... Universidade do Algarve Faculdade de Ciências e Tecnologia Departamento de Matemática. Programa da Disciplina

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1 Universidade do Algarve Faculdade de Ciências e Tecnologia Departamento de Matemática Programa da Disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica II Curso da Licenciatura em Matemática Ano Lectivo de 2004/

2 1. Corpo docente Professor e Assistente Gabinetes Extensões telef. Correio electrónico Portal da disciplina Paulo Semião 3.13 Ed. C II 7655 psemiao@ualg.pt Fátima Borralho 2.2 Ed. C II 7645 mfborra@ualg.pt A regência da disciplina está a cargo do docente das aulas teóricas. 2. Objectivos gerais Proporcionar ao aluno uma formação básica em Álgebra Linear, para que possa entender e compreender, não só os conhecimentos transmitidos durante a leccionação da disciplina, mas também adquirir uma sólida base matemática, de modo a que, possa mais tarde, aprender pelos seus próprios meios. Estimular o interesse pela disciplina, bem como, o desenvolvimento do raciocínio e do espírito crítico. Aulas teóricas: O objectivo principal das aulas teóricas é transmitir aos alunos os fundamentos teóricos da matéria proposta para a disciplina, bem como incentivar-lhes o interesse pela mesma e, caso necessitem ou pretendam aprofundar determinadas matérias, apontar-lhes outros caminhos e sugestões de leitura. Aulas teórico-práticas: O objectivo principal das aulas teórico-práticas é pôr os alunos a interpretar e a resolver os exercícios propostos ao longo do semestre. A sua resolução é parte integrante do estudo e não um simples complemento. No início de cada aula o docente propõe um conjunto de exercícios a resolver e, no começo de cada secção da matéria, o docente mostrará como se deve resolver um exercício tipo. É essencial que o ritmo de progressão na matéria, não deva atrasar-se em mais de uma semana, em relação às aulas teóricas. Por último, deve salientar-se, que só tem sentido tentar a resolução de problemas e exercícios após o estudo, cuidadoso, da matéria exposta nas aulas teóricas, tudo o resto, será uma mera tentativa de resolução mecânica dos exercícios, sem qualquer fundamentação. Página 2 de 6

3 Horário de esclarecimento de dúvidas: Professor Assistente Segunda-feira Terça-feira 10:30-13:00 Quarta-feira Quinta-feira Sexta-feira 10:00-11:30 Para além do horário de dúvidas, os alunos podem, e devem, tirar quaisquer dúvidas da matéria. Aconselha-se deste modo o aluno a fazê-lo, para evitar um acumular de dúvidas e incertezas, que dada a natureza da disciplina, será sempre de evitar. 3. Regime lectivo A disciplina tem a duração de um semestre lectivo, com uma carga horária semanal de três horas teóricas e três horas teórico-práticas, repartidas, respectivamente, por duas aulas teóricas de hora e meia e, duas aulas teórico-práticas de hora e meia, correspondendo a um total de 5 créditos (nacionais) equivalendo a 9 créditos ECTS *. A frequência às aulas teóricas e teórico-práticas não é obrigatória, no entanto, aconselha-se a fazer uma leitura, cuidadosa, da matéria leccionada, bem como, a resolução do caderno de exercícios proposto para a disciplina. 4. Regime de avaliação e cronograma de actividades lectivas A disciplina terá um único momento de avaliação, antes do exame final, o qual será realizado sem recurso a qualquer consulta. A nota de frequência resultará do valor obtido nesse momento de avaliação. O referido momento de avaliação será realizado na 1.ª semana de Junho, em data e hora a combinar com os alunos e, terá a duração máxima de três horas. Em relação à matéria leccionada e que irá constar no respectivo momento de avaliação, exceptuando os exames finais, esta, terminará, uma semana antes da data de realização do referido momento de avaliação. Para a dispensa de exame final, a nota de frequência terá que ser superior ou igual a 9.5 valores. Quando a nota de frequência for superior a 15 valores, os alunos poderão, se assim o desejarem, apresentar-se a uma prova oral. Caso não o façam, a sua classificação na disciplina será 15 valores. Se o aluno obtiver, em qualquer dos exames (exceptuando o caso de melhoria), nota superior ou igual a 8.0 valores e inferior a 9.5 valores, poder-se-á realizar uma prova complementar, a qual será de natureza escrita ou oral. A classificação final será a nota obtida nessa prova complementar. * European Credit Transfer System Página 3 de 6

4 5. Conteúdo programático e respectiva duração Capítulo 1. Espaços vectoriais quociente. Capítulo 2. Espaço dual e bidual. Capítulo 3. Aplicações bilineares e sesquilineares. Capítulo 4. Formas canónicas. Total: 2-3 semanas 4 semanas 5 semanas 2-3 semanas semanas 6. Conteúdo programático detalhado Capítulo 1. Espaços vectoriais quociente. Relações de equivalência e de congruência. Espaço vectorial quociente. Propriedade universal do quociente. Teorema do homomorfismo e teoremas do isomorfismo. Somas directas e relações entre elas. Capítulo 2. Espaço dual e bidual. Espaço dual e bidual. Principais propriedades. Base dual. Aplicação dual. Matriz de uma aplicação dual. Mudanças de base no espaço dual. Isomorfismo (natural) entre um espaço vectorial e o seu bidual. Relações entre uma aplicação e a sua dual. Anulador e teoremas principais. Isomorfismo entre Hom(V,W) e Hom(W*,V*). Sequências exactas. Projecções e o conjunto completo de projecções. Capítulo 3. Aplicações bilineares e sesquilineares. Definição de permutação, ciclo e em particular de transposição. O grupo simétrico. Sinal de uma permutação. O grupo alterno. A acção de uma permutação numa função. Aplicações bilineares e multilineares. Aplicações semilineares e sesquilineares. Funcionais e formas bilineares e multilineares. Matriz de um funcional bilinear e respectiva representação matricial. Radical esquerdo e direito de um funcional bilinear. Mudanças de base. Formas não degeneradas, degeneradas e regulares. Formas simétricas e anti-simétricas. Formas diagonais e formas quadráticas. Isomorfismo entre o espaço das formas bilineares simétricas e as formas quadráticas. Formas definidas positivas (negativas), semidefinidas positivas (negativas) e indefinidas. Formas alternadas. Determinante como uma forma multilinear alternada. Menores e formas quadráticas. Semelhanças e isometrias. Endomorfismos adjuntos e autoadjuntos. Página 4 de 6

5 Capítulo 4. Formas canónicas. Subespaço invariante. Valor e vector próprio generalizado. Subespaço próprio generalizado. Soma directa de endomorfismos e matrizes. Forma triangular e diagonal por blocos. Decomposição espectral. Principais propriedades. Polinómio anulador, característico e mínimo. Teorema de Cayley-Hamilton. Aplicações deste resultado ao cálculo da inversa e da potência de matrizes. Teorema da decomposição primária. Aplicações lineares nilpotentes. Subespaços cíclicos. Forma canónica de Jordan. Página 5 de 6

6 7. Bibliografia Livros de texto: [1] Serge Lang, Linear Algebra, Springer-Verlag, [2] António José Antunes Monteiro, Álgebra Linear e Geometria Analítica, Edição da Associação dos Estudantes da Faculdade de Ciências de Lisboa, [3] Sterling K. Berberian, Linear Algebra, Oxford Science Publications, [4] T. S. Blyth and E. F. Robertson, Further Linear Algebra, Springer-Verlag, [5] Kaye and R. Wilson, Linear Algebra, Oxford University Press, Livros de exercícios: [6] Seymour Lipschutz, Álgebra Linear (Colecção Schaum), McGraw-Hill, [7] A. Monteiro, G. Pinto e C. Marques, Álgebra Linear e Geometria Analítica - Problemas e exercícios, McGraw-Hill, Textos de apoio: [8] Folhas sobre o conteúdo teórico da disciplina. [9] Sebenta de exercícios. As referências de [1] a [7] encontram-se na biblioteca da Universidade e os textos de apoio [8]-[9] são entregues aos alunos no início e ao longo do decorrer do programa da disciplina. O programa da disciplina segue relativamente de perto os conteúdos dos livros [2], [3] e [4], com ligeiras alterações, tendo em vista uma melhor clarificação e compreensão dos assuntos envolvidos. Página 6 de 6