Objetivo. Sistemas de Numeração e Códigos. Apresentar técnicas de representação e converção de números em diversos sistemas de numeração.

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1 Sistemas de Numeração e Códigos Raul Queiroz Feitosa Objetivo Apresentar técnicas de representação e converção de números em diversos sistemas de numeração. 2 1

2 Conteúdo Introdução Conversão da base 10 Conversão para a base 10 Conversão entre as bases 2, 8 e 16 Adição Binária Números Negativos Complemento de 2 Códigos 3 Introdução Um número na base 10, p.ex., 7419 constitui uma representação compacta de

3 Introdução De modo análogo, um número na base 2, p.ex., N= constitui uma representação compacta de = = 53 (decimal) 5 Conteúdo Introdução Conversão da base 10 Conversão para a base 10 Conversão entre as bases 2, 8 e 16 Adição Binária Números Negativos Complemento de 2 Códigos 6 3

4 Conversão da base 10 Para converter o número inteiro N dado na base 10 para a base b, divida sucessivamente por b, N b r 0 N 0 b r 1 N 1 b Nn-1 b r n 0 parada e tome os restos de baixo para cima (N) 10 = ( r n r 1 r 0 ) b 7 Conversão da base 10 Exercício 1: Converta o número para a base 2 e para a base 8. Exercício 2: Converta o número para a base 16 usando para os valores 10, 11, 12, 13, 14, 15 os símbolos A, B, C, D, E, F, respectivamente. 8 4

5 Conversão da base 10 Para converter o número N na base 10 com parte inteira e fracionária para a base b: a) Separe a parte inteira da fracionária b) Transforme a parte inteira como indicado anteriormente c) Multiplique sucessivamente a parte fracionária por b, subtraindo do resultado a parte inteira até alcançar a precisão desejada d) Tome os subtraendos para formar a parte fracionária na ordem direta e) Concatene a parte fracionária e inteira 9 Conversão da base 10 Exemplo : Converter o número 653,61 10 para a base 2 0,61 2 = 1,22 0,22 2 = 0,44 1 0,42 2 = 0,88 0 0,88 2 = 1, Resposta: 653,61 10 = , do exercício anterior 10 5

6 Conversão da base 10 Exercício 3: Converta o número 63,75 10 para a base 2 com 4 dígitos de precisão Exercício 4: Converta o número 13,78 10 para a base 2 com 4 dígitos de precisão 11 Conteúdo Introdução Conversão da base 10 Conversão para a base 10 Conversão entre as bases 2, 8 e 16 Adição Binária Números Negativos Complemento de 2 Códigos 12 6

7 Conversão para a base 10 Seja N b =A n A 1 A 0 A -1 A -2 um número dado na base b. Para converter para a base 10 basta calcular: N 10 =A n b n + +A 1 b 1 + A 0 b 0 + A -1 b -1 + A -2 b Conversão para a base 10 Exercício 5: Converta o número F,21 16 para a base 10 Exercício 6: Converta o número 1011,11 2 para a base

8 Conversão para a base 10 Procedimento prático para conversão de números da base 2 para base 10: a) Coloque as potências de 2 nas posições correspondentes N 2 = , b) Some as potências correspondentes ao dígito 1 N 10 = ,5+0,25 = 41,75 15 Conversão para a base 10 Exercício 7: Converta o número 11011,01 2 para a base 10, usando o procedimento proposto no slide anterior 16 8

9 Conteúdo Introdução Conversão da base 10 Conversão para a base 10 Conversão entre as bases 2, 8 e 16 Adição Binária Números Negativos Complemento de 2 Códigos 17 Conversão entre as bases 2, 8 e 16 Note que cada dígito octal/hexadecimal corresponde a 3/4 dígitos binários, conforme abaixo: A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F octal hexadecimal 18 9

10 Conversão entre as bases 2, 8 e 16 Um procedimento prático consiste em converter pacotes de dígitos binários de tamanho correspondente partindo da vírgula em 1 dígito octal/hexadecimal. Exemplo: , , B, 4 19 Conversão entre as bases 2, 8 e 16 Exercício 8: Converta o número ,01 2 para as bases 8 e 16. Cheque o resultado fazendo a conversão inversa. Se necessário, concatene zeros à esquerda/direita

11 Conteúdo Introdução Conversão da base 10 Conversão para a base 10 Conversão entre as bases 2, 8 e 16 Adição Binária Números Negativos Complemento de 2 Códigos 21 Adição binária Note que há 4 casos básicos na adição 0 0 transporte 0 0 transporte 1 0 transporte 1 1 transporte zero 1 um 1 dois 1 s três 1 s 22 11

12 Adição binária Exercício 9: Realize a adição dos termos abaixo na base 2. Converta cada termo e o resultado obtido para base 10 e verifique a correição do resultado Conteúdo Introdução Conversão da base 10 Conversão para a base 10 Conversão entre as bases 2, 8 e 16 Adição Binária Números Negativos Complemento de 2 Códigos 24 12

13 Números negativos Complemento de 2: O bit mais significativo representa o sinal, os demais a magnitude. Para o complemento de 2 de um número: a) Escreva o módulo número negativo na base 2, b) Complemente todos os bits, c) Some 1 ao resultado. Para determinar o módulo de um número em complemento de 2: Use o mesmo procedimento. 25 Números negativos Exemplo: Escreva o número em 8 bits em complemento de = =

14 Números negativos Exemplo: Determine o valor decimal do número binário abaixo dado em complemento de = Números negativos Exercício 10: Realize a subtração dos números abaixo, somando o minuendo ao complemento de 2 do subtraendo. ( ) 2 ( ) 2 Converta os números para base 10 de verifique a correição do resultado

15 Números negativos Exercício 11: Realize a subtração dos números abaixo, somando o minuendo ao complemento de 2 do subtraendo. ( ) 2 ( ) 2 Converta os números para base 10 de verifique a correição do resultado. 29 Números negativos Exercício 12: Realize a subtração dos números abaixo, somando o minuendo ao complemento de 2 do subtraendo. ( ) 2 ( ) 2 Converta os números para base 10 de verifique a correição do resultado

16 Números negativos Exercício 13: Realize a subtração dos números abaixo, somando o minuendo ao complemento de 2 do subtraendo. ( ) 2 ( ) 2 Converta os números para base 10 de verifique a correição do resultado. 31 Observações: Com n dígitos binários (bits) podem-se escrever 2 n valores inteiros sem sinal distintos, especificamente, { n }, ou seja, com 8 bits podem-se escrever 256 números: { }={ }

17 Observações: Com n dígitos binários (bits) podem-se escrever 2 n valores inteiros com sinal distintos, especificamente, {-2 n n-1-1}, ou seja, com 8 bits podem-se escrever 256 números: { }={ }. 33 Conteúdo Introdução Conversão da base 10 Conversão para a base 10 Conversão entre as bases 2, 8 e 16 Adição Binária Números Negativos Complemento de 2 Códigos 34 17

18 Código BCD Cada dígito decimal é representado por seu equivalente binário em 4 bits. Exemplo : (decimal) Exemplo : (decimal) Exercício 14: Converta os números BCD ( )2 e ( ) 2 nos correspondentes decimais. 35 Código Gray Motivação: Considere um cabo de veias paralelas que transportam o valor binário de um contador de 3 bits. Quando a contagem passa de 3 para erros 36 18

19 Código Gray Definição: Só um bit se altera entre dois números consecutivos. Exemplo: Código de Gray de 3 bits 37 Código BCD Transformação binário para Gray 38 19

20 Representações Binárias Relações: 39 Bytes, Nibbles e Palavras A maioria dos microcomputadores manipulam e armazenam informações e dados binários em grupos de 8 bits. Oito bits equivale a 1 byte. Números binários frequentemente são divididos em grupos de 4 bits. Como um grupo de 4 bits é a metade de um byte, ele foi nomeado nibble. Uma palavra é um grupo de bits que representa uma determinada unidade de informação. O tamanho da palavra pode ser definido como o número de bits na palavra binária em que um sistema digital opera. O tamanho da palavra de um PC é de 8 bytes (64 bits)

21 Códigos Alfanuméricos O código alfanumérico representa todos os caracteres e as funções encontrados em um teclado de computador: 26 letras minúsculas e 26 maiúsculas, 10 dígitos, 7 sinais de pontuação, de 20 a 40 outros caracteres. O código alfanumérico mais utilizado é o ASCII - American Standard Code for Information Interchange (Código Padrão Americano para Intercâmbio de Informações). Trata-se de um código de 7 bits: 2 7 = 128 possíveis grupos de código. Pode ser utilizado para transferir informações entre computadores, entre computadores e impressoras e para armazenamento interno. 41 Código ASCII American Standard Code for Information Interchange (Código Padrão Americano para Intercâmbio de Informações) 42 21

22 Paridade para Detecção de Erros O ruído elétrico pode causar erros durante a transmissão. Flutuações espúrias na tensão ou circulação aparecem em todos os sistemas eletrônicos. Muitos sistemas digitais empregam métodos para detecção de erros e, por vezes, para a correção. Um dos sistemas mais simples e mais utilizados para detecção de erros é o Método de Paridade. 43 Paridade para Detecção de Erros O método de paridade de detecção de erros requer a adição de um bit extra (bit de paridade) para um grupo de códigos. O bit de paridade pode ser um 0 ou 1, dependendo do número de 1s no grupo de código. Existem dois métodos de paridade: par e ímpar. O transmissor e o receptor devem "concordar" sobre o tipo de verificação de paridade utilizado. O método de paridade PAR parece ser o mais utilizado

23 Paridade para Detecção de Erros Método de paridade PAR o número total de bits em um grupo, incluindo o bit de paridade, deve ser um número par. O grupo binário exigiria a adição de um bit de paridade 1, tornando o grupo Aplicação Comunicação serial assíncrona. O primeiro bit deve sempre ser um bit de início (lógica 0). Código ASCII é enviado primeiro por LSB e MSB por último. Após o MSB, um bit de paridade é acrescentado para verificar erros de transmissão. A transmissão termina ao enviar um bit de parada (lógica 1)

24 Aplicação Exercício: Represente abaixo como baria a tensão numa linha de transmissão assíncro quando se transmite a mensagem alo. Indique na figura a que corresponde cada grupo de bits tempo 47 Fim 48 24