Laboratórios de CONTROLO (LEE)

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1 Laboratórios de CONTROLO (LEE) 3 o Trabalho Modelação e Controlo de um Ecossistema Controlo de uma população de presas através da população de predadores João Miguel Raposo Sanches 1 o Semestre 2005/2006 Instituto Superior Técnico (Tagus Park) 1

2 Controlo-LEE(Tagus Park), 1 o Semestre de 2005/ Introdução Thomas Malthus ( , foi uma das primeiras pessoas a tentar encontrar uma lei de crescimento para população humana. Na sua famosa obra An Essay on the Principle of Population (escrita em 1798, disponibilizada em stephan/malthus/malthus.0.html) Malthus defendia que a taxa de crescimento da população é proporcional ao número de elementos dessa mesma população, isto é, dx/dt = kx, o que levaria ao crescimento exponencial da população mundial. Por outro lado afirmava que a produção alimentar e de outros recursos essenciais à espécie humana cresce linearmente. Previa portanto grandes problemas se não fossem tomadas medidas drásticas de controlo de natalidade. Figura 1: Thomas Malthus. Mais tarde mostrou-se que o modelo de Malthus não é realista pois não toma em conta uma série de factores que são determinantes no crescimento da espécie humana, tais como, factores sociais e psicológicos, individualmente ou colectivamente considerados (os humanos não são amibas). Por exemplo, na Europa, onde há excedente de recursos e ao mesmo tempo elevada densidade populacional, verifica-se uma queda na taxa de natalidade. Pela teoria de Malthus, a população da Europa deveria explodir, pois os dois pressupostos principais para o crescimento explosivo da população são verificados: i)elevada população e ii)grande quantidade de alimentos/recursos. A teoria de Malthus, no entanto, pode ser muito útil para modelar ecosistemas simples e pode funcionar como ponto de partida para modelos mais complexos. Por exemplo em formas de vida elementar, como bactérias, a lei de Malthus concorda razoavelmente com as observações experimentais. Neste trabalho iremos modelar e simular um eco-sistema constituído por

3 Controlo-LEE(Tagus Park), 1 o Semestre de 2005/ duas populações, uma de presas (coelhos) e outra de predadores (lobos). O objectivo é o de controlar a população de coelhos através do abate de lobos ou da sua introdução no ecossistema. O trabalho é desenvolvido em três fases: 1. Modelação do ecossistema através da dedução das equações diferenciais que descrevem o seu comportamento dinâmico. 2. Implementação dos circuitos electrónicos (usando componentes analógicos discretos, p.ex., Amp Ops, resistências e condensadores) cujo comportamento dinâmico é igual ao do ecossistema em estudo. 3. Projecto, implementação e teste do controlador apropriado que permita manter estável a população de coelhos de forma a impedir a sua proliferação descontrolada ou a sua extinção. A saída do sistema é o número de coelhos ao longo do tempo e a entrada é o número de lobos abatidos ao longo do tempo. 2 Preparação Teórica O ecossistema que estamos a estudar é constituído por três elementos principais, i) Erva (alimento dos coelhos), ii) Coelhos (alimento dos lobos) e finalmente iii) Lobos (que podem ser abatidos ou introduzidos pelos humanos de forma a controlar o sistema). Na formulação que se segue os coeficientes são representados genericamente por α y x em que x {E, C, L} e y {a, r, m, s}. E, C e L significam respectivamente Erva, Coelhos e Lobos. a, r, m e s representam respectivamente alimentação, reprodução, morte e sol. A taxa de crescimento da erva (E) é proporcional à quantidade de Sol recebida por unidade de tempo, cuja constante de proporcionalidade é αe s, menos dois termos: i) um que depende da quantidade de erva em cada momento de forma a introduzir uma saturação que é natural, pois admite-se que a taxa de crescimento da erva começa a decair quando a sua quantidade se aproxima de um dado limiar, e o segundo factor ii) a taxa de consumo devido aos coelhos, que é proporcional ao número de coelhos. Portanto de(t) = α s dt Es(t) αe m e(t) α m C E c(t). (1)

4 Controlo-LEE(Tagus Park), 1 o Semestre de 2005/ A taxa de crescimento da população de coelhos depende de três factores, contribuindo cada um deles com pesos diferentes: Quantidade de alimentação (erva) existente. Admite-se que abaixo de um certo limiar de quantidade de erva a população de coelhos começa a morrer à fome. Este limiar depende naturalmente da quantidade de coelhos. Quantidade de coelhos. Presume-se que a taxa de crescimento da população é proporcional à quantidade de indivíduos da população. Número de indivíduos da população de predadores (lobos). Quanto maior for esta população maior é a probabilidade de encontro predador/presa. Esta parcela é negativa. A premissas anteriores podem ser modeladas matematicamente através da seguinte equação: dc(t) dt = α a C [e(t) α m E C c(t)] + αr Cc(t) α m L C l(t) (2) A taxa de crescimento dos lobos depende da quantidade de lobos e da quantidade de coelhos. Admite-se que abaixo de um certo limiar de coelhos a população de lobos começa a morrer de fome. Por outro lado, a taxa de crescimento dos predadores pode ser influenciada pelos humanos através do seu abate ou da introdução de novos elementos. Portanto, dl(t) dt = α a L [c(t) α m C L l(t)] + αr Ll(t) + h(t) (3) em que h(t) é determinado pela acção dos humanos. O objectivo deste trabalho é o de simular este ecossistema através da implementação de circuitos electrónicos. Pretende-se também definir a estratégia de controlo (controlador) que permita controlar a população de coelhos através da acção sobre a população de lobos. 1. A partir das equações diferenciais apresentadas anteriormente desenhe o diagrama de blocos que representa o ecosistema, explicitando as variáveis e(t), c(t) e l(t).

5 Controlo-LEE(Tagus Park), 1 o Semestre de 2005/ Simplifique o diagrama anterior aglutinando as várias constantes sempre que possível e mostre que obtém o diagrama de blocos representado na Fig. 2. Explicite as várias constantes em função das constantes das equações diferenciais. Figura 2: Diagrama de blocos. 3. O sistema anterior tem duas entradas, s(t) : Sol, h(t) : Humanos e uma saída c(t) : Coelhos. A função de transferência é portanto: C(s) = G s (s)s(s) + G h (s)h(s) (4) em que S(s) e H(s) são as transformadas de Laplace dos sinais s(t) e h(t) respectivamente. Calcule G s (s) e G h (s). 4. Dimensione um controlador que permita controlar a população de coelhos através do controlo da taxa de crescimento dos lobos. 3 Simulação Concretize o sistema usando os seguintes parâmetros: 1. α s E = 100 Ganho solar (coeficiente de conversão de sol em erva). 2. α m E E = 1 O crescimento da erva é um sistema de primeira ordem com ganho unitário.

6 Controlo-LEE(Tagus Park), 1 o Semestre de 2005/ α r C = 1 O coeficiente de reprodução dos coelhos é de 1 coelho/mês/coelho. 4. α r L = αr C /10 O coeficiente de reprodução dos lobos é dez vezes menor que a dos coelhos. 5. α a C = 1 Factor que afecta a taxa de crescimento dos coelhos devido à quantidade de alimentação. 6. α a L = 0.01 Factor que afecta a taxa de crescimento dos lobos devido à quantidade de alimentação. 7. α m C E = 2 Cada coelho come 2 unidade de alimento/mês. 8. α m E C = αm C E Quando existirem 2 unidades de erva por coelho a componente da taxa de crescimento devido à alimentação é nula (ver eqn. 2). 9. α m L C = 30 Cada lobo consome 30 coelhos/mês sendo portanto esta a taxa de decaimento dos coelhos devido aos lobos. 10. α m C L = α m L C Quando existirem 30 coelhos por lobo a componente da taxa de crescimento devido à alimentação é nula (ver eqn. 3). Construa um ficheiro.m, em MatLab, em que define os parâmetros do diagrama de blocos representado na Fig.2, pólos e ganhos, em função dos coeficientes listados anteriormente. 3.1 Simulação em cadeia aberta Simule o sistema usando o modelo simulink contido no ficheiro ecosistema.mdl. Utilize um tempo de simulação T= Comece por desligar (=0) os interruptores SwL e SwC observando o crescimento da erva sem a existência quer de coelhos quer de lobos.

7 Controlo-LEE(Tagus Park), 1 o Semestre de 2005/ Active agora o interruptor SwC=1, que corresponde a colocar um casal de coelhos no instante T = 10. Observe agora a evolução de coelhos e da erva. Experimente aumentar a taxa de reprodução dos coelhos para 1.5. O que observa? Interprete os resultados. A comunidade de coelhos sobreviveu? 3. Reponha a taxa de reprodução dos coelhos em αc r = 1. Ligue agora o interruptor SwL=1 de forma a colocar um casal de lobos no ecossistema no instante T=20. Comente a evolução das curvas. 4. Considere agora a variação do Sol devido às estações do ano. Para isso active o sinal de comando SwEstAno colocando o seu valor final em 1. Observe e comente as variações das populações de coelhos e lobos assim como da quantidade de erva. 5. Admita agora que existe um atraso entre a comunidade de coelhos e a erva e a comunidade dos lobos. Para isso, no bloco atraso introduza um valor de atraso igual a Comente o que observa. 6. Sugira uma alteração das condições da experiência que lhe permita simular uma situação que considere interessante, por exemplo, suponha que uma epidemia dizima a população de coelhos. O que é que acontece à erva e aos lobos? Altere o diagrama de blocos de forma a realizar a experiência que idealizou. 3.2 Simulação em cadeia fechada Altere o ficheiro ecosistema.mdl de forma a realimentar o sistema. 1. Discuta e dimensione um controlador proporcional que permita manter constante a população de coelhos, de forma a minimizar o efeito das flutuações solares ao longo do ano. Simule comente e apresente os resultados. 2. Proponha outro controlador que entenda mais adequado. Apresente o resultado das simulações e comente-as.

8 Controlo-LEE(Tagus Park), 1 o Semestre de 2005/ Implementação 1. Usando os blocos representados na Fig. 3 implemente um circuito que apresente a mesma dinâmica do modelo que utilizamos para descrever o processo de crescimento da erva. A entrada representa a quantidade de Sol recebida por unidade de tempo. 2. Complete agora o ecossistema implementando o circuito electrónico que se comporta da mesma forma que a comunidade de coelhos. Ligue ambos e observe os resultados. 3. Implemente a comunidade dos lobos tal como fez anteriormente para a erva e para os coelhos. Observe o sistema. 4. Implemente e introduza o controlador que dimensionou anteriormente. Observe e comente os resultados. Procure utilizar valores de resistência normalizadas. Preferencialmente utilize resistências de 1kΩ, 10kΩ ou 100kΩ. a) R f b) v 1 v 2 R + - R v 1 v 0 v 2 R R - + R f v 0 R f c) C p C z R p v i R z - + v 0 Figura 3: Módulos a utilizar: a)subtractor, b)somador Inversor, c)c(s) = K s+z s+p