Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro

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1 Um passeio pela sequência de Fibonacci e o número de ouro Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia - UESB - Campus de Itapetinga Departamento de Ciências Exatas e Naturais - DCEN 22 de abril de 2015

2 Introdução Neste Seminário iremos apresentar o seguinte: A biografia do matemático Leonardo de Pisa (Fibonacci). Suas contribuições matemáticas. A sequência que leva seu nome (Sequência de Fibonacci) e suas propriedades elementares. O número de ouro. A relação entre o número de ouro e a sequência de Fibonacci. Aplicações da sequência de Fibonacci e do número de ouro.

3 Objetivos Conhecer a história de Fibonacci e suas principais obras. Apresentar o problema que deu origem a sequência de Fibonacci. Definir a sequência de Fibonacci, elucidando suas principais propriedades elementares. Conhecer o número de ouro e sua história. Determinar o número de ouro. Construir o retângulo e a espiral áurea. Apresentar a conexão entre o número de ouro e a sequência de Fibonacci. Apresentar algumas aplicações dos números de Fibonacci e da razão áurea.

4 Biografia de Fibonacci e suas principais obras Reginaldo Leoncio Figura: Silva Fibonacci Leonardo de Pisa, Filho de um comerciante italiano chamado Guilielmo dei Bonaccio, por isso ficou conhecido como Fibonacci, viveu entre os anos de 1180 e 1250.

5 Nasceu na cidade Pisa na Toscania (Itália). Reginaldo LeoncioFigura: Silva Itália

6 Iniciou estudando assuntos relacionados a negócios e comércio mercantil, recebendo parte de sua educação em Bejaia, norte da África, onde seu pai desempenhava uma função alfandegária. A partir daí, estudando com professores árabes, estudou também Matemática no Egito, Siria e Grécia. Assim teve a oportunidade de conhecer e estudar o sistema de numeração indo-arábico.

7 Em 1202 retorna a Itália e escreve vários livros: LIBER ABACI (1202): um livro sobre cálculos. Foi revisto em 1228 e nele encontra-se o problema dos coelhos. PRACTICA GEOMETRIAE (1220): livro que aborda a aplicação da álgebra à solução de problemas de Geometria e trigonometria. FLOS (1225): obra dedicada ao cardeal diácono Raniero Capacci, com soluções para os problemas postos por João de Parma. LIBER QUADRATORUM (1225): É o maior livro que escreveu. Trata de equações diofantinas, dedicado ao imperador Frederico II.

8 O livro Liber Abaci (Livro do ábaco) Mostra seus trabalhos em álgebra e aritmética, tais como: métodos de cálculos com inteiros e frações, o cálculo de raízes quadradas e cúbicas e a resolução de equações lineares e quadráticas. Tem muito a influência das álgebras de Al-Khowârizmî e Abû Kâmil. Trata de conversão monetária e outros interesses do comércio e de uma gama de problemas. Este livro foi importante para a popularização dos números indo-arábicos.

9 Sentença de abertura do Liber Abaci A sentença de abertura do Liber Abacci trazia a seguinte mensagem: Nouem figure indorum he sunt Cym his itaque nouem figuris, et cum hoc signo 0, quod arabice zephirum appelatur, scribur quilibet numeus, ut inferius demonstratur (Estes são os nove algarismos indianos Com esses nove algarismos, e com o sinal 0, que os árabes chamam de zephirum, pode-se escrever qualquer numero, como se demonstrará a seguir.) (EVES, 2004, p. 294)

10 O problema de reprodução dos coelhos De todos os temas e problemas tratados no Liber Abaci o que mais se destacou e que ainda hoje cria-se novas aplicações é o problema dos coelhos, elucidado no livro História da Matemática de Boyer (1974, p. 186): Quantos pares de coelhos são produzidos num ano, começando com um só par, se em cada mês gera um novo par que se torna produtivo a partir do segundo mês?

11 Qual o número de casais de coelhos numa população considerando-se que: 1 No primeiro mês tem-se apenas um casal; 2 Casais reproduzem-se somente após o segundo mês de vida; 3 Não há problemas genéticos no cruzamento cossanguíneo; 4 Todos os meses, cada casal fértil dá à luz um novo casal; 5 Os coelhos nunca morrem.

12 Solução: 1 A resolução deste problema gera uma sequência amplamente estudada com várias aplicações na natureza e recheada de inúmeras propriedade interessantes. Está sequência é conhecida como sequência de Fibonacci. Figura: Esquema de reprodução dos coelhos

13 A sequência de Fibonacci Definição: A sequência de inteiros (F n ) : (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...), onde F 1 = F 2 = 1 e F n = F n 1 + F n 2, n 3, n N, recebe o nome de sequência de Fibonacci. Seus termos chamam-se números de Fibonacci. No Século XIX essa sequência foi devidamente chamada de sequência de Fibonacci pelo matemático francês Edouard Lucas ( ).

14 Propriedades elementares A soma dos primeiros números da sequência de Fibonacci é igual a F n+2 1. A soma dos primeiros números de Fibonacci com índices impares é igual a F 2n A soma dos primeiros números de Fibonacci com índices pares é igual a F 2n+1 1 (F 1 ) 2 + (F 2 ) 2 + (F 3 ) (F n ) 2 = F n F n+1, n 1 Quaisquer dois números de Fibonacci consecutivos são primos entre si. F m+n = F m 1 F n + F n+1 F m, n 1, m 2.

15 Prova da propriedade 4: Vamos fazer a prova usando indução sobre n. Para n = 1, temos que: (F 1 ) 2 = 1 2 = 1.1 = F 1 F 2. Logo o caso base é verdade. Suponhamos agora que (F 1 ) 2 + (F 2 ) 2 + (F 3 ) (F n ) 2 = F n F n+1, n 1. Iremos provar que: (F 1 ) 2 + (F 2 ) 2 + (F 3 ) (F n ) 2 + (F n+1 ) 2 = F n+1 F n+2, n 1. Usando a hipótese de indução, temos que: (F 1 ) 2 + (F 2 ) 2 + (F 3 ) (F n ) 2 + (F n+1 ) 2 = F n F n+1 + (F n+1 ) 2 = F n+1 (F n + F n+1 ) = F n+1 F n+2, como queríamos provar.

16 Fórmula de Binnet No século XIX, o matemático francês Jacques Philippe Marie Binet deduziu a fórmula que permite encontrar o enésimo número da série de Fibonacci sem a necessidade de se conhecer os números anteriores. { ( Para todo n 1, tem-se que F n = 1 ) n ( ) } n , onde (F n ) é a sequência de Fibonacci.

17 O número de ouro Definição: O número de ouro, também conhecido como proporção áurea, número áureo, secção áurea, proporção de ouro, é um número irracional, cujo valor é: φ = = 1, É um número muito misterioso e enigmático. No Egito as pirâmides de Gizé foram construídas usando a razão áurea. A razão entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro.

18 Relações áureas na pirâmide Figura: Pirâmide

19 Os Pitagóricos perceberam a secção de ouro na construção da estrela pentagonal (ou pentagrama). Temos que: CA CD = 9,51 BP 5,88 1, 61 e PE = 5,88 3,63 1, 61

20 Euclides ( a.C.) escreveu em seus Elementos que havia encontrado uma proporção que se repete na natureza. esta proporção ele chamou de média e extrema razão. Em 1509, o monge Luca Paccioli publicou o livro A Divina Proporção, com ilustrações de Leonardo da Vinci ( ). Neste livro Paccioli diviniza a proporção áurea ligando-a ao Criador.

21 A seção áurea Definição: Diz-se que um ponto divide um segmento de reta em média e extrema razão ou em seção áurea, se o mais longo dos segmentos é média geométrica entre o menor e o segmento todo. A razão entre o maior segmento e o menor segmento chama-se razão áurea. Entre outras palavras, dado um segmento AB de medida a + b, seja C o ponto entre A e B, tal que, AC = a > CB = b como mostra a figura abaixo. Figura: Segmento áureo

22 Figura: Segmento áureo Assim temos que: AC BC = AB AC a b = a+b a a 2 = ab + b 2 Dividindo ambos os membros por b 2, obtemos: a 2 b 2 = a b + 1 Como φ = a b, resulta que: φ 2 φ 1 = 0, cujas raizes são: φ = 1± 5 2

23 O retângulo áureo, a sequência de Fibonacci e a espiral áurea O retângulo áureo é um retângulo no qual a razão entre as medidas de seus lados é o número de ouro, ou seja, se x e y são, respectivamente, o maior e o menor lado, tem se que: x y = φ = Por ser considerado uma figura esteticamente agradável, este retângulo exerceu enorme influência em obras arquitetônicas e em pinturas.

24 Construção da espiral áurea

25 Passos para a construção da espiral áurea no Geogebra: Figura: Construção de um quadrado de lado 1

26 Figura: Construção de um quadrado de lado 1

27 Figura: Construção de um quadrado de lado 1

28 Figura: Construindo outro quadrado de lado 1

29 Figura: Construindo um quadrado de lado 2

30 Figura: Construindo um quadrado de lado 3

31 Figura: Construindo um quadrado de lado 5

32 Figura: Construindo um quadrado de lado 8

33 Figura: Construindo um quadrado de lado 13

34 Figura: Traçando a espiral no quadrado INOP

35 Figura: Traçando a espiral no quadrado INOP

36 Figura: Traçando a espiral no quadrado LMNG

37 Figura: Traçando a espiral no quadrado LEJK

38 Figura: Traçando a espiral no quadrado JDHI

39 Figura: Traçando a espiral no quadrado CFGH

40 Figura: Traçando a espiral no quadrado AEFB

41 Figura: Traçando a espiral no quadrado DABC

42 Relação entre o número de ouro e a sequência de Fibonacci

43 Se r n = F n+1 F n então lim n r n = L = φ = Essa relação foi estabelecida primeiramente pelo matemático escocês Robert Simpson, em 1753.

44 Prova: Seja r n = F n+1 F n r n = Fn+F n 1 F n, n 2. Como F n+1 = F n + F n 1, temos que: = 1 + F n 1 F n = r n 1. Seja lim n r n = L. Como lim n r n 1 = L, segue-se que: L = L, ou seja, L2 L 1 = 0. Resolvendo esta equação vem que: L = 1± 5 2. Como r n 0, n, podemos concluir que L = = φ, como queríamos provar.

45 Potências de φ Desenvolvendo as potências de φ, temos: φ 2 = ( = 1 + φ ) 2 = = = = φ 3 = φ 2 φ = (1 + φ) φ = φ + φ 2 = φ φ = 1 + 2φ φ 4 = φ 3 φ = (1 + 2φ) φ = φ + 2φ 2 = φ + 2 (1 + φ) = φ φ = 2 + 3φ φ 5 = φ 4 φ = (2 + 3φ) φ = 2φ + 3φ 2 = 2φ + 3 (1 + φ) = 3 + 5φ φ 6 = φ 5 φ = (3 + 5φ) φ = 3φ + 5φ 2 = 3φ + 5 (1 + φ) = 5 + 8φ... φ n = F n 1 + F n φ, n 2, onde (F n ) é a sequência de Fibonacci.

46 Outras expressões que geram o número de ouro O número φ pode ser gerado por outras expressões interessantíssimas. Vejamos: φ = φ =

47 Prova: Fazendo y = , obtemos que: y = y, ou seja, y 2 y 1 = 0. Resolvendo obtemos: y = 1± 5 2 Fazendo y = , obtemos que: y = 1 + y. Daí, y 2 = 1 + y, ou seja, y 2 y 1 = 0. Resolvendo obtemos: y = 1± 5 2

48 A sequência de Fibonacci e o número de ouro na natureza A sequência de Fibonacci está intimamente relacionada com a natureza. Ela aparece em inúmeras situações, seja na forma de sequência numérica ou através da espiral de Fibonacci, como por exemplo, nos troncos de árvores, em folhas, frutos, animais, etc. A seguir, veremos algumas dessas aparições.

49 O número de ouro e o pentagrama Figura: O pentagrama

50 A razão entre o segmento AP e PC é igual ao número de ouro. Em um pentagrama a razão entre a diagonal e o lado do pentágono é igual ao número de ouro.

51 Passos para a construção do pentagrama no Geogebra: Figura: Construindo um círculo

52 Figura: Inserindo o valor do raio

53 Figura: Círculo de raio 5

54 Figura: Inserindo um ponto B no círculo

55 Figura: Inserindo um ponto B no círculo

56 Figura: Construindo um ângulo de 72 o

57 Figura: Construindo um ângulo de 72 o

58 Figura: Obtendo os outros ângulos de 72 o

59 Figura: Pentagrama

60 Figura: Pentagrama

61 Exemplos de aparições do pentagrama na natureza

62 A galáxia Na figura abaixo, temos a foto de uma galáxia, que apresenta o formato da espiral áurea. Figura: A galáxia

63 O Nautilus marinho O Nautilus é uma espécie de molusco oriundo do sudoeste do Oceano Pacífico. Na sua concha aparece a espiral áurea. Figura: O Nautilus

64 O antílope Se os chifres deste animal continuassem crescendo indefinidamente, o resultado seria o aparecimento da espiral de Fibonacci. Figura: Antílope

65 O camaleão Quando o rabo deste animal está contraído, percebe-se claramente umas das representações mais perfeitas da espiral de Fibonacci. Figura: O camaleão

66 Arranjo de folhas No arranjo das folhas de algumas plantas há a descrição da sequência de Fibonacci. Este arranjo é relevante na captação uniforme de raios solares e no escoamento das águas das chuvas. Figura: Espiral na folha

67 Ramos e troncos de plantas Existem várias plantas que descrevem os números de Fibonacci no crescimento de seus galhos. A Achillea ptarmica é um exemplo de planta que detém estas características. Figura: Espiral na folha

68 Pétalas de flores Em muitas flores, o número de pétalas é um número de Fibonacci. Figura: Flores

69 Sementes Nas sementes da pinha e do girassol, podemos encontrar os números de Fibonacci. Na pinha, as sementes crescem e se dispõe em duas espirais que lembram a de Fibonacci: oito irradiando no sentido horário e 13 no anti-horário. Já no girassol, suas sementes preenchem o miolo dispostas em dois conjuntos de espirais: 21 no sentido horário e 34 no anti-horário. Figura: Reginaldo Sementes Leoncio Silva da pinha Um passeioe do pelagirassol sequência de Fibonacci e o número de ouro

70 Árvore genealógica de um zangão

71 Aplicações da sequência de Fibonacci e do número de ouro CONVERSÃO DE MILHAS EM QUILÔMETROS Um milha é uma unidade de medida que equivale a 1609 metros, ou seja, 1,609 quilômetros. Note que este número é bem próximo do número de ouro cujo valor é 1,618. Assim, por exemplo, para converter 5 milhas em quilômetros, basta olhar para o próximo número de Fibonacci depois do 5, que é o 8, pois como sabemos o número 5 é um número de Fibonacci. Outro exemplo: Quantas milhas são 30 quilômetros? Basta decompor o número 30 como soma dos números de Fibonacci. Temos que 30 = = 19 milhas.

72 A sequência de Fibonacci na Física Na óptica dos raios de luz podemos verificar a presença da sequência de Fibonacci. Vamos considerar duas placas de vidro, de índices de refração diferentes, justapostas uma sobre a outra. Sabemos que um raio de luz que incida sobre esse conjunto pode sofrer reflexões e desvios. Assim sendo, vamos contar o número de caminhos possíveis de um raio de luz aumentando gradualmente o número de reflexões nesses caminhos.

73 Figura: Reflexão da luz

74 Triângulo de Pascal No triângulo de Pascal, a soma dos elementos da n-ésima diagonal é um número de Fibonacci. Figura: Triângulo de Pascal

75 A sequência de Fibonacci e o Teorema de Pitágoras A soma dos quadrados de dois números consecutivos da sequência de Fibonacci é um número de Fibonacci, isto é, F 2n+1 = (F n ) 2 + (F n+1 ) 2, n 1 Figura: Teorema de Pitágoras

76 Prova: Vimos que umas das propriedades dos números de Fibonacci é: F m+n = F m 1 F n + F n+1 F m, n 1 e m > 1. Tomando m = n + 1, temos que: F m+n = F (n+1)+n = F 2n+1 = F n F n + F n+1 F n+1 = (F n ) 2 + (F n+1 ) 2, como queríamos provar.

77 A proporção áurea no dia-a-dia Ao padronizar internacionalmente algumas medidas usadas em nosso dia-a-dia, os projetistas procuraram respeitar a proporção divina. Figura: Objetos com proporção áurea

78 Arte Muitos artistas consagrados, como Piet Mondrian, Cândido Portnari, Michelangelo, Leonardo da Vinci, usaram a razão áurea em suas obras artísticas, com o intuito de obter harmonia, beleza e perfeição. Como exemplo, podemos citar a famosa pintura Monalisa do famoso pintor italiano Leonardo da Vinci, produzido em Nesta obra, há a aparição de vários retângulos áureos, como por exemplo, em torno do rosto, num retângulo de dimensões 4,1 por 2,533, cuja razão é de aproximadamente 1,618.

79 Reginaldo Leoncio Figura: Silva A Monalisa

80 Outro exemplo, é a Santa Ceia, obra também de Leonardo da Vinci. Figura: A Santa Ceia

81 Arquitetura Com o mesmo objetivo de obter harmonia, beleza e perfeição, muitos arquitetos usaram em suas construções o número de ouro. Um dos exemplos mais ilustres é o Partenon, na Grécia, que foi obra do Grego Fídias (Phidias a.c. a 430 a.c), que era considerado um dos mais brilhantes arquitetos da Grécia Antiga. Nesta obra, percebe-se inúmeras aparições do retângulo áureo em sua estrutura.

82 Figura: O Partenon

83 Outro exemplo, é a torre de Toronto, no Canadá. Figura: Torre de Toronto

84 Outro exemplo, é a Catedral de Notre Dame em Paris

85 Razões áureas no corpo humano O número de ouro aparece como razão de medidas em inúmeras partes do corpo humano. Como exemplo, citaremos as seguintes: A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão. A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça. A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo. Tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta. A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até o chão.

86 Essas proporções anatômicas foram bem representadas pelo Homem Vitruviano, obra de Leonardo Da Vinci, que é baseado numa famosa passagem do arquitecto romano Marcus Vitruvius Pollio na sua série de dez livros intitulados de De Architectura. Figura: O homem vitruviano

87 Conclusão Este seminário possibilitou um conhecimento sobre a sequência de Fibonacci e o número de ouro, bem como sua relação e propriedades, mostrando várias aplicações no mundo material. Esperamos que o mesmo seja fonte de pesquisa para muitas pessoas que queiram conhecer tal sequência e que venha a ser trabalhado em sala de aula, devido a sua vasta riqueza.

88 Referências B. H. Gundlach. Números e numerais: Tópicos de História da Matemática para sala de aula. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Ediora Atual,1992. H. Eves. Introdução a História da Matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, C. B. Boyer. História da Matemática. Tradução: Elza F. Gomide. São Paulo: Editora Edgard Blucher LTDA, E. de A., Filho. Funções Aritméticas: Números notáveis. São Paulo: Nobel, A. Ferreira. Sequência de Fibonacci. Osasco, R. M. Queiroz. Razão Áurea. Londrina, 2007.

89 F. M. Freitas. A Proporção Áurea e curiosidades históricas ligadas ao desenvolvimento da ciência, VOROBIOV, N. N. Números de Fibonacci: Lecciones populares de matemáticas. Tradução: Carlos Vega. Moscou: Editoral MIR, ZAHN, Maurício. Sequência de Fibonacci e o Número de Ouro. Rio de Janeiro: Ciência Moderna Ltda., CONTADOR, P. R. M. A matemática na arte e na vida. 2. ed. rev.. São Paulo: Livraria da Física, 2011.

90 Muito obrigado pela atenção!