ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE O CONTEÚDO DE GEOMETRIA EM LIVROS DIDÁTICOS DO PONTO DE VISTA DAS REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS

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1 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE O CONTEÚDO DE GEOMETRIA EM LIVROS DIDÁTICOS DO PONTO DE VISTA DAS REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS Tamires Vieira Calado Universidade Estadual do Paraná UNESPAR/FECILCAM tamirescalado@hotmail.com Mariana Moran Barroso (OR) Universidade Estadual do Paraná UNESPAR/FECILCAM marianamoranbar@gmail.com Resumo: O presente trabalho preocupa-se com o estudo da Teoria das Representações Semióticas, mais especificamente, sobre os registros de representação semiótica em Geometria. Como primeira etapa da pesquisa, foi feito um estudo aprofundado sobre esta teoria de Raymond Duval, filósofo e psicólogo francês que estuda o papel dos registros de representação semiótica na aprendizagem matemática. Em seguida, pesquisou-se aplicações de representação semiótica à Geometria. Foi feito, também, um levantamento de conteúdos de Geometria estudados na Educação Básica. Para tal levantamento foi necessário recorrer aos documentos PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais ) e DCE (Diretrizes Curriculares Estaduais ). Logo após, realizou-se uma pesquisa em livros didáticos acerca dos diferentes tipos de representações para alguns conteúdos específicos de Geometria, tais como: segmentos de reta, polígonos, circunferências e poliedros. Palavras-chave: Registros de Representação Semiótica. Geometrias. Livros didáticos. Introdução No presente trabalho estudou-se as representações de objetos geométricos com base na Teoria das Representações Semióticas de Raymond Duval para o ensino de Geometria. Desta forma, foram estudados os registros e as conversões de representações de objetos geométricos. A necessidade de trabalhar a representação e a conversão de registros semióticos para o conteúdo de Geometria, nasce, principalmente, do fato da não existência física de seus objetos e da dificuldade de compreensão deste conteúdo estruturante.

2 Pesquisar os diversos registros de representação e as conversões entre eles tem sua importância Porque passar de um registro de representação a outro não é somente mudar de modo de tratamento, é também explicar as propriedades ou os aspectos diferentes de um mesmo objeto (DUVAL, 2003, p. 22). Outro fato importante que valida a necessidade do estudo de representações em Geometria é que, pesquisas de Duval (2012) demonstram que quando há variações de representação, o aluno não mais confunde a representação do objeto ao objeto propriamente dito. Acredita-se que isso se deva ao fato do aluno estar apreendendo o conceito do objeto por meio de suas várias representações, e deste modo ele não fica atrelado a uma única representação ou ideia. A compreensão em matemática implica a capacidade de mudar de registro (DUVAL, 2003, p. 21). Desta forma, realizou-se um estudo sobre alguns conteúdos indicados nos PCN (Parâmetros Curriculares Nacionais ) e nas DCE (Diretrizes Curriculares Estaduais ) para o conteúdo estruturante Geometrias e buscou-se analisar a utilização de diferentes registros de representação semiótica para o ensino de alguns desses conteúdos em diferentes livros didáticos. Os registros de representação semiótica em Geometria Geralmente consideram-se as representações semióticas como um suporte para as representações mentais: as representações semióticas teriam a função de comunicar as representações mentais (DAMM, 1999, p. 143). Porém, as representações semióticas vão muito além disto. Elas não são somente suporte para representações mentais. Suas diferentes representações produzem conhecimentos relativos à construção de conceitos e significados de objetos matemáticos. Desta forma, quando nos referimos às Geometrias, estamos trabalhando com objetos matemáticos que podem ser mencionados por meio de suas representações semióticas. Brandt (2005) ressalta que devemos ter cuidado para que os sujeitos, em fase de aprendizagem, não confundam os objetos matemáticos com suas representações. E é daí que parte a seguinte indagação proposta por Duval (2003, p. 21): Como podemos não confundir um objeto e sua representação se não temos acesso a esse objeto a não ser por

3 meio de sua representação? Deste fato nasce a necessidade de se trabalhar com diferentes representações para um mesmo conceito. As representações semióticas auxiliam no estudo e compreensão de objetos geométricos, de acordo com Almouloud (2007), baseado nas ideias de Duval, a compreensão ou descoberta do objeto matemático é obtida quando o sujeito é capaz de coordenar vários registros de representação. Sendo assim, esta pode ser uma eficiente metodologia a ser empregada em sala de aula na aprendizagem de um conceito geométrico. Para Duval (2003), o fato de o aluno ter acesso a apenas um registro de representação pode limitar sua capacidade de reconhecimento dessas diferentes representações. Existe um enclausuramento de registro que impede o aluno de reconhecer o mesmo objeto matemático em duas de suas representações bem diferentes (DUVAL, 2003, p. 21). Deste modo, transitar entre os vários registros de representação, trabalhando com conversões, auxilia no entendimento do que se pretende ensinar. Um estudo da organização didática do conteúdo estruturante Geometria A Matemática tem se tornado cada vez mais importante em várias áreas do conhecimento, inclusive na formação pessoal do indivíduo como cidadão. Auxilia no raciocínio lógico e em muitas tarefas do cotidiano e é assim que a Matemática deve ser vista pelo aluno em sua vida profissional. O aluno sozinho deve ser capaz de estabelecer relações no processo do seu conhecimento. Entretanto, as dificuldades diante da Matemática exercem um papel de insegurança nesse procedimento. A incerteza na tomada de decisão esperando sempre pelo professor impede o tentar por não confiar em sua própria forma de pensar (PCN, 1997). Inúmeras habilidades como a visualização e aplicações na busca de soluções para os problemas, a compreensão e ampliação da percepção do espaço, as relações entre as representações planas nos desenhos podem ser buscadas na geometria. As ideias geométricas conhecidas há muitos anos e usadas até hoje, influenciaram muito no desenvolvimento humano. No decorrer da história, estudos envolvendo construções geométricas foram desenvolvidos por importantes pesquisadores e matemáticos.

4 Como nos indica as DCE (2008), no Ensino Fundamental e Médio, o conteúdo estruturante Geometria tem as seguintes divisões: - geometria plana; - geometria espacial; - geometria analítica; - noções básicas de geometrias não-euclidianas. É aconselhável, pelas DCE (2008), que os conhecimentos geométricos não sejam rigidamente separados da álgebra e da aritmética. É interessante interligá-los. Conforme encontramos nos PCN (1997), com o estudo de conceitos geométricos no Ensino Fundamental, o aluno desenvolve o pensamento se tornando capaz de compreender, descrever e representar de forma organizada o mundo em que vive. O trabalho com figuras geométricas contribui para a aprendizagem de números e medidas levando o aluno a identificar diferenças e semelhanças, além disso, pode ser feita a exploração de objetos físicos do cotidiano do aluno, o que permitirá realizar conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento. Segundo as DCE (2008) para o Ensino Fundamental, a Geometria tem como base o estudo do espaço. Neste nível de ensino, o aluno deve compreender os conceitos das geometrias plana, espacial, analítica e não-euclidianas. Ainda segundo as DCE (2008), no Ensino Médio deve-se garantir ao aluno um aprofundamento dos conceitos da geometria plana e espacial. Neste nível do conhecimento, os alunos analisam a geometria euclidiana por meio de expressões algébricas, ou seja, com a geometria analítica plana. Com isso, é fundamental o estudo das distâncias entre pontos, retas e circunferências; equações da reta, do plano e da circunferência; cálculos de área de figuras geométricas no plano e estudo de posições. Assim, é necessário conhecer as demonstrações de fórmulas e teoremas, a fim de favorecer a compreensão do conceito. No Ensino Médio, as formas geométricas planas, tridimensionais e suas representações são tratadas interligadas com o mundo concreto. Neste sentido o aluno deve reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito, relacionando procedimentos associados às diferentes representações (PCN, 1997, p. 42). Enfim, é de fundamental importância que os assuntos e as abordagens sugeridas pelos PCN (1997) e pelas DCE (2008) sejam explorados em sala de aula de modo a tornar

5 o aluno competente intelectualmente para aprender novos conceitos e resolver situações problemas com as quais este irá se deparar. Um estudo acerca de alguns conteúdos de Geometria Neste trabalho estudou-se especificamente alguns conteúdos tratados na geometria plana e espacial. São eles: segmentos de reta, polígonos, circunferências e poliedros. Iniciou-se, então, uma pesquisa de tais conteúdos em diferentes livros didáticos e buscou-se a semelhança dos objetivos destes com os documentos PCN (1997) e DCE (2008) e também o uso das variadas representações para a Geometria. Para tanto, os livros didáticos serão nomeados com a sigla LD seguido de um número para identificação buscando preservar a identidade dos autores. Os quatro conteúdos em questão foram analisados nos mesmos livros didáticos. Segmentos de reta Será dado início a este estudo com o conteúdo de segmentos de reta, sendo este, parte do conteúdo estruturante Geometrias. Como já mencionado, segundo as DCE (2008), no Ensino Fundamental o aluno deve compreender o conceito de reta, bem como paralelismo e perpendicularismo entre retas. Ainda segundo o documento analisado, no Ensino Médio o aluno deverá compreender o estudo de equações da reta incluído na geometria analítica. O livro didático estudado LD1, datado de 2005 e indicado para a 4ª série do Ensino Fundamental, contém o estudo de segmentos de reta, onde são apresentadas definições de semi-reta, retas paralelas e perpendiculares. Em alguns exercícios é solicitado que o aluno realize conversões da expressão algébrica e língua natural para a representação figural. Observemos a Figura 1 onde é solicitado que o aluno faça a conversão da linguagem algébrica para a figural:

6 Figura 1: Representação algébrica e representação figural de segmentos de reta Fonte: DANTE, Luiz Roberto. Matemática Vivência e Construção. São Paulo: Ática, Nos livros didáticos LD2 de 2004 proposto para a 5ª série do Ensino Fundamental, LD3 com data em 2002 e sugerido para a 6ª série do Ensino Fundamental, LD4 com data em 2009 e indicado para a 7ª série do Ensino Fundamental e LD6 de 2005, sugerido para a 1ª série do Ensino Médio não foram encontrados estudos de segmentos de reta. No livro LD5, também datado em 2009 e proposto para a 8ª série do Ensino Fundamental, o autor inicia uma seção tratando das relações entre retas, como retas transversais, paralelas e concorrentes mas não estabelece um conceito de segmento de reta. Nos exercícios é solicitado aos alunos que realize conversões entre a linguagem figural e materna, como por exemplo, sugerindo que os mesmos tracem retas e segmentos de reta com medidas e posições pré-determinadas. No livro didático LD7 de 2009, destinado para a 2ª série do Ensino Médio, podemos encontrar uma seção destinada para o estudo de posições relativas entre duas retas, onde são apresentados exemplos na língua natural, expressão algébrica e figural. O livro didático LD8, com data em 2004 e sugerido para a 3ª série do Ensino Médio, por sua vez, apresenta um estudo dedicado a equação da reta, onde são apresentados definições e exemplos. O conteúdo é tratado na representação algébrica, figural e na língua natural, onde também é solicitado que o aluno realize tais conversões, como por exemplo, sugerindo que o aluno a partir de uma equação de reta desenvolva sua representação no plano cartesiano. O livro didático estudado LD9, datado em 2003 e de volume único, por sua vez, apresenta conteúdos relacionados com o estudo de polígonos para o Ensino Médio, apresenta um estudo sobre segmentos de reta, posições relativas entre retas e suas equações. São apresentados exemplos na expressão algébrica, figural e na língua natural, ainda é solicitado nos exercícios que o aluno realize conversões entre esses registros,

7 donde por exemplo, é apresentado pontos de um segmento de reta e solicitado que o aluno represente a reta no plano cartesiano e escreva a sua equação. No quadro abaixo, podemos observar uma análise quantitativa de algumas características dos nove livros didáticos estudados referente ao estudo de Segmentos de reta: Livros didáticos que contemplam o estudo de segmento de reta 5 Apresentam ao menos dois tipos de Representação Semióticas 5 Solicita que o aluno realize ao menos uma conversão de registros 4 O estudo de segmentos de reta está presente na maioria dos livros didáticos com diferentes representações como sugeridos nos documentos analisados anteriormente, embora na maioria deles, o conceito de reta se sobressai sobre o conceito de segmento de reta. Em alguns dos exercícios é proposto ao aluno que represente segmentos de reta no plano cartesiano ou ainda, que a partir desses segmentos desenvolva sua equação correspondente, sugerindo assim que o aluno realize uma conversão de registros. Polígonos Faremos também um estudo com o conteúdo de polígonos, sendo este, componente da geometria plana fazendo parte do conteúdo estruturante de Geometrias segundo os documentos PCN (1997) e DCE (2008). Como mencionado anteriormente, segundo as DCE (2008), já no Ensino Fundamental, o aluno deve compreender as estruturas e dimensões das figuras geométricas planas e seus elementos fundamentais. Ainda segundo o PCN (1997), no Ensino Médio o aluno deve analisar e interpretar diferentes representações de figuras planas (polígonos) e utilizar essas formas para representar o mundo real por meio de escalas. No livro didático LD1, o conteúdo de polígonos é apresentado logo após outros conceitos geométricos. Primeiramente é apresentada uma definição de polígono, tratando também de sua classificação, sempre seguido de exemplos e exercícios. Na referência estudada encontramos o conteúdo em questão representado por meio da representação figural e da língua natural e também é solicitado nos exercícios que o aluno realize essa conversão de registro.

8 A Figura 2 traz um dos exercícios propostos onde é requerido que o aluno, diante da representação figural, descreva a classificação de alguns polígonos utilizando de sua língua materna: Figura 2: Representação figural e representação na língua materna de polígonos Fonte: DANTE, Luiz Roberto. Matemática Vivência e Construção. São Paulo: Ática, O livro LD2, apresenta um capítulo dedicado às construções geométricas. São apresentados exemplos de ampliação e redução de figuras geométricas planas por meio da representação figural, onde podemos encontrar alguns polígonos, mas estes não são classificados. Ainda são propostos exercícios com o auxílio de régua e compasso na forma de Expressão Gráfica. No livro didático LD3, encontramos a construção de ideias geométricas apresentando relações com a natureza. O estudo de polígonos é apresentado na linguagem natural por meio de suas nomenclaturas e a representação figural. Nos exercícios propostos é sugerido ao aluno que represente diferentes polígonos em seus registros figurais. O livro didático LD4 não contempla conteúdos relacionados aos polígonos, desta forma podemos perceber que o estudo da geometria nesta obra não está adequado quanto alguns conteúdos sugeridos pelos documentos analisados. No livro didático LD5 o conteúdo de polígonos é tratado em um capítulo específico onde se inicia com exemplos de figuras geométricas encontradas na natureza fazendo relação com as figuras que serão estudadas. Em seguida, é apresentada uma definição de polígonos e alguns de seus elementos. Essas características são apresentadas utilizando a língua natural por meio de suas nomenclaturas e ainda proporciona sua representação figural, como podemos observar na Figura 3:

9 Figura 3: Representação figural e representação na língua materna de polígonos Fonte: JR. José Ruy Giovanni; CASTRUCCI, Benedicto. A conquista da Matemática. São Paulo: FTD, Para o Ensino Médio estudamos livros didáticos que são separados por séries e também um livro de volume único, onde todos os conteúdos para o Ensino Médio são encontrados em um único exemplar. Os livros didáticos LD6, LD7 e LD8 não apresentam conteúdos relacionados com o estudo de polígonos. O livro didático LD9 apresenta uma seção denominada Polígono Regular, onde são tratados alguns elementos de polígonos com sua representação figural e língua natural. São utilizadas fórmulas, exemplos e exercícios propostos, embora estes não solicitem que o aluno realize a conversão de registros. No quadro a seguir, podemos observar uma análise quantitativa de algumas características dos nove livros didáticos analisados referente ao estudo de Polígonos: Livros didáticos que contemplam o estudo de Polígonos 5 Apresentam ao menos dois tipos de Representação Semióticas 4 Solicita que o aluno realize ao menos uma conversão de registros 2

10 Pode-se facilmente notar que nem todos os livros didáticos apresentam os conteúdos específicos de polígonos descritos como necessários nos PCN (1997) e DCE (2008) ou então não estão relacionados com as séries indicadas, o que influencia diretamente no ensino do aluno. Nota-se também, que a maioria deles apresentam dois diferentes registros de representação para a Geometria (língua natural e registro figural), mas nem sempre é solicitado que o aluno realize a conversão entre esses registros. Mesmo quando solicitado, alguns se apresentam em forma de problemas fechados 1 e exigem um resposta direta do aluno independente de um raciocínio mais elaborado. Circunferência Agora faremos um estudo nos livros didáticos sobre o conteúdo de circunferências de maneira a compará-los com as especificações descritas nos PCN (1997) e DCE (2008) analisadas anteriormente. Vale relembrar que segundo os PCN (1997) as séries finais do Ensino Fundamental deve envolver o estudo de circunferências. E segundo as DCE (2008), no Ensino Médio o aluno deve compreender o estudo de posições relativas e a análise de equação em uma circunferência. O livro didático LD1 contém um breve estudo sobre circunferências, apresentando algumas definições, como raio e diâmetro por meio da representação figural. É solicitado ainda, que o aluno realize conversões da linguagem natural para a representação figural, onde é sugerido que o aluno trace circunferências de diferentes raios. Os livros didáticos LD2, LD3, LD4 e LD6 não apresentam conteúdos relacionados ao estudo de circunferências. No livro LD5 o conteúdo de circunferências é tratado com definições e exemplos, são apresentadas definições como raio e diâmetro por meio de sua representação figural. Também é tratado o conteúdo de posições relativas, sempre destacando definições e propondo exercícios para fixação do conteúdo tratado. No entanto, esses exercícios não sugerem que o aluno realize conversões entre registros. O livro didático em questão 1 Nos referimos a problemas fechados os exercícios apresentados com frases curtas, onde são dispostos todos os dados necessários para o desenvolvimento de sua única solução.

11 apresenta os conteúdos analisados por meio de sua representação figural e da língua natural. O livro analisado LD7 é introduzido com o estudo da geometria plana. O autor define circunferência e círculo e trata de algumas de suas propriedades. Apresenta também, exercícios para que o aluno possa fixar os conteúdos, embora estes não solicite que o aluno realize conversão de registros. No livro didático LD8 podemos encontrar um breve estudo sobre circunferências, do ponto de vista da geometria analítica, onde são apresentadas na linguagem natural, figural e algébrica, proporcionando estas diferentes representações para o mesmo objeto circunferência. O livro didático LD9, por sua vez, apresenta um estudo detalhado sobre o conteúdo de circunferências requerido para o Ensino Médio. Para introduzir o estudo é feito um apontamento histórico com curiosidades relacionadas a circunferências. São apresentadas definições com vários exemplos e exercícios propostos. Em alguns exercícios é sugerido que o aluno realize conversões da língua natural e expressão algébrica para a representação figural, donde por exemplo, este a partir da representação gráfica de uma circunferência estabeleça sua representação algébrica. No quadro a seguir, podemos novamente observar uma análise quantitativa de algumas características dos nove livros didáticos analisados, agora referente ao estudo de Circunferências: Livros didáticos que contemplam o estudo de Circunferência 5 Apresentam ao menos dois tipos de Representação Semióticas 4 Solicita que o aluno realize ao menos uma conversão de registros 3 Podemos notar que o conteúdo de circunferências é tratado nas séries finais do ensino médio para a maioria dos livros didáticos e neste nível de ensino este conteúdo é estudado com maiores detalhes, onde são retomados conceitos de séries anteriores e apresentado novos conceitos sempre buscando relação entre eles. Em alguns livros ainda é solicitado que o aluno realize conversões entre registros. Essas conversões, em sua maioria, sugerem que o aluno represente circunferências de diferentes raios em suas representações figurais.

12 Poliedros Como já foi mencionado, o estudo de Poliedros deve estar presente no currículo educacional sendo parte do conteúdo estruturante Geometrias. Segundo as DCE (2008) e os PCN (1997), no Ensino Fundamental o aluno deve desenvolver suas habilidades espaciais e ser capaz de reconhecer corpos redondos e poliedros. No Ensino Médio, o estudo da geometria espacial deve ser mais aprofundado, devem ser estudadas suas classificações, representações e propriedades. Por fim, então, faremos uma análise nos livros didáticos em questão sobre o conteúdo de poliedros. Os livros didáticos LD1, LD4, LD5, LD6 e LD8 não apresentam o estudo de poliedros. O livro didático LD2 apresenta um capítulo destinado ao estudo de figuras geométricas espaciais, onde são apresentados prismas e pirâmides com algumas de suas propriedades. Essas figuras espaciais são estudadas em suas representações figurais e na língua natural, embora nos exercícios não seja solicitado que o aluno realize essa conversão. No livro didático analisado LD3, é feito o estudo de algumas propriedades das figuras geométricas espaciais embora, essas não sejam nomeadas como poliedros. O livro didático LD8 apresenta uma seção para o estudo de poliedros, onde é feito primeiramente um apontamento histórico trazendo relações dessas figuras geométricas com o mundo real. São apresentados vários poliedros bem como suas características, esses estudo é feito por meio da representação figural e da língua natural, embora nos exercícios não seja solicitado que o aluno realize conversões de registros. No livro didático LD9 o estudo de poliedros é feito de maneira a iniciar o conteúdo de figuras geométricas espaciais. São apresentadas classificações e propriedades dessas figuras, bem como suas representações figurais e língua natural, mas não é sugerido nos exercícios que o aluno realize essa conversão de registro. Na figura abaixo podemos observar algumas representações proporcionadas pelo livro didático:

13 Figura 4: Planificação de poliedros Fonte: BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Curso de Matemática. Moderna: São Paulo, No quadro abaixo, podemos observar uma análise quantitativa de algumas características dos nove livros didáticos estudados referentes a Poliedros: Livros que contemplam o estudo de Poliedros 4 Apresentam ao menos dois tipos de Representação Semióticas 4 Solicita que o aluno realize ao menos uma conversão de registros 0 A maioria dos livros didáticos analisados não comtempla o estudo do conteúdo de Poliedros do modo que é proposto nos documentos analisados anteriormente. E mesmo nos livros onde foram encontrados esse estudo, o conteúdo apresenta deficiências do ponto de vista das diferentes representações de registros semióticas, pois embora seja proporcionado

14 ao aluno a representação figural desses poliedros logo após sua representação na linguagem natural, não é solicitado que o aluno realize essa conversão de registro. Considerações Finais Por meio da pesquisa apresentada, podemos perceber a importância de se trabalhar com diferentes registros de representação semiótica no processo de aprendizagem de Geometria. As dificuldades de visualização e compreensão dos objetos geométricos podem ser amenizadas se o aluno for capaz de reconhecer o mesmo objeto em suas variadas formas. Outro fator importante percebido, se refere à necessidade da retomada de determinados conceitos básicos de Geometria em anos posteriores, visto que o aluno poderá fazer uma associação das representações vistas anteriormente à representação pela qual irá iniciar seus estudos. Com este estudo podemos notar que a geometria plana e espacial é representada por meio de sua representação figural e da língua natural, já conteúdos da geometria analítica, como segmento de reta, são ainda estudados em sua representação algébrica, embora o estudo utilizando diferentes registros de representação e suas conversões seja ainda deficiente em alguns livros didáticos analisados. Em alguns dos exercícios propostos aos alunos é sugerido que este realize conversões entre registros semióticos. Embora estes exercícios não apresentem um caráter diferenciado e sejam todos caracterizados como problemas fechados, ainda assim proporcionam ao aluno que parta de um registro de representação e desenvolva outro registro. Com base no fato de que o professor não deve ficar totalmente e somente atrelado ao livro didático durante suas aulas, consideramos que o professor, ao ter conhecimento da importância das várias representações para um mesmo objeto, poderá, ainda assim, proporcionar tal experiência ao aluno em sala de aula se desvencilhando sutilmente da dicotomia livro quadro. Referências

15 ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da Didática da Matemática. Curitiba: Ed. UFPR, BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval. Curso de Matemática. Moderna: São Paulo, BRANDT, Celia Finck. Contribuições dos registros de representação semiótica na conceituação do sistema de numeração f. Tese (Doutorado em Educação Científica) Universidade Federal de Santa Catarina. BRASÍLIA, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental. MEC/SEF, 1998., Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais primeiro e segundo ciclos do Ensino Fundamental. MEC/SEF, DAMM, Regina F. Registros de representação. In: MACHADO, Silvia D. A. (Org.). Educação Matemática: uma introdução. São Paulo, SP: EDUC, DANTE, Luiz Roberto. Matemática Vivência e Construção. São Paulo: Ática, Tudo é Matemática. Ática: São Paulo, DUVAL, Raymond. Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: MACHADO, S. D. A. (Org). Aprendizagem em matemática: registros de representação semiótica. Campinas, SP: Papirus, p , Abordagem cognitiva de problemas de geometria em termos de congruência (tradução: Méricles Thadeu Moretti). Revemat. Florianópolis, v.07, n.1, p , IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática para todos. São Paulo: Scipione, JR. José Ruy Giovanni; CASTRUCCI, Benedicto. A conquista da Matemática. São Paulo: FTD, LONGEN, Adilson. Matemática. Curitiba: Positivo: PAIVA, Manoel. Matemática. São Paulo: Moderna, PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação do. Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação Básica Matemática. Curitiba, SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática. Saraiva, São Paulo: TOSATTO, Cláudia Mirian; PERACCHI, Edilaine do Pilar F.; ESTEPHAN, Violeta. Matemática Ideias e Relações. Positivo: Curitiba, 2002.