Sistemas Digitais Representação Digital de Informação

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1 Sistemas Digitais Representação Digital de Informação João Paulo Baptista de Carvalho

2 Representação de números em Base b Base 10: = 4 x x x 1 = 4 x x x 10 0 O número resulta da soma de sucessivas potências de 10, cada uma pesada pelo valor do algarismo correspondente Uke2011 Sistemas Digitais 2

3 Representação de números em Base b (II) O mesmo pode ser feito para qualquer base. Por exemplo: Base 7: = 1 x x x = 1 x x x = é uma forma alternativa de representar Uke2011 Sistemas Digitais 3

4 Representação de números em Base b (III) Pode representar-se qualquer número inteiro N em qualquer base b: N = p n 1 b n 1 + p n 2 b n p 1 b 1 + p 0 b 0 N = n 1 j =0 p j b j Para a representação de números numa base b, não podem ser utilizados algarismos p de valor igual ou superior a b Uke2011 Sistemas Digitais 4

5 Conversão entre números de base b para base 10 Já se mostrou como se faz: = 1 x x x = 1 x x x = = 2 x x = E como fazer a conversão inversa? Uke2011 Sistemas Digitais 5

6 Conversão entre números de base 10 para base b Método das divisões sucessivas N = p n 1 b n 1 + p n 2 b n p 1 b 1 + p 0 b 0 N b = ( p n 1 b n 2 + p n 2 b n p 1 b 0 ) + p 0 b0 b = ( p n 1 b n 2 + p n 2 b n p 1 b 0 ) + p 0 b O resto da divisão de N por b, é p 0 O resto da divisão do resultado anterior por b, é p 1...e assim sucessivamente até se obter p n-1 Uke2011 Sistemas Digitais 6

7 Conversão entre números de base 10 para base b (II) Método das divisões sucessivas (exemplo): =? 5 p 0 = 3 p 1 = 4 p 2 = 0 p 3 = = = = = = Uke2011 Sistemas Digitais 7

8 Conversão entre números de base 10 para base 2 Método das divisões sucessivas (exemplo): =? 2 p 0 = 0 p 1 = 0 p 2 = 1 p 3 = 0 p 4 = = Uke2011 Sistemas Digitais 8

9 Base 2 Números binários Em computadores e outros sistemas digitais, a representação de números está limitada a 2 valores diferentes (normalmente representados pela diferença de tensão eléctrica entre 2 pontos de um circuito electrónico) 0, Low, L, 0V 1, High, H, +5V Assim, num sistema digital um número inteiro é representado por uma sequência de algarismos binários, ou bits (Binary digit) = 1x2 5 +1x2 4 +0x2 3 +1x2 2 +0x2 1 +1x2 0 = = Uke2011 Sistemas Digitais 9

10 Uke2011 Sistemas Digitais 10

11 Base 2 Números binários (II) Decimal Binário Uke2011 Sistemas Digitais 11

12 Números fraccionários em base 2 Exemplo: N = p 1 b 1 + p 2 b p n b n = 1 x x x x 2-6 = = E como fazer a conversão inversa? Multiplicações sucessivas por 2 e aproveitar a parte inteira do resultado = 0.p -1 p -2 p -3 p Na realidade: -n x 2 = 1.254; p -1 = 1 2 = Dado que não se deve x 2 = 0.508; p -2 = 0 acrescentar precisão ao... número original, = p 2 7, 2 p [log ], p=2 Uke2011 Sistemas Digitais 12

13 Números em bases potências de 2 É difícil para um humano trabalhar em binário dadas as sequências bastante longas de 0 e 1 Ex: 153, = , As bases que são potências de 2 permitem uma representação condensada da base 2 com as quais a conversão é muito rápida As bases 8 (octal) e principalmente a base 16 (hexadecimal) são as mais comuns Decimal Octal / Hexadecimal Decimal A B C D E F Hexadecimal Uke2011 Sistemas Digitais 13

14 Conversões para Hexadecimal 4A6F 16 = 4 x x x = 4 x x x = A6F 16 =? 2 (16 = 2 4 ) A 6 F Binario Hexadecimal Binario Hexa(decimal) =? 2 (8 = 2 3 ) A (10) B (11) C (12) D (13) E (14) F (15) Uke2011 Sistemas Digitais 14

15 Somas em Base 2 e 16 Semelhantes às somas em decimal: Uke2011 Sistemas Digitais 15

16 Multiplicações em Base 2 e 16 Uke2011 Sistemas 0111 Digitais F (15) 16 Binario Hexadecimal Binario Hexa(decimal) A (10) B (11) C (12) D (13) E (14)

17 E as subtrações? Semelhantes às subtrações em decimal... Mas será que vocês sabem fazer subtrações em decimal? É necessário utilizar módulo e sinal: o número de maior módulo tem que ficar sempre no numerador e caso o resultado seja um número negativo tem que se acrescentar ao resultado o sinal 17

18 Representação e Aritmética de Números com Sinal A representação de números inteiros tem de ter em conta que os números podem ser positivos, negativos ou o número 0 Uma das alternativas é a representação por módulo e sinal, em que o bit mais significativo indica o sinal: Se esse bit for 1 o número é negativo; Se for 0 é positivo Exemplo para números de 4 bits: Representação Número representado Representação Número representado Uke2011 SD - Circuitos Aritméticos 18

19 Representação por módulo e Sinal Inconvenientes: Duas representações diferentes para o zero; O módulo e o sinal são processados de forma diferente; É necessário escolher a operação a realizar de acordo com a operação desejada e o sinal dos números envolvidos. Por exemplo: Se pretendermos fazer a operação (+5) + (-3) o que é realmente necessário fazer é a subtracção 5-3 ficando o sinal positivo; Se o problema for realizar (-5) + (+3) então há que realizar também uma subtracção mas do módulo do número negativo menos o do positivo sendo o resultado um número negativo. Obviamente tudo isto complica a realização das operações e consequentemente dos circuitos que tenham que realizar essas operações Uke2011 SD - Circuitos Aritméticos 19

20 Representação em Complemento para 2 Chama-se complemento para 2 de um número x de n bits, ao resultado da operação 2 n x Por exemplo, o complemento para 2 de 0110 é: Se um número x tem n bits, então o seu complemento para 2 é representado por n bits O complemento para 2 do complemento para 2 de um número x, é x: 2 n - (2 n x) = x Formas alternativas de encontrar o complemento para 2 de um número x: Inverter todos os bits de x e somar 1 ao resultado 0110 è 1001 è = 1010 Manter todos os 0 s menos significativos e ainda o 1 menos significativo de x, e inverter os restantes bits mais significativos 0110 è xx10 è 1010 Uke2011 SD - Circuitos Aritméticos 20

21 Representação de números com sinal em Complemento para 2 Na representação de números com sinal em complemento para 2, o bit mais significativo do número também indica o sinal: Se for 1 o número é negativo; Se for 0 é positivo. Na representação de números com sinal em complemento para 2: Um número positivo é representado pelo seu módulo; Um número negativo é representado pelo complemento para 2 do seu módulo. Por exemplo: O número +6 é representado em notação de complemento para 2 com 4 bits por 0110; O número -6 é representado por 1010, pois: 6 = 0110 complementando bit a bit, = 1010 = -6 Repare-se que ao calcular o complemento para 2 de um número positivo de n bits se obtém automaticamente o bit de sinal a 1 Uke2011 SD - Circuitos Aritméticos 21

22 Representação de números com sinal em Complemento para 2 (II) Os 16 números possíveis de representar em complemento para 2 com 4 bits são os seguintes: O intervalo representado é [-2 n-1, +2 n-1-1] Com 4 bits: [-8,+7] A razão da assimetria entre o total de número de positivos e o de negativos radica na necessidade de representar o 0 e de não ter duas representações para o Uma forma alternativa para calcular o valor de um número negativo em complemento para 2 consiste em dar peso negativo ao bit mais significativo quando se faz a conversão para decimal. E.g.: 1010 = -1x2 3 +0x2 2 +1x2 1 +0x2 0 = -8+2 = 6 i.e., 1010 corresponde a -6 Uke2011 SD - Circuitos Aritméticos 22

23 Representação de números com sinal em Complemento para 2 (III) Com esta representação, pode operar-se sobre os números sem ter que tomar em consideração qualquer particularidade relacionada com o sinal de cada um deles. Exemplos: Soma de 2 positivos (+2) + (+5) = Soma de 1 positivo com 1 negativo com resultado negativo (+2) + (-5) = Soma de 2 negativos (-2) + (-5) = Soma de 1 positivo com 1 negativo com resultado positivo Ignora-se o transporte porque sai dos 4 bits utilizados na representação (+5) + (-3) = Uke2011 SD - Circuitos Aritméticos 23

24 Representação de números com sinal em Complemento para 2 (IV) Quando a operação envolve 2 números com o mesmo sinal, é possível que o resultado não possa ser representado com o número de bits disponível. A esta situação chama-se OVERFLOW Por exemplo, = 9, que não é representável com 4 bits em notação de complemento para 2 com sinal: O resultado é incoerente pois é um número negativo: (-7) O overflow nunca ocorre em operações entre números com sinal contrário. Prova-se que o overflow ocorre sempre que o transporte do último bit é diferente do transporte do penúltimo bit Uke2011 SD - Circuitos Aritméticos 24

25 Códigos Até agora viu-se como é possível representar números inteiros e fraccionários utilizando simplesmente 0 s e 1 s (bits) No entanto, para além dos números, existem muitos mais tipos de informação que necessitam ser tratados num sistema digital O caso mais óbvio é a representação de texto... Uke2011 Sistemas Digitais 25

26 Codificação A solução para a representação de um determinado tipo de informação é a sua codificação utilizando os bits que forem necessários Exemplo: Pretende-se representar o andar em que se encontra um elevador num prédio de 6 pisos. São necessários pelo menos 3 bits Comprimento do código Andar Codificação 2ª Cave 000 1ª Cave 001 R/C 010 1º Andar 011 2º Andar 100 3º Andar 101 Palavra do código Uke2011 Sistemas Digitais 26

27 Codificação Para que um código seja válido apenas é necessário que não existam configurações repetidas De resto, a escolha das codificações é livre e pode depender dos mais diversos critérios Andar Codificação1 Codificação 2 Codificação 3 2ª Cave 000 1ª Cave 001 R/C 010 1º Andar 011 2º Andar 100 3º Andar Uke2011 Sistemas Digitais 27

28 Códigos Numéricos O código numérico mais simples consiste na representação de um número inteiro por uma palavra de código que é a sua representação em binário. Se cada palavra tem um comprimento constante, o código denomina-se Código Binário Natural (CBN) Número CBN de 4 bits Número CBN de 4 bits Uke2011 Sistemas Digitais 28

29 Códigos Numéricos - BCD O código BCD Binary Coded Decimal, permite representar cada dígito de um número decimal pelo seu equivalente binário: Número BCD Exemplo: 27 (10) = (BCD) 2 7 De notar que não existe correspondência entre BCD e base 2: 27 (10) = (2) (BCD) = 27 (10) (2) = 39 (10) Uke2011 Sistemas Digitais 29

30 Códigos Reflectidos Código Binário Reflectido ou código de Gray: números sucessivos são codificados por palavras que diferem apenas um bit entre si Número CBR de 3 bits Uke2011 Sistemas Digitais 30

31 Códigos Alfanuméricos Representação de texto.ex: Código ASCII (American Standard Code for Information Exchange) 7 bits b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b NUL DLE SP P ` p 0001 STH DC1 1 A Q a q 0010 STX DC2 " 2 B R b r 0011 ETX DC3 # 3 C S c s 0100 EOT DC4 $ 4 D T d t 0101 ENQ NAK % 5 E U e u 0110 ACK SYN & 6 F V f v 0111 BEL ETB ' 7 G W g w 1000 BS CAN ( 8 H X h x 1001 HT EM ) 9 I Y i y 1010 LF SUB * : J Z j z 1011 VT ESC + ; K [ k { 1100 FF FS, < L \ l 1101 CR GS - = M ] m } 1110 SO RS. > N ^ n ~ 1111 SI US /? O _ o DEL Uke2011 Sistemas Digitais 31

32 Código ASCII Em ASCII, a letra A é codificada como Em ASCII, Sistemas Digitais codifica-se como É preferível codificar o ASCII em hexadecimal: Sistemas Digitais = 53h 69h 73h 74h 65h 6Dh 61h 73h 20h 44h 69h 67h 69h 74h 61h 69h 73h...mas é igualmente possível codificar em decimal: A = b = 41h = 65d De notar que o ASCII não contém caracteres comuns em Português como por exemplo ç... Uke2011 Sistemas Digitais 32

33 Extensões ao Código ASCII ISO : Extensão do Código ASCII a 8 bits que permite representar os caracteres próprios existentes nas línguas da Europa Ocidental, como por exemplo ç, ñ, å, ø,, etc. UNICODE: Extensão a 16 bits que pretende codificar todos os caracteres de todas as línguas mantendo a compatibilidade com o ASCII Uke2011 Sistemas Digitais 33

34 Bits, bytes, ks,... 0, 1 são bits A um conjunto de 8 bits chama-se byte A um conjunto de 4 bits chama-se nibble (cada algarismo BCD é um nibble) À unidade mínima processada por um sistema digital chama-se palavra (word) por exemplo, o processador Intel 8080 tem palavras de 8 bits, o processador Motorola processa palavras de 16 bits, o Pentium palavras de 32 bits, o Core i7 palavras de 64 bits, etc. Os sistemas digitais necessitam de grandes quantidades de bits para representar informação, sendo por isso comum utilizar múltiplos como kbyte=2 10 =1024bytes, Mbyte=2 20 bytes, Gbyte=2 30 bytes, etc. Uke2011 Sistemas Digitais 34

35 Bibliografia Arroz,G., Monteiro,J.C., Oliveira,A., Arquitectura de Computadores Dos Sistemas Digitais aos Microprocessadores, Capítulo 1, 2ª Edição, IST Press, 2009 Sêrro,C. Sistemas Digitais: Fundamentos Algébricos, IST Press, 2003 Uke2011 Sistemas Digitais 35