Ficha de Revisão. Nova School of Business and Economics Álgebra Linear

Transcrição

1 Nova School of Business and Economics Álgebra Linear Ficha de Revisão 1 Três amigos, o Xavier, o Yuri e a Zulmira tinham pouco que fazer, porque já tinha acabado a Floribella. Então decidiram ir para uma pista de skate, estranhamente para fazer skate. Quando chegaram, ficaram maravilhados com a pista que até tinha indicadas algumas medidas: A 13 m 5 m 5 m Como se pode ver pela figura, a rampa tem um comprimento de 13 m e uma largura de 5m e quem a desce avança 5 m em relação à parede que suporta a pista. Já a pensar em pessoas que gostam muito de Álgebra Linear, a Junta de Freguesia da Abóboda (onde está construída a pista), deixou um ponto preto no chão e recomenda que seja considerado, para todos os efeitos, a origem do referencial de. O Xavier, uma pessoa à frente do seu tempo, disse: E se considerássemos a rampa como sendo parte de um plano de? a) Seguindo a ideia do Xavier (vá-se lá saber porquê), encontre um vector normal ao plano. b) Utilizando este vector e um ponto do plano, encontre a equação cartesiana do plano. c) A Zulmira, que não é pessoa para ficar calada, acrescentou: O conjunto de pontos deste plano é um subespaço vectorial de. Mostre que a Zulmira é mais bolos e não tinha razão. d) O Yuri, que ainda não tinha dito nada, resolveu dizer: O plano não é um subespaço vectorial, mas se eu pegar numa bulldozer e empurrar a rampa para baixo, subtraindo à cota (3ª coordenada) de todos os seus pontos um certo valor, passa a sê-lo. Sabendo que o Yuri tinha razão, descubra que valor é este. 1

2 Ficha de Revisão e) Por acaso ia a passar na rua uma bulldozer (o que acontece muito) e fez o que o Yuri sugeriu, pelo que o plano que contém a rampa passou a ser um subespaço vectorial. Indique uma base e a dimensão deste subespaço. f) Depois desta operação, o Xavier, que continuava com pouco que fazer, foi para o ponto A da figura (não se esqueça que todos os pontos sofreram uma translacção), pegou num iô-iô e deixou-o descer até ao ponto posto pela Junta de Freguesia (que também desceu). De repente, lembrou-se: O fio do iô-iô, como está agora, é parte de uma recta de, que é um subespaço vectorial. A dimensão do subespaço vectorial correspondente à intersecção da recta com o plano da rampa (depois de baixada) é 0. Recorrendo ao Teorema das Dimensões, justifique esta afirmação. 2 Enquanto estiveram na rampa de skate, o Xavier, o Yuri e a Zulmira aproveitaram para fazer um campeonato de estilo e pediram ao Walter para os pontuar, com pontos positivos ou negativos. No fim, o Walter disse: Não vos vou dizer quantos pontos é que dei a cada um, mas vou dar-vos algumas pistas: Se subtraírem aos pontos do Xavier os do Yuri e os da Zulmira, ficam com -4 pontos. A soma dos vossos pontos é 6. Se multiplicarem os pontos do Xavier por 2, os do Yuri por 2 e os da Zulmira por a e somarem as 3 parcelas, ficam com b pontos. a) O a e o b, que o Walter não quis revelar eram, respectivamente, 3 e 15. Quais foram as pontuações de cada um? b) A Zulmira, que queria ver se conseguia saber as pontuações, afirmou, mesmo sem saber: Eu sei que o b é 12. O Walter não achou graça e pensou Se a Zulmira acha que o b é 12, vou indicar-lhes um a que lhes dá mais do que uma solução para o problema. Descubra o a em que o Walter estava a pensar e indique o conjunto de soluções que resolvem o problema com este a e b. c) O Yuri, depois de perceber que não conseguia resolver o problema com a informação dada pelo Walter, resolveu arriscar: Eu sei que o a é 2. Desta vez, o Walter ainda fez pior: Agora vez vou dar-lhes um b que torna o problema impossível de ser resolvido. Que valores é que pode tomar o b em que o Walter pensou? 3 Depois de se despedirem do Walter, sem nunca terem sabido as pontuações, os três amigos foram para uma sala de jogos. Encontraram uma máquina que tinha 3 entradas para moedas e por baixo, 3 saídas. Não dizia quais eram as regras, só pedia para se introduzir moedas em cada uma das entradas e esperar pelo que saísse. Os três resolveram experimentá-la, ficando o Xavier com a entrada da esquerda, o Yuri com a do meio e a Zulmira a da direita. Primeiro, introduziram 1 Euro cada um. Ao Xavier saíram 2 Euros, ao Yuri 1 e à Zulmira não saiu nada. Depois, o Xavier introduziu 1 Euro, o Yuri 2 e a Zulmira nada. Ao Xavier saíram 3 Euros e ao Yuri e à Zulmira não saiu nada. 2

3 Ficha de Revisão Na terceira jogada, o Xavier introduziu 2 Euros e o Yuri e a Zulmira nada. Saiu a todos o que tinham introduzido. A Zulmira, mesmo sem ter ganho dinheiro, percebeu: Esta máquina opera uma transformação linear sobre o dinheiro dos 3 jogadores. a) Sabendo que desta vez a Zulmira tinha razão, calcule quanto é que sairia a cada um dos jogadores, se todos jogassem 2 Euros. b) Indique o espaço de partida, o espaço de chegada e a expressão geral da transformação linear operada pela máquina. c) Calcule a matriz que representa esta transformação linear na base canónica. d) A Zulmira, que não ficou contente com o resultado do jogo, afirmou: Deviam inventar um jogo que transformasse todos os resultados do jogo que nós jogámos no dinheiro introduzido ao princípio, ou seja, que operasse a transformação inversa da deste jogo. É possível encontrar uma transformação linear que faça o que a Zulmira pretende? e) O Xavier lembrou-se de dizer: Não há duas maneiras diferentes de introduzir dinheiro que dêm o mesmo resultado. Tem razão? (lembre-se que uma transformação linear é injectiva se e só se { }, ou seja, se o único ponto que é transformado no vector nulo é o próprio vector nulo.) f) O Yuri quis saber quais eram os conjuntos de valores introduzidos que se transformavam, através do jogo, em múltiplos de si próprios. Descubra se estes conjuntos de valores existem e, caso existam, quais os múltiplos que lhes estão associados. g) Para acabar, verifique se é possível construir outra máquina que opera o mesmo jogo que esta, mas que trabalha com Dólares Canadianos, tanto na entrada como na saída, de maneira a que a matriz que representa a transformação que opera seja diagonal. 3

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5 Nova School of Business and Economics Álgebra Linear 1 Três amigos, o Xavier, o Yuri e a Zulmira tinham pouco que fazer, porque já tinha acabado a Floribella. Então decidiram ir para uma pista de skate, estranhamente para fazer skate. Quando chegaram, ficaram maravilhados com a pista que até tinha indicadas algumas medidas: A 13 m 5 m 5 m Como se pode ver pela figura, a rampa tem um comprimento de 13 m e uma largura de 5m e quem a desce avança 5 m em relação à parede que suporta a pista. Já a pensar em pessoas que gostam muito de Álgebra Linear, a Junta de Freguesia da Abóboda (onde está construída a pista), deixou um ponto preto no chão e recomenda que seja considerado, para todos os efeitos, a origem do referencial de. O Xavier, uma pessoa à frente do seu tempo, disse: E se considerássemos a rampa como sendo parte de um plano de? a) Seguindo a ideia do Xavier (vá-se lá saber porquê), encontre um vector normal ao plano. Como o plano pertence a, precisamos de 2 vectores não paralelos que sejam a diferença de pontos do plano. Para isso, precisamos de 3 pontos não colineares do plano. Observando a figura, podemos encontrar as coordenadas de 4 pontos do plano (A, B, C e D): 1

6 A B 13 m O 5 m C 5 m D Representando a abcissa, ordenada e cota do ponto por, respectivamente,, e :, { { { ( ) Qualquer vector do tipo de exemplo: é um vector normal ao plano (excluindo o vector nulo). Por ( ) b) Utilizando este vector e um ponto do plano, encontre a equação cartesiana do plano. Sendo qualquer ponto do plano, um ponto específico do plano e um vector normal ao plano, a equação normal do plano é: Utilizando, por exemplo, o ponto e o vector : [ ] ( ) ( ) 2

7 Equação cartesiana do plano: Alternativamente, sabemos que a equação cartesiana do plano é do tipo, em que, e são as coordenadas de um vector normal ao plano. Sabendo que o plano tem que passar, por exemplo, pelo ponto, ou seja, que as coordenadas do ponto têm que respeitar a equação do plano, temos que: Equação cartesiana do plano: c) A Zulmira, que não é pessoa para ficar calada, acrescentou: O conjunto de pontos deste plano é um subespaço vectorial de. Mostre que a Zulmira é mais bolos e não tinha razão. O plano pode ser descrito da seguinte forma: { } { } {( ) } Podemos desde logo afirmar que este plano não é um subespaço vectorial, porque não contém a origem (basta observar a figura e constatar que o ponto demarcado pela junta de Freguesia não pertence à rampa). De qualquer maneira, podemos ver que características é que o plano não tem e que o impedem de ser um subespaço vectorial: Não vazio: echado para a soma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) echado para a multiplicação por escalares: ( ) ( ) ( ) ( ) 3

8 d) O Yuri, que ainda não tinha dito nada, resolveu dizer: O plano não é um subespaço vectorial, mas se eu pegar numa bulldozer e empurrar a rampa para baixo, subtraindo à cota (3ª coordenada) de todos os seus pontos um certo valor, passa a sê-lo. Sabendo que o Yuri tinha razão, descubra que valor é este. Sabemos que um conjunto é um subespaço vectorial só se contiver a origem do espaço em que se encontra. Subtraindo 12 unidades à cota do ponto, transformamo-lo na origem: Se subtrairmos 12 unidades a todos os pontos do plano, obtemos o plano, paralelo a, mas que passa por outros pontos: A equação cartesiana de é facilmente encontrada: { } { } {( ) } Vamos confirmar que é um subespaço vectorial: Não vazio: echado para a soma: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) echado para a multiplicação por escalares: ( ) ( ) ( ) e) Por acaso ia a passar na rua uma bulldozer (o que acontece muito) e fez o que o Yuri sugeriu, pelo que o plano que contém a rampa passou a ser um subespaço vectorial. Indique uma base e a dimensão deste subespaço. {( ) } { ( ) } {( ) } Sabemos que é gerado pelos vectores ( ) e. Caso estes dois vectores formem um conjunto linarmente independente, são uma base de. Vamos testar a sua independência linear: 4

9 [ ] (porque a matriz já se encontra no formato em escada por linhas e tem 2 linhas não nulas e 2 pivots {( ) } é linearmente independente {( ) } f) Depois desta operação, o Xavier, que continuava com pouco que fazer, foi para o ponto A da figura (não se esqueça que todos os pontos sofreram uma translacção), pegou num iô-iô e deixou-o descer até ao ponto posto pela Junta de Freguesia (que também desceu). De repente, lembrou-se: O fio do iô-iô, como está agora, é parte de uma recta de, que é um subespaço vectorial. A dimensão do subespaço vectorial correspondente à intersecção da recta com o plano da rampa (depois de baixada) é 0. Recorrendo ao Teorema das Dimensões, justifique esta afirmação. O fio do iô-iô é parte de uma recta vertical, cujos pontos têm abcissa e ordenada nula. A sua equação cartesiana é, por isso,. Recta : { } { } { } { } { } A soma directa do plano com a recta,, é o conjunto de pontos que pode ser obtido somando cada ponto de com cada ponto de. Um possível sistema de vectores geradores de é constituído pelos vectores que pertencem às bases destes conjuntos: {( ) } Vamos averiguar se este é um conjunto linearmente independente (em caso afirmativo, constitui uma base de ): {( ) } De acordo com o Teorema das Dimensões: 5

10 O único subespaço com dimensão nula é aquele constituído apenas pelo vector nulo. Vamos confirmar que a intersecção de com é o vector nulo:, { ( ) ( ) { { 2 Enquanto estiveram na rampa de skate, o Xavier, o Yuri e a Zulmira aproveitaram para fazer um campeonato de estilo e pediram ao Walter para os pontuar, com pontos positivos ou negativos. No fim, o Walter disse: Não vos vou dizer quantos pontos é que dei a cada um, mas vou dar-vos algumas pistas: Se subtraírem aos pontos do Xavier os do Yuri e os da Zulmira, ficam com -4 pontos. A soma dos vossos pontos é 6. Se multiplicarem os pontos do Xavier por 2, os do Yuri por 2 e os da Zulmira por a e somarem as 3 parcelas, ficam com b pontos. a) O a e o b, que o Walter não quis revelar eram, respectivamente, 3 e 15. Quais foram as pontuações de cada um? O problema pode ser representado por um sistema de equações lineares. Denominando os pontos atribuídos ao Xavier por, aqueles atribuídos ao Yuri por e os recebidos pela Zulmira por, temos o seguinte sistema: { [ ] * + [ ] Vamos construir a matriz aumentada e reduzi-la ao formato em escada por linhas: [ ] [ ] [ ] Substituindo e pelos seus valores, obtemos a seguinte matriz: [ ] Podemos agora classificar o sistema (sabendo que operações de eliminação de Gauss não alteram o rank de uma matriz e notando que, depois de reduzidas ao formato em escada por linhas, tanto como têm 3 linhas não nulas): O sistema é possível e determinado Para resolver o sistema, podemos utilizar a Regra de Cramer: 6

11 Alternativamente, podemos resolver o sistema por eliminação de Gauss: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] De qualquer forma, a solução do sistema é o vector. b) A Zulmira, que queria ver se conseguia saber as pontuações, afirmou, mesmo sem saber: Eu sei que o b é 12. O Walter não achou graça e pensou Se a Zulmira acha que o b é 12, vou indicar-lhes um a que lhes dá mais do que uma solução para o problema. Descubra o a em que o Walter estava a pensar e indique o conjunto de soluções que resolvem o problema com este a e b. Substituindo pelo valor indicado pela Zulmira, obtemos a seguinte matriz: [ ] Agora, temos que dar um valor a para que o sistema seja possível e indeterminado. Sabendo que, tanto como vão ter sempre as duas primeiras linhas linearmente independentes, qualquer que seja o valor de, o rank destas matrizes vai ser não inferior a 7

12 2. Como queremos que o rank das duas matrizes seja igual e menor do que o número de variáveis do sistema, 3, temos que garantir que ambas as matrizes têm apenas duas linhas não nulas no formato em escada por linhas: O sistema é possível e indeterminado Vamos resolver o sistema com, começando por calcular o número de variáveis livres (ou a dimensão do subespaço constituído pelas soluções do sistema homogéneo que lhe está associado): N mero de variáveis livres Vamos agora resolver o sistema homogéneo associado, com a preocupação de resolver as suas equações em função de uma das variáveis (porque o sistema tem uma variável livre): { { { { } { } { } { } Agora, encontramos uma solução particular para o sistema original, dando um valor a 1 das variáveis (já que o sistema tem 1 variável livre) e encontrando o valor que as outras devem ter para que o sistema seja resolvido (podemos escolher, por exemplo): { { { { A solução geral do sistema é simplesmente a soma da solução particular encontrada com a solução do sistema homogéneo associado: c) O Yuri, depois de perceber que não conseguia resolver o problema com a informação dada pelo Walter, resolveu arriscar: Eu sei que o a é 2. Desta vez, o Walter ainda fez pior: Agora vez vou dar-lhes um b que torna o problema impossível de ser resolvido. Que valores é que pode tomar o b em que o Walter pensou? Substituindo 8 pelo valor indicado pelo Yuri, obtemos a seguinte matriz: [ ] Agora, temos que dar um valor a para que o sistema seja impossível. Sabendo que vai ter as 2 primeiras linhas linearmente independentes e nenhum conjunto de 3 linhas linearmente independentes (porque qualquer conjunto de 3 linhas, em, vai conter o vector nulo) e que vai ter as duas primeiras linhas linearmente independentes, qualquer que seja o valor de, o rank da primeira vai ser 2 e o da outra não inferior a 2. Como queremos que o rank de seja inferior ao de, temos que garantir que tem 3 linhas não nulas no formato em escada por linhas: O sistema é impossível

13 3 Depois de se despedirem do Walter, sem nunca terem sabido as pontuações, os três amigos foram para uma sala de jogos. Encontraram uma máquina que tinha 3 entradas para moedas e por baixo, 3 saídas. Não dizia quais eram as regras, só pedia para se introduzir moedas em cada uma das entradas e esperar pelo que saísse. Os três resolveram experimentá-la, ficando o Xavier com a entrada da esquerda, o Yuri com a do meio e a Zulmira a da direita. Primeiro, introduziram 1 Euro cada um. Ao Xavier saíram 2 Euros, ao Yuri 1 e à Zulmira não saiu nada. Depois, o Xavier introduziu 1 Euro, o Yuri 2 e a Zulmira nada. Ao Xavier saíram 3 Euros e ao Yuri e à Zulmira não saiu nada. Na terceira jogada, o Xavier introduziu 2 Euros e o Yuri e a Zulmira nada. Saiu a todos o que tinham introduzido. A Zulmira, mesmo sem ter ganho dinheiro, percebeu: Esta máquina opera uma transformação linear sobre o dinheiro dos 3 jogadores. a) Sabendo que desta vez a Zulmira tinha razão, calcule quanto é que sairia a cada um dos jogadores, se todos jogassem 2 Euros. Podemos pensar nos valores introduzidos por cada um dos jogadores como sendo coordenadas de pontos de. Assim, denominemos o valor introduzido pelo Xavier por, o dinheiro jogado pelo Yuri por e aquilo que a Zulmira insere na máquina por. Assim, temos: Vamos ver se os 3 objectos cuja imagem é conhecida são linarmente independentes: Os vectores são linearmente independentes e são uma base de (o espaço de partida da transformação linear operada por esta máquina), pois quaisquer 3 vectores linearmente independentes de são uma base deste espaço. Sendo uma base de, é possível escrever qualquer vector deste espaço como uma combinação linear destes 3 vectores. Vamos ver quais as coordenadas do vector nesta base: { { { Sabendo estas coordenadas, basta aplicar o conceito de transformação linear: [ ] 9

14 b) Indique o espaço de partida, o espaço de chegada e a expressão geral da transformação linear operada pela máquina. Vamos aplicar o mesmo raciocínio a um vector geral de : { { { ( ) ( ) * ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A transformação linear transforma vectores de em vectores do mesmo espaço: c) Calcule a matriz que representa esta transformação linear na base canónica. { } { [ ] [ ] * + 10

15 [ ] A matriz de transformação na base canónica,, não é mais do que a matriz cujas colunas são as imagens dos vectores da base canónica. d) A Zulmira, que não ficou contente com o resultado do jogo, afirmou: Deviam inventar um jogo que transformasse todos os resultados do jogo que nós jogámos no dinheiro introduzido ao princípio, ou seja, que operasse a transformação inversa da deste jogo. É possível encontrar uma transformação linear que faça o que a Zulmira pretende? A Zulmira quer saber se a transformação linear operada pela máquina é invertível. Sabemos que uma transformação linear é invertível se e só se a matriz que a representa também for: transformação linear inversa e) O Xavier lembrou-se de dizer: Não há duas maneiras diferentes de introduzir dinheiro que dêm o mesmo resultado. Tem razão? (lembre-se que uma transformação linear é injectiva se e só se { }, ou seja, se o único ponto que é transformado no vector nulo é o próprio vector nulo). Sabendo que uma transformação linear é injectiva (ou seja, a cada imagem corresponde um e um só objecto) se e só se o seu núcleo é constituído apenas pelo vector nulo, apenas precisamos de calcular o núcleo da transformação: { } { } { } { } { } { } { } { } não é injectiva, logo há pelo menos uma imagem que corresponde a mais do que um objecto e, portanto, há duas maneiras diferentes de introduzir dinheiro que dão o mesmo resultado. f) O Yuri quis saber quais eram os conjuntos de valores introduzidos que se transformavam, através do jogo, em múltiplos de si próprios. Descubra se estes conjuntos de valores existem e, caso existam, quais os múltiplos que lhes estão associados. O Yuri quis saber, basicamente, quais os vectores e valores próprios desta transformação: [ ] [ ] : 11

16 [ ] * + [ ] { { { } { } { } { } : [ ] * + [ ] {, { } { } { } { } Há dois tipos de vectores próprios: os múltiplos do vector, associados ao valor próprio 1 e os múltiplos do vector, associados ao valor próprio 0. g) Para acabar, verifique se é possível construir outra máquina que opera o mesmo jogo que esta, mas que trabalha com Dólares Canadianos, tanto na entrada como na saída, de maneira a que a matriz que representa a transformação que opera seja diagonal. Aqui, é preciso descobrir se é possível construir o seguinte esquema da mesma transformação linear em bases diferentes, tal que seja uma matriz diagonal: A B A ser possível, é uma base de constituída por vectores próprios de e tem na diagonal principal os valores próprios de. Portanto, basta saber se existem ou não 3 vectores próprios independentes de. Para tal, basta analisar as multiplicidades algébrica e geométrica dos valores próprios de : multiplicidade de ( ) como raíz do polin mio característico multiplicidade de ( ) como raíz do polin mio característico 12

17 Como as multiplicidades algébrica e geométrica de diferem, não é possível encontrar uma base de de vectores próprios de e, por isso, não é possível diagonalizar esta matriz. 13