PRINCÍPIO DA REFLEXÃO E RELAÇÕES COM A CARDIOIDE, UM ESTUDO INTERDISCIPLINAR.

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1 PRINCÍPIO DA REFLEXÃO E RELAÇÕES COM A CARDIOIDE, UM ESTUDO INTERDISCIPLINAR. Renato de Melo Filho (1); Lucas da Silva (2); Fábio Monteiro da Silva (3); Daniel Cordeiro de Morais Filho (4) (1) Bolsista do Grupo PET-Matemática UFCG e Bacharelando em Matemática pela Universidade Federal de Campina Grande renato.melo.fh@mat.ufcg.edu.br (2) Bolsista do Grupo PET-Matemática UFCG e Licenciando em Matemática pela Universidade Federal de Campina Grande lucastri09@gmail.com (3) Bolsista do Grupo PET-Matemática UFCG e Licenciando em Matemática pela Universidade Federal de Campina Grande fabio.monteiro2011@gmail.com (4) Tutor do Grupo PET-Matemática UFCG e Professor Titular da Universidade Federal de Campina Grande INTRODUÇÃO - daniel@mat.ufcg.edu.br A interdisciplinaridade é hoje fundamental para o ensino e aprendizagem. Essa é uma ideia do senso comum, amplamente difundida nos noticiários e na mídia digital, sendo muitas vezes exposta de uma forma distorcida e pouco crítica, banalizando a ideia de interdisciplinaridade nas ciências, muitas vezes, apresentada de forma artificial e forçada. Porém, bons autores e bons textos trazem uma abordagem adequada desse conceito e, de maneira modesta, ansiamos seguir esse exemplo neste texto. Para Moraes (2002), a realidade é complexa, ela requer um pensamento abrangente, multidimensional, capaz de compreender a complexidade do real e construir um conhecimento que leve em consideração essa mesma amplitude. Daí podemos inferir que a interdisciplinaridade é necessária ao conhecimento humano na medida em que permite uma compreensão múltipla da realidade. Além disso, na tentativa de caracterizar a interdisciplinaridade Japiassu (1976) comenta: Podemos dizer que nos reconhecemos diante de um empreendimento interdisciplinar todas as vezes em que ele conseguir incorporar os resultados de várias especialidades, que tomar de empréstimo a outras disciplinas certos instrumentos e técnicas metodológicos, fazendo uso dos esquemas conceituais e das análises que se encontram nos diversos ramos do saber, a fim de fazê-los integrarem e convergirem, depois de terem sido comparados e julgados. Donde podermos dizer que o papel específico da atividade interdisciplinar consiste, primordialmente, em lançar uma ponte para ligar as fronteiras que haviam sido estabelecidas anteriormente entre as disciplinas com o objetivo preciso de assegurar a cada uma seu caráter propriamente positivo, segundo modos particulares e com resultados específicos. Na Matemática não poderia ser diferente. Para esse campo do conhecimento humano, a interdisciplinaridade é útil para se justificar modelos matemáticos, os quais são aplicáveis em várias disciplinas como a Química, a Biologia e a Física. Mais ainda, conhecimentos de outras disciplinas são essenciais para se compreender determinados conhecimentos matemáticos em uma troca salutar

2 de conhecimentos. Portanto, o presente trabalho se propõe a discutir o princípio físico da reflexão óptica, usando uma aplicação de forma interessante, a partir da construção de uma curva conhecida como cardioide. Além disso, o tema discutido aqui utiliza conhecimentos relativos à Cinemática Rotacional e, dessa forma, pode ser visto como uma motivação para esse conteúdo. Esperamos que o presente trabalho possa elucidar questões que ratifiquem a importância da interdisciplinaridade como recurso auxiliar para o ensino-aprendizagem da Matemática. METODOLOGIA O trabalho se baseia em uma pesquisa de caráter bibliográfico cuja principal referência é o livro soviético traduzido para o Inglês Straight Lines and Curves. Também foram realizadas pesquisas complementares em livros de física e matemática e em artigos disponíveis na internet. RESULTADOS E DISCUSSÃO Quando se estuda as ondas luminosas dois importantes fenômenos se sobressaem: A refração e a reflexão da luz. O primeiro ocorre quando um feixe luminoso estreito passa por uma superfície que separa dois meios, por exemplo, um feixe que se propaga no ar e então encontra uma superfície plana de água. Já a reflexão ocorre quando determinada superfície reflete o feixe luminoso para o meio de origem, com o ilustrado na Figura 1. ilustrado na Figura 1. Figura 1: Reflexão e refração da luz A orientação dos feixes luminosos e frente de onda associada é medida em relação a uma direção conhecida como normal (Figura 1), que é perpendicular à interface no ponto em que ocorrem a reflexão e a refração. Na figura 1, o ângulo de incidência é θ 1, o ângulo de reflexão é θ 1 e o ângulo de refração é θ 2 ; todos esses ângulos são medidos em relação à normal. O plano que contém o raio incidente e a normal é o plano de incidência. Neste trabalho, será utilizada apenas a lei de reflexão: Lei da Reflexão: O raio refletido está no plano de incidência e tem um ângulo de reflexão igual ao ângulo de incidência. Na figura anterior isso significa que:

3 Existiria alguma relação entre esse princípio e a curva cardioide? Para responder à pergunta, é necessário conhecer melhor esse objeto matemático. Descreve-se a cardioide como a curva gerada por um ponto P fixado a um círculo λ que rola, sem deslizar, sobre outro círculo θ de mesmo raio. A figura 2 ilustra uma cardioide. Figura 2: A cardioide A palavra cardioide tem relação com o formato da curva, que se assemelha a um coração. Em grego coração é καρδιο cardio e, portanto, cardioide seria a curva coração. Existiria alguma relação entre essa curva e a reflexão da luz mencionada acima? Para responder a essa questão imagine o seguinte: Tomando um ponto fixo a uma circunferência do qual parte um feixe de luz que é refletido uma única vez pela curva, qual figura seria formada no interior da circunferência? Veja que aqui se fala de uma reflexão e esta obedece à lei da reflexão citada anteriormente, ou seja, o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, ambos medidos em relação à tangente. As figuras abaixo ilustram esse fato: Figura 3: Observem os raios refletidos no interior de um anel. Esses raios formam uma cardióide. Interessante, não? A partir da figura 3 nota-se que o feixe de luz produz incrivelmente uma cardioide no interior da circunferência. Perceba que todos os raios refletidos são tangentes à cardioide. Em outras palavras, o invólucro (envoltória) dos raios refletidos é uma cardioide. Neste ponto, faz-se necessário a formalização matemática da relação entre a figura formada e a cardioide. Para isso utilizar-se-á o seguinte resultado, que pode ser encontrado em Vasiliev e Gutenmacher, 1980 :

4 Teorema dos dois Círculos: Seja α um círculo de raio r que rola, sem escorregar, dentro de um círculo β de raio 2r, tais que ambos rolam sobre uma superfície λ. Então o invólucro de todas as posições do diâmetro do círculo maior será o lugar geométrico descrito por um ponto M fixado na circunferência menor. A figura 4 exemplifica o teorema: Figura 4: Teorema dos dois círculos Com esse resultado e a definição de cardioide dada acima já é possível demonstrar que ela pode ser obtida como o invólucro dos raios refletidos sobre uma circunferência. Para isso considere a figura abaixo: Figura 5: Reflexão de um raio de luz Suponha um raio qualquer BP do feixe de luz. Este é emitido de uma fonte localizada em B sendo refletido em um ponto arbitrário P. O raio refletido intersecta o ponto N sobre o diâmetro BC. Logo: Assim, o ângulo que o raio refletido forma em relação ao diâmetro é três vezes maior que o ângulo do raio incidente em relação ao diâmetro. Por definição, a velocidade angular é a taxa com que o ângulo varia em relação ao tempo, ou seja, ω = Δθ/Δt. Disso, segue que ao rotacionar-se o raio BP em torno do ponto B com uma velocidade angular ω, o raio refletido será rotacionado com uma velocidade angular de 3ω em relação ao diâmetro BC. Ao mesmo tempo, o ponto de reflexão P irá rolar ao longo da circunferência de diâmetro BC com uma velocidade angular de 2ω (Observe que PÔN=2PḂN). Objetiva-se mostrar que o segmento PN (o raio refletido) é sempre tangente a cardioide, para assim, obtê-la por definição. Role uma circunferência de raio 2/3(OB), cujo centro é

5 o ponto móvel P, ao longo de uma circunferência de raio 1/3(OB) e centro O (Considerando que o diâmetro KL está, em um momento inicial, sobre o diâmetro BC). Figura 6: Construção da cardioide Se o centro P da circunferência em movimento rola com uma velocidade angular de 2ω, então diâmetro KL é rotacionado com uma velocidade angular de 3ω em torno do diâmetro BC. Veja o porquê: É possível enxergar a velocidade linear (Também conhecida como velocidade tangencial) do ponto P de duas formas Pelo teorema dos dois círculos, o invólucro das posições ocupadas pelo diâmetro KL é sempre tangente à trajetória descrita pelo ponto M, o qual pertence a uma circunferência de raio 1/3(OB). Como há duas circunferências de mesmo raio, uma fixa e a outra rolando sobre a primeira, então, por definição, o lugar geométrico descrito pelo ponto M é uma Cardioide, como ilustra a figura abaixo. Figura 7: A cardioide como a envoltória dos raios refletidos

6 CONCLUSÕES O estudo do princípio físico da reflexão permitiu detalhar a descrição de um fenômeno deveras interessante e peculiar: um feixe de luz que incide no interior de uma superfície reflexiva circular gera uma cardioide. A demonstração matemática e física da veracidade deste fenômeno foi feita utilizando-se conceitos e resultados de Geometria e Óptica básica, principalmente os relativos a ângulos e reflexão da luz, respectivamente. Percebe-se então que a contextualização, bem como a interdisciplinaridade são essenciais para o desenvolvimento das ciências, visto que suas diferentes áreas não existem de forma isolada, mas compartilham resultados e princípios umas com as outras. Além disso, o estudo de fenômenos observáveis no cotidiano, como o deste texto, proporcionam uma maior receptividade por parte do aluno, já que ele apreende um significado concreto e palpável ao conhecimento transmitido, contribuindo, assim, para a mitigação da fama da matemática apenas abstrata e sem sentido. REFERÊNCIAS MORAES, M. C. O paradigma educacional emergente. São Paulo: Papirus, JAPIASSU, H. Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio de Janeiro: Imago, VASILYEV, N.B; GUTENMACHER, V.L. Straight Lines and Curves. Tradução de Anjan Kundu. Moscou: Mir Publishers Moscow, WALKER, J. et al. Fundamentos de Física, Volumes 1 e ed. Rio de Janeiro: LTC, BAEZ, J. Rolling Circles and Balls. Disponível em < Acesso em 02 de Fevereiro de 2016.