Programa da disciplina de. Álgebra II

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1 Universidade do Algarve Faculdade de Ciências e Tecnologia Departamento de Matemática Programa da disciplina de Álgebra II Curso da Licenciatura em Matemática Ano Lectivo 2004/2005

2 1. Corpo docente Professor e Assistente Gabinetes Extensões telef. Correio electrónico Portal da disciplina Paulo Semião 3.13 Ed. C II 7655 psemiao@ualg.pt Fátima Borralho 2.2 Ed. C II 7645 mfborra@ualg.pt A regência da disciplina está a cargo do docente das aulas teóricas. 2. Objectivos gerais Proporcionar ao aluno uma formação básica em Álgebra, para que possa entender e compreender, não só os conhecimentos transmitidos durante a leccionação da disciplina, mas também adquirir uma sólida base matemática, de modo a que, possa mais tarde, aprender pelos seus próprios meios. Estimular o interesse pela disciplina, bem como, o desenvolvimento do raciocínio e do espírito crítico. Em relação à matéria leccionada, far-se-á o estudo de anéis, ideais, polinómios e módulos. Aulas teóricas: O objectivo principal das aulas teóricas é transmitir aos alunos os fundamentos teóricos da matéria proposta para a disciplina, bem como incentivar-lhes o interesse pela mesma e, caso necessitem ou pretendam aprofundar determinadas matérias, apontar-lhes outros caminhos e sugestões de leitura. Aulas teórico-práticas: O objectivo principal das aulas teórico-práticas é pôr os alunos a interpretar e a resolver os exercícios propostos ao longo do semestre. A sua resolução é parte integrante do estudo e não um simples complemento. No início de cada aula o docente propõe um conjunto de exercícios a resolver e, no começo de cada secção da matéria, o docente mostrará como se deve resolver um exercício tipo. Por último, deve salientar-se, que só tem sentido tentar a resolução de problemas e exercícios após o estudo, cuidadoso, da matéria exposta nas aulas teóricas, tudo o resto, será uma mera tentativa de resolução mecânica dos exercícios, sem qualquer fundamentação. Página 2 de 6

3 Horário de esclarecimento de dúvidas: Professor Assistente Segunda-feira Terça-feira 10:30-13:00 Quarta-feira Quinta-feira 15:30-17:00 Sexta-feira Para além do horário de dúvidas, os alunos podem, e devem, tirar quaisquer dúvidas da matéria. Aconselha-se deste modo o aluno a fazê-lo, para evitar um acumular de dúvidas e incertezas, que dada a natureza da disciplina, será sempre de evitar. 3. Regime lectivo A disciplina tem a duração de um semestre lectivo, com uma carga horária semanal de duas horas teóricas e três horas teórico-práticas, repartidas, respectivamente, por duas aulas teóricas de uma hora e, duas aulas teórico-práticas de hora e meia, correspondendo a um total de 4 créditos (nacionais) equivalendo a 7 créditos ECTS 1. A frequência às aulas teóricas e teórico-práticas não é obrigatória, no entanto, aconselha-se a fazer uma leitura, cuidadosa, da matéria leccionada, bem como, a resolução do caderno de exercícios proposto para a disciplina. 4. Regime de avaliação e cronograma de actividades lectivas A disciplina terá um único momento de avaliação, antes do exame final. A nota de frequência resultará do valor obtido nesse momento de avaliação. O referido momento de avaliação será realizado na 1.ª semana de Junho, em data e hora a combinar com os alunos e, terá a duração máxima de três horas. Em relação à matéria leccionada e que irá constar no respectivo momento de avaliação, exceptuando os exames finais, esta, terminará, uma semana antes da data de realização do referido momento de avaliação. Para a dispensa de exame final, a nota de frequência terá que ser superior ou igual a 9.5 valores. Quando a nota de frequência for superior a 15 valores, os alunos poderão, se assim o desejarem, apresentar-se a uma prova oral. Caso não o façam, a sua classificação na disciplina será 15 valores. Se o aluno obtiver, em qualquer dos exames (exceptuando o caso de melhoria), nota superior ou igual a 8.0 valores e inferior a 9.5 valores, poder-se-á realizar uma prova complementar, a qual será de natureza escrita ou oral. A classificação final será a nota obtida nessa prova complementar. 1 European Credit Transfer System Página 3 de 6

4 5. Conteúdo programático e respectiva duração Capítulo 1. Noções sobre relações, aplicações e cardinais. Capítulo 2. Anéis. Capítulo 3. Anéis de polinómios. Capítulo 4. Módulos. Total: 1-2 semanas 5 semanas 4 semanas 3-4 semanas semanas 6. Conteúdo programático detalhado Capítulo 1. Noções sobre relações, aplicações e cardinais. Relações e principais operações sobre relações. Noção de relação reflexiva, simétrica, antisimétrica, transitiva e de equivalência. Noção de classe de um elemento e de classe de equivalência. Conjunto quociente. Noções sobre aplicações e respectivas relações com diagramas comutativos. Noção de cardinal de um conjunto. Principais resultados relacionados com números cardinais. Capítulo 2. Anéis. Definição das principais estruturas algébricas e suas subestruturas, nomeadamente anel, anel unitário, etc. Definição de subanel. Característica de um anel. O grupo das unidades de um anel. Soma e produto de partes de um anel. Subanel gerado por um conjunto. Produto cartesiano de anéis. Definição de morfismo entre anéis. Noções de morfismo injectivo, sobrejectivo, bijectivo, monomorfismo, epimorfismo, isomorfismo, endomorfismo e automorfismo. Imagem directa e inversa de subanéis, em particular, núcleo e imagem de um morfismo entre anéis. Operações fundamentais sobre morfismos, nomeadamente, composição, soma e produto de morfismos. Os anéis S R e End(G). Noção e definição de ideal e ideal gerado por um conjunto, em particular, a noção de ideal principal. Soma, produto e intersecção de ideais. Ideal maximal e primo. Relações de congruência e anéis quociente. Teoremas do isomorfismo. Divisores de zero, domínios, anéis de divisão e corpos. Definição de divisão, elemento associado. O máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum. Definição de elemento primo e elemento irredutível. Cadeia estacionária e condição da cadeia ascendente. Definição de factorização irredutível, prima e de domínios factoriais. Domínios de integridade euclidianos. Algoritmo euclidiano. Página 4 de 6

5 Capítulo 3. Anéis de polinómios. Definição de polinómio numa indeterminada. Raízes e grau de um polinómio. Polinómio mónico. Operações fundamentais com polinómios. Funções polinomiais. Divisibilidade de polinómios. Máximo divisor comum de dois polinómios. Algoritmo de Euclides. Polinómios irredutíveis. Teorema fundamental da álgebra. Critérios de irredutibilidade de polinómios com coeficientes inteiros e racionais. Critério de Eisenstein e outros critérios de irredutibilidade. Capítulo 4. Módulos. Noção e definição de módulo e bimódulo. Definição de submódulo e principais resultados. Definição de combinação linear de uma família de elementos de um módulo, módulo gerado por um conjunto e de módulo finitamente gerado, em particular, módulo cíclico. Famílias R-linearmente (in)dependentes e bases. Módulos livres. Característica e dimensão de um módulo. Soma de partes de um módulo e intersecção de módulos. Definição de anulador. Definição de elemento de torção e módulo de torção. Soma directa (interna) de módulos. Definição de morfismo entre módulos. Imagem directa e inversa de submódulos, em particular, núcleo e imagem de um morfismo entre módulos. Operações fundamentais sobre morfismos, nomeadamente, composição, soma e acção de um elemento do anel num morfismo. O módulo Mor(M,N). Relações de congruência e módulos quociente. Teoremas do isomorfismo. Página 5 de 6

6 7. Bibliografia Livros de texto: [1] N. Jacobson, Basic Algebra I, W. H. Freeman, [2] Serge Lang, Undergraduate Algebra, Springer-Verlag, [3] A. Monteiro e I. Matos, Álgebra - Um primeiro curso, Liv. Escolar Editora, [4] R. Fernandes e M. Ricou, Introdução à Álgebra, Editora IST Press, [5] M. Sobral, Álgebra, Universidade Aberta, [6] J. Durbin, Modern Algebra - An Introduction, John Wiley, [7] W. Adkins and S. Weintraub, Algebra - An Approach via Module Theory, Springer-Verlag, [8] W T. Hungerford, Algebra, Springer-Verlag, [9] P. Cameron, Introduction to Algebra, Oxford University Press, Livros de exercícios: [10] Exercises in Algebra: A collection of exercises in Algebra, Linear Algebra and Geometry, Gordon and Breach Publishers, [11] F. Ayres, Álgebra Moderna (Colecção Schaum), McGraw-Hill, Textos de apoio: [12] Folhas sobre o conteúdo teórico da disciplina. [13] Sebenta de exercícios. As referências de [2] a [11] encontram-se na biblioteca da Universidade, e os textos de apoio [12]-[13] são entregues aos alunos no início e ao longo do decorrer do programa da disciplina. O programa da disciplina na parte respeitante a anéis (resp., módulos), segue relativamente de perto os conteúdos dos livros [1] e [3] (resp., [7]), com algumas alterações, tendo em vista uma melhor clarificação e compreensão dos assuntos envolvidos. Página 6 de 6