados em 4 bits; Gray - muda apenas um bit entre representações adjacentes; ASCII - código que representa letras, números e comandos/controle; Códigos detectores/corretores de erros - adicionam bits à informação original para aumentar a confiabilidade na transmissão da informação.

7 Sistemas numéricos 3 Código BCD BCD- Binary-Coded Decimal(Decimal Codificado em Binário); Codifica os dígitos decimais ( a 9) em binário; São necessários 4 bits para representar os dígitos de a 9: decimal BCD Portanto, das 6 possibilidades de representação com 4 bits, apenas são usadas. Há uma menor eficiência no uso de memória (bits). É útil para mostrar valores numéricos em displays, por exemplo. Sistemas numéricos 4 Código BCD Para números maiores que 9 (compare a quantidade de bits em cada caso): decimal BCD binário

8 Sistemas numéricos 5 Código de Gray É um código no qual há mudança de apenas um bit entre um número e o número adjacente; Para três bits: decimal binário Gray Na prática é difícil fazer com que os bits mudem exatamente no mesmo instante; Mudar apenas um bit de cada vez pode levar a menor taxa de erros; Algumas aplicações: Codificação em comunicações digitais para reduzir taxa de erro; Codificação de posição (encoder) Solução ótima da Torre de Hanoi. Sistemas numéricos 6 Cógigo de Gray Encoder de posição; Exemplo para 8 posições (na prática são mais, para aumentar a resolução); Na mudança da posição 3 para a 4, se fosse usada a representação binária (base 2), dever-se-ia mudar de para, ou seja, três bits deveriam mudar simultaneamente; Isso é bem difícil de ocorrer na prática, e poderia ocorrer - -, ocasionando erros na identificação da posição do motor.

9 Sistemas numéricos 7 Código ASCII ASCII- American Standard Code for Information Interchange; Código que representa caracteres(letras, números) e comandos (enter, espaço, fim de linha, etc.); Utiliza 7 bits para representar 256 caracteres e comandos; Sistemas numéricos 8 Código ASCII Por exemplo, para codificar a palavra: Unesp Em hexadecimal: 55 6E Em binário: b7 b6 b5 BITS b4 b3 b2 b ASCII CONTROL CODE CHART CONTROL NUL SOH 2 STX ETX EOT ENQ ACK BEL BS 8 9 HT 9 LF A 2 VT B 3 2 FF C 4 3 CR D 5 4 SO E 6 5 SI F 7 6 DLE 2 7 DC 2 8 DC DC DC NAK SYN ETB CAN EM SUB A ESC B FS C GS D 35 3 RS E 36 3 US F 37 LEGEND: 32 SP SYMBOLS NUMBERS ! # $ % & ( ) * 2A B 53 44, 2C D E / 2F 57 dec CHAR hex oct : 3A ; 3B 73 6 < 3C 74 6 = 3D > 3E 76 63? 3F UPPER 4 65 A 4 66 B C D E F G H I J 4A 2 75 K 4B 3 76 L 4C 4 77 M 4D 5 78 N 4E 6 79 O 4F 7 8 P Q R S T U V W X Y Z 5A 32 9 [ 5B \ 5C ] 5D ˆ 5E F LOWER CASE a b c d e f g h i j 6A 52 7 k 6B 53 8 l 6C 54 9 m 6D 55 n 6E 56 o 6F 57 2 p q r s t u v w x y z 7A { 7B C } 7D E DEL 7F 77 Victor Eijkhout Dept. of Comp. Sci. University of Tennessee Knoxville TN 37996, USA

10 Sistemas numéricos 9 Códigos Detectores e Corretores de Erros Transmissão de dados digitais - suscetíveis a ruído; Existe a opção de adicionar bits à mensagem original para detectar e/ou corrigir erros Sistemas numéricos 2 Bit de Paridade No caso mais simples: um bit adicionado a cada certo número de bits; Paridadepar: obitadicionadoéou,deformaqueonúmero total de s seja par (contando com o próprio bit de paridade); Paridade ímpar: idem ao caso anterior, mas o número total de s é ímpar. Suponha que se deseje transmitir a palavra Unesp. os bits originais seriam: Poderiam ocorrer erros em determinados bits, e, por exemplo, o sinal recebido seria: Nesse caso, o dado decodificado seria: Ej%{p

11 Sistemas numéricos 2 Bit de Paridade Considerando agora um bit de paridade par (a cada 7 bits, inclui-se um bit na posição à esquerda do bit mais significativo da mensagem original), o código enviado seria: Se ocorressem erros nos mesmos bits, estes seriam detectados. No primeiro caractere, se a sequência de bits recebida fosse: O erro seria detectado pois agora há um número ímpar de s, e, neste caso, pode-se descartar o dado e pedir que seja retransmitido. Para um bit de paridade, não se detecta um número par de erros. Sistemas numéricos 22 Unidades Byte (B) = 8 bits Unidade SI Valor Unidade IEC Valor kb - kilobyte 3 Bytes KiB - kibibyte 24 = 2 Bytes MB - megabyte 6 Bytes MiB - mebibyte (24) 2 = 2 2 Bytes GB - gigabyte 9 Bytes GiB - gibibyte (24) 3 = 2 3 Bytes TB - terabyte 2 Bytes TiB - tebibyte (24) 4 = 2 4 Bytes PB - petabyte 5 Bytes PiB - pebibyte (24) 5 = 2 5 Bytes EB - exabyte 8 Bytes EiB - exbibyte (24) 6 = 2 6 Bytes ZB - zettabyte 2 Bytes ZiB - zebibyte (24) 7 = 2 7 Bytes YB - yottabyte 24 Bytes YiB - yobibyte (24) 8 = 2 8 Bytes * - SI - Sistema Internacional de Unidades * - IEC - International Electrotechnical Comission