5. Seja h a altura de cada um dos sólidos. Sabemos que V cone + V cilindro = 34, ou seja, 1 Ab h + Ab h = 34. Assim, 6.1. P(sair o número oito) = 1 4

Transcrição

1 Matemática 9.º Ano 1 Provas-modelo (exames) páginas a 8 Prova-modelo 1 1. Consideremos o triângulo retângulo [ABO]. Sabemos que AB = OB =, porque é a medida do raio das circunferências (ou metade da medida do lado do quadrado). Recorrendo ao teorema de Pitágoras, OA = AB + BO, ou seja, OA = + OA = + OA = 8 OA = 8 (OA > 0) Como [AI] é um raio da circunferência, AI =, e como IO = OA + AI, vem que IO = 8 +, Seja r a medida do raio da circunferência. Sabemos que AD = BC = r e AB = CD = r. Assim, P [ABCD] = r + r + r + r = 6r. Por outro lado, P [ABCD] = 0 cm. Logo, 6r = 0 r =. Como P o = πr, então P o = π = 10π 1, R.: P o = 1, cm FD.. Como DEF é um ângulo inscrito, DE^F =, ou seja, FD = DE^F = 10 o = 0 o. Assim, FA = DA FD = 180 o 0 o = 160 o. Logo, a rotação de centro O que transforma o ponto F no ponto A tem amplitude 160 o (ou 00 o ).. A opção [A] não é a correta porque , ou seja, a b não é constante. A opção [B] também não é a correta porque 10 0, ou seja, a b não é constante. Na opção [C] temos 6 = 10 = 1 = 0 1,, ou seja, a b = 0. A opção [D] não é a correta porque , ou seja, a b não é constante.. sen α = sen o = 1 0 x Medida do cateto oposto a α Medida da hipotenusa 0,0 = 1 0 x 10 x = 0,0 x = 191,06 Logo, c = x c = 191,06 c = 8,09 8,09 cm =,809 m R.: O comprimento da rampa é, aproximadamente,,8 metros.. Seja h a altura de cada um dos sólidos. Sabemos que V cone + V cilindro =, ou seja, 1 Ab h + Ab h =. Assim, 1 h + 1h = 1h + 6h = 10 8h = 10 h =,1 R.: A altura do cilindro é,1 cm. Outro processo Como os sólidos têm a mesma base, o volume do cilindro é o triplo do volume do cone. Assim, : = 8, e, portanto, o volume do cone é 8, cm e o volume do cilindro é, cm ( 8, =,). Logo,, = 1h h =,1 R.: A altura do cilindro é,1 cm P(sair o número oito) = 1 O acontecimento complementar de sair o número oito é o acontecimento não sair o número oito. P(não sair o número oito) = 1 P(sair o número oito) = = 1 1 = 6.. Produto O número de casos favoráveis é igual ao número de produtos ímpares. Assim, Número de casos favoráveis: Número de casos possíveis: 1 Logo, P(sair número ímpar) = =

2 A_Prova 7. Sabemos que n = k. Assim, n = 1 n 1 = n Substituindo n por k, obtemos n = 1 k. 8. P = [, ] [, +[ = [, ] Logo, a opção correta é a [A]. 9. Observando os termos da sequência, verificamos que o extremo esquerdo do intervalo de cada termo é igual à soma do extremo direito do intervalo do termo anterior com 1. Por outro lado, a amplitude do intervalo é igual à ordem do termo. Assim, os próximos termos são:. o termo 6. o termo 7. o termo 8. o termo [1, 0] [1, 7] [8, ] [6, ] Concluímos então que o oitavo termo é [6, ]. 10. (x 1) x + 1 = 1 6 x x x + 1 = 1 (1) () (6) x x + 1 x = 6 x 6x + 7 = 0 6 ± ( 6) x = 1 7) ( 1 6 ± x = x = 6 ± 8 x = 1 x = Seja x o número de quilómetros percorridos pelo médico. Assim, P(x) = ,x Como o Sr. Pereira pagou 18 euros, então P(x) = 18, ou seja, ,x = 18 0,x = 8 8 x = 0, x = 0 R.: O médico percorreu 0 km a) Por exemplo, IJ. b) Por exemplo, o plano EFK. 1.. Por tentativas, temos: Até 10 anos Mais de 10 anos Total (em euros = = 1 0 ( ) ( ) ( ) = = 1 ( ) ( ) ( ) 10 1 = = 10 R.: Há sete crianças no grupo com mais de 10 anos. Outro processo Seja x o número de crianças com 10 anos ou menos e seja y o número de crianças com mais de 10 anos. Assim, x + y = 0 1x = 0 y 10x + 1y = 10(0 y) + 1y = 00 10y + 1y = 10y + 1y = 00 y = x = 0 7 x = 1 y = 7 y = 7 R.: Há sete crianças no grupo com mais de 10 anos. Prova-modelo 1. A opção correta é a [D].. Como A [ABFG] = 6 e A [BCDE] = 6, então BF = 6 = 6 e BE= 6 = 8. Logo, EF = BE BF = 8 6 =. Recorrendo ao teorema de Pitágoras, temos (EG) = (GF) + (EF), ou seja, (EG) = 6 + (EG) = 6 + (EG) = 0 EG = 0

3 Matemática 9.º Ano..1. Por observação do gráfico, a massa é 0 miligramas... k = 1 60 = 60.. m = 6 0 t Logo, a opção correta é a [A].. A equação tem apenas uma solução se = 0, ou seja, se b ac = 0. Assim, b 1 9 = 0 b 6 = 0 b = ± 6 b = 6 b = 6. Seja A o acontecimento sair o prémio a um cliente que comprou uma viagem para Paris em março. 8 P(A) = = 0, Sendo a a medida da aresta do cubo, as dimensões do paralelepípedo são α = BE, a = AB e 1 a = BI. Logo, V paralelepípedo = a a 1 a = Assim, como V cubo = a, então V sólido = a + a. Logo, a + a = a + a = 7 a = 1 a = 1 R.: a = A reta IH. 7. Como os triângulos [ABC] e [ADE] são semelhantes, e os lados [BC] e [DE] são lados correspondentes, a razão de semelhança é r = = 6 =. BC DE Como a razão das áreas é o quadrado da razão de semelhança, temos: A [ADE] A[ABC] = r = = x x x 8 x x 1 x 1 C.S. = [ 1, +[ Logo, A é o conjunto-solução da inequação. 9. Como a mediana é, então ocupa a posição central Assim, 1, 1, 1, 1,,,,,,,,,, 1 pessoas 1 pessoas pessoas Logo, foram convidadas pessoas. 10. A opção correta é a [C]. 11. AC Como ABC é um ângulo inscrito, AB^C =. Como AOC é um ângulo ao centro, AO^C = AC, ou seja, AC = 10 o. Assim, AB^C = 1 0 o = 70 o. Logo, a opção correta é a [B] AD^E = 180 o AD^C Como ADC é um ângulo com o vértice no exterior CA AC da circunferência, AD^C =. Como CA = 60 AC, CA = 60 o 10 o = 0 o. Assim, AD^C = 0o 10 o = 80 o = 0 o. Logo, AD^E = 180 o 0 o = 10 o Por exemplo, os pontos C e D, porque [CD] é perpendicular ao eixo Oy. 1.. O ponto C tem coordenadas (, f()). Então, como f() = 1 = =, C tem coordenadas (, ). O ponto B tem coordenadas (, g()).

4 A_Prova Então, como g() = = 8, B tem coordenadas (, 8). Os pontos A e B têm a mesma ordenada. Logo, A tem coordenadas (0, 8). Os pontos C e D têm a mesma ordenada. Logo, D tem coordenadas (0, ). Concluímos então que CD =, AB = e AD = 6 (diferença entre as ordenadas de A e de D). Assim, AB + CD A trapézio = AD A trapézio = + 6 = 6 6 = 6 = 18 R.: A = 18 u.a. 1. (n + 1) n = n + n + 1 n = n + 1 n é um número par porque qualquer número multiplicado por é par. Dados dois números naturais consecutivos, se um é par o outro é ímpar. Como n é par, então n + 1 é ímpar. Nenhum número ímpar é múltiplo de, logo n + 1 não é múltiplo de. 1. x(6x 1) = 1 6x x = 1 6x x 1 = 0 ( 1) ± ( 1) x = 6 ( 1) 6 1 ± 1 + x = 1 1 ± x = 1 x = x = x = x = 1 1 x = 1 x = 1 Prova-modelo Como a turma tem um número par de alunos (8), a mediana corresponde à média dos dois valores centrais, ou seja, à média dos valores da 1. a e 1. a idades ordenadas Assim, mediana = = 7,. 1.. Seja x a idade dos dois novos alunos. Assim, como a média das idades passou a ser 7,7, temos x = 7, 7 ou seja, x = 7, x = 1 x = 1 1 x = 18 x = 9 R.: 9 anos euro valia 0,90 libras nos dias 11 e 1 de fevereiro euros equivalem a 100 0,89 = 89. Logo, o Rui recebeu 89 libras... E = 1 0 L 9 Logo, a opção correta é a [B].. Como V prisma = Ab h e V prisma =, então AB 6 = AB 6 = AB = 6 AB = 7 Assim, tg (AB^C) = 7, ou seja, AB^C 16 o.. Seja Q a projeção vertical do ponto D sobre a reta BC. Assim, BQ = AD = e DQ = AB =. Por outro lado, BC = BQ + QC QC = BC BQ, pelo que QC =. Consideremos o triângulo [DQC], que é retângulo em Q. Utilizando o teorema de Pitágoras, temos, CD = DQ + QC, ou seja, CD = + CD = 16 + CD = 0 CD = 0 Assim, P [ABCD] = AB + BC + CD + DA. P [ABCD] = = , Logo, a opção correta é a [B].

5 Matemática 9.º Ano..1. Os triângulos [ABC] e [EDC] são semelhantes, pelo critério AA: os ângulos CBA e EDC são retos e os ângulos ACB e DEC são ângulos agudos de lados paralelos... Como os triângulos são semelhantes, a razão de AC semelhança é r = = 1 =. EC Assim, podemos concluir que BC = DC, ou seja, BC = = 1. R.: BC = 1 cm A ordenada do ponto B é a ordenada na origem da reta s. Logo, a ordenada de B é,. 6.. Comecemos por determinar a abcissa do ponto A, que tem ordenada 0. Como A pertence à reta s, temos: 0 = 1,x +, x =, 1, x =,7 Logo, AO =, O ponto I é o ponto de interseção das retas r e s. Assim, y = 0,6x y = 0,6x y = 1,x + 0,6x = 1,x +, y = 0,6x y = 0,6x 1,8x =, x =, 1, 8 x =, x =, y = 0,6, y = 1, Logo, I(,; 1,) Cada construção é constituída por quadrados divididos em dois triângulos do tipo dos que são contados. Vericamos que: na 1. a construção existe 1 quadrado e, por isso, 1 = triângulos; na. a construção existem = quadrados e, por isso, = 8 triângulos; na. a construção existem = 9 quadrados e, por isso, 9 = 18 triângulos. Então, na. a construção existem = quadrados e, por isso, = 0 triângulos. 7.. De acordo com a alínea anterior na n-ésima construção existem n quadrados e, por isso, n = n triângulos. R.: n = 8 1 = 1 = Logo, a opção correta é a [B]. 9. x + (x 1) = x + x x + 1 = x x = 0 x = x = x = 1 ± 1 ± 1 8) ( 1 ± 9 x = x = 1 C.S. = { 1, } 10. BC Como CAB é um ângulo inscrito, CA^B =, ou seja, BC = CA^B = 0 o = 60 o. Assim, AB = 180 o 60 o = 10 o Como a reta é tangente à circunferência, o ângulo CAD é um ângulo reto. Como CA^B = 0 o, então BA^D = 90 o 0 o = 60 o. 11. ]0, [ ], [ = ]0, [ Logo, a opção correta é a [A] x < + x 1x < 10 + x 1x x < 10 1x > 8 8 x > 1 Logo, C.S. = 8, + 1.

6 A_Prova O gráfico da função f é simétrico em relação ao eixo das ordenadas. Logo, f( ) = f() = 6. Assim, a opção correta é a [B]. 1.. Como o ponto B(, 6) é um ponto do gráfico da função g, podemos concluir que a constante de proporcionalidade é 1 (k = 6 = 1). Logo, g é definida por g(x) = 1. x Assim, como o ponto C(c; 1,) também pertence ao gráfico da função g, então o produto das suas coordenadas é 1, isto é, c 1, = 1, ou seja, c = Seja C o centro da circunferência. Como C é equidistante de A e de B, podemos concluir que C pertence à mediatriz de [AB]. Logo, C é o ponto de interseção da reta r com a mediatriz de [AB]. 1. d v 1 = t 1 d v = t d 100 = t 1 d 80 = t t 1 = d 80(t 1 + 1) = d 80(t 1 + 1) = 100t 80t = 100t 80 = 100t 80t 1 80 = 0t = d d = 00 = t 1 t 1 = R.: O Jorge percorre 00 km. A B r

7 Matemática 9.º Ano 1 Provas Finais Modelo páginas 9 a 66 Prova final modelo o termo: 1b + 1p triângulos. o termo: b + p triângulos n 1. o termo: b + p triângulos = 60 1 = 9 triângulos 1.. 1; ; ; n = 169 triângulos 1.. n 1 = 01 n = 0 n = 101 R.: 101 termos. P V Oito.. número de casos favoráveis: número de casos possíveis: 1 P = 1.. a) P(sair preta) = 0, = 1 0 Como continuam a ser três cartas pretas x = 0 = x x = Se 10 é o número de casos possíveis, é necessário acrescentar três cartas vermelhas. a) P(sair vermelho) = 0, = 0, x = x = 16 x + = = 9 Se 16 é o número de casos possíveis é necessário acrescentar nove cartas... a) A total = A base + A lateral A base = 6 = 6 cm A lateral = 6 = 60 cm A total = = 96 cm b) Pelo teorema de Pitágoras, temos: FI = + FI = 9 + FI = ± FI = ± cm c) Pelo teorema de Pitágoras, temos: = + h h = 9 h = ± 16 h = cm.. V cubo = a, ou seja, V cubo = 6 = 16 V pirâmide = 1 Ab altura V pirâmide = 1 6 = 8 % de 16 é 0, 16 8 R.: 8 cm.. a) Estritamente paralelos. b) Por exemplo, a reta EH. c) O ponto E... H + HD = H + HD = D..1. AB^C = 90 o, porque BC é tangente à circunferência no ponto B e AB é um raio de circunferência. CA^B = 180 o 90 o 7 o = 6 o DA^E = CA^B = 6 o, ângulos verticalmente opostos como DA^E é um ângulo ao centro, DA = DA^E = 6 o... BA^D = 180 o DA^E = 180 o 6 o = 117 o A setor circular = x π r 60o A setor circular = 117o π o =,π 10,1..1. I C I G I R.: A = 10,1 cm..1. D pertence ao gráfico da função f para y = 0, então f(x) = 0 x + = 0 x = E I F D, 0 x =

8 A_Prova Os pontos A e C são os pontos de interseção dos gráficos das funções f e g, então f(x) = g(x) x + = x x + x = 0 x = x = ± 1 ) ( 1 ± 16 x = ± x = x = 1 C.S. = {, 1} A abcissa de C é e a de A é 1. f( ) = ( ) + = 6 + = 9 C(, 9) f(1) = 1 + = + = 1 A(1, 1) Como B tem a mesma ordenada de A, B(0, 1). R.: A(1, 1), B(0, 1), C(, 9), D, 0 e E(0, ). OD + AB.. A [ABOD] = OB + 1 A [ABOD] = 1 = 1, u.a... Se é paralela a f então h(x) = x + b e como B pertence à sua representação gráfica, h(x) = x F tem ordenada simétrica à de E e a mesma abcissa de E. Logo, F(0, ). 6. x = y x + y = 0 y = x + 1 y = x x + y = 0 x = y x + y = ( y) + y = 6y + y = 8y = x = 8 x = 1 0 x = 8 y = 8 y = 8 C.S. =, 8 R.:, c + c = 8 + 1) = ( ) c + (c = + = c + 1 c = = c + c = 9c + 1 A opção correta é a [B]. 8. ( x) = (x + ) + x + x = x x + x = 6x + 1 x + x 6x + 1 = 0 x x 8 = 0 ± ( ) x = 1 8) ( x = x = ± 6 ± + x = x = C.S. = {, } [A] ]1, +[ ], 1[ = ], +[ [B] ]1, +[ ], 1[ = ]1, 1[ [C] ]1, +[ ], +[ = ]1, +[ [D] ]1, +[ ], +[ = ], +[ A opção correta é a [C] x > 6 + ( x + 1) + x > 6 + x x > + x 6 + x > 16 + x 6 + x > 8 + x x x > 8 6 x > C.S. = ], +[ C ], +[ porque > 1.

9 Matemática 9.º Ano o 80 o = 100 o então 0 o BC^A = CA^B = 10 = 0 o DC AB^C sen α =, α^ = DB^C = = o = 0 o BC cos β = DC BC, β^ = BC^A = 0 o 11. A opção [A] é falsa, porque a circunferência é um lugar geométrico do plano. A opção [B] também é falsa, porque o círculo é um lugar geométrico do plano. A opção [C] é falsa, porque a superfície esférica é o lugar geométrico dos pontos do espaço cuja distância ao ponto P é igual a 8 cm. A opção [D] é verdadeira. Logo, a opção correta é a [D]. Prova final modelo x = = = 6 =, Número de casos favoráveis: = 1 Número de casos possíveis: = 18 Logo, P = Para que a mediana dos 19 dados seja é necessário que o valor central seja. Desta forma, os valores possíveis são 1, ou. O número de casos favoráveis é e o número de casos possíveis 6. Logo, P = 6 = 1. Como o gráfico é de uma função de proporcionalidade inversa, então f(x) = h. Como (, ) pertence x ao gráfico de f, então k = = 6. f(6) = a 6 6 = a a = 1. Como se trata de proporcionalidade direta, a constante de proporcionalidade é igual a 1,6 : 7, =. Então, k = 17,1 : =,7.. [A] 8 = 7 = 8 = 700, afirmação falsa. [B] 10 = 16 = 1 10 e 16 não são primos entre si. [C] 8 = 7 = 8 e são primos entre si e 8 = 160. [D] 1 = 8 = 7 1 e 8 não são primos entre si...1. h(0,) = 0, + = R.: metros de altura... h(t) = 0 t + = 0 t = t = 1 t = ± 1 C.S. = { 1, 1} R.: A bola manteve-se no ar 1 segundo ,0 = 1, , km = m = 1,6 10 1,6 10 = 17978,18 0, ,18 86 =, AP^D = CP^B = 70 o (ângulos verticalmente opostos) DC DA^C = = 60 o = 0 o (DA^C é um ângulo inscrito no arco DC ). Então, BD^A = 80 o.

10 A_Prova 7.. BC^A = BD^A = 80 o, porque são ângulos inscritos no mesmo arco (DC ). Pelo critério AA, os triângulo [BCP] e [ADP] são semelhantes. Logo, BD^A = BC^A = 80 o e CP^B = DP^A = 70 o V prisma = Ab altura V prisma = 10 7, = = 70 AB = 10 BC = CD = DE = 7, O volume do sólido comum aos dois prismas V = 7, = 187, V total = , = 11, R.: V = 11, cm 8.. a) Por exemplo, BC. b) Por exemplo, CD. c) Por exemplo, GDE. d) Por exemplo, EDF. 8.. Um, porque por um ponto fora de um plano passa um único plano paralelo ao primeiro. 8.. Por exemplo, o ponto médio de [AB] porque os três pontos são colineares e três pontos colineares não definem um plano. 8.. A opção[a] é falsa porque as retas são não complanares. A opção[b] é falsa porque as retas são não complanares. A opção[c] é falsa porque as retas são não complanares. A opção[d] é verdadeira. Logo, a opção correta é a [D] As retas CD e DF pertencem ao plano CDF e ED é perpendicular a CD e a DF. Então, a reta ED é perpendicular ao plano CDF tg (EF^D) = 7, 10 EF^D = tg 1 7, 10 EF^D 6, Um [A] = não é irracional. 7 [B] = não é irracional. [C] ( 8)( + 8) = 8 = não é irracional. [D] ( ) = 10 + = 8 10 é irracional. Logo, a opção correta é a [D]. 10. Se AB = DE, então r = P[ P ABC ] = r P [ABC] = 0 = 80 cm. [ DEF] 11. n = n 1. 1 (cos α sen α) = = 1 (cos α sen α cos α + sen α ) = sen α cos α = 1 ( sen α cos α + sen α + cos α) = = 1 + sen α cos α 1 = = sen α cos α 1. A = ] π, [ B = ], 1] A B = ] π, 1], ou seja, x > π x < = b ac a = 1, b = 1, c = = ( 1) 1 ( ) = = 9 Como > 0 a equação tem soluções distintas. 1.. x x = 0 x = ( 1) ± ( 1) 1 ) ( 1 1 ± x = x = x = 1 x = C.S. = { 1, } 1.. As equações são equivalentes se têm o mesmo conunto-solução. (x 1) = 9 x 1 = ± 9 x 1 = x 1 =

11 Matemática 9.º Ano x = x = x = 1 x = C.S. = { 1, } 1. Cada arco de circunferência tem 7 o pois 60 o : = 7 o. Assim, 16 o : 7 o = Logo, trata-se do triângulo [OEA] e a opção correta é a [A]. 16. x x + 1 x x + ( 1) ( ) ( 1) ( ) x 0x + 10 x 0x 11 7x 11 x C.S. = 1, + 7 b = y = x Como as equações do sistema são as equações das duas funções, o conjunto-solução é o ponto de interseção da reta com a parábola, ou seja, os pontos A e C. R.: 1, e (, 6) Como a representação gráfica da função f é no semiplano não negativo definido pelo eixo Oy, p ], 0[. 18. Marquês E Casa do Rui Praça Velasquez Estádio do Dragão f(x) = ax. Como A pertence ao gráfico de função f, 1, = a 1 a = 1, Logo, f(x) = x Como C pertence ao gráfico da função f, então 6 = x x = 1 x = x = ±, ou seja, C(, 6). Como B tem a mesma abcissa que A, então B(1, 0) A [ABC] = 1, =, u.a A reta passa nos pontos A e C. Então, m AC = 6 1, 1 =, = 1, = y = x + b, substituindo por exemplo pelas coordenadas de c, determinamos a ordenada na origem. 19. Como o triângulo [ABC] é equilátero, AB = BC = AC = 9 1 = a Então, a área de cada quadrado é igual a (a ). Como são três quadrados (a ) = = (a 8a + 16) = = a a ( ) = = = = o = = = ( ) ( 9) ( ) = = 9 6 = ( ) + b b = 6

12 A_Prova 6 Prova final modelo A percentagem de elementos do grupo B é 6,9 + 1, = 8,1 Logo, P(B) = 1 P(B) = 1 0,081 = 91,9% 1.. Como a percentagem de elementos do grupo O é, + 6,7 =,1%, 000,1% = 8 R.: 8 alunos. 1.. Tipo B: 6,9 + 1, = 8,1% P = 1, 0,1 8, 1 A probabilidade do sangue ser Rhesus negativo sabendo que é do grupo B é, aproximadamente, 1% a hexágonos. a + 7 hexágonos. a + 1 hexágonos +. a 1 + = 17 hexágonos R.: 17 hexágonos a 1 hexágono branco +. a hexágonos brancos. a + hexágonos brancos Podemos utilizar a expressão n 1 para determinar o número de hexágonos brancos, então 10 1 = 19 A 10. a figura tem 19 hexágonos brancos a 1 hexágono cinzento +. a hexágonos cinzentos. a 7 hexágonos cinzentos + Podemos utilizar a expressão n para determinar o número de hexágonos cinzentos. Então n = 1 n = n = 11 A 11. a figura tem 1 hexágonos cinzentos. Brancos tem 11 1 = 1 Então =. Esses termo, o 11. o, tem hexágonos... n, já abordado na alínea c)... n = 8 n = 60 n = 0 R.: A sequência tem 0 termos.. Como o círculo está inscrito num quadrado, a medida do diâmetro do círculo é igual ao comprimento do lado do quadrado. Como P = cm, então = = 6 cm. Sendo d = 6 cm, então r = cm Assim, A círculo = π r = 9π 8, Logo, a opção correta é a [B]...1. Se o número de participantes triplicar o valor com que cada um participará passará à terça parte, ou seja,,... Como k = 7, = 0 0 : 6 = 0 : 10 = 0 : 1, = 0 0 : = 1, Número de participantes Valor da participação ( ) 7, 6 1, 1,.. n v = tg 0 o AB = AB = 8 tg 0 o A [ABCD] = 8 8 tg 0 o = = 6 tg 0 o =, R.: A =,7 cm.. V cilindro = Ab h = π r BC V cilindro = π (8 tg 0 o ) 8 = 1 R.: V 11 cm Como o triângulo [AOC] é equilátero, AO^C = 60 o. Como é um ângulo ao centro, o seu arco correspondente é AC = 60 o. Como AC = DF DF = 60o DF = 0 o Como BOA é um ângulo ao centro, BO^A = BA = 90 o. Como BEA é um ângulo excêntrico cujo vértice está no exterior da circunferência, temos: AB DF BE^A = = 90o 0 o = 0 o = o 6.. Como AB = 0, recorrendo ao teorema de Pitágoras, temos:

13 Matemática 9.º Ano 7 AB = OB + OA, ou seja, (0) = OB + OB OB = OB = OB = OB = OA = OC = AC, porque o triângulo [ABC] é equilátero. Para determinar a altura do triângulo [AOC], =, x x = 6, x = 18,7 A [ABOC] = A [ABO] + A [AOC] = OB AO = + A [ABOC] = + R.: A [ABOC] cm 7. B Z são os elementos de B que são números inteiros, ou seja,, 0 e 16. Logo, a opção correta é a [D] g(x) = k x Como A pertence ao gráfico de f e a sua abcissa é 1, então f( 1) = ( 1) =, ou seja, A( 1, ) Logo, k = 1 = e, portanto, g(x) =. x 8.. Como B pertence ao gráfico de g e de h, g( ) = = 1, ou seja, B(, 1) C pertence ao gráfico de f e é simétrico de A em relação ao eixo das ordenadas, então C(1, ). Como B e C são pontos do gráfico de h, B(, 1) e C(1, ). 1 m BC = = 1 ( ) h(x) = x + b Substituindo, por exemplo, pelas coordenadas do ponto C, obtemos b b = AC x 18,7 b = 1 7 h(x) = x Como AC = e a diferença das ordenadas dos pontos B e A é igual a 1 =, então A [ABC] = = u.a. 8.. a) A (1, ), B (, 1) e C ( 1, ) b) A (, ), B (6, 7) e C (1, ) 9. n número de pins p número de postais 9.1. n + p = 6,6 n + p = 7,6 9.. n + p = 6,6 n = 7,6 p n =,8 p (,8 p) + p = 66 11, 6p + p = 6,6 p =,8 p = 1, p = 1, n =,8 1, n = 1, C.S. = {(1,; 1) R.: Cada pin custou 1, e cada postal custou 1,. 10. Se a razão entre as áreas é , então r = Logo, a razão entre os volumes é r = A opção correta é a [C]. 11. Se a equação tem apenas uma solução, então = 0 b ac = 0 ( a) 8 = 0 a 6 = 0 (a 8)(a + 8) = 0 a = 8 a = 8 C.S. = { 8, 8} 1. (k 7 k ) 1 = (k 7 ) 1 = (k ) 1 = k = 1 k = k 1

14 A_Prova 8 1. Como 6 + = 11 e 6 = 1, 1 < BC < 11 e a opção correta é a [C] o Traçar a mediatriz de [AB].. o Traçar o arco de circunferência de centro em A e raio 10 metros.. o Marcar o ponto da mediatriz e do arco de circunferência mais próximo da saída. AB h.. A [OABC] = A [OAB] = = AB h cos, o = h h = cos,o sen, o = x x = sen, o Logo, A [OABC] = cos, o sen, o 11,1 cm A Saída. (k ) 6 k 1 = k 1 k = k 7 Prova final modelo 1. Cinco cartões 1.1. A: sair vogal P(A) = Entrada número de casos favoráveis número de casos possíveis = O acontecimento complementar de A é igual a: P(A) = 1 P(A) = 1 = 1.. Como a Susana retirou uma consoante, agora só existem duas consoantes, ou seja, o número de casos favoráveis é e o número de casos possíveis é. P( sair consoante ) = = O triângulo [EOF] é isósceles: EO = FO porque são raios de circunferência... a) FG = 6 0 o = 90 o 8 b) GO^B = 6 0 o = 1 o (ângulo ao centro) 8 0 c) DH^G = 6 o 8 : = 67,o (ângulo inscrito) DFG ou seja, DH^G = = 67, o L B. Como C e B e < 1 <, então 1 pertence ao segmento de reta [CB]. Logo, a opão correta é a [A]...1. Como A(0, 8) e B(6, 0), então m AB = 0 8 = = e a ordenada na origem é 8, ou seja, b = 8. AB: y = x O diâmetro é igual a AB, ou seja, pelo teorema de Pitágoras AB = AB = AB = 100 AB = 10 AB r = = 1 0 = Logo, a área do semicírculo é π 9 u.a. 6. Como 7 km/h = 6 mph, 1 Km/h = mph 7 7. Como EDC é um ângulo inscrito no arco CE = 1 o, o então ED^C = 1 = 77 o. Como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 o, CE^D = 180 o (77 o + 1 o ) = o Logo, a opção correta é a [A].

15 Matemática 9.º Ano (x + )(x ) = 0 1 = 0 x + = 0 x = 0 x = x = C.S. = {, } o Marcar três pontos quaisquer na parte da circunferência dada.. o Traçar as cordas AB e BC.. o Traçar as mediatrizes das cordas [AB] e [BC]. O ponto de interseção das duas mediatrizes é o centro da circunferência (x + )(x ) = 0 x + (x ) = 0 x x + x 8 = 0 x + x 8 = 0 ± 8) ( x = x = ± 6 x = x = C.S. = {, } 9. Como OC = OB, o triângulo [OBC] é isósceles. Então, BC^O = OB^C = 0 o. x o = 0 o + 0 o = 100 o (x é externo e não adjacente a BC^O e OB^C, ou seja, a sua amplitude é igual à soma das amplitudes dos dois ângulos) % + 0% 60 o = 0% + 1% = % 0% sobre os 60% cm cm = = 6 0 km cm =, x x =, x = cm x = 10 km A = (x + ) (x ) = = (x 9) m 1.. x x = 6 x = 9 x = x = Se x = então x + = + = 9 x = = R.: As dimensões da sala são 9 m e m P = ], ] [1, +[ = ], +[ Como < 1, 1 é o menor inteiro que pertence a P. 1.. Q = x R: (x + ) > x > x + ( ) ( ) ( ) ( ) 1x + > 6x + 0 1x 6x > 0 9x > x = 9 Q =, + 9 P Q = ], +[ = P 1. 1 mesa 6 cadeiras + mesas 10 cadeiras + mesas 1 cadeiras 1.1. mesas 1 + = 18 mesas 18 + = 6 mesas + = 6 cadeiras 1.. Podemos utilizar a expressão n + = n = n = n = 8 9 R.: Oito mesas.

16 A_Prova Substituindo x por e y por 1, obtemos ( ) = ( 6) = ( ) = = 0 1 = 1 Falso Verdadeiro O par ordenado (, 1) não é solução do sistema porque não é solução da 1. a equação. 17. BC = 8 BC = 8 A [ABC] = R.: A = 18 cm.. sen α = α 6,9 o AC BC A [ABC] = = 6 = α = sen 1 7 B Bola C..1. O raio da circunferência é igual a OP. P(x, ), como P f: Deck A Piscina J f(x) = x = x = x = 1, então P(1, ) OP = 1 + OP = 10 OP = 10 P = π r P = π 10 19,9 R.: P = 19,9 cm.. Como OP = PA, a imagem é o ponto A. Prova final modelo Como no total são 00 jornalistas 00 ( ) = = = = 0 0 jornalistas franceses do sexo masculino. 1.. Número de casos favoráveis: 1 Número de casos possíveis: 00 1 Logo, P = = = 0, Como o triângulo [ABC] está inscrito numa semicircunferência é retângulo em C. Pelo teorema de Pitágoras, AB = AC + BC, ou seja, (7) = (7) + BC 7 = 7 + BC BC = Os triângulos [ABC] e [EBD] são semelhantes, pelo critério AA: os ângulos CBA e DBE são coincidentes e os ângulos ACB e EDB são ângulos agudos de lados paralelos, ou seja, têm igual amplitude... A [DEB] = = cm A ABC ] = A[ 1 =, ou seja, r = r = [ DEB ] Então, AB = EB = = 6 cm, logo AE = cm.. x João x Filipe Carlos x + x + = x x + x + 1 = 6x 6x x = 1 x = 1 R.: A coleção era composta por 1 filmes.

17 Matemática 9.º Ano V = Ab h Ab = 1 = 0 altura = 1 cm V = 0 1 = 60 R.: V = 60 cm V círculo = π r = π = π AD = AB = = 10 π A setor circular = = 1 6π 60 = 6 8π 60 1 Logo, A colorida = π + 6 8π 6,8 1 R.: A 6,8 cm 7.. EB^D = 60 o 10 o = 8 o Logo, 8 o 60 o x πr x = π = = π 18,01 R.: 18,01 cm 8. 6 ( ) = 6 6 = 8 = = + 1 = 9 ( 1) = a número de automóveis b número de bicicletas. a número de rodas dos automóveis b número de rodas das bicicletas Como há rodas então a + b = E como o número de automóveis é o quadrúplo do número de bicicletas, então a = b. a = b a + b = 10. f(x) = x 6, D = { 1, 0,, } [f() + f(0)] = = [ ( 6) + ( 0 6)] = = ( 9 + ( 6)) = = (18 18) = = 0 = = y = 81 = 9 f(x) = 9 x 6 = 9 x = x = x = x = 1 R.: O objeto é f(x) = 0 x = 6 x = 6 x = C.S. = {} 10.. (f + g)() = f() + g() = = ( 6) + = = = = O quadrilátero [ABCD] é um trapézio porque é um quadrilátero com dois lados paralelos, [DC] e [AB]. AB + DC 11.. A [ABCD] = AD A [ABCD] = = 0 R.: A [ABCD] = 0 cm 11.. tg BCD = BC^D 1, CB^A = 60 o (90 o + 1, o ) = = 60 o 1, o = = 18,66 o 1. Os dois conjuntos não têm elementos comuns. 7 1 A opção correta é a [A]. 1. x(1 + x) x = x + 1 x + x x = x + 1 x x 1 = 0 x x 1 = 0 1 ± 1 x = 1) ( 1 ± x = x = 1 ±

18 A_Prova 1 x = 1 x = 1 C.S. = A(0, 0); B(1, 1); C(, 1); D(, 1) e E(1, 1). 1.. y 6 CB^E = 180 o β, ou seja, α o β = 90 o α + β = 60 β + β = 60 α + 90 β = 90 k = β β = 60 β = 0 β = 0 α = 0 α = 1 R.: α^ = 1 o e β^ = 0 o 1.. D C E E D A A B B C y B C 6 A E D x Prova final modelo Como B pertence à reta AB, B tem abcissa. Assim, y = + y = 1 Logo, B tem ordenada Determinemos a equação reduzida da reta BC. 1 m BC = = ( ) 6 = 1 y = 1 x + b A E B D C x Como o ponto C pertence à reta BC, temos: = 1 + b b = b = BC: y = 1 x + 1. x (x ) + x x ( ) ( ) ( ) x + 8x x + 8x + 1 7x 1 x 1 7 C.S. = 1, Como AE = AB, então AE^B = EB^A = α Como o triângulo [ADE] é equilátero, então AE^D = 60 o, ou seja, α + β + α = 60 o. Como o triângulo [BEC] é isósceles, então Como D pertence ao eixo Oy, D tem abcissa 0. Logo, y = = 1.. A [ABC] = b h A [ABC] = = 9 u.a. 1.. O polígono [ABCK] é um paralelogramo, porque tem os lados paralelos dois a dois (AC // BK e AB // CK) e AC = BK e AB = CK.. BC AB.1. tg θ = e tg α = BD BD Assim, t g θ B C = B D BC BD BC = = tgα A B BD AB AB B D

19 Matemática 9.º Ano 1.. Sabemos que DB^A = 90 o. Se AD^B = o, então BA^D = 180 o 90 o o = o, ou seja, o triângulo tem dois ângulos de o. Assim, o triângulo é isósceles, porque a ângulos de igual amplitude correspondem lados de igual comprimento. BC BC.. tg θ = tg 0 o = BC = 6 tg 0 o BD 6 BC BD A [BDC] = A [BDC] = 6 tg 0 o 6 1, R.: A [BDC] = 1, cm , ,8 = 0,17, ou seja, 17% = 9170, =, BA^D = 90 o porque a reta AB é tangente à circunferência em A. AO^C = 180 o 90 o o = 6 o Como AO^C é um ângulo ao centro AC = 6 o, logo o arco maior AC é igual a 60 o 6 o = 1 o... Como AO^C = 6 o, temos: 6 o 60 o x πr x = π 6 = π 60 = 6 π, R.:, cm.. Como AO^C = 6 o e AOC é um ângulo ao centro, cada arco determinado pelo polígono teria 6 o. Como 60 o : 6 o = 7,8 e 7,8 N, não é possível construir o polígono. 6. f(x) = ax 0 = a a = 0 a = Logo, f(x) = x. Se x = 6, então f(6) = 6 = 8, V prisma = = m V metade cilindro = π = 0 000π m V sólido = π 16 81,9 R.: V sólido 16 81,9 m. 7.. Por exemplo, a reta AB. 7.. Como a reta AF é paralela à reta CH, e sendo s // AF, então s // CH. 7.. O ponto A. 8. O número de casos favoráveis é zero, porque não há nenhum produto igual a zero. Logo P = 0. Logo, a opão correta é a [A]. 9. V cilindro = Ab altura = πr altura r = x + V = 6π π x + = 6π (x + ) = 6 (x + ) = 16 x + = ± 16 x + = x + = x = HJ GF 10. A [HJF] = A [HJF] = 1 10 = 60 R.: A [HJF] = 60 cm. 11. [A] Se a e b são números naturais consecutivos, então um deles é par, logo o produto é par. [B] Falsa. Por exemplo, 7 6 = 1. [C] Falsa. Por exemplo, 7 = 9. [D] Falsa. Por exemplo, (7 6) = 1 = 1 Logo, a opção correta é a [A]. 1. [A] Falsa, β^ + α^ = δ^. [B] Falsa, α^ + β^ < ^ + δ^. [C] Falsa, α^ > ^ + β^. [D] Verdadeira, porque α^ + β^ = δ^. Logo, a opção correta é a [D]. A ordenada do ponto de abcissa 6 é 8,8.

20 A_Prova Por exemplo, AF e HF. 1.. a) ED + GF = ED + DA = EA b) Como os vetores ED + AF sãlo equipolentes, e E + ED = D, então E + AF = D. 1.. Como AD + FG, T AD (F) = A imagem de D é A e a imagem de G é F, então a translação é associada ao vetor DA. 1.. Rotação de centro no ponto médio de [FD] e amplitude 180 o , = milhões. 1.. a = 1 = b = = 1 c = = 0,7 1.. A opção correta é a [B] porque n p =. 1.. n p = 1. Média = 1 Mediana = Moda =