Aplicação de modelos de previsão estocástica para séries mensais de vazões médias na região hidrográfica do Paraná

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1 Aplicação de modelos de previsão estocástica para séries mensais de vazões médias na região hidrográfica do Paraná Edmundo W. M. Lucas 1 ; Fabrício D. S. Silva 1 ; Gabriel F. Sarmanho 1,3 e Andrea M. Ramos 1, 2 (1) Instituto Nacional de Meteorologia - INMET. Brasília/DF, Brasil. (2) Centro de Geofísica de Évora. Universidade de Évora. Évora, Portugal. (3) Departamento de Estatística / Universidade de Brasília - UNB. Brasília/DF, Brasil. edmundo.lucas@inmet.gov.br, fabricio.silva@inmet.gov.br, andrea.ramos@inmet.gov.br, gabrielfsarmanho@gmail.com ABSTRACT: This work presents a simulation of monthly average flow rates in eight stations located over Paraná river basin, during the period 1996 to 2005, using two stochastic forecasting models: Exponential Smoothing Method Holt-Winters and projection Box - Jenkins method (ARIMA - Auto Regressive Integrated Moving Average). The performance of the simulation models were tested by the linear correlation coefficient R 2 between simulated and observed flows, as well by the difference between simulated and observed volumes ( V). The results indicate that both models simulate satisfactorily the average flows. The best performance was in simulating dry season flows (April to September). In general, it was not possible to observe a clear superiority of one model over the other: both can be applied with good prospective to support decision making in the management of water resources in the region of study. Palavras-chave: Recursos Hídricos, Simulação Hidrológica, Precipitação. INTRODUÇÃO A Região Hidrográfica do Paraná apresenta o maior desenvolvimento econômico do País. Com uma área de Km², a região abrange os estados de São Paulo (2 5% da região), Paraná (21%), Mato Grosso do Sul (20%), Minas Gerais (18%), Goiás (14%), Santa Catarina (1,5%) e Distrito Federal (0,5%). Cerca de 54,6 milhões de pessoas vivem na região, 32% da população do País, sendo 90% em áreas urbanas. A região possui a cidade mais populosa da América do Sul, São Paulo, com 10,5 milhões de habitantes. Outros importantes centros populacionais são: Brasília, Curitiba, Goiânia, Campinas, Campo Grande e Uberlândia. O crescimento de grandes centros urbanos, como São Paulo, Curitiba e Campinas, em rios de cabeceira, tem gerado uma grande pressão sobre os recursos hídricos, uma vez que, com o aumento das ações humanas, diminui a disponibilidade de água devido à contaminação por efluentes domésticos, industriais e drenagem urbana (ANA, 2008). O objetivo deste trabalho é simular as vazões médias mensais, nas sub-bacias da região hidrográfica do Paraná, utilizando dois métodos estocásticos, o método de Holt- Winters e o método de projeção Box-Jenkins, e assim avaliar seus desempenhos na simulação das vazões, na expectativa de que os mesmos possam se revelar ferramenta útil de suporte ao planejamento e/ou gerenciamento dos recursos hídricos da região em estudo. MATÉRIAIS E MÉTODOS Foram selecionadas, para este trabalho, oito estações fluviométricas, uma em cada subbacia, com dados consistidos mensais de vazões médias, localizadas na região hidrográfica do Paraná (Figura 1), a partir do Inventário das Estações Fluviométricas da Agência Nacional de Águas (ANA, 2008). Informações sobre nome da estação, sub-bacia e período de dados constam da Tabelas 1.

2 2 Figura 1 Distribuição espacial das estações fluviométricas nas sub-bacias da região Hidrográfica do Paraná Tabela 1 Informações das estações fluviométricas da região hidrográfica do Paraná Código SB* Nome da Estação Período de Dados Davinopolis Ponte Guatapará Monte Mor Água Clara Angatuba Fluviónopolis Cáceres Porto Murtinho *Sub-bacia Os dados de vazões mensais observadas nas estações fluviométricas foram divididos em dois períodos para o desenvolvimento do trabalho: um primeiro período com a série histórica de dados até o ano de 1995, para ajuste, calibração, otimização dos parâmetros e outro período com os dados finais da série de 1996 a 2005 para o processo de verificação do desempenho do modelo. Para simulação das vazões mensais, foram utilizados neste trabalho dois métodos estocásticos: o método de Holt-Winters e o método de projeção Box-Jenkins, representado por meio de modelos ARIMA (Auto-Regressive Integrated Moving Average). O método de Holt-Winters (Granger e Newbold, 1986) considera um a justamento exponencial, sendo um dos mais utilizados para a previsão de curto e médio prazo, devido a sua simplicidade, baixo custo de operação, boa precisão e capacidade de ajustamento automático e rápido a mudanças na série. O modelo desenvolvido por Holt e Winters para descrever as técnicas de previsão para séries temporais, isola na série até três fatores ou coeficientes de alisamento: nível, tendência linear, fator sazonal e um elemento residual não previsível, chamado erro aleatório. Na estimação desses fatores, usa-se o método de ajustamento exponencial, também denominado suavização exponencial. As equações de previsão se arranjam de duas formas: aditiva ou multiplicativa, conforme a natureza da série (Cribari-Neto et al, 2000). Para se calcular previsões de valores futuros da série, é necessário estimar o nível e a tendência da série no período atual, e os valores do fator sazonal correspondente ao último período de sazonalidade. O modelo estocástico de série temporal ARIMA é uma generalização dos modelos autoregressivo (AR) e médias móveis (MA), (Box e Jenkins, 1976). Diante de uma série temporal sazonal não-estacionária, para que um modelo ARIMA seja empregado é necessário remover a sazonalidade da série e transformá-la em uma série estacionaria efetuando uma

3 3 diferenciação sazonal. Contudo, às vezes faz-se necessário, atender os requisitos do modelo, efetuar mais de uma diferenciação na série. Nesses casos, faz-se uma diferenciação na parte simples (d) e outra na parte sazonal (D). Para aplicação de modelos dos tipos AR e MA a uma série temporal, deve-se atender o requisito de estacionariedade nessa série, ou seja, média, variância e autocorrelação constantes. Essa estacionariedade da série pode ser analisada através dos gráficos de autocorrelograma ACF e PACF. Os modelos supracitados incluem os termos de defasagem autoregressiva AR(p) e de médias moveis MA(q). Dada a necessidade de tomar diferenças na série, o modelo é dito autoregressivo integrado de médias moveis ARIMA (p, d, q). Para uma série temporal que apresenta sazonalidade, o modelo ARIMA é do tipo (p, d, q) (P, D, Q), para as partes simples e sazonais, respectivamente. O desempenho dos modelos para o período de 1996 a 2005 foi testado por duas funções objetivas: o coeficiente de Nash-Sutcliffe (1970), representado por R² entre vazões calculadas e observadas, onde para boas simulações esperam-se valores próximos de 1; e a diferença entre os volumes calculados e observados ( V), onde para boas simulações esperam-se valores próximos de 0. As equações estão representadas abaixo: 2 2 ( Qobs ( t) Qcal ( t)) R 1 (1) 2 ( Qobs ( t) Qobs ) ( Qcal ( t)) ( Qobs ( t)) V (2) ( Qobs ( t)) onde: Q obs (t) é a vazão observada no intervalo de tempo (t), (t) é a vazão observada no intervalo de tempo (t), Qobs é a média da vazão observada. RESULTADOS E DISCUSSÃO A Região Hidrográfica do Paraná experimenta dois regimes de precipitação definidos, um para o período seco de abril a setembro, com os meses de junho, julho e agosto sendo os mais secos, e um período chuvoso de outubro a março, com os meses de dezembro, janeiro e fevereiro sendo os mais chuvosos. Os maiores valores de precipitação são observados na parte nordeste da região hidrográfica do Paraná; já na parte sul da região (subbacia 65), o regime de precipitação é diferenciado das demais estações, apresentando uma maior variabilidade anual. Para o modelo de suavização exponencial de Holt-Winters, foi usado o modo multiplicativo tanto para o período de verificação como para o período de previsão das séries. No modelo de Box-Jenkins, para cada uma das estações em estudo não foi necessária mais do que duas diferenças nos termos AR e MA, para a parte simples do modelo, e apenas uma diferença para a parte sazonal. Assim, optou-se pelas ordens dos termos (2, 2, 2) (1, 1, 1), para as partes simples e sazonais do modelo ARIMA. Nesse sentido, a modelagem atende o princípio da parcimônia na aplicação do modelo estocástico ARIMA. A seguir, são apresentados e discutidos detalhadamente para as estações estudadas os resultados da simulação de vazões médias mensais, bem como o valor de correlação R² entre vazões calculadas e observadas, bem como a diferença entre volumes calculados e observados ( V) pela aplicação dos modelos estocásticos ARIMA e Holt-Winters. Simulações de vazões médias Na Tabela 2, são apresentados os valores de R² e V na avaliação de desempenho dos modelos para a simulação de vazões médias mensais. Analisando as simulações como um todo, os melhores resultados foram encontrados nas estações localizadas nas sub-bacias 61, 66 e 67 (ver Tabela 1), onde os volumes simulados pelos modelos são próximos dos observados, Q cal

4 4 com os valores de R² iguais a 0,831; 0,814; e 0,814 e os valores de V iguais a 0,005; -0,022; 0,002 respectivamente, no modelo ARIMA. Já para o modelo de HW, os valores de R² são 0,781; 0,787; e 0,764 e os valores de V iguais a -0,003; -0,007; 0,000. Ambos os modelos não apresentaram bom desempenho nas simulações das vazões médias mensais na sub-bacia 65, com os valores de R² iguais a 0,300 e 0,279 e os valores de V iguais a -0,056 e -0,047; para os modelos ARIMA e HW respectivamente. De um modo geral, o modelo ARIMA, conforme os resultados obtidos pelas funções objetivas mostrado na tabela abaixo, simulou melhor as vazões médias mensais para todas as estações estudadas. Tabela 2 - Valores de R² e V na simulação das vazões médias no período de Estações ARIMA HW R² V R² V ,698-0,114 0,660-0, ,831 0,005 0,781-0, ,534-0,042 0,510-0, ,574-0,006 0,535-0, ,560-0,038 0,514-0, ,300-0,056 0,279-0, ,814-0,022 0,787-0, ,814 0,002 0,764 0,000 Para uma avaliação mais detalhada do desempenho mensal dos modelos na simulação de vazões médias, foram analisados os resultados de R² para o trimestre chuvoso (dezembro, janeiro e fevereiro) e para o trimestre seco (junho, julho e agosto), durante o período de 1996 a 2005, com os valores mostrados na Tabela 3. Tabela 3 - Valores de R² na simulação das vazões médias com os modelos ARIMA e HW, no período seco e chuvoso de 1996 a 2005 Sub-bacia Modelo Seco Chuvoso Jun Jul Ago Dez Jan Fev 60 Arima 0,96 0,84 0,95 0,74 0,30 0,25 HW 0,84 0,86 0,90 0,70 0,21 0,08 61 Arima 0,25 0,84 0,68 0,77 0,26 0,58 HW 0,05 0,91 0,56 0,74 0,32 0,40 62 Arima 0,78 0,02 0,43 0,60 0,04 0,01 HW 0,64 0,01 0,23 0,67 0,03 0,00 63 Arima 0,21 0,45 0,64 0,05 0,01 0,41 HW 0,18 0,69 0,66 0,01 0,00 0,33 64 Arima 0,64 0,74 0,60 0,33 0,12 0,60 HW 0,58 0,60 0,58 0,45 0,12 0,52 65 Arima 0,02 0,55 0,07 0,38 0,24 0,60 HW 0,00 0,38 0,08 0,12 0,33 0,28 66 Arima 0,79 0,86 0,85 0,59 0,07 0,20 HW 0,80 0,83 0,91 0,61 0,17 0,03 67 Arima 0,95 0,98 0,95 0,53 0,50 0,54 HW 0,95 0,99 0,95 0,76 0,58 0,60

5 5 Conforme a tabela acima, na avaliação mensal da simulação pelos modelos no período chuvoso, nos meses de janeiro e fevereiro as estações apresentarem valores de R² 0,60, os melhores resultados no período chuvoso foram encontrados no mês de dezembro (exceto no caso das estações das sub-bacias 63, 64 e 65). Durante o período seco os modelos aplicados simularam muito bem as vazões médias mensais das estações das sub-bacias 60, 64, 66 e 67; para as demais, apresentaram baixos valores de R² em alguns meses durante a simulação. Observa-se que a estação da sub-bacia 65, em todos os meses analisados, apresentou baixos valores de R² nas simulações; já a estação da sub-bacia 67, com maior área de drenagem da região, apresentou os melhores resultados conforme a Tabela 3, com valores de R² superiores a 0,70 para os meses analisados no período seco. No período chuvoso, esta estação apresentou valores de R² entre 0,50 e 076, que não são considerados ruins se comparados à simulação dos modelos nas outras estações durante o mesmo período. As vazões médias mensais simuladas pelos modelos e a vazão observada, para todas as estações, são apresentadas na Figura 2, onde pode-se destacar o desempenho insatisfatório apresentado pelos modelos na estação Alguns eventos de picos de vazões médias não conseguem ser capturados pelos modelos, como pode ser observado nas estações , e , onde a vazão observada é subestimada. No geral, como mostra a Figura 2, as melhores simulações ocorreram para as estações , e CONCLUSÕES Este trabalho teve como objetivo verificar o desempenho de dois métodos estocásticos: Holt-Winters (HW) e a projeção Box -Jenkins, representada pó meio dos modelos ARIMA (Auto-Regressive Integrated Moving Average), nas simulações das vazões médias mensais, nas sub-bacias da região hidrográfica do Paraná, na expectativa de demonstrar que o mesmos poderão ser usados como ferramentas úteis no planejamento e/ou gerenciamento dos recursos hídricos da região em estudo. Os resultados indicam que os modelos ARIMA e HW simularam de forma eficiente as vazões médias na maioria das estações estudadas da região, apresentando excelentes resultados no período seco (abril a setembro) e resultados insatisfatórios no período chuvoso (outubro a março). Os melhores resultados nas vazões simuladas foram encontrados para as estações e Esse destaque pode estar associado à grande área de drenagem das estações, visto que as estações com áreas de drenagem menores apresentaram menores valores de R², nas simulações. Não foi verificada superioridade de um modelo sobre o outro, e ambos podem ser aplicados facilmente na simulação das vazões médias mensais. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS AGÊNCIA NACIONAL DE ÁGUAS (ANA, 2008). Inventario das estações fluviométricas e pluviométricas. Disponível em: < Acesso em abril BOX, G.E.P.; JENKINS, G.M. (1976). Time series analysis: forecasting and control. Revised edition, Holden-Day, Inc. USA, pp.575. CRIBARI-NETO, F.; FERRARI, S. L. P.; CORDEIRO, G. M. (2000). Improved heteroscedasticity-consistent covariance matrix estimators. Biometrika, 87: GRANGER, C.W.J.; NEWBOLD, P. (1986). Forecasting Economic Time Series, Academic Press, San Diego, (Second edition). NASH, J.E.; SUTCLIFF, J. (1970). River flow forecasting through conceptual models. Journal of Hydrology, v. 10, pp

6 Figura 2 - Vazões médias mensais observadas e simuladas pelos modelos para todas as estações em estudo durante o período de