Relatório de Actividades Fevereiro 1999/Outubro 2003

Transcrição

1 Maria da Graça Nunes da Silva Rendeiro Marques Relatório de Actividades Fevereiro 1999/Outubro 2003 Departamento de Matemática Faculdade de Ciências e Tecnologia Universidade do Algarve /32

2 Índice 1. Introdução Actividade Docente Actividade universitária não docente Actividades de extensão universitária Actividades de Investigação Investigação fundamental Participação em encontros científicos Orientações Participação em Júris de Provas Académicas Seminários proferidos Anexos Anexo 1 - Programas de algumas das disciplinas leccionadas Anexo 2 - Citações em ISI Web of Science /32

3 1. Introdução Este relatório refere-se à actividade desenvolvida desde Fevereiro de 1999, data da contratação como Professora Associada da Universidade do Algarve, até ao presente e é elaborado no âmbito do n.º 1 do art.º 20º do Estatuto da Carreira Docente Universitária. As actividades descritas decorreram na Unidade de Ciências Exactas e Humanas (UCEH) da Universidade do Algarve até Outubro de 2000 e, posteriormente, na Faculdade de Ciências e Tecnologia (FCT) da mesma Universidade, atendendo à reestruturação efectuada na Universidade. Procurou-se no relatório que a descrição do trabalho efectuado se cingisse ao período em causa, mas, no caso de cargos administrativos iniciados antes de Fevereiro de 1999, é indicado o início das funções. 3/32

4 2. Actividade Docente Ano Lectivo 1998/99: 2º semestre Álgebra Linear e Geometria Analítica II - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas). Álgebra II - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas). Todo o ano lectivo Orientação dos seguintes núcleos de estágio pedagógico do 5º ano da Licenciatura em Matemática, Ramo Educacional: Escola Secundária Dra. Laura Ayres, em Quarteira (dois estagiários) Escola Secundária de Loulé (três estagiários) Escola Secundária Júlio Dantas em Lagos (três estagiários) Ano Lectivo 1999/2000: 1º semestre Álgebra Linear e Geometria Analítica I - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas). Álgebra I - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas). Álgebra Linear e Geometria Analítica Licenciatura em Engenharia Agronómica (Aulas teóricas) 4/32

5 2º semestre Álgebra Linear e Geometria Analítica II - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas). Álgebra II - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas). Geometria Analítica 4º ano Licenciatura em Matemática, ramo educacional (Aulas teóricas e Teórico-práticas). Complementos de Álgebra 4º ano Licenciatura em Matemática, ramo científico. Todo o ano lectivo Orientação dos seguintes núcleos de estágio pedagógico do 5º ano da Licenciatura em Matemática, Ramo Educacional: Escola Secundária Dra. Laura Ayres, em Quarteira (dois estagiários) Escola Secundária de Albufeira (três estagiários) Ano Lectivo 2000/2001: 1º semestre Álgebra Linear e Geometria Analítica I - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas). Álgebra I - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas). Álgebra Linear e Geometria Analítica Licenciatura em Engenharia Agronómica (Aulas teóricas). 2º semestre Álgebra Linear e Geometria Analítica II - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas). Álgebra II - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas). Geometria Analítica 4º ano Licenciatura em Matemática, ramo educacional (Aulas teóricas e Teórico-práticas). Complementos de Álgebra 4º ano Licenciatura em Matemática, ramo científico. 5/32

6 Todo o ano lectivo Orientação dos seguintes núcleos de estágio pedagógico do 5º ano da Licenciatura em Matemática, Ramo Educacional : Escola Secundária Dra. Francisco Fernandes Lopes (dois estagiários) Escola Secundária Dra. Laura Ayres, em Quarteira (três estagiários). Ano Lectivo 2001/2002: 1º semestre Álgebra Linear e Geometria Analítica I - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas). Álgebra I - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas). 2º semestre Álgebra Linear e Geometria Analítica II - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas). Álgebra II - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas). Complementos de Álgebra 4º ano Licenciatura em Matemática, ramo científico. Todo o ano lectivo: Orientação dos seguintes núcleos de estágio pedagógico do 5º ano da Licenciatura em Matemática, Ramo Educacional : Escola Secundária Dra. Francisco Fernandes Lopes (dois estagiários) Escola Secundária Dra. Francisco Fernandes Lopes (três estagiários) Escola Secundária de Loulé (dois estagiários) Ano Lectivo 2003/2004: 1º semestre Álgebra Linear e Geometria Analítica I - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas). Álgebra I - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas e aulas teórico-práticas). 6/32

7 Estruturas Ordenadas Mestrado em Matemática. 4º ano Licenciatura em Matemática, ramo científico e Todo o ano lectivo: Orientação dos estágios científicos do 4º ano da Licenciatura em Matemática, ramo científico dos estudantes Rui Ladeiro Ludovic Mestre. Em todas as disciplinas leccionadas elaborou as listas de exercícios para as aulas teórico-práticas e trabalhou regularmente com os docentes destas aulas (nos casos em que as não leccionou) de modo a garantir a concretização dos objectivos propostos. Muitos dos exercícios incluídos são originais e as listas foram elaboradas tendo em vista os seguintes objectivos principais a serem atingidos pelos estudantes, especialmente pelos do Curso de Licenciatura em Matemática: consolidação dos conteúdos teóricos; aquisição de capacidade de abstracção; domínio de técnicas de demonstração matemática; estruturação do raciocínio; agilidade na manipulação de conceitos com vista às aplicações. Para cada disciplina as listas de exercícios foram revistas anualmente de acordo com: ajustamentos dos programas, derivados principalmente das alterações programáticas nas disciplinas de matemática do ensino secundário; sugestões provindas da reacção dos estudantes nas aulas teórico-práticas; sugestões dos outros docentes da disciplina por sentirem a necessidade de trabalhar mais algum ponto; introdução de novos exercícios, dos quais alguns extraídos de exames já apresentados. 7/32

8 Os programas das disciplinas foram também revistos anualmente e procurou-se melhorar a prestação pedagógica na leccionação de cada uma. Para isso, além de actualização bibliográfica, procurou-se estabelecer diálogo com docentes de disciplinas análogas noutras universidades do país (Universidade de Lisboa, Universidade Nova de Lisboa, Instituto Superior de Agronomia, Instituto Superior Técnico, Universidade de Coimbra, etc.) para troca de experiências sobre formas de ensinar alguns assuntos e de conseguir métodos mais eficazes de avaliação. A orientação de estágios pedagógicos compreende: assistência regular a aulas leccionadas pelos estagiários, com uma frequência mínima de três aulas por estagiário, em cada um dos períodos lectivos. atendimento aos estagiários para apoio científico e pedagógico, no dia em que estes se deslocam à universidade; orientação de um trabalho de carácter científico a ser realizado por cada estagiário ao longo do ano, sendo um resumo desse trabalho apresentado em público na Universidade no final do estágio. A tabela seguinte apresenta um resumo do número de horas de serviço docente nos anos lectivos correspondentes ao período do relatório: Ano lectivo 1º semestre 2º semestre Total do ano 1998/ h30 9h 19h /2000 9h 13h 22h 2000/2001 9h 13h 22h 2001/2002 8h30 11h30 20h 2003/ h30 6h30 19h 8/32

9 3. Actividade universitária não docente Secretária do Conselho Científico da Unidade de Ciências Exactas e Humanas da Universidade do Algarve - de Setembro de 1997 até Outubro de Secretária do Conselho Científico da Faculdade de Ciências e Tecnologia, de Outubro de 2000 a Outubro de No período a que se refere este relatório secretariou cerca de 90 reuniões do Conselho Científico e da sua Comissão Coordenadora tendo elaborado as respectivas actas (no total secretariou cerca de 130 reuniões). Primeiro mandato como Presidente da Comissão Directiva da Área Departamental de Matemática, sendo Vice-Presidente a Prof.ª Doutora Marília Pires - de Janeiro de 1998 a Janeiro de Segundo mandato como Presidente da Comissão Directiva da Área Departamental de Matemática, sendo Vice-Presidente o Prof. Doutor Filipe Barros - de Janeiro de 2000 a Fevereiro de Estes dois mandatos decorreram sem qualquer apoio de secretariado, por insuficiência do número de funcionários administrativos existentes à data na Faculdade. Presidente da Comissão Científica da Área Departamental de Matemática - de Fevereiro a Novembro de Membro eleito da Assembleia da Universidade do Algarve, como representante dos docentes doutorados da UCEH - de Julho de 1998 a Janeiro de 2002, tendo estado presente nas reuniões com vista à reestruturação da Universidade. 9/32

10 Membro eleito da Assembleia de Representantes da Faculdade de Ciências e Tecnologia - desde Dezembro de Presidente da Assembleia de Representantes da Faculdade de Ciências e Tecnologia - desde Janeiro de 2002, tendo presidido às reuniões de preparação dos Estatutos da Faculdade de Ciências e Tecnologia, que finalizaram em Outubro de Membro por inerência do Senado da Universidade do Algarve - desde Janeiro de Membro por inerência da Assembleia da Universidade do Algarve - desde Janeiro de Representante da UCEH (por nomeação do Conselho Científico) na Comissão da Biblioteca Central da Universidade do Algarve de Abril a Dezembro de Representante da FCT (por nomeação do Conselho Científico) na Comissão da Biblioteca Central da Universidade do Algarve - de Dezembro de 2000 a Outubro de Nestas funções participou em todas as reuniões de elaboração do Regulamento de Funcionamento das Bibliotecas da Universidade do Algarve. Presidente da Comissão de Estágios Pedagógicos de Matemática da Unidade de Ciências Exactas e Humanas e da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade do Algarve: 1998/ / /2002 No ano lectivo 2000/2001, assumiu as funções de presidente desta comissão em Dezembro de 2000, em substituição do presidente, entretanto eleito Presidente do Conselho Directivo da Faculdade de Ciências e Tecnologia. 10/32

11 No âmbito do cargo de Presidente da Comissão de Estágios Pedagógicos de Matemática organizou, no período a que este relatório se refere, as seguintes acções de formação para os estagiários: Introdução ao uso de Calculadoras Gráficas no Ensino da Geometria de acordo com o Programa de Matemática do 10º Ano Novembro de Calculadoras Gráficas no Ensino da Trigonometria, de acordo com o Programa de Matemática do 11º Ano Novembro de Modelação matemática num ambiente laboratorial usando calculadoras gráficas Janeiro de Introdução ao uso de Calculadoras Gráficas no Estudo de funções de acordo com o Programa de Matemática do 10º Ano Fevereiro de Introdução ao uso de Calculadoras Gráficas no Estudo de funções de acordo com o Programa de Matemática do 10º Ano Fevereiro de Introdução ao uso de Calculadoras Gráficas na Estatística Março de Introdução ao uso de Calculadoras Gráficas no Estudo de Sucessões Abril de Introdução ao uso de Calculadoras Gráficas no Ensino da Geometria de acordo com o Programa de Matemática do 10º Ano Fevereiro de Ainda no âmbito do cargo de Presidente da Comissão de Estágios Pedagógicos de Matemática e também como membro da Comissão Directiva da Área Departamental de Matemática, promoveu a criação e apetrechamento de uma sala de didáctica da matemática nas instalações da FCT, a ser utilizada pelos estagiários e pelos estudantes do 4º ano do ramo educacional da licenciatura em matemática, com vários materiais didácticos e técnicos. Esta sala encontra-se actualmente em pleno funcionamento. Membro do júri de concurso documental para recrutamento de um assistente estagiário para a Área Departamental de Matemática em Janeiro de Membro de várias comissões de avaliação de candidaturas a lugares de assistente e professor auxiliar para a Área Departamental de Matemática. 11/32

12 Membro da organização da sessão solene de homenagem a Pedro Nunes no V centenário do seu nascimento, que se realizou na Universidade do Algarve em Outubro de Membro da organização das palestras de homenagem a Pedro Nunes realizadas pela Área Departamental de Matemática em colaboração com a Sociedade Portuguesa de Matemática, que se realizaram em várias escolas secundárias do Algarve em Outubro de 2002 e também na elaboração do artigo sobre esse evento publicado no Boletim da Sociedade Portuguesa de Matemática. 12/32

13 4. Actividades de extensão universitária Membro da Comissão Organizadora do ProfMat99, XV Encontro Nacional de Professores de Matemática, que se realizou em Portimão de 10 a 13 de Novembro de 1999 e no qual participaram cerca de 1800 professores de matemática de todos os níveis de ensino. Participou, como convidada e na qualidade de docente da Universidade do Algarve ligada ao ensino em cursos de formação de professores de matemática, no Painel Formação Inicial de Professores, que se realizou durante o encontro ProfMat99, Portimão, Novembro de Participou, como convidada, nas Eurojornadas de Matemática sobre A Matemática e o Desenvolvimento Intelectual do Aluno, que se realizaram para encerramento do projecto luso-espanhol Suma no dia 4 de Fevereiro de 2000 em Lisboa, tendo falado sobre O contributo da Matemática para o desenvolvimento das capacidades intelectuais dos alunos. Em Janeiro de 2000, foi convidada para inaugurar as comemorações do Ano Mundial da Matemática na Escola Secundária Fernando Lopes Graça, na Parede, tendo apresentado durante o dia três conferências para diferentes níveis de ensino sobre A investigação em matemática. Publicação na revista Gazeta de Matemática (n.º 139, Julho de 2000) do enunciado e resolução de um exame de Álgebra Linear e Geometria Analítica I, referente ao exame de Fevereiro de 2000 do curso de Matemática da Universidade do Algarve. 13/32

14 Participação no simpósio A Matemática e o Ensino, Problemas e Perspectivas em Portugal, Reflexos na Ciência, organizado pela Sociedade Portuguesa de Matemática e que se realizou no Instituto Superior de Economia e Gestão, em Lisboa, em Abril de Participou no Encontro Nacional da Sociedade Portuguesa de Matemática, que decorreu na Universidade de Coimbra em Fevereiro de 2002, tendo assistido ao Mini-Curso de Ensino da Matemática, dado pelo Prof. Miguel de Guzmán da Universidade Complutense de Madrid. Participou na Conferência Internacional Pedro Nunes e a Ciência do seu Tempo, organizada pela Sociedade Portuguesa de Matemática e que se realizou no Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra em Novembro de 2002 Março a Maio de 2003 Participou no programa Ciência à Solta, de divulgação da Faculdade de Ciência e Tecnologia da Universidade do Algarve nas Escolas Básicas e Secundárias da Região, tendo proferido a palestra Colorir Mapas nas seguintes escolas: Escola Básica 2,3 de Quarteira 3 sessões. Escola Secundária Dra. Laura Ayres, em Quarteira 2 sessões. Escola Básica Dr. Neves Júnior, em Faro 2 sessões. 14/32

15 5. Actividades de Investigação 5.1 Investigação fundamental É membro do Centro de Estruturas Lineares e Combinatórias da Universidade de Lisboa (CELC), que integra desde a sua criação, tendo anteriormente sido membro do Centro de Álgebra da Universidade de Lisboa. Desenvolveu sempre a investigação no âmbito das actividades destes centros, tendo integrado diversos projectos de investigação. Sempre que é possível a deslocação a Lisboa, sem prejuízo do trabalho na Universidade do Algarve, participa nos seminários organizados semanalmente pelo CELC. As pesadas cargas docente e administrativa que teve desde a sua contratação como docente da Universidade do Algarve, justificadas pelo insuficiente número de professores doutorados, dificultaram a prossecução da actividade de investigação fundamental desenvolvida até então, que se centrou principalmente na área de problemas de completação de matrizes. Essa actividade teve, no entanto, repercussões em trabalhos de investigação subsequentes de outros membros do CELC, como pode ser verificado pelas citações dos últimos artigos publicados (ver anexo). No ano lectivo 2002/2003 usufruiu de licença sabática o que permitiu o retorno à investigação fundamental. A investigação que desenvolve actualmente centra-se em aspectos combinatóricos de Teoria de Matrizes, tendo neste ano iniciado um projecto de investigação sobre comutatividade de padrões de matrizes, em colaboração com o Prof. Charles R. Johnson, do College of William and Mary (Williamsburg, VA, USA) e com a Prof.ª Zhang Yu Lin, da Universidade do Minho, tendo-se reunido diversas vezes com estes professores na Universidade do Minho, na Universidade de Coimbra, na Universidade de Lisboa e no College of William and Mary. Pretende com o projecto em curso caracterizar os padrões e os padrões sinalizados de matrizes que comutam. Entende-se por padrão uma matriz em que as entradas são * ou 0 e diz-se que uma matriz pertence ao padrão se as entradas não nulas da matriz 15/32

16 correspondem às entradas * do padrão e as entradas nulas às entradas 0. Padrão sinalizado é uma matriz cujas entradas são +, ou 0 e diz-se que uma matriz real pertence a esse padrão se as entradas positivas da matriz correspondem exactamente às entradas + do padrão, as entradas negativas às entradas e as entradas nulas às entradas 0. Diz-se ainda que dois padrões (ou padrões sinalizados) comutam ou permitem a comutatividade se existirem matrizes pertencentes a cada um dos padrão que comutem. A caracterização da comutatividade de padrões e de padrões sinalizados traduz-se em dois problemas com características completamente diferentes e abordagens diferentes em termos de técnicas e de pressupostos teóricos. Para o estudo do primeiro são, por exemplo, utilizadas propriedades do produto de Kronecker de matrizes, dado que a matriz do sistema de equações A X X A = 0, sendo A uma matriz de ordem n e X uma matriz de incógnitas também de ordem n, é dada por ( I n A ) (A T I n ), em que designa o produto de Kronecker de matrizes. Para os dois problemas foram encontradas condições necessárias para a comutatividade que já se provou não serem suficientes. Dada a amplitude do projecto concentrou-se o estudo em padrões concretos, nomeadamente a comutatividade com o padrão completo (todas as entradas são *) e com o padrão positivo completo (todas as entradas são +) e os resultados obtidos até agora são todos de natureza combinatórica. Neste momento encontram-se em adiantada fase de elaboração, com vista a posterior publicação, os seguintes artigos: Matrices that commute with the full pattern. Matrices that commute with the full positive pattern. 5.2 Participação em encontros científicos. Workshop on partially known matrices and operators organizado pelo Centro Internacional de Matemática no Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra em Setembro de Siam Conference on Applied Linear Algebra organizada pela Society for Indsutrial and Applied Mathematics no College of William and Mary em Williamsburg, VA, Estados Unidos da América em Julho de /32

17 Meeting on Linear Algebra and Applications organizado pelo Centro de Estruturas Lineares e Combinatórias no Departamento de Matemática da Faculdade de ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa em Setembro de Orientações. Orienta os trabalhos pedagógico e científico da assistente convidada Maria de Fátima Lopes Borralho, do Departamento de Matemática da FCT da Universidade do Algarve, com vista à realização de Provas de Aptidão Pedagógica e Capacidade Científica, que se prevê que venham a decorrer no presente ano lectivo. 5.4 Participação em Júris de Provas Académicas. Universidade de Coimbra 1999 Mestrado de Maria Cláudia Freitas de Sousa Mendes, com o título Sobre a conjectura de Rodman-Shalom. Universidade do Algarve 2000 Equivalência ao grau de mestre de Mário Mourinho Melfe, com o título Posição dos professores de matemática face à utilização de estratégias metacognitivas no desenvolvimento da capacidade de resolução de problemas. Universidade de Lisboa 2001 Mestrado de Rogério Paulo Inácio Berrincha, com o título Inversão relativa a uma circunferência e transformações de Möbius. Universidade do Algarve 2002 Doutoramento de Paulo Alexandre Valentim Semião, com o título Teorias Topológicas Quânticas do Campo no contexto da Topologia Algébrica. 17/32

18 5.5 Seminários proferidos. Invariantes de Matrizes Seminários de Álgebra do Departamento de Matemática em Novembro de Problemas inversos Seminários de Álgebra do Departamento de Matemática em Novembro de /32

19 6. Anexos 6.1 Anexo 1 - Programas de algumas das disciplinas leccionadas Os programas que se apresentam de seguida estão conformes ao que foi entregue aos alunos da disciplina no ano correspondente LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ÁLGEBRA I-2000/01 2º Ano-1º Semestre Escolaridade semanal: 2 horas teóricas + 3 horas teórico-práticas Créditos: 4 Docentes: Prof.ª Doutora Maria da Graça Marques Dr.ª Maria de Fátima Borralho PROGRAMA 1. Conjuntos e operações. Propriedades das operações. Noção de estrutura algébrica: Grupóide, semi-grupo e grupo. Tabelas de Cayley. 2. Grupos. Definição e propriedades. Exemplos. 3. Subgrupos. 4. Grupos de permutações e grupo simétrico. 5. Grupo de simetrias de uma figura geométrica no plano. 6. Subgrupos gerados por um conjunto. Grupos cíclicos. Grupo dos inteiros módulo n. 7. Produtos directos de grupos. 8. Homomorfismos de grupos. Monomorfismo, epimorfismo, endomorfismo, isomorfismo, automorfismo. Núcleo e imagem de um homomorfismo. 9. Classes laterais associadas a um subgrupo. Teorema de Lagrange. Índice de um subgrupo no grupo. 10. Subgrupos normais. Grupo cociente. Teorema do homomorfismo. Teoremas de isomorfismo para grupos cocientes. 11. Acção de um grupo num conjunto. Órbita de um elemento e subgrupo de isotropia. 12. Grupos de Sylow. BIBLIOGRAFIA Álgebra-Um primeiro curso, António J. Monteiro e Isabel Teixeira Matos, Escolar Editora, Lisboa, Modern Algebra, John R. Durbin, John Wiley & Sons, Algebra, Manuela Sobral, Universidade Aberta, Algebraic Structures, C. F. Gardiner, Ellis Horwood Limited, /32

20 Grupos e Representações, Owen J.Brison, Textos de Matemática, Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências de Lisboa, Introdução à Álgebra, Adilson Gonçalves, IMPA, NORMAS DE AVALIAÇÃO Realizar-se-ão duas frequências. Serão dispensados de exame final todos os alunos que compareçam às duas frequências e que obtenham soma mínima de dezanove valores no conjunto das duas. Não há, portanto, classificação mínima para qualquer das frequências. Para aprovação em exame final é necessária a obtenção de classificação mínima de 9,5 valores. Em princípio não serão realizadas provas orais, a não ser que, por algum motivo particular, após frequências ou exame final os docentes considerem conveniente ou necessário realizá-las. Para a obtenção de classificação final maior ou igual a 18 valores, tanto em frequências como em exame final, pode ser requerido aos alunos a realização de alguma prova suplementar. Tanto as frequências como o exame final devem ser resolvidos em folhas próprias da UCEH. Depois de afixadas as classificações de qualquer das provas os estudantes podem e devem consultá-las em local e data que serão marcados. Em qualquer das frequências os estudantes podem consultar uma folha A-4, elaborada por eles próprios, na qual podem incluir quaisquer aspectos teóricos ou práticos que sintam serem necessários para a realização da prova. No exame final podem ser consultadas duas folhas A-4 nas mesmas condições. Durante as provas não é permitido o intercâmbio destas folhas. 20/32

21 LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA I-2000/2001 1º Ano-1º Semestre Escolaridade semanal: 3 horas teóricas + 3 horas práticas Créditos: 5 Docentes: Prof.ª Doutora Maria da Graça Marques Dr.ª Ana Luísa Nunes PROGRAMA 1. Generalidades sobre estruturas algébricas. Conjuntos e formas de definir um conjunto. Produto cartesiano de conjuntos. Definição de aplicação. Definição de operação n-ária num conjunto. Propriedades das operações binárias. Definição de grupóide, semi-grupo, anel e corpo. Propriedades elementares destas estruturas. 2. Espaços vectoriais. Definição e propriedades. Subespaços vectoriais. Subespaço gerado. Soma e intersecção de subespaços. Soma directa. Combinações lineares. Independência linear. Espaços vectoriais de dimensão finita. Bases e dimensão de um espaço vectorial. Teorema da dimensão da soma de subespaços. 3. Matrizes Matrizes com elementos num corpo. Tipos de matrizes. Operações com matrizes. Propriedades destas operações. Estruturas algébricas de conjuntos de matrizes. Característica de uma matriz. Operações elementares sobre matrizes e condensação. Matrizes em forma de escada. Matrizes elementares e ligação destas com as operações elementares. Equivalência e semelhança de matrizes. Matrizes invertíveis. Factorizações de matrizes. 4. Sistemas de equações lineares. Sistemas homogéneos e não homogéneos. Sistemas possíveis, impossíveis, determinados e indeterminados. Aplicação da teoria de matrizes à resolução de sistemas de equações. Método de eliminação de Gauss. Aplicações ao cálculo de inversas de matrizes. 5. Aplicações lineares. Definição e propriedades. Operações com aplicações lineares. Espaço vectorial das aplicações lineares entre dois espaços vectoriais. Núcleo e imagem de uma aplicação linear. Classificação de aplicações lineares: endomorfismos, epimorfismos, monomorfismos, isomorfismos e automorfismos. Aplicações lineares entre espaços vectoriais de dimensão finita. Teorema das dimensões. BIBLIOGRAFIA Curso de Álgebra Linear e Geometria Analítica- Emília Geraldes, Vítor Hugo Fernandes, M. Paula Marques Smith, Editora McGraw-Hill de Portugal, /32

22 Álgebra Linear como Introdução à Matemática Aplicada- L. T. de Magalhães, Texto Editora, Elementary Linear Algebra, Howard Anton, John Wiley & Sons, Elementary Linear Algebra, William L. Perry, McGraw-Hill Publishing Company. Introdução à Álgebra Linear e Geometria Analítica- F.R. Dias Agudo, Escolar Editora, Lisboa, Álgebra Linear e Geometria Analítica, problemas e exercícios, António Monteiro, Gonçalo Pinto e Catarina Marques, Editora McGraw-Hill de Portugal, Álgebra Linear, Gregório Luís, C. Silva Ribeiro, Editora McGraw-Hill de Portugal, AVALIAÇÃO Realizar-se-ão duas frequências. Serão dispensados de exame final todos os alunos que compareçam às duas frequências e que obtenham soma mínima de dezanove valores no conjunto das duas. Não há, portanto, classificação mínima para qualquer das frequências. A classificação final é a média aritmética arredondada das duas frequências. Para aprovação em exame final é necessária a obtenção de classificação mínima de 9,5 valores. Em princípio não serão realizadas provas orais, a não ser que, por algum motivo particular, os docentes considerem conveniente ou necessário realizálas. Para a obtenção de classificação final maior ou igual a 18 valores, tanto em frequências como em exame final, pode ser requerido aos alunos a realização de alguma prova suplementar. Tanto as frequências como o exame final devem ser resolvidos em folhas próprias da UCEH. Depois de afixadas as classificações de qualquer das provas os estudantes podem consultá-las em local e data que serão marcados. 22/32

23 LICENCIATURA EM ENGENHARIA AGRONÓMICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA -2000/01 1º Ano-1º Semestre Escolaridade semanal: 4h30 Teórico-práticas Créditos: 3 Docentes: Prof.ª Maria da Graça Marques Dr.ª Nélia Amado PROGRAMA 1. Matrizes com elementos reais. Definição de matriz. Tipo da matriz. Matrizes quadradas. matrizes triangulares, diagonais e escalares. Soma e produto de matrizes e suas propriedades. Transposta de uma matriz. Matrizes invertíveis. Processo de condensação de matrizes. Matriz em forma de escada e matriz condensada. Característica de uma matriz. Matrizes invertíveis 2. Sistemas de equações lineares. Sistemas de equações lineares com n incógnitas e m equações. Solução de um sistema. Sistemas possíveis e determinados, possíveis e indeterminados e impossíveis. Forma matricial de um sistema de equações: matriz simples e matriz ampliada. Resolução de sistemas pelo método de eliminação de Gauss. Aplicação deste método ao cálculo de inversas de matrizes. 3. Determinantes. Produtos elementares de matrizes. Paridade de uma permutação de n números. Definição de determinante e propriedades. Cálculo de determinantes de ordem 2 e 3 por definição ("Regra" de Sarrus). Cálculo de determinantes de matrizes de ordem superior a três através da condensação de matrizes. Menores, complementos algébricos, matriz complementar e matriz adjunta. Teorema de Laplace. Cálculo da matriz inversa através de determinantes. 4. Valores e vectores próprios. Definição de valor e vector próprio de uma matriz.. Matriz característica e polinómio característico. Cálculo dos valores e vectores próprios. 5. Introdução ao cálculo vectorial no espaço.. Vectores no espaço. Produto interno de vectores. Ortogonalidade. Norma de um vector. Ângulo de dois vectores. Produto externo e misto de vectores: definição e propriedades. BIBLIOGRAFIA Curso de Álgebra Linear e Geometria Analítica- Emília Geraldes, Vítor Hugo Fernandes, M. Paula Marques Smith, Editora McGraw-Hill de Portugal, Elementary Linear Algebra, Howard Anton, John Wiley & Sons, /32

24 Álgebra Linear como Introdução à Matemática Aplicada- L. T. de Magalhães, Texto Editora, Introdução à Álgebra Linear e Geometria Analítica- F.R. Dias Agudo, Escolar Editora, Lisboa, Álgebra Linear- Seymour Lipschutz, Editora McGraw-Hill de Portugal, Elementary Linear Algebra, William L. Perry, McGraw-Hill Publishing Company. AVALIAÇÃO Realizar-se-ão duas frequências. Serão dispensados de exame final todos os alunos que compareçam às duas frequências e que obtenham soma mínima de dezanove valores no conjunto das duas. Não há, portanto, classificação mínima para qualquer das frequências. Para aprovação em exame final é necessária a obtenção de classificação mínima de 9,5 valores. Em princípio não serão realizadas provas orais, a não ser que, por algum motivo particular, os docentes considerem conveniente ou necessário realizálas. Tanto as frequências como o exame final devem ser resolvidos em folhas próprias da Universidade. Depois de afixadas as classificações de qualquer das provas os estudantes podem (e devem) consultá-las em local e data que serão marcados. 24/32

25 ESTRUTURAS ORDENADAS 2003/04 Opção - 4º Ano (ramo científico) e Mestrado em Matemática- Docente: Prof.ª Doutora Maria da Graça Marques Créditos: 3 PROGRAMA 1. Conjuntos parcialmente ordenados, totalmente ordenados e bem ordenados. 2. Conceitos gerais em reticulados. 3. Reticulados completos. 4. Reticulados complementados. 5. Reticulados distributivos. 6. Álgebras de Boole. BIBLIOGRAFIA Lattice Theory, G. Grätzer, Théorie des Treillis, Szász, Cours d Algèbre Génèrale, A. Almeida Costa,1969. Modern Algebra, John R. Durbin, Structures Ordonnées et Algèbres de Boole, H.Faure /32

26 6.2 Anexo 2 - Citações em ISI Web of Science 26/32

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