Superfícies Quadriculadas

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1 Superfícies Quadriculadas Carlos Matheus CNRS, LAGA, Université Paris 13, Villetaneuse, França ( math.univ-paris13.fr) 4 de março de 2011

2 Sumário Introdução 1 Introdução Definição Exemplos Codificação via pares de permutações 2 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande 3 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador

3 Superfícies Quadriculadas Definição Exemplos Codificação via pares de permutações Definição Uma superfície quadriculada ou origami é uma coleção finita de quadrados unitários do plano cujos lados são identificados/colados por translações. Aqui, cada lado esquerdo de um quadrado é colado com o lado direito de um quadrado, e cada lado de baixo de um quadrado é colado com o lado no alto de um quadrado.

4 Exemplo 1 Introdução Definição Exemplos Codificação via pares de permutações O toro (quadrado e normalizado) é a superfície quadriculada obtida tomando-se um único quadrado e identificando seus lados por translações.

5 Exemplo 1 Introdução Definição Exemplos Codificação via pares de permutações O toro pode ser visto como uma superfície no espaço assim:

6 Exemplo 1 Introdução Definição Exemplos Codificação via pares de permutações O toro pode ser visto como uma superfície no espaço assim: Por constituir de apenas um quadrado, o toro normalizado é o origami mais simples.

7 Exemplos 2 e 3 Introdução Definição Exemplos Codificação via pares de permutações L com 3 quadrados e a Cruz Suíça:

8 Exemplos 2 e 3 Introdução Definição Exemplos Codificação via pares de permutações Como superfície no espaço, a Cruz Suíça pode ser representada assim:

9 Exemplo 4 (toro disfarçado) Definição Exemplos Codificação via pares de permutações Como acabamos de ver, quando aumentamos o número de quadrados, a complexidade (gênero) do origami tende a crescer. Entretanto, nem sempre esse é o caso:

10 Definição Exemplos Codificação via pares de permutações Como calcular o gênero de um origami? O exemplo do toro disfarçado diz que o gênero de uma superfície quadriculada não é determinado somente pela quantidade de quadrados.

11 Definição Exemplos Codificação via pares de permutações Como calcular o gênero de um origami? O exemplo do toro disfarçado diz que o gênero de uma superfície quadriculada não é determinado somente pela quantidade de quadrados. Para expressar o gênero de uma superfície quadriculada, precisamos primeiramente de uma boa codificação.

12 Pares de permutações Definição Exemplos Codificação via pares de permutações Uma maneira simples de codificar um origami é através de um par de permutações h,v S N onde: N é o número de quadrados do origami; h(i) é o vizinho à direita do quadrado i; v(i) é o vizinho em cima do quadrado i.

13 Pares de permutações Definição Exemplos Codificação via pares de permutações Uma maneira simples de codificar um origami é através de um par de permutações h,v S N onde: N é o número de quadrados do origami; h(i) é o vizinho à direita do quadrado i; v(i) é o vizinho em cima do quadrado i. Observação Técnica: Vamos sempre assumir que as permutações h e v atuam transitivamente no conjunto de quadrados {1,..., N}. Geometricamente, isto corresponde a supor que os origamis estão associados a superfícies conexas.

14 Codificando o origami do Exemplo 2 Definição Exemplos Codificação via pares de permutações Numerando os quadrados do Exemplo 2 assim: 3 vemos que este origami é codificado por h = (1,2)(3) e v = (1,3)(2) de S 3.

15 Convenção Introdução Definição Exemplos Codificação via pares de permutações Durante toda a palestra, as permutações serão apresentadas por seus ciclos (e iremos mesmo indicar os ciclos triviais para deixar evidente o número de quadrados do origami).

16 Definição Exemplos Codificação via pares de permutações Logicamente, a codificação de um origami por um par de permutações não é única já que sempre podemos trocar a numeração dos quadrados:

17 Definição Exemplos Codificação via pares de permutações Logicamente, a codificação de um origami por um par de permutações não é única já que sempre podemos trocar a numeração dos quadrados: 3 1 ~_

18 Definição Exemplos Codificação via pares de permutações Logicamente, a codificação de um origami por um par de permutações não é única já que sempre podemos trocar a numeração dos quadrados: 3 1 ~_ Formalmente, trocar a numeração dos quadrados é o mesmo que fazer uma conjugação simultânea, i.e., trocar o par (h,v) por (σhσ 1,σvσ 1 ).

19 Definição Exemplos Codificação via pares de permutações Como estamos mais interessados nos origamis em si do que em suas codificações particulares, vamos declarar que (h,v) (h,v ) se e somente se (h,v ) = (σhσ 1,σvσ 1 ) para algum σ.

20 Fórmula para o gênero Definição Exemplos Codificação via pares de permutações Nesses termos, o cálculo do gênero pode ser feito do seguinte modo. O comutador [h,v] = vhv 1 h 1 corresponde a dar voltas completas em torno dos vértices inferiores esquerdos dos quadrados: i

21 Fórmula para o gênero Definição Exemplos Codificação via pares de permutações Em particular, decompondo [h,v] como um produto de m ciclos não-triviais de tamanhos (d 1 + 1),...,(d m + 1), determinamos todos os pontos especiais (marcados) do origami (i.e., os pontos onde o ângulo total em torno deles é um múltiplo não-trivial de 2π).

22 Fórmula para o gênero Definição Exemplos Codificação via pares de permutações Em particular, decompondo [h,v] como um produto de m ciclos não-triviais de tamanhos (d 1 + 1),...,(d m + 1), determinamos todos os pontos especiais (marcados) do origami (i.e., os pontos onde o ângulo total em torno deles é um múltiplo não-trivial de 2π). Aplicando a sua fórmula de índice preferida (Gauss-Bonnet, Poincaré-Hopf, Riemann-Roch, etc.), segue que o gênero g do origami satisfaz a equação 2g 2 = d d m

23 Resumo da Introdução Definição Exemplos Codificação via pares de permutações Origamis são objetos simples de descrever do ponto de vista combinatório (com um par de permutações módulo conjugação simultânea) e do ponto de vista topológico (via a fórmula expĺıcita para o gênero.

24 Resumo da Introdução Definição Exemplos Codificação via pares de permutações Origamis são objetos simples de descrever do ponto de vista combinatório (com um par de permutações módulo conjugação simultânea) e do ponto de vista topológico (via a fórmula expĺıcita para o gênero. Agora vamos passar ao estudo de objetos ligeiramente mais complicados (superfícies de translação e seus espaços de módulos) através dos origamis.

25 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Definição Uma superfície de translação é uma coleção finita de poĺıgonos tal que cada lado de um poĺıgono está associado a um outro lado de um poĺıgono de modo que os pares de lados assim constituídos são sempre paralelos e a colagem por translação destes pares de lados localmente seja como indicado na figura abaixo.

26 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Observação Técnica: Como todo poĺıgono pode ser decomposto em triângulos, podemos definir (de maneira equivalente) uma superfície de translação como uma coleção finita de triângulos com lados paralelos colados por translações.

27 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Da mesma maneira que no caso dos origamis, podemos dar voltas completas em torno dos vértices dos poĺıgonos para determinar os ângulos totais 2π(d 1 + 1),...,2π(d m + 1) em torno dos pontos especiais de uma superfície de translação dada e com isso determinar o gênero (novamente pela fórmula 2g 2 = d d m ).

28 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Da mesma maneira que no caso dos origamis, podemos dar voltas completas em torno dos vértices dos poĺıgonos para determinar os ângulos totais 2π(d 1 + 1),...,2π(d m + 1) em torno dos pontos especiais de uma superfície de translação dada e com isso determinar o gênero (novamente pela fórmula 2g 2 = d d m ). Além disso, podemos usar a lista 2π(d 1 + 1),...,2π(d m + 1) dos ângulos totais em torno dos pontos especiais para organizar o conjunto das superfícies de translação.

29 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Na literatura, o conjunto T (d 1,...,d m ) de superfícies de translação com ângulos totais em torno dos pontos especiais prescritos pela lista (d 1,...,d m ) é dito um estrato do espaço de Teichmüller de superfícies de translação.

30 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Na literatura, o conjunto T (d 1,...,d m ) de superfícies de translação com ângulos totais em torno dos pontos especiais prescritos pela lista (d 1,...,d m ) é dito um estrato do espaço de Teichmüller de superfícies de translação. O conjunto T (d 1,...,d m ) admite um sistema de coordenadas natural: com efeito, a lista dos vetores do plano determinados pelos lados dos poĺıgonos essencialmente determinam localmente uma única superfície de translação no estrato. Na literatura, essas coordenadas são conhecidas como períodos da superfície de translação.

31 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Na literatura, o conjunto T (d 1,...,d m ) de superfícies de translação com ângulos totais em torno dos pontos especiais prescritos pela lista (d 1,...,d m ) é dito um estrato do espaço de Teichmüller de superfícies de translação. O conjunto T (d 1,...,d m ) admite um sistema de coordenadas natural: com efeito, a lista dos vetores do plano determinados pelos lados dos poĺıgonos essencialmente determinam localmente uma única superfície de translação no estrato. Na literatura, essas coordenadas são conhecidas como períodos da superfície de translação. Pode-se verificar que as mudanças de coordenadas entre períodos sempre são dadas por transformações afins do espaço Euclidiano R 2(2g+m 1) (onde g é o gênero e m é o número de pontos marcados).

32 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Em outras palavras, os períodos fazem de T (d 1,...,d m ) uma variedade afim de dimensão 2(2g + m 1). A importância do adjetivo afim é que, além da estrutura de variedade, ganhamos também uma noção de volume (medida de Lebesgue) de subconjuntos de superfícies de translação.

33 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Em outras palavras, os períodos fazem de T (d 1,...,d m ) uma variedade afim de dimensão 2(2g + m 1). A importância do adjetivo afim é que, além da estrutura de variedade, ganhamos também uma noção de volume (medida de Lebesgue) de subconjuntos de superfícies de translação. Por outro lado, enquanto o espaço T (d 1,...,d m ) é bem simpático, para as aplicações (tanto matemáticas quanto físicas) ele não é tão interessante: de fato, em diversos estudos, tem-se a necessidade de declarar que duas superfícies de translação são indistinguíveis quando uma pode ser obtida da outra cortando e colando (por translações) pedaços convenientes. Um exemplo disso é dado pela figura seguinte:

34 Introdução Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande > e > e > e

35 Introdução Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande > e > e > e O espaço H(d 1,...,d m ) obtido a partir de T (d 1,...,d m ) declarando que duas superfícies são iguais se uma é obtida da outra cortando e colando por translações certas pedaços é dito espaço de módulos de superfícies de translação.

36 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Observação Técnica (para os entendidos): O fato de podermos cortar e colar corresponde a trocar o nome de classes de homologia na superfície.

37 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Observação Técnica (para os entendidos): O fato de podermos cortar e colar corresponde a trocar o nome de classes de homologia na superfície. Dito de outro modo, para passar de T (d 1,...,d m ) a H(d 1,...,d m ) devemos quocientar pelo grupo modular Γ g := Dif + (M)/Dif + 0 (M) de classes de isotopia de difeomorfismos de nossa superfície de gênero g.

38 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Observação Técnica (para os entendidos): O fato de podermos cortar e colar corresponde a trocar o nome de classes de homologia na superfície. Dito de outro modo, para passar de T (d 1,...,d m ) a H(d 1,...,d m ) devemos quocientar pelo grupo modular Γ g := Dif + (M)/Dif + 0 (M) de classes de isotopia de difeomorfismos de nossa superfície de gênero g. O efeito desse quociente faz que o objeto (o espaço de módulo) resultante não seja uma variedade mas apenas um orbifold.

39 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Em muitas aplicações dos espaços de módulos, precisamos conhecer o volume de diversos subconjuntos de H(d 1,...,d m ), incluindo o volume de sua esfera unitária (na verdade, hiperbolóide unitário) H 1 (d 1,...,d m ) formado pelas superfícies de translação de área 1.

40 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Em muitas aplicações dos espaços de módulos, precisamos conhecer o volume de diversos subconjuntos de H(d 1,...,d m ), incluindo o volume de sua esfera unitária (na verdade, hiperbolóide unitário) H 1 (d 1,...,d m ) formado pelas superfícies de translação de área 1. Nesse sentido, temos o seguinte teorema: Teorema (A. Eskin, A. Okounkov e R. Pandharipande) O volume de H 1 (d 1,...,d m ) é um múltiplo racional de π 2g. Mais ainda, a função geratriz q N N=1 S H(d 1,...,d m) origami com N quadrados 1 #Aut(S) é quase-modular, i.e., um polinômio das séries de Eisenstein G 2 (q),g 4 (q) e G 6 (q).

41 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande A idéia da prova deste resultado remonta aos trabalhos M. Kontsevich e A. Zorich, e A. Eskin e A. Okounkov, não é muito complicada, apesar das dificuldades técnicas de implementação do argumento.

42 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande A idéia da prova deste resultado remonta aos trabalhos M. Kontsevich e A. Zorich, e A. Eskin e A. Okounkov, não é muito complicada, apesar das dificuldades técnicas de implementação do argumento. Com efeito, o melhor modo de entender a idéia é fazer uma analogia com o caso do espaço Euclidiano R n. Suponha que desejamos calcular aproximadamente o volume da esfera unitária por métodos relativamente elementares (sem recorrer a integrais complicadas).

43 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande A idéia da prova deste resultado remonta aos trabalhos M. Kontsevich e A. Zorich, e A. Eskin e A. Okounkov, não é muito complicada, apesar das dificuldades técnicas de implementação do argumento. Com efeito, o melhor modo de entender a idéia é fazer uma analogia com o caso do espaço Euclidiano R n. Suponha que desejamos calcular aproximadamente o volume da esfera unitária por métodos relativamente elementares (sem recorrer a integrais complicadas). Para isso, consideramos a bola B(0,R) de raio R centrada na origem e contamos a quantidade de pontos inteiros dentro desta bola, i.e., N(R) = Z n B(0,R).

44 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande

45 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Como N(R) é uma boa aproximação do volume de B(0,R) quando R é grande, vemos que o conhecimento assintótico de N(R), i.e., N(R) c(n) R n (onde c(n) é uma constante) permite calcular o volume da bola B(0,R) (a saber c(n) R n ) e o volume da esfera unitária S n 1 (1) através da fórmula: vol(s n 1 (1)) = dvol(b(0,r)) R=1 = n c(n). dr

46 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Voltando para o caso dos espaços de módulos, a idéia para calcular o volume de H 1 (d 1,...,d m ) é essencialmente a mesma: o papel dos pontos inteiros é feito pelos origamis, de modo que aproximamos o volume da bola H R (d 1,...,d m ) de superfícies de translação de área R pelo número N(R) de origamis em H(d 1,...,d m ) formados por R quadrados;

47 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Voltando para o caso dos espaços de módulos, a idéia para calcular o volume de H 1 (d 1,...,d m ) é essencialmente a mesma: o papel dos pontos inteiros é feito pelos origamis, de modo que aproximamos o volume da bola H R (d 1,...,d m ) de superfícies de translação de área R pelo número N(R) de origamis em H(d 1,...,d m ) formados por R quadrados; calculamos a assintótica N(R) c(d 1,...,d m ) R 2g+m 1 ;

48 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Voltando para o caso dos espaços de módulos, a idéia para calcular o volume de H 1 (d 1,...,d m ) é essencialmente a mesma: o papel dos pontos inteiros é feito pelos origamis, de modo que aproximamos o volume da bola H R (d 1,...,d m ) de superfícies de translação de área R pelo número N(R) de origamis em H(d 1,...,d m ) formados por R quadrados; calculamos a assintótica N(R) c(d 1,...,d m ) R 2g+m 1 ; o volume de H 1 (d 1,...,d m ) é (4g + 2m 2) c(d 1,...,d m ).

49 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Obviamente, a dificuldade da estratégia está no cálculo de N(R) e da constante c(d 1,...,d m ).

50 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Obviamente, a dificuldade da estratégia está no cálculo de N(R) e da constante c(d 1,...,d m ). Enquanto os detalhes desse cálculo fogem ao escopo da palestra, em termos grosseiros o argumento faz uso de bastante Combinatória e Teoria de Representações no sentido de contar, módulo conjugação simultânea, a quantidade de pares de permutações h,v de S N tal que os comprimentos dos ciclos não-triviais do comutador [h,v] são precisamente (d 1 + 1),...,(d m + 1).

51 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Obviamente, a dificuldade da estratégia está no cálculo de N(R) e da constante c(d 1,...,d m ). Enquanto os detalhes desse cálculo fogem ao escopo da palestra, em termos grosseiros o argumento faz uso de bastante Combinatória e Teoria de Representações no sentido de contar, módulo conjugação simultânea, a quantidade de pares de permutações h,v de S N tal que os comprimentos dos ciclos não-triviais do comutador [h,v] são precisamente (d 1 + 1),...,(d m + 1). Com efeito, como já sabemos da discussão até agora, isso corresponde a contar os origamis com N quadrados em H(d 1,...,d m ), exceto pelo fato de que estamos contando também origamis desconexos (mas é possível mostrar que isso não altera as assintóticas).

52 Superfícies de translação O teorema de Eskin, Okounkov e Pandharipande Agora vamos passar rapidamente ao estudo de uma ação natural no conjunto dos origamis.

53 SL(2, Z) e sua ação no plano Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Definição {( ) } a b SL(2, Z) = : a,b,c,d Z, ad bc = 1 é o grupo c d de matrizes 2 2 com entradas inteiras e determinante 1.

54 SL(2, Z) e sua ação no plano Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Definição {( ) } a b SL(2, Z) = : a,b,c,d Z, ad bc = 1 é o grupo c d de matrizes 2 2 com entradas inteiras e determinante 1. ( ) a b Uma matriz SL(2, Z) age no plano R c d 2 e preserva a rede inteira Z 2. Como consequência, o toro quadrado normalizado é estabilizado por SL(2, Z):

55 SL(2, Z) e sua ação no plano Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Definição {( ) } a b SL(2, Z) = : a,b,c,d Z, ad bc = 1 é o grupo c d de matrizes 2 2 com entradas inteiras e determinante 1. ( ) a b Uma matriz SL(2, Z) age no plano R c d 2 e preserva a rede inteira Z 2. Como consequência, o toro quadrado normalizado é estabilizado por SL(2, Z):

56 Grupo de Veech Introdução Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Similarmente, deixando SL(2, Z) atuar no plano, pode-se verificar que qualquer origami O é estabilizado por um subgrupo Γ(O) de índice finito de SL(2, Z).

57 Grupo de Veech Introdução Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Similarmente, deixando SL(2, Z) atuar no plano, pode-se verificar que qualquer origami O é estabilizado por um subgrupo Γ(O) de índice finito de SL(2, Z). Em outras palavras, apesar de SL(2, Z) possuir uma quantidade enumerável infinita de elementos, a SL(2, Z)-órbita de qualquer origami é finita.

58 Grupo de Veech Introdução Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Similarmente, deixando SL(2, Z) atuar no plano, pode-se verificar que qualquer origami O é estabilizado por um subgrupo Γ(O) de índice finito de SL(2, Z). Em outras palavras, apesar de SL(2, Z) possuir uma quantidade enumerável infinita de elementos, a SL(2, Z)-órbita de qualquer origami é finita. Na literatura, o estabilizador de um origami é dito grupo de Veech deste origami.

59 Grupo de Veech Introdução Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Similarmente, deixando SL(2, Z) atuar no plano, pode-se verificar que qualquer origami O é estabilizado por um subgrupo Γ(O) de índice finito de SL(2, Z). Em outras palavras, apesar de SL(2, Z) possuir uma quantidade enumerável infinita de elementos, a SL(2, Z)-órbita de qualquer origami é finita. Na literatura, o estabilizador de um origami é dito grupo de Veech deste origami. No caso do origami em L com 3 quadrados, a SL(2, Z)-órbita é composta por 3 origamis:

60 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador

61 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Um problema importante (por razões que não teremos tempo de explicar) é entender as diversas SL(2, Z)-órbitas em um estrato H(d 1,...,d m ) dado. Até o momento, o único resultado que dispomos (no melhor do meu entendimento) é o seguinte teorema em H(2):

62 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Teorema (P. Hubert e S. Lelievre, e C. McMullen) Além da SL(2, Z)-órbita do L com 3 quadrados, existem apenas dois tipos de SL(2, Z)-órbitas de origamis de H(2): quando o número de quadrados é par, tem-se apenas uma órbita; quando o número de quadrados é ímpar, tem-se apenas duas órbitas. Mais ainda, tem-se assintóticas expĺıcitas para a quantidade de origamis em cada órbita (a distribuição é quase, mas não exatemente, meio a meio).

63 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Teorema (P. Hubert e S. Lelievre, e C. McMullen) Além da SL(2, Z)-órbita do L com 3 quadrados, existem apenas dois tipos de SL(2, Z)-órbitas de origamis de H(2): quando o número de quadrados é par, tem-se apenas uma órbita; quando o número de quadrados é ímpar, tem-se apenas duas órbitas. Mais ainda, tem-se assintóticas expĺıcitas para a quantidade de origamis em cada órbita (a distribuição é quase, mas não exatemente, meio a meio). Em linhas bem gerais, a idéia da prova é utilizar argumentos geométricos (localização dos pontos de Weierstrass) para mostrar que, partindo-se de um origami qualquer, sempre podemos chegar (por uma sucessão de elementos de SL(2, Z)) a um dos seguintes origamis-modelos:

64 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador

65 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Para apreciar um pouco da dificuldade do problema de classificação das SL(2, Z)-órbitas de origamis, vamos enunciar uma versão equivalente em linguagem combinatória.

66 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Lembre-se que um origami com N quadrados é um par de permutações (h,v) S N S N módulo conjugação simultânea. Mais ainda, (h,v) origina um origami em H(d 1,...,d m ) se e só se os comprimentos dos ciclos não-triviais do comutador [h,v] são (d 1 + 1),...,(d m + 1).

67 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Lembre-se que um origami com N quadrados é um par de permutações (h,v) S N S N módulo conjugação simultânea. Mais ainda, (h,v) origina um origami em H(d 1,...,d m ) se e só se os comprimentos dos ciclos não-triviais do comutador [h,v] são (d 1 + 1),...,(d m + 1). Por exemplo, (h,v) H(2) se e só se [h,v] é um 3-ciclo.

68 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Lembre-se que um origami com N quadrados é um par de permutações (h,v) S N S N módulo conjugação simultânea. Mais ainda, (h,v) origina um origami em H(d 1,...,d m ) se e só se os comprimentos dos ciclos não-triviais do comutador [h,v] são (d 1 + 1),...,(d m + 1). Por exemplo, (h,v) H(2) se e só se [h,v] é um 3-ciclo. Logo, para traduzir o problema de classificação, basta entender como SL(2, Z) age sobre pares de permutações. Para ( isso, ) 1 0 lembramos que SL(2, Z) é gerado pelas matrizes S = e 1 1 ( ) 1 1 T =, de modo que basta calcular como S e T atuam 0 1 sobre (h,v).

69 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador

70 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador A figura acima mostra como T sobre (h,v): horizontalmente o vizinho à direita do quadrado i continua sendo h(i), mas verticalmente o vizinho em cima do quadrado i passa a ser vh 1 (i), ou seja, T(h,v) = (h,vh 1 ). Similarmente, pode-se ver que S(h,v) = (hv 1,v).

71 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador A figura acima mostra como T sobre (h,v): horizontalmente o vizinho à direita do quadrado i continua sendo h(i), mas verticalmente o vizinho em cima do quadrado i passa a ser vh 1 (i), ou seja, T(h,v) = (h,vh 1 ). Similarmente, pode-se ver que S(h,v) = (hv 1,v). Exercício: Verifique que a SL(2, Z)-órbita da cruz suíça h = (1,2,3)(4)(5), v = (1,4,5)(2)(3) possui 9 elementos.

72 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Na literatura, esse modo de agir de S e T possui um nome: transformações de Nielsen. Nessa linguagem, o problema de determinar quando dois origamis estão na mesma SL(2, Z) é equivalente a saber quando dois pares de permutações se deduzem um do outro por uma sucessão finita de transformações de Nielsen S e T módulo conjugação simultânea!

73 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Isso sugere que experimentos numéricos podem ser feitos no sentido de auxiliar nossa intuição sobre as SL(2, Z)-órbitas dos origamis em um estrato dado H(d 1,...,d m ), ao menos quando o número de quadrados é baixo e os valores de d 1,...,d m e m são pequenos.

74 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Isso sugere que experimentos numéricos podem ser feitos no sentido de auxiliar nossa intuição sobre as SL(2, Z)-órbitas dos origamis em um estrato dado H(d 1,...,d m ), ao menos quando o número de quadrados é baixo e os valores de d 1,...,d m e m são pequenos. Atualmente, existe um projeto (ainda em andamento, mas numa etapa bastante avançada) de escrever programas de computador numa linguagem open-source chamada Sage. Por exemplo, na página de Vincent Delecroix ( delecroi/) existem vários dados sobre SL(2, Z)-órbitas de origamis, e, de fato, o formato atual do programa (parcialmente baseado em versões anteriores escritas por Anton Zorich) permite calcular várias órbitas (e as informações subjacentes) para origamis com até 24 quadrados em gêneros 3, 4 e 5.

75 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador No momento, esses experimentos numéricos tem permitido a formulação precisa de conjecturas e encontrar vários origamis com propriedades especiais. Por exemplo, somente para citar algumas atividades recentes nas quais eu estou envolvido:

76 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador No momento, esses experimentos numéricos tem permitido a formulação precisa de conjecturas e encontrar vários origamis com propriedades especiais. Por exemplo, somente para citar algumas atividades recentes nas quais eu estou envolvido: juntamente com V. Delecroix, encontramos 2 contra-exemplos (dentre 500 origamis) à recíproca de um critério recente de G. Forni para boas propriedades ergódicas dos origamis; juntamente com D. Zmiaikou e J. C. Yoccoz, provamos algumas propriedades dos origamis regulares (uma classe particular de origamis determinada por um grupo G e um par de geradores h,v) as quais tinham sido previamente observadas por experimentos numéricos.

77 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Em algumas palavras, nossa discussão pode ser resumida assim: origamis (superfícies quadriculadas) são objetos interessantes por serem simples de descrever (o que permite abordar questões como o cálculo do volume do espaço de módulos de superfícies de translação) e ao mesmo tempo desafiadores porque sua organização no espaço de módulos leva a problemas combinatórios relevantes (alguns dos quais sabemos estudar apenas por computador até o presente momento).

78 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Em algumas palavras, nossa discussão pode ser resumida assim: origamis (superfícies quadriculadas) são objetos interessantes por serem simples de descrever (o que permite abordar questões como o cálculo do volume do espaço de módulos de superfícies de translação) e ao mesmo tempo desafiadores porque sua organização no espaço de módulos leva a problemas combinatórios relevantes (alguns dos quais sabemos estudar apenas por computador até o presente momento). Ou seja, este é um terreno fértil para novas idéias e certamente à espera de jovens motivados!

79 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Para os interessados, estes slides estarão disponíveis na minha página pessoal ( cmateus) na seção Notas de seminários e no meu blog em português (

80 Algumas definições Ação combinatória de SL(2, Z) e programas de computador Muito obrigado! Até a próxima!