Testes de Hipóteses Não Paramétricos. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 1 / 48

Transcrição

1 Testes de Hipóteses Não Paramétricos Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 1 / 48

2 Testes de Hipóteses Não Paramétricos:Introdução Nos testes de hipóteses não paramétricos não são especificados quaisquer condições sobre a distribuição ou os parâmetros da população. Não se infere sobre os valores para os parâmetros mas sim sobre outras características da variável no universo. Vantagens dos testes não paramétricos As afirmações probabiĺısticas decorrentes da maior parte dos testes não paramétricos são probabilidades exactas, independentemente do tipo de população da qual se extraiu a amostra (salvo no caso de grandes amostras em que se dispõe de boas aproximações); Quando se trabalha com amostras muito pequenas não há alternativa à utilização dos testes não paramétricos, a não ser que se conheça exactamente a natureza da distribuição da população. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 2 / 48

3 Testes de Hipóteses Não Paramétricos:Introdução Quando se trabalha com amostras de populações diferentes existem testes estatísticos não paramétricos adequados ao seu tratamento; Permitem o tratamento de dados qualitativos - medidos na escala nominal (classificação em categorias exaustivas e mutuamente exclusivas; não é possível estabelecer qualquer ordem entre as categorias) ou ordinal (classificação em categorias, sendo possível estabelecer uma ordem entre elas). Desvantagens dos testes não paramétricos Quando se encontram satisfeitas as suposições associadas aos modelos estatísticos paramétricos não devem usar-se testes não paramétricos. As provas paramétricas são mais potentes para uma mesma dimensão da amostra e um mesmo α, ou seja, conduzem com maior frequência à rejeição da hipótese nula quando ela é, de facto, falsa. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 3 / 48

4 Testes de Ajustamento Dada uma a. a. (X 1,X 2,...,X n ) retirada de uma população X, e uma certa função (densidade) de probabilidade teórica f 0, pretende-se saber se a amostra pode ser considerada como proveniente de uma população com tal distribuição, isto é, H 0 : A função (densidade) de probabilidade de X é f 0 H 1 : A função (densidade) de probabilidade de X não é f 0 ou, chamando f à função (densidade) de probabilidade de X, H 0 : f (x) = f 0 (x) H 1 : f (x) f 0 (x) Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 4 / 48

5 Teste de Ajustamento do Qui-quadrado Hipóteses: H 0 : f (x) = f 0 (x) H 1 : f (x) f 0 (x) Estatística de Teste: X 2 = k i=1 (O i E i ) 2 E i = k i=1 O 2 i E i N χ 2 k n p 1 onde: k- número de classes que os dados estão agrupados; n p - número de parâmetros da distribuição que são desconhecidos; O i - valor observado na classe i; E i - n o de casos esperados para a i-ésima classe sob a validade de H 0 (E i = np i ); p i - probabilidade teórica da distribuição. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 5 / 48

6 Teste de Ajustamento do Qui-Quadrado Critério de Rejeição: Rejeita-se H 0, ao nível de significância α quando X 2 > χ 2 k n p 1;1 α Notas É de notar que o resultado anterior é um resultado assimptótico, e que para valores de E i muito pequenos esta aproximação não é muito apropriada. A aproximação pode considerar-se boa se todos os E i forem superiores a 5. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 6 / 48

7 Teste de Ajustamento do Qui-quadrado Exemplo (6.1) Numa experiência de Mendel, uma teoria genética simples sugere que o resultados de um determinado cruzamento de ervilhas seria constituído por descendentes de três tipos, denotados simbolicamente por AA, Aa e aa com probabilidades 1 4, 1 2 e 1 4, respectivamente. As contagens de descendentes relatadas por Mendel foram as seguintes: 35 AA 67 Aa 30 aa Diga se a teoria se ajusta aos resultados observados. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 7 / 48

8 Teste de Ajustamento do Qui-quadrado Exemplo (6.2) A procura diária de determinado produto foi, em 60 dias escolhidos ao acaso, a seguinte: N o de unidades procuradas N o de dias Será de admitir que tal procura segue uma distribuição de Poisson? Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 8 / 48

9 Teste do Qui-quadrado de homogeneidade Hipóteses: H 0 : As populações de onde foram extraídas as amostras em estudo são homogéneas (idênticas) H 1 : As populações de onde foram extraídas as amostras em estudo não são homogéneas. Se as duas populações forem idênticas, as respectivas distribuições de probabilidade, f 1 e f 2, são iguais. H 0 : f 1 (x) = f 2 (x) vs. H 1 : f 1 (x) f 2 (x) Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 9 / 48

10 Teste do Qui-quadrado de homogeneidade No teste de homogeneidade queremos testar se duas populações independentes possuem a mesma distribuição qualquer que ela seja. Classes 1 2 c Totais em linha 1 O 11 O 12 O 1c O 1 2 O 21 O 22 O 2c O r O r1 O r2 O rc O r Totais em coluna O 1 O 2... O c N As frequências para cada célula representam-se por O ij e os totais marginais por linha e por coluna são respectivamente: c O i = O ij e O j = j=1 r i=1 O ij Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 10 / 48

11 Teste do Qui-quadrado de homogeneidade Estatística de Teste: X 2 = r c i=1 j=1 (O ij E ij ) 2 E ij = r c i=1 j=1 O 2 ij E ij N χ 2 (r 1)(c 1) onde E ij representa a frequência esperada de cada classe que, sob H 0, é dada por: E ij = O i O j N Critério de Rejeição: Rejeita-se H 0, ao nível de significância α quando X 2 > χ 2 (r 1)(c 1);1 α Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 11 / 48

12 Teste do Qui-quadrado de homogeneidade Observação No caso de existirem várias classes com frequências esperadas pequenas, estas devem ser combinadas de modo a aumentar as respectivas frequências. O teste do Qui-quadrado só pode ser utilizado com rigor quando: 1 N > 20; 2 Todas as classes possuam E ij > 1; 3 Pelo menos 80% das classes possuam E ij > 5 Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 12 / 48

13 Teste do Qui-quadrado de homogeneidade Em muitas situações temos variáveis dicotómicas (tabelas 2x2), por exemplo: Amostras Classes 1 2 Totais - A B A + B + C D C + D Totais A + C B + D A + B + C + D Nestas situações, a estatística de teste pode simplificar-se: X 2 = N(AD BC) 2 (A + B)(C + D)(A + C)(B + D) Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 13 / 48

14 Teste do Qui-quadrado de homogeneidade Para amostras pequenas deve corrigir-se a estatística do teste, considerando-se: X 2 = N( AD BC N 2 )2 (A + B)(C + D)(A + C)(B + D) Observação No caso de termos tabelas 2x2 em que os pressupostos do teste do Qui-quadrado de homogeneidade não se verificam, por exemplo uma frequência esperada inferior a 5, é recomendada a aplicação do teste exacto de Fisher. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 14 / 48

15 Teste do Qui-quadrado de homogeneidade Exemplo (6.3) Um investigador efectuou uma experiência para determinar o efeito da idade de um conferencista sobre a disposição estudantil para assistir às suas conferências. Para tal, foram eleitos ao acaso 50 estudantes. A todos os estudantes foi feita uma descrição igual do professor conferencista excepto no que diz respeito à idade: a metade foi dito que o professor tinha 65 anos e à outra metade foi dito que tinha 30 anos. Mais tarde foi pedido aos alunos que manifestassem a sua disposição para assistir à conferência, obtendo-se os seguintes resultados: Situação Experimental Disposição para Estudantes a quem Estudantes a quem assistir à conf. se disse que o prof. se disse que o prof. tinha 65 anos tinha 30 anos Totais Com disposição Sem disposição Totais Será que existem diferenças entre os 2 grupos de estudantes quanto à disposição para assistir à conferência (α = 0.05)? Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 15 / 48

16 Teste do Qui-quadrado de Independência Podemos também testar a independência entre duas variáveis através do teste do qui-quadrado. Nesta situação tem-se: Hipóteses: H 0 : As variáveis X e Y são independentes (isto é, não existe relação entre as duas variáveis). H 1 : As variáveis X e Y não são independentes. Observação A estatística de teste e a respectiva distribuição é a mesma do teste do Qui-quadrado de homogeneidade. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 16 / 48

17 Teste do Qui-quadrado de Independência Exemplo (6.4) Inquiriu-se 200 pessoas sobre a frequência com que vêem TV e sobre o tipo de analgésicos antipiréticos que consumiam. A informação obtida resultou na seguinte tabela: Frequência com Analgésicos que vê TV A B C Totais Nunca Por vezes Com frequência Totais Haverá alguma relação entre o consumo de analgésicos e a frequência com que se vê televisão? Comente. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 17 / 48

18 Coeficiente de Cramér Quando se rejeita a hipótese de independência podemos determinar uma medida de associação. Existem várias medidas possíveis, vamos considerar o Coeficiente de Cramér que se baseia em X 2, o valor da estatística do teste do qui-quadrado, X C = 2 N min{r 1,c 1} em que r é o número de linhas e c é o número de colunas da tabela de contingência. O coeficiente de Cramér assume valores entre 0 e 1, indicando o valor 0 independência e o valor 1 associação completa. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 18 / 48

19 Teste de Mann-Whitney-Wilcoxon Este teste permite testar a homogeneidade de localização de duas amostras independentes que provêm de duas populações contínuas. O teste utiliza as ordens das observações em vez das próprias observações. Considerem-se duas amostras independentes X 1,X 2,...,X n, retirada da população X Y 1,Y 2,...,Y m, retirada da população Y e suponha-se n m Hipóteses: H 0 :As duas amostras são provenientes de populações com a mesma distribuição H 1 :As duas amostras são provenientes de populações com distribuições distintas Observação Podem-se também efectuar testes unilaterais. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 19 / 48

20 Teste de Mann-Whitney-Wilcoxon O modo de procedimento do teste é o seguinte: 1 Combinar as duas amostras e ordenar por ordem crescente a amostra combinada. Nesta amostra conjunta os elementos variam de 1 até m+n. No caso de existirem empates as ordens atribuídas são a média das ordens dos elementos empatados. 2 Calcular a soma das ordens dos elementos da amostra mais pequena, sendo T o seu valor. Observações Para amostras de dimensão pequena a distribuição da estatística T é exacta. O valor mais pequeno que T pode assumir é n(n+1) 2 e o mais elevado é n(n+1) 2 + nm A função de probabilidade de T é sempre simétrica em relação a n(n+1) 2, com N=n+m. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 20 / 48

21 Teste de Mann-Whitney-Wilcoxon 3 Para amostras de pequena dimensão acede-se à distribuição exacta da estatística de teste que se encontra tabelada. 4 Quando n e m são suficientemente elevados, de tal modo que não existem valores tabelados ou quando ocorrem empates, verifica-se que a estatística T tem distribuição aproximadamente Normal com e onde: σ 2 T = nm(n + 1) 12 µ T = n(n + 1) 2 nm 12N(N 1) r (τi 3 τ i ) i=1 N = n + m r= n o de conjuntos de observações empatadas τ i = n o de observações empatadas no i-ésimo empate Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 21 / 48

22 Teste de Mann-Whitney-Wilcoxon Assim sendo, Z = T n(n+1) 2 nm(n+1) nm 12 12N(N 1) r i=1 (τ3 i τ i ) N(0,1) Observação Se não houver empates a expressão da variância reduz-se a σ 2 T = nm(n + 1) 12 Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 22 / 48

23 Teste de Mann-Whitney-Wilcoxon 5 Rejeita-se H 0 de acordo com as regras habituais, ou seja, de acordo com a seguinte tabela: Tabela 1: Regras de Rejeição Tipo de Teste Unilateral à esquerda Unilateral à direita Bilateral Rejeita-se H 0 se: Z z 1 α Z z 1 α Z z 1 α 2 Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 23 / 48

24 Teste de Mann-Whitney-Wilcoxon Exemplo (6.5) Tomando a densidade do planeta terra como unidade, os astrónomos mediram as densidades de outros planetas que se segue: Amostra A: Marte (0.71); Júpiter (0.24); Saturno (0.12) Amostra B: Mercúrio (0.68); Vénus (0.94) Será razoável decidir que as densidades na amostra B provém de uma distribuição situada à direita daquela de que provém a amostra A? Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 24 / 48

25 Teste de Kruskal-Wallis Este teste é usualmente aceite como a alternativa não paramétrica à análise de variância simples. Pretende-se verificar se k (k > 2) amostras aleatórias independentes podem ou não ser consideradas como provenientes de populações com a mesma distribuição. Hipóteses: H 0 : As k amostras são provenientes de populações com a mesma distribuição H 1 : Pelo menos uma das populações tem distribuição diferente das restantes Suponha-se a existência de k populações X 1, X 2,..., X k, das quais foram retiradas k amostras aleatórias independentes: (X 11, X 12,...,X 1n1 ) da população X 1 (X 21, X 22,...,X 2n2 ) da população X 2 (X k1, X k2,...,x knk ) da população X k Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 25 / 48

26 Teste de Kruskal-Wallis Estatística de Teste: H = ou (caso haja empates) 12 N(N + 1) k j=1 R 2 j n j 3(N + 1) χ 2 (k 1) onde H cor = 1 H r i=1 (τ3 i τ i ) N 3 N k= número de amostras n j = número de observações da amostra j N= número total de observações, isto é, N = k j=1 n j R j = soma das ordens da amostra j τ i =n o de observações empatadas no i-ésimo empate Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 26 / 48

27 Teste de Kruskal-Wallis O modo de procedimento do teste é o seguinte: 1 Combinar as k amostras e ordenar por ordem crescente a amostra combinada. Nesta amostra conjunta os elementos variam de 1 até N. No caso de existirem empates as ordens atribuídas são a média das ordens dos elementos empatados. 2 Determinar, para cada amostra (j = 1,2,...k), R j a soma das ordens dos elementos da amostra j. 3 Determinar o valor da estatística de teste H ou H cor. 4 Rejeitar H 0 tendo em consideração um dos seguintes casos: a) Se, para k = 3 ou 4 e as dimensões das amostras forem pequenas, o valor tabelado for inferior a α. b) Se H > χ 2 k 1;1 α ou H cor > χ 2 k 1;1 α. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 27 / 48

28 Teste de Kruskal-Walis Exemplo (6.6) Num estudo efectuado por uma TV privada, uma das questões colocada foi: Concorda que os filmes estrangeiros exibidos na televisão devam ser drobados em português?. As respostas foram codificadas de 1 (discordo totalmente) a 10 (concordo totalmente). Os inquiridos foram também classificados segundo o seu nível de escolaridade: 1=mal sabe ler/escrever, 2=escolaridade básica e 3=escolaridade média ou superior. Numa pré amostra de 14 indivíduos obtiveram-se os seguintes resultados: Níveis de escolaridade Nível 1 Nível 2 Nível Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 28 / 48

29 Teste McNemar É útil para testar a significância das mudanças de estado, opinião, etc. Utiliza-se geralmente em estudos do tipo Antes vs. Depois em que a escala de medida da variável em estudo é pelo menos nominal, desde que categorizada. Depois - + Antes + A B - C D A + D > 10 As frequências observadas em cada uma das células representam o número de sujeitos que mudaram e não mudaram de estado ou condição (tabelas 2x2). Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 29 / 48

30 Teste McNemar Pretendemos testar se as probabilidades de mudança do estado, (+) para (-) e de (-) para (+), são iguais. Hipóteses: H 0 : P(+ ) = P( +) H 1 : P(+ ) P( +) Estatística de Teste: X 2 = 2 (O i E i ) 2 i=1 E i χ 2 1 onde E i, sob H 0, é dado por: E i = A + D 2 Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 30 / 48

31 Teste McNemar Podemos simplificar a estatística de teste ficando: X 2 = (A D)2 A + D Esta aproximação pode ser melhorada aplicando a correcção de Yates (N < 60): X 2 = ( A D 1)2 A + D Critério de Rejeição: Rejeita-se H 0, ao nível de significância α quando X 2 > χ 2 1;1 α Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 31 / 48

32 Teste McNemar Exemplo (6.7) Suponha que uma determinada empresa decide fazer uma campanha publicitária para promover um produto que tinha colocado no mercado há algum tempo. A administração da empresa pretende saber se as preferências dos consumidores se modificaram após a campanha publicitária. As respostas de 70 consumidores, aos quais se perguntou, antes e depois da campanha, se consumiam o produto em causa, encontram-se resumidas no quadro seguinte: Depois da campanha Não Sim Antes da campanha Sim 5 12 Não Terá existido uma mudança significativa no consumo do produto em causa (α = 0.05)? Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 32 / 48

33 Teste dos Sinais A designação de teste dos sinais deriva do facto de se testar o sinal da diferença entre duas variáveis, independentemente do valor da diferença entre estas. Pode aplicar-se desde que as variáveis possuam escala de medida pelo menos ordinal. Utiliza-se em situações em que se pretende testar se uma das variáveis do par (X,Y ) tende ou não a ser superior à outra. Em cada par (X i,y i ) é feita uma comparação e o par é classificado como: + se X i > Y i se X i < Y i 0 se X i = Y i Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 33 / 48

34 Teste dos Sinais Definindo P(+) a probabilidade de se obter um par + e P( ) a probabilidade de se obter um par, as hipóteses deste teste são: Hipóteses: H 0 : P(+) = P( ) H 1 : P(+) P( ) P(+) > P( ) P(+) < P( ) Estatística de Teste: Seja X= número de sinais positivos X Bin(n,0.5) onde n=dimensão da amostra depois de eliminados os valores empatados. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 34 / 48

35 Teste dos Sinais Critérios de Rejeição: Amostras de pequena dimensão Representando p inf = P(X x) e p sup = P(X x) na tabela que se segue são apresentados os critérios de rejeição do teste, em função da respectiva hipótese alternativa. H 1 Rejeita-se H 0 se: P(+) P( ) p inf α/2 ou p sup α/2 P(+) < P( ) p inf α P(+) > P( ) p sup α Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 35 / 48

36 Teste dos Sinais Critérios de Rejeição: Amostras de grande dimensão Para valores de n elevados a distribuição Binomial aproxima-se da distribuição Normal com µ = np = n 2 e σ 2 = npq = n 4 ou seja, Z = X n 2 n 4 N(0,1) H 1 P(+) P( ) P(+) < P( ) P(+) > P( ) Rejeita-se H 0 se: Z z 1 α/2 ou Z z 1 α/2 Z z 1 α Z z 1 α Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 36 / 48

37 Teste dos sinais Exemplo (6.8) O quadro abaixo contém dados da excreção de ureia em 8 doentes de dia e de noite. Doente Dia Noite Pretende-se saber se há diferença significativa entre o dia e a noite. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 37 / 48

38 Teste de Wilcoxon Numa situação de observações emparelhadas, o teste de Wilcoxon com base nas diferenças afectadas de sinais, é um bom instrumento para avaliar se há diferença na localização de duas populações. Por exemplo, é um teste utilizado para comparar a resposta dada a dois tratamentos ou estímulos X e Y aplicados a indivíduos tão semelhantes quanto possível. Suponha-se a existência de uma amostra emparelhada de observações (X i,y i ), do par (X,Y ), (X 1,Y 1 ),(X 2,Y 2 ),,(X n,y n ) que constitui uma amostra bivariada e onde X e Y são, pelo menos teoricamente variáveis contínuas. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 38 / 48

39 Teste de Wilcoxon Hipóteses: H 0 : E[X] = E[Y ] H 1 : E[X] E[Y ] E[X] > E[Y ] E[X] < E[Y ] Observação As hipóteses anteriores podem ser postuladas também em termos das medianas de X e Y. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 39 / 48

40 Teste de Wilcoxon O modo de procedimento do teste é o seguinte: 1 Determinar D i = X i Y i 2 Se existirem valores nulos retiram-se as observações correspondentes e corrige-se a dimensão da amostra 3 Associar a cada D i a sua ordem, mantendo informação sobre o sinal original de D i 4 Calcular W a soma de todas as ordens das diferenças D i 5 Consultar uma tabela de valores críticos 6 Para valores de n elevados ou quando ocorrem empates, verifica-se que a estatística W tem distribuição aproximadamente Normal com µ W = 0 e σ 2 W = n(n + 1)(2n + 1) r (τi 3 τ i ) i=1 Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 40 / 48

41 Teste de Wilcoxon Assim, Z = W n(n+1)(2n+1) r i=1 (τ3 i τ i ) N(0,1) 7 Rejeita-se H 0 de acordo com as regras habituais (ver Tabela 1). Estatísticas alternativas A estatística de teste pode também definir-se como min(w +,W ) onde W + representa a soma das ordens da diferenças D i positivas e W representa a soma das ordens da diferenças D i negativas. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 41 / 48

42 Teste de Wilcoxon Exemplo (6.9) São distribuídos a cada um de 10 agregados familiares aleatoriamente escolhidos duas embalagens de Bacalhau à Braz, uma fabricada segundo a receita tradicional, e outra segundo a nova receita, com menos sal. Pediu-se que classificassem cada uma das respectivas receitas numa escala de 0 a 10 (os inquiridos não tinham conhecimento das diferenças entre as embalagens). Os pares de resultados obtidos foram os seguintes: (8, 7) (9, 7) (5, 3.5) (4, 2.5) (10, 7.5) (3, 7.5) (3.5, 7.5) (4, 9.5) (5, 10) (5.5, 9) Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 42 / 48

43 Medidas de Associação não Paramétrica Coeficiente de correlação ordinal de Spearman Aplica-se quando as variáveis sob estudo provêm de uma população bivariada não normal, ou quando as variáveis são medidas numa escala ordinal. O coeficiente de correlação ordinal de Spearman é dado pela seguinte expressão onde R S = N (r 1i r 1 )(r 2i r 2 ) i=1 N (r 1i r 1 ) 2 N (r 2i r 2 ) 2 i=1 i=1 r 1i r 2i r 1 r 2 - número de ordem da observação i da variável aleatória X - número de ordem da observação i da variável aleatória Y - média das ordens das observações da variável X - média das ordens das observações da variável Y Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 43 / 48

44 Coeficiente de correlação ordinal de Spearman A expressão anterior pode ser simplificada, obtendo-se com d 2 i = (r 1i r 2i ) 2. R S = 1 6 N di 2 i=1 N 3 N ρ S = 1 ρ S = 1 ρ S = 0 Associação directa perfeita Associação inversa perfeita Não há associação entre as variáveis Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 44 / 48

45 Coeficiente de correlação ordinal de Spearman Caso existam muitos grupos de empates em pelo menos uma das variáveis, o coeficiente de correlação de Spearman deve ser calculado através de R S = (N 3 N) 6 N i=1 d 2 i Tx+Ty 2 (N 3 N) 2 (T x + T y )(N 3 N) + T x T y onde T x = r i=1 (τ3 i τ i ) é o factor de correcção para os empates na variável aleatória X. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 45 / 48

46 Coeficiente de correlação ordinal de Spearman Com base no coeficiente de correlação ordinal de Spearman podemos efectuar os seguintes testes de hipóteses: Hipóteses: H 0 : ρ S = 0 H 1 : ρ S 0 (existe um qualquer tipo de associação entre as variáveis) ρ S > 0 (existe associação directa entre as variáveis) ρ S < 0 (existe associação inversa entre as variáveis) Critérios de Rejeição: Amostras de pequena dimensão H 1 Rejeita-se H 0 se: ρ S 0 R S r Scrítico(1 α 2 ) ρ S > 0 ρ S < 0 R S r Scrítico(1 α) R S r Scrítico(1 α) Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 46 / 48

47 Coeficiente de correlação ordinal de Spearman Critérios de Rejeição: Amostras de grande dimensão Para N 30 a estatística de teste R S pode ser substituída pela estatística N 2 T RS = R S 1 RS 2 que sob H 0 possui distribuição t-student com N 2 graus de liberdade. Critérios de Rejeição: H 1 ρ S 0 ρ S > 0 ρ S < 0 Rejeita-se H 0 se: T RS t N 2;(1 α 2 ) T RS t N 2;(1 α) T RS t N 2;(1 α) Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 47 / 48

48 Coeficiente de correlação ordinal de Spearman Exemplo (6.10) As notas obtidas por 10 estudantes da disciplina de Estatística e o seu Q.I. (Quociente de Inteligência) são apresentados no quadro seguinte. Notas Q.I Verifique se existe associação directa entre as notas obtidas e o Q.I. Rita Brandão (Univ. Açores) Testes de hipóteses não paramétricos 48 / 48