Prof. Lorí Viali, Dr.

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1 Prof. Lorí Viali, Dr.

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3 Em muitas situações é necessário saber se dois conjuntos dedados estãorelacionados ecom que intensidade ocorre esta relação. Medidas destinadasadeterminarograuderelacionamento entre duas ou mais variáveis são denominadas medidas de associação (variáveis qualitativas)ou correlação(variáveisquantitativas).

4 Estas medidas são expressas através de umnúmero,quegeralmentevarianointervalo de-1a1esãodenominadosdecoeficientesde associaçãooudecorrelação.

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6 Conceito O coeficiente de contingência C é uma medida associação entre dois conjuntos de atributos.éútilquandosedispõemapenasde dados apresentados em escala nominal em um ounosdoisconjuntosdeatributos.

7 Para determinar esta medida não é necessário dispor as variáveis em uma determinada maneira. Não importa quem seja linha e quem seja coluna, o valor obtidoseráomesmo.

8 ParacalcularocoeficientedecontingênciaC osdadosdevemserapresentadosemumatabelade contingência como a ilustrada a seguir. Os dados podem ser divididos em qualquer número de categorias, isto é, a tabela pode ser do tipo kxr, ondek=númerodecolunaser=númerodelinhas.

9 A 1 B 2... B k Total B 1 x 11 x x 1k s 1. B 2 x 21 x x 2k s B r x r1 x r2... x rk s r. Total s.1 s.2... s.k s..

10 Ocoeficientedecontingênciapode,então, serobtidoatravésdaseguinteexpressão: C = n χ2 + χ2 Onde χ 2 = r k i = 1 j = 1 ( ) Oij Eij E ij 2 éoqui-quadradocalculadoconformejávisto.

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12 Considere-se os valores os valores da tabela como sendo o resultado das variáveis: Grau de instrução (coluna) e Procedência (linha).determinar ograudeassociaçãoentre asduasvariáveis.

13 Prim. Grau Seg. Grau Superior Total Capital Interior Outra Total

14 Oqui-quadradoserá: χ 3 3 i = 1j = 1 ( ) O E E 2 ij ij = ij 2 = 5,0989 O coeficiente de contingência será: C = n χ2 + χ2 = 5, ,0989 = 0,34

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16 Umavezobservadoumarelaçãoentredois conjuntos de atributos em amostras, quer-se determinar se é plausível concluir pela associação desses mesmos atributos na populaçãodeondeforamretiradasasamostras.

17 Aosetestar asignificânciadeumamedidade associação,está-senarealidadetestandoahipótese de nulidade de que não existe associação na população,istoé,queovalorobservadopoderiater ocorrido aleatoriamente entre as amostras mesmo queaspopulaçõesnãoapresentamqualquerrelação.

18 Paratestarahipótesedenulidade,determinase a distribuição amostral da estatística, neste caso, a medida de associação, sob H 0. Utiliza-se, então, uma prova estatística adequada para determinar,aumníveldesignificânciapré-fixado, se o valor observado pela estatística considerada podeterprovavelmenteocorridosobh 0.

19 Embora, muitas estatísticas de associação possam ser determinadas por este método o coeficiente de contingência C, constitui um caso especial. Uma das razões por que não se pode utilizaradistribuiçãoamostraldecparatestarum determinadovalorobservado,residenaconsiderável complexidadematemáticadetalprocedimento.

20 Outra razão é que no desenvolvimento do cálculo de C, já se calcula de forma intermediária uma estatística que constituí uma indicação simples e adequada da significânciadec.

21 Talestatísticaéoχ 2.Pode-sedeterminar se umvalor de C diferesignificativamentede umvalorcausalsimplesmentedeterminandose umvalorde χ 2 ésignificativo.

22 Para qualquer tabela de contingência kxr pode-se determinar a significância do grau de associação pela estatística C, determinando a probabilidadedeocorrência,sobh 0,devalores tão grandes quanto o valor observado de χ 2, comgl=(k-1)(r-1).

23 Seessaprobabilidadenãosupera α,podeserejeitar ahipótesedenulidade,àquelenível. Se o qui-quadrado baseado nos valores amostrais ésignificativo,pode-seconcluir que, na população, a associação entre os dois conjuntosédiferentedezero.

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25 No exemplo anterior foi determinado que o coeficiente de associação entre as variáveis: escolaridade e procedência é C = 0,34. Para chegar a este valor foi utilizado o valor χ 2 = 5,0989. É este valor que vai ser usado para testarasignificânciadec.

26 Nesse caso o grau de liberdade será gl=(3-1)(3-1)=4. A significância do resultado encontrado, istoé,5,0989é27,73%. Assim não é possível afirmar que existe associaçãonapopulação.

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28 Agrandeaplicabilidadeeadeterminação relativamentefácil decpodemdar aentender quesetratadeumamedidaidealdeassociação. Este não é o caso, no entanto, em razões das limitaçõesdestaestatística.

29 Em geral, pode-se dizer que um coeficiente de associação (correlação) deve apresentar pelo menos as seguintes características:

30 Ondehouvercompletafaltadeassociação ocoeficientedevedarzero. Quando as variáveis são completamente dependentes entre si, isto é, estão perfeitamente relacionadas o coeficiente deveseriguala1.

31 O coeficiente C tem a primeira destas características, mas não a segunda. Ele é zero quando não existe associação, mas não atinge o valorum,quandoarelaçãoéperfeita,sendoesta a primeira limitação do coeficiente de contingênciac.

32 O limite superior de C é uma função do número de categorias. Quando k = r, o limite superior dec,istoé,ovalor quedeveriaocorrer seasvariáveistivessemumarelaçãoperfeitaé: k 1 k

33 Porexemplo,olimitesuperiordeCpara uma tabela 2x2 é igual a 0,71. Para uma tabela3x3,omáximoquecpodeatingiré um valor de0,82.

34 OfatodeovalormáximodeC,depender de k e r é uma segunda limitação, pois dois coeficientes de contingência só serão comparáveis se provierem de tabelas com o mesmonúmerodelinhasecolunas.

35 Uma terceira limitação de C é que os dados devem se prestar para o cálculo do χ 2 antes que C possa ser convenientemente utilizado, isto é, o cálculo de C sofre das mesmaslimitaçõesdocálculodoqui-quadrado.

36 UmaúltimalimitaçãodeCéqueelenão édiretamentecomparável com nenhumaoutra medida de associação (correlação), como por exemplo, o coeficiente de Pearson, o de SpearmanouodeKendall.

37 A despeitodestas limitações o coeficiente de contingência é uma medida útil pela sua larga aplicabilidade, pois não exige suposições sobre a forma da população de escores, não exige continuidade da variável em estudo e requerapenasmensuraçãonominal.

38 Istofazdocoeficientedecontingência uma medida que pode ser aplicada em situações em que nenhuma outra pode ser aplicada.

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40 Resolva o exercício um do Laboratório Sete.

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42 Considerações Apesar desuapopularidadeocoeficiente de contingência tem a desvantagem de que o número de linhas e colunas influencia o resultado.aalternativaéutilizarocoeficiente V(deCramer),definidopor:

43 V = n.( 2 χ k 1) Onde:, n=tamanhodaamostra k=min{linhas,colunas}

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45 Resolva o exercício dois do Laboratóriosete.

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47 Considerações Dentre todas as estatísticas com base em postos,ocoeficientedecorrelaçãodespearman foi a que surgiu primeiro e é talvez a mais conhecidahoje.asuaprincipalvantageménão exigirnormalidadedosdados.

48 Esta estatística, por vezes designada rho (ρ), é representada, aqui por r S. É uma medida de associação que exige que as duas variáveis tenham mensuração pelo menos ordinal para que os postos possam ser determinados.

49 Determinação Suponha que existam n pares ordenados por postos representando duas variáveis. Por exemplo,umgrupodeestudantes ordenadode acordo com suas notas no vestibular de uma universidade e também de acordo com sua classificaçãoaofimdoprimeiroano.

50 Representando os escores do vestibular por: X 1, X 2,..., X n, e os escores da classificação ao final do primeiro ano por: Y 1,Y 2,...,Y n, pode-seutilizarumamedidade correlação por postos para determinar o relacionamentoentreasduasvariáveis.

51 A correlação entre a classificação no vestibular e a classificação ao fim do primeiro anoseriaperfeitaseesomentesex i +Y i =C= Constante,paratodo i.portanto,parecelógico usar as diversas diferenças: d i = X i - Y i como indicativodadiferençaentreosdoisconjuntosde postos.

52 Suponha que o aluno A tenha obtido o primeiro lugar no vestibular, mas ao fim do primeiroanoestejaemsextolugar.nestecaso,d = 1-6=-5.UmalunoB,poroutrolado,ficou em nono lugar novestibular e agora, aofinal do primeiroano,éosegundocolocado.ovalor ded paraeleéentão:d=9-2=7.

53 O valor das diversasdiferenças d fornece uma ideia do relacionamento entre as duas variáveis.searelaçãoentreosdoisconjuntosde postos fosse perfeita, todos os valores de d seriam zero. Quanto maiores os diversos valores de d, menor será a associação entre as duas variáveis.

54 Autilizaçãodiretadasdiferenças(d)para o cálculo do coeficiente de correlação acarreta dificuldades.porexemplo,osvaloresnegativose positivossecancelamseforemsomados.porisso é utilizado o valor de d ao quadrado, d 2, para eliminarestadificuldade.

55 Aexpressãoparaocálculodocoeficiente de correlação de Spearman é baseada no cálculo do coeficiente de Pearson (estatística paramétrica)r,onde:

56 r = xy 2 x y 2 Onde: x = X X y = Y Y Mas quando X e Y são postos, r = r S e a soma de n inteiros: 1, 2,..., n é dada por:

57 X = Y = n( n + 1) 2 E a soma dos quadrados dos postos, istoé, n 2 édadapor: = Y 2 2 X = n( n + 1)( 6 2n + 1)

58 Como: x = X X,então: ( X ) x 2 2 = ( X X ) = X2 = X2 n 2 nx Mas: e: X = Y = n( n + 1) 2 X2 2 = Y = n( n + 1)( 6 2n + 1)

59 Assim: 2 x = X 2 n( n + 1)( = 6 ( ) X n 2 2n + 1) n( n = n( + 1)( 2n + 1) n ( n+ 1) 6 4n n+ 1) 2 n3 n = = y = Mas:d=x y. Entãod 2 =(x y) 2 =x 2 +y 2 2xy

60 Assim: Σd 2 = Σ(x y) 2 = Σx 2 + Σy 2 2Σxy Pela expressão do cálculo do coeficiente decorrelaçãodepearson,tem-se: r = xy 2 x y 2 = r S

61 Então: xy = r S 2 x y 2 e d 2 = x 2 + y 2 2r S 2 x y 2 Portanto: r S = x y 2 2 x y d 2 2

62 Substituindo Σx 2 e Σy 2 na expressãoesimplificando,tem-se: 6 d = 1 n n rs 3 2

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64 Determinar o coeficiente de correlaçãodespearmanparaasvariáveis: XeYdoexercíciotrêsdolaboratóriosete.

65 X Y

66 X Y P X P Y d i Total

67 O valor do coeficiente de correlação seráentão: 6.4 S = 1 = r 3 0,9760

68 Empates Ocasionalmente podem ocorrer empates entre os escores de dois valores na mesma variável.quandoistoocorre,acadaumdeles é atribuído a média dos postos que seriam atribuídos caso o empate não ocorresse, isto é, adota-seoprocedimentousual.

69 Quando a proporção de empates é grande torna-se necessário a utilização de um fator de correção. O efeito de postos empatados na variável X ou Y, reduz a soma dos quadrados. Portanto, quandohouverempatesénecessáriocorrigirasoma dosquadrados.

70 Nestecaso: T = t 3 12 t Ondet=númerodeobservaçõesempatadas emdeterminadoposto. Asomadosquadradoscorrigidaseráentão: 3 2 n n x = 12 T X e y 2 = n 3 n 12 T Y

71 3 2 n n x = 12 T X e y 2 = n 3 n 12 T Y T,ondeasomadeTindicaosomatório sobre os vários valores de T para todos os gruposdeobservaçõesempatadas.

72 Assim se o número de empates for considerávelocálculodocoeficientedecorrelação despearmandeveserrealizadopor: Onde: r S = x y x 2 2 d y 2 2 x 2 = n 3 n 12 T X e y 2 = n 3 n 12 T Y

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74 Se as amostras utilizadas no cálculo do coeficiente de correlação de Spearman foram selecionadas aleatoriamente, então pode-se utilizarosseusvaloresparatestarseasvariáveis correspondentes estão associadas na população, istoser S podeserconsideradodiferentedezero.

75 Pequenas Amostras Suponha verdadeira a hipótese de nulidade,istoé,suponha-seque ρ S = 0. Seas amostras são aleatórias, então para uma dada ordem dos escores de X, todas as ordens possíveis dos escores Y tem a mesma probabilidade.

76 Para n valores existem n! ordenações possíveis dos escores X que podem ocorrer com qualquer ordenação dos escores Y. Como essas ordenações são igualmente prováveis, a probabilidade de ocorrência de determinada ordenação dos escores X conjuntamente com dadaordenaçãodosescoresy é1/n!.

77 Acadaumadas possíveis ordenações dey estáassociadoumvalorder S.Aprobabilidadede ocorrência, sob H 0, de cada valor de r S é então proporcional ao número de permutações que originamaquelevalor. Aplicandoafórmuladocálculodor S podeseperceberque:

78 Se n = 2, então r S só pode assumir os valores -1 e +1. Cada um destes valores tem probabilidade1/2. Se n = 3, então os possíveis valores der S são-1,-1/2,+1/2e+1.cadaumdestesvalores tem probabilidade de ocorrência, sob H 0, respectivamentede:1/6,1/3,1/3e1/6.

79 A tabela P (Siegel, pg. 315) fornece os valorescríticosunilateraisder S,obtidosporeste método. Para n variando de 4 a 30, a tabela fornece o valor de r S com a probabilidade associada,sobh 0,parap=0,05,ep=0,01.

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81 Suponhaque12pares das variáveisxe Y forneceram um coeficiente de correlação r S = 0,82. Verifique seépossível afirmar que esse valor é significativamente maior do que zeroaumaprobabilidadede1%.

82 Pela tabela P vê-se que esse valor é significativoaonívelp<0,01(testeunilateral). Pode-se então rejeitar a hipótese concluindo que, na população estudada, as duas variáveis estãopositivamenteassociadas.

83 Grandes Amostras Quandoné10oumais,asignificânciadeum valorobtidoder S,sobahipótesedenulidade,pode sercomprovadoatravésde(kendall,1948): t n 2 = r S n 2 1 r 2 s

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85 Conceito O coeficientedecorrelaçãopor postos de Kendall, τ (tau) é uma medida de associação paravariáveisordinais.nestecaso, τdaráuma medida do grau de associação entre os dois conjuntosdepostos.

86 Adistribuiçãoamostralde τ,sobh 0 é conhecidaepode,portantosertestada. Uma vantagem de τ sobre o coeficienter S é que τ podeser generalizadoparaumcoeficientede correlação parcial que será visto posteriormente.

87 Suponha-sequesepeçaadoisjuízes X e Y, para atribuir postos a quatro objetos.por exemplo,poderíamos solicitar que classificassem quatro ensaios por ordemdequalidadedeestilo.

88 Represente-seos quatroensaios pora,b,c ed.ospostosobtidosforam: Ensaio a b c d Juiz X Juiz Y

89 Reordenando os ensaios, de forma que os postosatribuídospelojuizxapareçamnaordem natural(1,2,...,n),tem-se: Ensaio a b c d Juiz X Juiz Y

90 Temosagoracondiçõesdedeterminarograu decorrespondênciaentreosjulgamentosdexede Y.OspostosatribuídospelojuizXjáestandona ordem natural, passa-se a determinar quantos paresdepostosatribuídospelojuizyseachamem suaordemcorreta(natural)emrelaçãoaooutro.

91 Considera-se primeiro todos os pares de postosemquefiguraoposto2dojuizy-oposto maisàesquerdaemseuconjunto.oprimeiropar, 2 e4,estánaordemcorreta,istoé,2precede4. Comoaordemé natural,atribui-seoescore+1 aestepar.

92 Ospostos2e3constituemosegundopar, que também está na ordem correta (o 2 vem antes do 3), recebendo, assim,também o escore +1.Oterceiroparconsistedospostos2e1.

93 Esses escores não estão na ordem natural, pois 2 não vem antes do 1. Atribui-se então ao par o escore -1. O total dos escores de todos os pares de postos que incluemoposto2é:+1+1-1=1.

94 Considera-se, em seguida, todos os pares possíveisdepostosqueincluemoposto4(segundo postodojuizyacontardaesquerda)eumoutro posto que o segue. Um par é o 4 e 3 cujos elementosnãoestãoemordem,recebendo,porisso, oescore-1.ototaldestesescoresé:-1-1=-2.

95 Considerando agora o posto 3 e os seguintes,obtém-seumúnicopar:3e1,cujos elementos não estão em ordem natural; o par recebe o escore -1. O total de todos os escores assimatribuídosé:1-2-1=-2.

96 Qualéototalmáximopossívelquesepode obterparaosescoresatribuídosatodosospares depostosdojuizy?

97 Obter-se-ia o total máximo se os postos dos juízes X e Y tivessem apresentado perfeita concordância,porqueentão,colocados os postos de Xemsuaordemnatural,cadapardepostosdojuiz Y se apresentaria também na ordem natural, recebendo,assim,oescore+1.

98 Ototalmáximopossível,nocasodeuma concordânciaperfeitaentrexey,seria 6. O grau de relacionamento entre os dois conjuntosdepostosédadopelarazãodototal efetivo de escores + 1 e -1, para o total máximopossível.

99 O coeficientedecorrelaçãopor postos de Kendall éarazão: τ = (total efetivo) / (total máximo possível)=-2/6=-0,33.

100 Isto é, τ = -0,33 é uma medida da concordância entre os postos atribuídos aos ensaiospelosjuízesxey.

101 Pode-se considerar τ como função do número mínimo de inversões ou permutas entre elementos vizinhos, necessário para transformar um posto em outro. Este coeficiente é uma espéciedecoeficientededesordenamento.

102 Método Viu-seque: τ=(totalefetivo)/(totalmáximopossível) Em geral, o escore máximo possível será: n 2 = n( n 1) 2

103 Anotando por S a soma dos escores +1e-1paratodosospares,tem-se: τ = n( S n 2 1 ) = n( 2S n 1 )

104 Onden=númerodeparesenvolvidos. O cálculo de S pode ser abreviado da seguinteforma: Após colocados em sua ordem natural os postos do juiz X, os postos correspondentes do JuizYseapresentamnaseguinte ordem: JuizY:

105 Pode-sedeterminarovalordeSpartindodo primeiro número à esquerda e contando onúmero de postos à sua direita que são superiores. Deste númerosubtrai-seonúmerodepostosàdireitaque sãoinferiores.procedendodestaformaparatodos ospostosesomandoosresultadosseobtéms.

106 Assim,paraosvaloresacima,ospostosà diretade2esuperiores a2são3e4,eo1é inferior.oposto2contribuí,então,com2-1 =1paraovalordeS.

107 Paraoposto4existe0valoressuperiores edoisinferiores,entãosuacontribuiçãoé:0-2 =-2.Paraoposto3,existeàdireitaapenasum inferior,entãosuacontribuiçãoparas é0-1 =-1.

108 Ototaldestascontribuiçõeséentãode: 1-2-1=-2=S. ConhecidoSpode-seaplicaraexpressãopara ocálculodocoeficiente τparaospostosatribuídos pelosdoisjuízes: τ = n( S n 2 1 ) = n( 2 n S 1 ) = 2( 2 ) 4( 4 1 ) = 4 12 = 0,33

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110 Abaixo as variáveis autoritarismo e aspirações de status social para 12 estudantes. Calcularovalorde τparaosdados

111 Para calcular τ vamos reordenar os estudantes de modo que o primeiro conjunto de postosseapresentenaordemnatural:

112 Dispostosemsuaordemnaturalospostosde X,determinamosovalordeSparaospostosdeY: S=(11-0)+(7-3)+(9-0)+(6-2)+(5-2)+ (6-0)+(5-0)(2-2)+(1-2)+(2-0)+(1-0)=44

113 O posto relativo a autoritarismo mais à esquerdaé1.estepostotem11postossuperioresa sua direita e nenhum que lhe seja inferior. Sua contribuição para S é, pois, (11-0). O posto 5 contribui com (7-3) para S, pois a sua direita existem 7 superiores e a sua esquerda estão 3 postosquelhesãoinferiores.eassimpordiante.

114 SabidoqueS=44en=12,aplica-seentão aexpressãodocálculodocoeficiente. S 2S τ = = = = = 0,67 n( n 1) n( n 1) 12( 12 1) Esse valor representa o grau de relacionamento entre o autoritarismo e as aspiraçõesdestatussocialdos12estudantes.

115 Empates Quando há empate entre duas ou mais observações de X ou de Y, atribui-se as observaçõesempatadasamédiadospostosque lhescaberiamsenãohouvesseempate. O efeito dos empates consiste em modificarodenominadordafórmulade τ.

116 Assim, a expressão para o cálculo do coeficientequandoocorremempatesé: τ = 1 2 n( n 1) T x S 1 2 n( n 1) T y OndeT X =½ t(t-1)et Y =½ t(t-1), ondetéonúmerodeobservaçõesempatadasem cadagrupodeempatesnasvariáveisxey.

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118 Se uma amostra aleatória for extraída de uma população em que X e Y não estão relacionados e se atribuem aos elementos da amostra postos relativos à X e Y, então, para umadadaordemdepostos dextodas as ordens possíveis de postos de Y são igualmente verossímeis.

119 Istoé,paraumadadaordemdospostosde X, qualquer ordem de Y tem a mesma probabilidade de ocorrência que qualquer outra ordem.suponhamososvaloresdexdispostosna ordemnatural1,2,3,...,n.

120 Paratal ordenaçãodos postos dex,todas as n! ordens possíveis dos postos de Y são igualmenteprováveissobh o.portanto,qualquer ordenação em particular dos postos de Y tem probabilidade1/n!deocorrência,sobh o.

121 Probabilidadesde τ,sobh o paran=4. Frequênciade Probabilidadede Valor de τ ocorrênciasob H 0 ocorrênciasob H o -1,00 1 1/14-0,67 3 3/14-0,33 5 5/24 0,00 6 6/24 0,33 3 5/24 0,67 5 3/24 1,00 1 1/24

122 A cada uma das n! disposições possíveis de postos de Yacha-se associadoum valor de τ.essesvalorespossíveisdoíndicevariarãode +1 a - 1 e podem ser dispostos em uma distribuiçãodefrequências.

123 Por exemplo, para n = 4, há 4! = 24 ordenaçõespossíveisdospostosdeyeacadauma delas está associado um valor de τ. A tabela anteriorforneceafrequênciadeocorrênciasobh 0. Amedidaquencresceécadavez maistrabalhoso construirasdistribuições.

124 Amedidaquencresceadistribuiçãode τ tende para uma normal de nédia µ τ = 0 e desviopadrãodadopor: σ τ = 2( 2n 9n( n + 5) 1)

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126 Quando se observa uma correlação entre duasvariáveis existesempreapossibilidadede que tal correlação seja devida à associação de cadaumadasduas variáveiscomumaterceira variável.

127 Porexemplo,emumgrupodepessoasde diversas idades, pode-se verificar uma alta correlaçãoentreaamplitudedovocabulárioe aaltura.

128 Talcorrelação,entretanto,podenãorefletir um relacionamento verdadeiro ou direto entre as duasvariáveismasresultadodofatodequetanto aamplitudedovocabulárioquantoaalturaestão relacionadoscomumaterceiravariávelaidade.

129 Problemas destetipopodemser abordados através da determinação de um coeficiente de correlação parcial. Na correlação parcial os efeitos de uma terceira variável Z sobre as variáveis X e Y são controlados mantendo-a constante.

130 Ao planejar o experimento, pode-se adotar dois caminhos. Introduzir controles experimentais com o propósito de eliminar a influência da terceira variável ou utilizar métodosestatísticosparaeliminartalinfluência.

131 Por exemplo, para se estudar a relação entre a capacidade de memorização e a capacidade para resolver certos tipos de problemasseránecessáriocontrolaroefeitodas diferençasdeinteligência.

132 Umaalternativaéescolherpessoascom omesmoníveldeinteligência.seistonãofor possível, pode-se aplicar então o controle estatístico.

133 Com a correlação parcial o efeito da inteligênciasobrearelaçãoentrememorização ecapacidadederesoluçãodeproblemaspoderá ser determinada de forma direta ou nãocontaminada.

134 Suponha que os postos de 4 pessoas em relação a 3 variáveis X,YeZforam obtidos. Deseja-se determinar a correlação entre XeY quandozécontrolada. Pessoas a b c d Posto de Z Posto de X Posto de Y

135 há Para cada uma das variáveis sabe-se que 4 2 paresdepostospossíveis.colocadosos postos de Z em sua ordem natural, observa-se cada par de postos possível em X, Y e Z. Atribuí-se o sinal + aos pares em que o posto maisbaixoprecedeopostomaisaltoeumsinal casocontrário.

136 Suponha que os postos de 4 pessoas em relação a 3 variáveis X, Y e Z foram obtidos. Deseja-se determinar a correlação entre X e Y quandozécontrolada. Par (a, b) (a, c) (a, d) (b, c) (b, d) (c, d) Z X Y

137 As informações obtidas são resumidas emumatabela2x2. Sinal do Par (+, +) (+, -) - (-, +) (-, -)

138 Noprimeiropar (a,b)tantoxquantoy discordamdosinaldezentãoafrequênciavai para a célula D (-, -). No segundo par (c, d) Y concorda com Z mas X não. A frequênciaéregistradanacélulac (-,+).

139 Os pares restantes apresentam todos o mesmosinaleportantoafrequênciavaiparaa célulaa(+,+).emresumo,tem-se: Sinal do Par + - Total Total 5 1 6

140 O coeficiente de correlação por postos de Kendall entre duas variáveis (X, Y) considerando constante uma terceira variável (Z)édadoentãopor: τ XY.Z = ( A + D)( C AD BC + D)( A + C)( B + D)

141 Paraosdadossendoanalisados,tem-se: τ XY.Z = ( A + D)( AD BC C + D)( A + C)( B + D) = = ( 4 + 0)( )( 4 + 1)( 0 + 1) = = = 4 40 = 0,4 = 0,6325

142 AcorrelaçãoentreXeY,comoefeitode Z constante é então: τ XY.Z = 0,63. Se fosse calculado a correlação entre X e Y sem considerarzoresultadoseria: τ=4/6=0,67.

143 A expressão paraocálculodo coeficiente de correlação parcial por postos de Kendall é algumasvezesdenominadade CoeficientePhi epode-semostrarque: τ XY.Z = χ n 2

144 A maneira de calcular o CCPPK não é práticaquandonégrande.nessecaso,podese utilizar a seguinte expressão alternativa devidaakendall: τ XY.Z = τ τ τ XY XZ YZ 2 XZ ( 1 )( 1 2 τ τ YZ )

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146 X i Y j k Total 1 f 11 f f 1k r 1 2 f 21 f f 2k r l f l1 f l2... f lr r l Total c 1 c 2... c k W

147 O qui-quadrado de Mantel-Haenszeltambém denominado de teste qui-quadrado de associação linearporlinearéumamedidadesignificânciapara variáveis ordinais. Ele é utilizado para testar a significância do relacionamento linear entre duas variáveisordinais,porqueémaispoderosodoqueo qui-quadradodepearson.

148 O qui-quadrado de Mantel-Haenzel não é adequado para variáveis nominais. Se ele for significativoentãoépossíveldizer queoaumento deumavariávelestáassociadocomoaumento(ou decréscimo, para relacionamentos negativos) da outravariável.

149 Como outras estatísticas que utilizam o qui-quadrado ele não deve ser utilizado com valoresbaixosdefrequências.

150 O teste de associação linear de Mantel- Haenszelédadopor: X 2 MH=(W 1)r 2 onderéocoeficientedecorrelaçãodepearson definido conforme o apresentado a seguir.o grau deliberdadedaestatísticaé1.

151 O algoritmo para o cálculo do coeficiente de correlação de Pearson para uma tabela de contingênciaédadopor: r = cov( S X,Y X S Y )

152 Onde: e: W / j y r x f y x ) X,Y Cov( k 1 j j l 1 i i i ij j i = = = W / r x r x S l 1 i i i 2 l 1 i i 2 i X = = = W / c y c y S k 1 j j j 2 k 1 j j 2 j X = = =

153

154 1 2 3 Total Total

155 Onde: e: 3,20 W / j y r x f y x ) X,Y Cov( k 1 j j l 1 i i i ij j i = = = = 20,40 W / r x r x S l 1 i i i 2 l 1 i i 2 i X = = = = 27,10 W / c y c y S k 1 j j j 2 k 1 j j 2 j X = = = =

156 W=40. Portanto: χ 2 MH=(W 1)r 2 =(40 1).(-0,14) 2 =0,7224.

157 GuiasdoSPSS9,10eMinitab12. Fórmulas de vários tipos de coeficientes CorreçãodeempatesparaoccdeSpearman SHESKIN, David J. Handbook of Parametric and Nonparametric Statistical Procedures.4 th ed.bocaraton (FL): Chapman& Hall/CRC, 2007.