Universidade do Algarve Faculdade de Ciências e Tecnologia Departamento de Matemática Programa da Disciplina Álgebra Linear e Geometria Analítica

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1 Universidade do Algarve Faculdade de Ciências e Tecnologia Departamento de Matemática Programa da Disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica Curso da Licenciatura em Eng.ª do Ambiente Ano Lectivo de 2003/

2 1. Corpo docente Professor e Assistente Gabinetes Extensões telef. Correio electrónico Portal da disciplina Paulo Semião 3.13 Ed. II 7655 psemiao@ualg.pt Daniel Graça 2.8 Ed. II 7663 dgraca@ualg.pt A regência da disciplina está a cargo do docente das aulas teóricas. 2. Objectivos gerais Proporcionar ao aluno uma formação básica em Álgebra Linear, para que possa entender e compreender, não só os conhecimentos transmitidos durante a leccionação da disciplina, mas também adquirir uma sólida base matemática, de modo a que, possa mais tarde, aprender pelos seus próprios meios. Estimular o interesse pela disciplina, bem como, o desenvolvimento do raciocínio e do espírito crítico. Aulas teóricas: O objectivo principal das aulas teóricas é transmitir aos alunos os fundamentos teóricos da matéria proposta para a disciplina, bem como incentivar-lhes o interesse pela mesma e, caso necessitem ou pretendam aprofundar determinadas matérias, apontar-lhes outros caminhos e sugestões de leitura. Aulas teórico-práticas: O objectivo principal das aulas teórico-práticas é pôr os alunos a interpretar e a resolver os exercícios propostos ao longo do semestre. A sua resolução é parte integrante do estudo e não um simples complemento. No início de cada aula o docente propõe um conjunto de exercícios a resolver e, no começo de cada secção da matéria, o docente mostrará como se deve resolver um exercício tipo. É essencial que o ritmo de progressão na matéria, não deva atrasar-se em mais de uma semana, em relação às aulas teóricas. Por último, deve salientar-se, que só tem sentido tentar a resolução de problemas e exercícios após o estudo, cuidadoso, da matéria exposta nas aulas teóricas, tudo o resto, será uma mera tentativa de resolução mecânica dos exercícios, sem qualquer fundamentação. Página 2 de 6

3 Horário de esclarecimento de dúvidas: Professor Assistente (Daniel Graça) Segunda-feira 11:30-13:00 e 17:30-19:00 10:30-11:30 Terça-feira 13:00-15:30 e 17:00-18:30 Quarta-feira 15:30-16:30 Quinta-feira 10:00-11:30 Sexta-feira Para além do horário de dúvidas, os alunos podem, e devem, tirar quaisquer dúvidas da matéria. Aconselha-se deste modo o aluno a fazê-lo, para evitar um acumular de dúvidas e incertezas, que dada a natureza da disciplina, será sempre de evitar. 3. Regime lectivo A disciplina tem a duração de um semestre lectivo, com uma carga horária semanal de duas horas teóricas e três horas teórico-práticas, repartidas, respectivamente, por duas aulas teóricas de hora e meia e uma hora e, duas aulas teórico-práticas de duas horas e hora e meia, correspondendo a um total de 4 créditos (nacionais) equivalendo a 7 créditos ECTS *. A frequência às aulas teóricas e teórico-práticas não é obrigatória, no entanto, aconselha-se a fazer uma leitura, cuidadosa, da matéria leccionada, bem como, a resolução do caderno de exercícios proposto para a disciplina. 4. Regime de avaliação e cronograma de actividades lectivas A disciplina terá um único momento de avaliação, antes do exame final, o qual será realizado sem recurso a qualquer consulta. A nota de frequência resultará do valor obtido nesse momento de avaliação. O referido momento de avaliação será realizado na 3.ª semana de Dezembro (dentro do período lectivo), em data e hora a combinar com os alunos e, terá a duração máxima de três horas. Em relação à matéria leccionada e que irá constar no respectivo momento de avaliação, exceptuando os exames finais, esta, terminará, uma semana antes da data de realização do referido momento de avaliação. Para a dispensa de exame final, a nota de frequência terá que ser superior ou igual a 9.5 valores. Quando a nota de frequência for superior a 15 valores, os alunos poderão, se assim o desejarem, apresentar-se a uma prova oral. Caso não o façam, a sua classificação na disciplina será 15 valores. * European Credit Transfer System Página 3 de 6

4 5. Conteúdo programático e respectiva duração Capítulo 1. Introdução. 1-2 semanas Capítulo 2. Espaços Vectoriais. 2 semanas Capítulo 3. Aplicações Lineares. 1 semana Capítulo 4. Matrizes. 3-4 semanas Capítulo 5. Sistemas de Equações Lineares. Determinantes. 3 semanas Capítulo 6. Valores Próprios e Vectores Próprios. 1 semana Capítulo 7. Espaços Vectoriais com Produto Interno. 2 semanas Total: semanas 6. Conteúdo programático detalhado Capítulo 1. Introdução. Noção intuitiva de conjunto e de cardinal de um conjunto. Operações fundamentais sobre conjuntos (união, intersecção, subtracção, o conjunto das partes de um conjunto, produto cartesiano). Definição de aplicação e de restrição de uma aplicação a um conjunto. Operações unárias, binárias e n-árias. Imagem directa e inversa de uma aplicação. Aplicações injectivas, sobrejectivas e bijectivas. Operações fundamentais sobre aplicações (composição, soma, produto de um escalar por uma aplicação). Brevíssima introdução às estruturas algébricas, grupo e corpo. Definição de polinómio numa indeterminada. O corpo complexo. Capítulo 2. Espaços Vectoriais. Definição de espaço vectorial e suas principais propriedades. Combinação linear de vectores e sistemas de vectores geradores. Dependência e independência linear de sistemas de vectores e suas principais propriedades. Definições de base e de dimensão de um espaço vectorial. Subespaços vectoriais e respectivas propriedades. Soma de partes de um espaço vectorial e intersecção de espaços vectoriais. Soma directa (interna) de espaços vectoriais. Capítulo 3. Aplicações Lineares. Definição de aplicação linear. Noções de monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo e automorfismo. Imagem directa e inversa de um subespaço vectorial, em particular, núcleo e imagem de uma aplicação linear. Operações fundamentais sobre aplicações lineares, nomeadamente, composição, soma de aplicações lineares e multiplicação de um escalar por uma aplicação linear. O espaço vectorial Hom(V,W). Aplicações lineares entre espaços vectoriais de dimensão finita e suas principais propriedades. Página 4 de 6

5 Capítulo 4. Matrizes. Definição de matriz e de matriz de uma aplicação linear. Operações fundamentais sobre matrizes (soma, multiplicação, transposição e inversão de matrizes). Tipos de matrizes (matriz triangular superior (inferior), diagonal, transposta, conjugada, transconjugada, simétrica, anti-simétrica, hermítica, anti-hermítica, unitária e ortogonal). Característica de uma matriz. Matriz de mudança de base e mudanças de base. Capítulo 5. Sistemas de Equações Lineares. Determinantes. Discussão e resolução de sistemas de equações lineares, sistemas homogéneos. Determinação da inversa de uma matriz, usando a resolução matricial de um sistema de equações lineares. Definição de permutação, inversão e transposição. Noção de determinante (sem recurso às formas multilineares) e suas propriedades operatórias. Menores e complementos algébricos. O teorema de Laplace e principais propriedades dos determinantes. Aplicação dos determinantes, ao cálculo da inversa de uma matriz. Matriz complementar e matriz adjunta. Aplicação dos determinantes, à resolução de sistemas de equações lineares através da regra de Cramer. Capítulo 6. Valores Próprios e Vectores Próprios. Definições de subespaço invariante, valores próprios e vectores próprios, polinómio característico e equação característica, e de subespaço próprio. Diagonalização de endomorfismos e matrizes. Capítulo 7. Espaços Vectoriais com Produto Interno. Definição de produto interno e principais propriedades do produto interno. Definição de norma. Ângulo entre dois vectores. Sistemas de vectores ortogonais e ortonormados. Bases ortogonais e processo de ortonormalização de Gram-Schmidt. Noção de base directa e base inversa. Produto externo e misto de vectores. Página 5 de 6

6 7. Bibliografia Livros de texto: [1] Serge Lang, Linear Algebra, Springer-Verlag. [2] António José Antunes Monteiro, Álgebra Linear e Geometria Analítica, Edição da Associação dos Estudantes da Faculdade de Ciências de Lisboa. [3] E. Giraldes, V. H. Fernandes e M.P.M. Smith, Curso de Álgebra Linear e Geometria Analítica, McGraw-Hill. [4] F.R. Dias Agudo, Introdução à Álgebra Linear e Geometria Analítica, Livraria Escolar Editora. [5] Luís T. Magalhães, Álgebra Linear como Introdução à Matemática Aplicada, Texto Editora. [6] Howard Anton, Elementary Linear Algebra, John Wiley & Sons. Livros de exercícios: [7] Seymour Lipschutz, Álgebra Linear (Colecção Schaum), McGraw-Hill. [8] A. Monteiro, G. Pinto e C. Marques, Álgebra Linear e Geometria Analítica - Problemas e exercícios, McGraw-Hill. Textos de apoio: [9] Folhas sobre o conteúdo teórico da disciplina. [10] Caderno de exercícios práticos. As referências de [1] a [8] encontram-se na biblioteca da Universidade, e os textos de apoio [9]-[10] são entregues aos alunos no início e ao longo do decorrer do programa da disciplina. O programa da disciplina segue relativamente de perto os conteúdos dos livros [2] e [3], com ligeiras alterações, tendo em vista uma melhor clarificação e compreensão dos assuntos envolvidos. Página 6 de 6