Interação Flambagem Global Flambagem Local em Pilares Metálicos de Seção I Duplamente Simétricos Sob Compressão Uniforme

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1 Universidade Federal do Espírito Santo Programa de Pós Graduação em Engenharia Civil Departamento de Estruturas e Edificações Dissertação de Mestrado Interação Flambagem Global Flambagem Local em Pilares Metálicos de Seção I Duplamente Simétricos Sob Compressão Uniforme Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós Graduação em Engenharia Civil do Centro Tecnológico da Universidade Federal do Espírito Santo, como requisito parcial para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil Mestrando Warlley Soares Santos Orientador Luiz Herkenhoff Coelho Vitória, 13 de setembro de 00

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3 Warlley Soares Santos Interação Flambagem Global Flambagem Local em Pilares Metálicos de Seção I Duplamente Simétricos Sob Compressão Uniforme COMISSÃO EXAMINADORA Prof. Dr. Ing. Luiz Herkenhoff Coelho, UFES (Prof. Orientador) Prof. D. Sc. Walnório Graça Ferreira, UFES (Prof. Examinador Interno) Prof. D. Sc. Francisco Carlos Rodrigues, UFMG (Prof. Examinador Externo) Vitória, 13 de setembro de 00

4 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil) Santos, Warlley Soares, S37i Interação flambagem global flambagem local em pilares metálicos de seção I duplamente simétricos sob compressão uniforme / Warlley Soares Santos f. : il. Orientador: Luiz Herkenhoff Coelho. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Espírito Santo, Centro Tecnológico. 1. Flambagem (Mecânica).. Estabilidade estrutural. I. Coelho, Luiz Herkenhoff. II. Universidade Federal do Espírito Santo. Centro Tecnológico. III. Título. CDU: 64

5 Dedico este trabalho aos meus pais José Soares dos Santos e Maria de Fátima Araújo dos Santos, que sempre me incentivaram.

6 Agradecimentos Gostaria de agradecer a Deus por tudo. Aos meus pais José Soares dos Santos e Maria de Fátima Araújo dos Santos, a meus dois irmãos Welington e Welcius que sempre me apoiaram. Ao meu orientador Luiz H. Coelho, aos professores, especialmente Fernando Musso e Walnório Graça Ferreira. Ao NEXEM (Núcleo de Excelência em Estruturas Metálicas e Mistas Convênio UFES/CST) pelo incentivo financeiro e aos meus amigos que sempre estiveram ao meu lado. Gostaria de agradecer também ao Sr. Virgílio S. Prates e ao Sr. Antônio Carlos B. Vieira pelo estágio na HEC HANDLE no qual pude obter precioso aprendizado sobre engenharia e principalmente sobre o programa ANSYS. Agradeço à Fátima Nogueira e a todos da Softec por sempre esclarecer as dúvidas relativas ao programa ANSYS. Ao professor Pedro Augusto Cezar Oliveira de Sá um agradecimento especial pelas horas dispensadas neste trabalho e pelo amigo sincero que sempre foi e será.

7 Ora, é indiscutível: é o inferior que recebe a bênção do que é superior. (Heb 7,7)

8 i Sumário LISTA DE TABELAS...II LISTA DE FIGURAS... III RESUMO... V ABSTRACT...VI CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO... 1 CAPÍTULO ESTADO DO CONHECIMENTO INSTABILIDADE DE PILARES METÁLICOS... 3 Introdução... 3 As propriedades dos aços... 4 Dimensionamento... 6 Flambagem por flexão... 7 Flambagem por torção Flambagem por flexão e torção Flambagem lateral Flambagem Local... 0 Distorção da seção INTERAÇÃO ENTRE FLAMBAGEM LOCAL E GLOBAL... 9 Introdução... 9 Classificação das instabilidades acopladas Métodos de Análise CAPÍTULO 3 MODELO NUMÉRICO CURVA DE FLAMBAGEM ALTERNATIVA CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES DO MODELO NUMÉRICO ESCOLHA DA MALHA Alguns casos estudados ESCOLHA DO MATERIAL Alguns casos estudados... 6 CAPÍTULO 4 PERFIS LONGOS FLAMBAGEM GLOBAL CAPÍTULO 5 PERFIS CURTOS FLAMBAGEM NA ALMA FLAMBAGEM NAS MESAS INTERAÇÃO FLAMBAGEM NA ALMA E MESA CAPÍTULO 6 PERFIS INTERMEDIÁRIOS INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA E NAS MESAS CAPÍTULO 7 MÉTODO ALTERNATIVO Um exemplo ilustrativo CAPÍTULO 8 CONCLUSÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANEXO: ARQUIVO PARA PARAMETRIZAÇÃO

9 ii Lista de Tabelas Capítulo 4 TABELA 4.1 COMPRIMENTOS, CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS DOS PERFIS LONGOS Capítulo 5 TABELA 5.1 ESPESSURA DA ALMA E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS A FLAMBAGEM NA ALMA TABELA 5. CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICE DE ESBELTEZ RELATIVO PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS À FLAMBAGEM NA ALMA REFERIDOS NA TABELA TABELA 5.3 ESPESSURA DA ALMA E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS À FLAMBAGEM NA ALMA CUJOS ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS DA ALMA ESTÃO ENTRE 0.8 E TABELA 5.4 CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICE DE ESBELTEZ RELATIVO PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS À FLAMBAGEM NA ALMA REFERIDOS NA TABELA TABELA 5.5 ESPESSURA DAS MESAS E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS À FLAMBAGEM NAS MESAS7 TABELA 5.6 CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICE DE ESBELTEZ RELATIVO PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS À FLAMBAGEM NAS MESAS... 7 TABELA 5.7 ESPESSURA DAS MESAS E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS À FLAMBAGEM NAS MESAS CUJOS ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS DAS MESAS ESTÃO ENTRE 0.8 E TABELA 5.8 CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICE DE ESBELTEZ RELATIVO PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS À FLAMBAGEM NAS MESAS REFERIDOS NA TABELA TABELA 5.9 ESPESSURAS DA ALMA E DAS MESAS E COMPRIMENTO DOS PERFIS CURTOS SUJEITOS À INTERAÇÃO ENTRE FLAMBAGEM NA ALMA E NAS MESAS TABELA 5.10 CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS PARA PERFIS CURTOS SUJEITOS À INTERAÇÃO DE FLAMBAGEM NA ALMA E NAS MESAS Capítulo 6 TABELA 6.1 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS PERFIS SUJEITOS À INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA TABELA 6. CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS PARA PERFIS INTERMEDIÁRIOS SUJEITOS À INTERAÇÃO ENTRE FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA TABELA 6.3 REGRESSÃO DOS RESULTADOS DA TABELA 6. SEGUNDO A EQUAÇÃO (3.3) TABELA 6.4 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS PERFIS SUJEITOS À INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS TABELA 6.5 CARGA ÚLTIMA RELATIVA E ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS PARA PERFIS INTERMEDIÁRIOS SUJEITOS À INTERAÇÃO ENTRE FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS... 8 TABELA 6.6 REGRESSÃO DOS RESULTADOS DA TABELA 6.5 SEGUNDO A EQUAÇÃO (3.3) TABELA 6.7 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS, ÍNDICES DE ESBELTEZ RELATIVOS E RESISTÊNCIA ÚLTIMA RELATIVA DOS PERFIS SUJEITOS À INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL E FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA E NAS MESAS TABELA 6.8 REGRESSÃO DOS RESULTADOS DA TABELA 6.7 SEGUNDO A EQUAÇÃO (3.3) Capítulo 8 TABELA 8.1 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DOS PERFIS PARA COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOS NUMERICAMENTE E OS DA NORMA NBR 8800/ TABELA 8. COMPARAÇÃO ENTRE OS RESULTADOS OBTIDOS NUMERICAMENTE E OS DA NORMA NBR 8800/86 96

10 iii Lista de Figuras Capítulo FIGURA.1. GRÁFICO σ - ε PARA AÇOS NÃO TEMPERADOS... 4 FIGURA.. DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES RESIDUAIS EM SEÇÕES DO TIPO I: 1. W 14X730 [KSI]. WW 3X681 [KIPS/IN²]... 5 FIGURA.3. CURVA P δ DE PILARES SEM DEFORMAÇÕES INICIAIS E COM COMPORTAMENTO LINEAR CONSIDERANDO GRANDES DEFORMAÇÕES E PEQUENOS DESLOCAMENTOS... 8 FIGURA.4. CURVA P δ DE PILARES SEM DEFORMAÇÕES INICIAIS E COM COMPORTAMENTO NÃO LINEAR CONSIDERANDO GRANDES DEFORMAÇÕES E PEQUENOS DESLOCAMENTOS... 8 FIGURA.5. CURVA P δ DE PILARES SEM DEFORMAÇÕES INICIAIS E COM COMPORTAMENTO LINEAR CONSIDERANDO GRANDES DEFORMAÇÕES E GRANDES DESLOCAMENTOS... 9 FIGURA.6. CURVA P δ DE PILARES SEM DEFORMAÇÕES INICIAIS E COM COMPORTAMENTO NÃO LINEAR CONSIDERANDO GRANDES DEFORMAÇÕES E GRANDES DESLOCAMENTOS... 9 FIGURA.7. CURVA P δ DE PILARES COM DEFORMAÇÕES INICIAIS E COMPORTAMENTO LINEAR CONSIDERANDO GRANDES DEFORMAÇÕES E PEQUENOS DESLOCAMENTOS... 9 FIGURA.8. CURVA P δ DE PILARES COM DEFORMAÇÕES INICIAIS E COMPORTAMENTO NÃO LINEAR... 9 FIGURA.9. CURVA χ λ TÍPICA... 1 χ λ... 1 FIGURA.10. BANDA DE CURVAS FIGURA.11. FENÔMENO DA FLAMBAGEM LOCAL... 0 FIGURA.1. COMPORTAMENTO DE CHAPAS COM E SEM IMPERFEIÇÕES INICIAIS... FIGURA.13. CURVA σ ε ANTES E DEPOIS DA FLAMBAGEM LOCAL... 3 FIGURA.14. DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES APÓS FLAMBAGEM LOCAL EM CHAPAS APOIADA APOIADA... 3 FIGURA.15. DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES APÓS FLAMBAGEM LOCAL EM CHAPAS APOIADA LIVRE... 3 FIGURA.16. CONCEITO DE LARGURA EFETIVA... 4 FIGURA.17. MODO DE INSTABILIDADE POR DISTORÇÃO EM PERFIS U ENRIJECIDOS E PERFIS RACKS... 8 FIGURA.18. EROSÃO PRIMITIVA E EROSÃO DERIVADA INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL (1º MODO) FLAMBAGEM LOCAL (º MODO)... 3 Capítulo 3 FIGURA 3.1. MALHAS CONSIDERADAS NOS CORPOS DE PROVA DE CHAPAS APOIADA LIVRE E SEUS CORRESPONDENTES GRÁFICOS P δ FIGURA 3.. MALHAS CONSIDERADAS NOS CORPOS DE PROVA DE CHAPAS APOIADA APOIADA E SEUS CORRESPONDENTES GRÁFICOS P δ FIGURA 3.3. PERFIL CURTO MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO, SOLICITAÇÃO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA FIGURA 3.4. GRÁFICOS P δ DOS PERFIS CURTOS (FLAMBAGEM NA ALMA) 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS QUASE NULAS.. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS CONSIDERÁVEIS FIGURA 3.5. PERFIL CURTO MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO, SOLICITAÇÃO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS FIGURA 3.6. GRÁFICOS P δ DOS PERFIS CURTOS (FLAMBAGEM NAS MESAS) 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS QUASE NULAS.. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS CONSIDERÁVEIS... 5 FIGURA 3.7. PERFIL LONGO MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO, SOLICITAÇÃO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM POR FLEXÃO FIGURA 3.8. GRÁFICOS P δ DOS PERFIS LONGOS (FLAMBAGEM POR FLEXÃO) 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS QUASE NULAS.. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS CONSIDERÁVEIS FIGURA 3.9. PERFIL INTERMEDIÁRIO MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO, SOLICITAÇÃO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM GLOBAL FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA... 54

11 iv δ FIGURA GRÁFICOS P DOS PERFIS INTERMEDIÁRIOS (FLAMBAGEM GLOBAL FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA) 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS QUASE NULAS.. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS CONSIDERÁVEIS FIGURA PERFIL INTERMEDIÁRIO MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO, SOLICITAÇÃO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM GLOBAL FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS FIGURA 3.1. GRÁFICOS P δ DOS PERFIS INTERMEDIÁRIOS (FLAMBAGEM GLOBAL FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS) 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS QUASE NULAS. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS CONSIDERÁVEIS FIGURA PERFIL CURTO MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO, SOLICITAÇÃO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS FIGURA GRÁFICOS P δ DOS PERFIS CURTOS (FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS) 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS QUASE NULAS. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS CONSIDERÁVEIS FIGURA PERFIL INTERMEDIÁRIO MALHA DE ELEMENTOS FINITOS, CONDIÇÕES DE CONTORNO, SOLICITAÇÃO E DEFORMADA DE FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS FLAMBAGEM GLOBAL FIGURA GRÁFICOS P δ DOS PERFIS INTERMEDIÁRIOS (FLAMBAGEM GLOBAL FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS) 1. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS QUASE NULAS. PERFIL COM DEFORMAÇÕES INICIAIS CONSIDERÁVEIS FIGURA CURVA σ ε DE AÇOS CARBONO fε = 30MPa E N = P δ DOS PERFIS LONGOS (FLAMBAGEM GLOBAL) 1. PERFIL COM IMPERFEIÇÕES FIGURA CURVA σ - ε DO AÇO CARBONO COM FIGURA GRÁFICOS FÍSICAS. PERFIL SEM IMPERFEIÇÕES FÍSICAS Capítulo 4 FIGURA 4.1. CURVA DE FLAMBAGEM DE PERFIS TIPO I COM IMPERFEIÇÕES INICIAIS Capítulo 5 FIGURA 5.1. TUBO CURTO DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO 1. TENSÕES NA DIREÇÃO DA APLICAÇÃO DA CARGA [KN/CM²]. TENSÃO EQUIVALENTE DE VON MISES [KN/CM²] Capítulo 6 FIGURA 6.1. CURVAS DE FLAMBAGEM DE PERFIS TIPO I COM IMPERFEIÇÕES INICIAIS INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL FLAMBAGEM LOCAL NA ALMA FIGURA 6.. CURVAS DE FLAMBAGEM DE PERFIS TIPO I COM IMPERFEIÇÕES INICIAIS INTERAÇÃO FLAMBAGEM GLOBAL FLAMBAGEM LOCAL NAS MESAS FIGURA 6.3. VARIAÇÃO DO PARÂMETRO α FIGURA 6.4. VARIAÇÃO DO PARÂMETRO β... 9 FIGURA 6.5. VARIAÇÃO DO PARÂMETRO λ r... 9

12 v Resumo SANTOS, Warlley Soares. Interação Flambagem Global Flambagem Local em Pilares Metálicos de Seção I Duplamente Simétricos Sob Compressão Uniforme p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) Universidade Federal do Espírito Santo. Os perfis metálicos comprimidos podem submeter-se à flambagem global, à flambagem das chapas componentes (flambagem local) ou, ainda, à interação entre os dois modos de flambagem. Nos códigos modernos, esta interação é considerada através do método da largura efetiva. Na verificação da barra à flambagem global, sua esbeltez relativa e sua resistência são determinadas com base no conceito de largura efetiva de chapas. Este conceito, no entanto, não representa perfeitamente a influência da flambagem local na resistência da barra. O propósito do estudo apresentado é demonstrar a possibilidade de se tratar o problema da interação flambagem global flambagem local em perfis metálicos comprimidos de forma alternativa, dispensando-se a utilização do conceito de largura efetiva. É apresentado um estudo numérico, baseado no método dos elementos finitos, de perfis metálicos tipo I, duplamente simétricos, sujeitos ao fenômeno da interação flambagem global flambagem local na compressão. É destacada a influência desta interação na resistência do perfil para diversas relações entre as esbeltezes do perfil e de suas chapas componentes. Palavras-chaves: instabilidade; flambagem; instabilidades acopladas; perfis metálicos.

13 vi Abstract SANTOS, Warlley Soares. Overall Local Interaction Buckling on Compressed Double Simetrics I Steel Profile p. Dissertation (Master Degree in Civil Engineering) Federal University of Espírito Santo. Compressed steel profiles can undergo overall buckling, local buckling or interaction buckling (coupled instability). Modern codes consider this interaction by the effective width method. Bar strength and slenderness are affected by effective width concept in the overall buckling verification. This concept, however, does not represents the local buckling phenomenon perfectly. The purpose of this work is to show the possibility of the treatment of the interaction buckling by an alternative way, without the effective width concept. A numeric analysis, by FEM, is present in order to verify the behavior of compressed I steel profile under interaction buckling. The influence of this interaction in the profile strength for several bar slenderness plate slenderness rates is pointed out. Key words: instability; buckling; coupled instabilities; steel profile.

14 Capítulo 1 Introdução Na maior parte das estruturas, os pilares são elementos de fundamental importância. A resistência dos pilares na estrutura que os contêm, pode ser determinista no colapso da mesma como um todo. Em estruturas metálicas, em geral, o colapso dos pilares ocorre basicamente em condições de instabilidade. Em 1744, Euler apresentou uma solução do problema de instabilidade de pilares esbeltos constituídos de material infinitamente elástico, simplesmente apoiados (bi articulados) nas extremidades, de seção constante, sem imperfeições geométricas e físicas, submetidos a compressão simples. Desde então, muitos estudos têm sido desenvolvidos buscando uma melhor compreensão do problema de instabilidade assim como uma formulação de soluções considerando todos os fatores que afetam o fenômeno. A instabilidade estrutural pode manifestar-se de distintas formas, denominadas modos de instabilidade. Assim, em pilares podem ocorrer fenômenos de instabilidade por flexão, torção, ou flexo torção das peças como um todo (flambagem global), por distorção da seção, por flexão localizada das chapas componentes do pilar (flambagem local) e inclusive por interação entre dois ou mais modos de instabilidade. Em determinados modos de instabilidade, o pilar pode apresentar uma resistência pós crítica, fazendo com que o colapso ocorra sob tensões superiores à tensão crítica. As tensões superiores ao valor crítico, nestes casos, ocorrem por que, após a flambagem, há uma redistribuição das tensões, o que confere resistência pós crítica à peça. A interação entre dois modos de instabilidade pode ocorrer quando suas tensões críticas são coincidentes, ou com valores suficientemente próximos.

15 Capítulo 1 - Introdução Pesquisadores, visando otimizar o dimensionamento, formularam o Principio das Instabilidades Simultâneas, que consistia em escolher as dimensões da peça de tal maneira que os possíveis e distintos modos de instabilidade tivessem a mesma tensão crítica sob mesmo esforço solicitante. Entretanto, este principio somente se aplica a estruturas ideais, ou seja, estruturas que não apresentam imperfeições iniciais. Tais estruturas são inexistentes na prática das construções. Por esta razão, tal principio foi denominado Principio Ingênuo de Otimização. Nas estruturas reais sabe-se que a interação entre dois modos de instabilidade provoca um novo modo de instabilidade que corresponde a uma carga de colapso geralmente inferior a que se obteria considerando isoladamente os possíveis modos de instabilidade. Recentemente, o tema da interação tem sido estudado com maior freqüência e contemplado nas versões mais atuais das normas. A proposta deste trabalho é estudar a instabilidade de pilares metálicos tendo em vista a interação entre flambagem global flambagem local, utilizando o método dos elementos finitos. Serão considerados: Pilares submetidos a compressão centrada Seções do tipo I duplamente simétrica Aços carbono comum de média resistência sem tratamento térmico Imperfeições geométricas iniciais (deformações iniciais) Imperfeições mecânicas (tensões residuais). Como resultado deste estudo, pretende-se desenvolver procedimentos alternativo para dimensionamento de pilares metálicos suscetíveis à interação entre os modos de flambagem local e o modo de flambagem global.

16 Capítulo Estado do Conhecimento.1 Instabilidade de Pilares Metálicos Introdução A flambagem estrutural é caracterizada pelo aparecimento, nos elementos estruturais submetidos a tensões de compressão, de grandes deformações decorrentes de pequenas variações do carregamento. Existem vários tipos de instabilidade, dependendo do tipo da estrutura, do tipo da solicitação a que está submetida e de suas condições iniciais. Os pilares e chapas, em condições ideais, perdem estabilidade por troca repentina do modo de deformação, caracterizando, assim, o fenômeno conhecido por bifurcação do equilíbrio. O novo modo de deformação não parece, em princípio, compatível com as solicitações. Em condições reais, ou seja, com imperfeições iniciais, não há mudança repentina de modo de deformação e sim uma significativa ampliação das deformações sob pequenos incrementos do valor da carga. O aparecimento das grandes deformações caracteriza a chamada fase pós crítica do comportamento mecânico do pilar ou das chapas. Se a carga que a peça pode suportar após o inicio da fase pós crítica cresce com as deformações, a estrutura tem um comportamento pós crítico estável. Se ocorre o contrário, apresenta um comportamento pós crítico instável (Galambos, 1998). Os fatores que influenciam o modo de instabilidade e a carga crítica são as relações geométricas do elemento estrutural, suas condições de apoio, suas imperfeições iniciais e as características mecânicas do material. Além do que, as estruturas em regime elástico linear se comportam de

17 Capítulo - Estado do Conhecimento 4 forma distinta das estruturas em regime plástico ou não linear, com relação à instabilidade. As propriedades dos aços As características mecânicas dos materiais podem ser obtidas por meio do tradicional ensaio de tração ou de compressão. Os aços carbono comuns apresentam diagramas tensão deformação idealizados como o que é mostrado na Figura.1 (Galambos, 1998). σ f y Figura.1. Gráfico σ - ε para aços não temperados ε Na Figura.1 acima apresenta-se somente a parte inicial dos diagramas, onde σ é a tensão normal, ε é sua correspondente deformação linear e f y é o limite de escoamento do aço. A linha com traço descontinuo de cor vermelha representa a alteração que pode sofrer o gráfico quando corpos de prova ensaiados possuem tensões residuais. As tensões residuais surgem nos perfis metálicos como conseqüência do esfriamento irregular, ou por algum aquecimento localizado que possam sofrer estes perfis durante o processo de sua fabricação, ou mesmo durante o processo de conformação a frio. Na Figura. mostra-se a distribuição de tensões residuais na seções de dois perfis tipo I, o primeiro laminado e o segundo soldado (Galambos 1998).

18 Capítulo - Estado do Conhecimento 5 Figura.. Distribuição das tensões residuais em seções do tipo I: 1. W 14x730 [ksi]. WW 3x681 [kips/in²] Os aços carbono com tensões residuais diferem dos aços carbono sem tensões residuais por apresentar uma relação tensão deformação não linear (Galambos, 1998; Olsson, 1998). As relações tensão deformação destes aços são representadas analiticamente pela fórmula de Ramberg Osgood (1941), modificada por Hill (1944) e por van der Merwe (1987) (Arnedo et al., 1998; Bredenkamp et al., 1998): σ σ ε= + ε0 fε Eo 0 (.1) n ε é a deformação linear especifica, σ é a tensão axial, E o é o módulo de elasticidade inicial do aço, fε0 é a tensão limite de escoamento convencional, tal que gera uma deformação residual ε 0. Geralmente ε 0 = 0.% e, portanto, f ε 0 = f 0.. O parâmetro n caracteriza o grau de não linearidade da relação σ ε do aço. Valores distintos de n permitem representar esta relação para outros tipos de metais, por exemplo aço inoxidável (Rasmussen e Rondal, 1998; Rondal, 1998).

19 Capítulo - Estado do Conhecimento 6 O módulo tangente, utilizado, como se verá adiante, para determinar resistência de peças solicitadas, pode determinar-se mediante a seguinte expressão, obtida a partir da derivada da tensão σ em relação a deformação ε da equação (.1) (Bredenkamp et al., 1998; Rondal, 1998) E t ε0 o = n 1 f ε 0 + ε ne 0 f E o σ fε0 (.) Dimensionamento O processo analítico tradicional de dimensionamento de pilares metálicos toma em conta a expressão (Galambos, 1998; Richard Liew et al., 199) P P u + M M x xu + M M y yu 1 (.3) onde P, M x e M y são, respectivamente, o esforço axial de compressão e os momentos fletores relativos aos eixos principais da seção ( x e y ), calculados por análise de segunda ordem. Os valores P u, as respectivas resistências. M xu e M yu são Os valores das resistências são esforços limites que, na maioria dos casos práticos, são os esforços críticos de instabilidade. Os pilares metálicos flexo comprimidos podem estar sujeitos a modos de instabilidade de três naturezas distintas: a flambagem global, a flambagem local e a distorção da seção (flambagem por distorção). Os tipos de flambagem global são: flambagem por flexão, por torção e por flexo torção, devidas à compressão, e a flambagem lateral por flexão e torção, devida à flexão.

20 Capítulo - Estado do Conhecimento 7 Flambagem por flexão A flambagem por flexão na compressão ocorre, em geral, nos pilares longos duplamente simétricos. A carga crítica no regime elástico linear, obtida por Euler (1744) para pilares prismáticos ideais é a menor das cargas (Bjorhovde, 199; Galambos, 1998; Timoshenko e Gere, 1961): P crx π EA π EA = e Pcry = λ λ x y (.4) onde x e y são os eixos principais da seção, E é o módulo de elasticidade do material, A é a área da seção do pilar e λ x e λ y são os parâmetros de esbeltez do pilar em relação aos eixos x e y, respectivamente, determinados por k L x x λ x = e rx λ y k y L = r y y (.5) Os coeficientes k x e k y são os coeficientes de flambagem, que dependem das condições de apoio do pilar nos planos y z e x z, respectivamente, L x e L y são os comprimentos destravados do pilar nestes planos, ou seja, distâncias entre duas seções consecutivas que têm impedida sua translação em cada plano e r x e r y, os raios de giração da seção com relação aos seus eixos principais. O eixo z é o lugar geométrico dos centros de gravidade das seções do pilar. Se o pilar tem comportamento não linear, seja pela existência de tensões residuais, seja pelo fato do material entrar no regime plástico, a carga crítica, obtida por Engesser (1898) e confirmada por Shanley (1947), é a

21 Capítulo - Estado do Conhecimento 8 menor das seguintes (Bjorhovde, 199; Galambos, 1998; Timoshenko e Gere, 1961): P crx π E A π Et A = e Pcry = λ t λx y (.6) onde E t é o módulo tangente do material. As curvas P δ representativas dos comportamentos linear e não linear do pilar são as mostradas nas Figura.3 e Figura.4, respectivamente, considerando grandes deformações e pequenos deslocamentos. Nestes gráficos, P é o esforço axial de compressão, δ é o deslocamento lateral máximo de flexão das seções do pilar e P cr é a carga crítica de flambagem. P P Pcr Pcr Figura.3. Curva P δ de pilares sem deformações iniciais e com comportamento linear considerando grandes deformações e pequenos deslocamentos δ Figura.4. Curva P δ de pilares sem deformações iniciais e com comportamento não linear considerando grandes deformações e pequenos deslocamentos δ As curvas P δ representativas dos comportamentos linear e não linear do pilar são as mostradas nas Figura.5 e Figura.6, considerando, grandes deformações e grandes deslocamentos.

22 Capítulo - Estado do Conhecimento 9 P P cr P P máx P cr Figura.5. Curva P δ de pilares sem deformações iniciais e com comportamento linear considerando grandes deformações e grandes deslocamentos δ Figura.6. Curva P δ de pilares sem deformações iniciais e com comportamento não linear considerando grandes deformações e grandes deslocamentos δ Considerando agora, grandes deformações apenas e as deformações iniciais, as curvas P δ são mostradas nas Figura.7 e Figura.8 por meio de linha sólida, onde e i é o máximo deslocamento lateral inicial. P Pcr P P cr ei Figura.7. Curva P δ de pilares com deformações iniciais e comportamento linear considerando grandes deformações e pequenos deslocamentos δ ei Figura.8. Curva P δ de pilares com deformações iniciais e comportamento não linear considerando grandes deformações e pequenos deslocamentos δ As deformações iniciais, portanto, diminuem a resistência à flambagem por flexão de pilares e a resistência a qualquer outro modo de instabilidade. Sabendo que as deformações iniciais e as tensões residuais tornam difícil a obtenção de uma solução analítica, a carga de dimensionamento de

23 Capítulo - Estado do Conhecimento 10 pilares prismáticos comprimidos requer fórmulas empíricas. Existem, essencialmente, quatro processos para obtenção destas fórmulas (Bjorhovde, 199; Galambos, 1998): a) o processo baseado em fórmulas empíricas obtidas a partir de testes em colunas de dimensões e material usuais, que é muito limitado, pois os resultados somente são aplicáveis aos pilares que tenham as mesmas características dos pilares ensaiados b) o processo baseado no estado limite de plastificação, que determina a resistência de um pilar comprimido como sendo a carga que produz uma tensão igual ao limite de escoamento do material, considerando a flexão elástica do pilar com deformações iniciais submetido a cargas centradas ou excêntricas c) o processo baseado na teoria do módulo tangente, que considera o comportamento não linear do pilar, entretanto sem levar em conta, de forma explícita, as deformações iniciais e tampouco as eventuais excentricidades da carga d) o processo baseado na máxima resistência, que consiste em obter fórmulas que são ajustes numéricos de curvas P λ obtidas por meio de análises numéricas e/ou experimental, da carga última Pu de uma amostra representativa de pilares, geometricamente imperfeitos e contendo tensões residuais; a carga última P u é o carregamento crítico real de flambagem, se supõe-se que o colapso ocorre em condições de instabilidade. u O processo de dimensionamento baseado na máxima resistência é o mais atual e utilizado pelas versões mais recentes das normas. Mesmo assim, pode-se recorrer, em muitos casos, aos demais processos, com resultados satisfatórios. O processo baseado no estado limite de plastificação foi originado pela obtenção da Curva de Perry, uma curva P λ obtida por meio da consideração de um pilar com comportamento elástico linear, comprimido de forma centrada e com uma imperfeição geométrica senóidal, e a Curva u

24 Capítulo - Estado do Conhecimento 11 da Secante, que considera o pilar carregado excentricamente (Bjorhovde, 199). Ambas as curvas foram utilizadas durante muitos anos no processo de dimensionamento de pilares metálicos comprimidos. Em determinadas condições, a fórmula da secante pode ser utilizada adequadamente para perfis formados a frio comprimidos. A teoria do módulo tangente determina a resistência do pilar com base na aplicação da expressão (.6) mencionada anteriormente. Este processo é recomendado para pilares de aço inoxidável (Berg, 1998; Bredenkamp et al., 1998; Galambos, 1998). Por outro lado, os estudos experimentais realizados com o propósito de provar a validade deste procedimento, foram desenvolvidos sobre peças que haviam sido tratadas previamente com o objeto de reduzir as imperfeições geométricas iniciais e as tensões residuais. Evidentemente, tal forma de proceder dá lugar à obtenção de resultados experimentais muito próximos dos teóricos. A norma norte americana ANSI/ASCE-8-90, para aços inoxidáveis, utiliza a teoria do módulo tangente, com base no comportamento não linear do material e em resultados experimentais. Por outro lado, o Eurocódigo 3 (ENV , 1996) utiliza uma curva obtida a partir do processo baseado na máxima resistência. Em geral, a curva P λ é substituída por outra equivalente, do tipo u χ λ, onde P u χ = = P y σ f u y (.7) é a resistência ultima relativa (adimensional) do pilar, e Py λ = = P e f σ y e (.8)

25 Capítulo - Estado do Conhecimento 1 é sua esbeltez relativa. Nestas expressões, P y é a carga limite de escoamento do pilar, σ u é a tensão última ou tensão crítica real de flambagem e P e e σ e são, respectivamente, a carga e a tensão críticas do pilar ideal (regime elástico linear). Para aços carbono, esta curva tem o aspeto mostrado na Figura.9 e muitas são as fórmulas que tem sido enunciadas para representá-la. χ 1 Curva de Euler χ 0 0 λ r Figura.9. Curva λ χ λ típica Beer e Schultz (1970) e Bjorhovde (197) demonstram que a influência das imperfeições iniciais é distinta para distintos tipos de seções e de aços, fazendo-se, então, necessário várias curvas toda a gama de possibilidades práticas. χ λ para representar Estas curvas estão dentro de uma banda, como se mostra na Figura.10. χ Curvas limites da banda χ 0 0 Figura.10. Banda de curvas λ χ λ

26 Capítulo - Estado do Conhecimento 13 Para fins práticos, são escolhidas algumas curvas representativas de partes da banda, com o propósito de determinar a carga crítica de dimensionamento dos pilares correspondentes. As mais importantes fórmulas representativas destas curvas são as que foram desenvolvidas por Bjorhovde (197), conhecidas como as curvas do SSRC Structural Stability Research Council, e as que foram desenvolvidas por Beer, Schultz, Jacquet e Sfintesco (1970), conhecidas como as curvas do ECCS European Convention for Constructional Steelwork (Bjorhovde, 199; Galambos, 1998). As curvas do SSRC podem ser representadas pela expressão 1 χ = β β 4λ λ (.9) onde = + α( λ 0.15) β 1 + λ (.10) e α é o parâmetro de imperfeição, um coeficiente numérico que define três curvas representativas de partes da banda. Uma expressão equivalente à (.9) é utilizada pela norma canadense CSA Standard S As normas norte-americanas AISC-1993 e AISI utilizam uma fórmula distinta, mas, também baseada na expressão do SSRC. Com base na formulação do ECCS, o Eurocódigo 3 (ENV , 1996) utiliza a expressão χ = φ + φ 1 λ (.11)

27 Capítulo - Estado do Conhecimento 14 [ λ ] 1 onde = 1+ α( λ 0.) φ + (.1) e α é, também, um parâmetro de imperfeição, diferente para cada uma das curvas de flambagem consideradas. Rondal e Maquoi (1978, 1979) demonstraram que as curvas do ECCS e do SSRC podem ser consideradas como uma curva de Perry, por meio da escolha adequada do parâmetro de imperfeição (Gioncu, 1998; Rondal, 1998). De fato, a curva de Perry, escrita em função das variáveis χ e λ pode ser representada pela expressão ( 1 χ )( 1 λ χ ) = ηχ (.13) onde η é um parâmetro que leva em contas as imperfeições do pilar. Escolhendo-se adequadamente o parâmetro η, esta expressão dá origem a expressão do SSRC. Rasmussen e Rondal (Rasmussen e Rondal, 1998) propõem uma formulação geral para todos os tipos de pilares metálicos, considerando a geometria, seus processos de fabricação e os materiais que os constituem (aços de todo tipo, alumínio, etc.). A formulação se baseia na expressão (.1), de Ramberg Osgood, e na expressão (.11), entretanto, generalizando os valores de φ e de λ por meio das seguintes expressões ( 1 + η λ ) 1 φ = + (.14) λ = σ f y E o (.15)

28 Capítulo - Estado do Conhecimento 15 [ λ o ] β onde η α ( λ λ ) = 1 (.16) O parâmetro η é o parâmetro geral de imperfeição, σ E é a tensão crítica o do pilar ideal obtida trocando E por E o e α, β, λ o e λ 1 são valores que dependem do tipo de material metálico e que são definidos pelos parâmetros f ε, E 0 o e n da expressão (.1) de Ramberg Osgood. Em suma, o parâmetro η é função de f ε, E 0 o e n. Flambagem por torção A flambagem por torção em peças metálicas submetidas à compressão ocorre com maior freqüência em perfis abertos duplamente simétricos, com as mesas largas e com baixa rigidez à torção. Neste caso, a carga crítica em regime elástico linear, obtida por Wagner (199) para pilares prismáticos ideais é (Rhodes, 199; Timoshenko e Gere, 1961) A GI Io crz = T P π EC (.17) ω + ( k ) zlz onde I o é o momento polar de inércia da seção relativo ao seu centro de cisalhamento, G é o módulo de elasticidade transversal do material, ou seja G = E ( 1+ν ) (Saint Venant) da seção,, ν é o coeficiente de Poisson, I T é o módulo de torção C ω é sua constante de empenamento, k z é o parâmetro de flambagem por torção do pilar, que depende de suas condições de apoio, e L z é seu comprimento. Para pilares prismáticos com imperfeições iniciais, a carga crítica pode ser determinada mediante curvas do tipo χ λ, considerando P e = Pcrz na expressão (.8).

29 Capítulo - Estado do Conhecimento 16 Flambagem por flexão e torção A flambagem por flexão e torção em peças submetidas a compressão ocorre em perfis abertos com baixa rigidez à torção, assimétricos ou monossimétricos, nos quais o centro de gravidade não coincide com o centro de cisalhamento (perfis formados a frio). A carga crítica em regime elástico linear, obtida por Kappus (1937), é a menor dentre as soluções da equação (Rhodes, 199; Timoshenko e Gere, 1961) I o A ( P P )( P P )( P P ) P [( P P ) y + ( P P ) x ] = 0 cr crx cr cry cr crz cr cr crx o cr cry o (.18) onde x o e y o são as coordenadas do centro de cisalhamento da seção em relação aos eixos principais centrais, P cr é a carga crítica de flambagem por flexão e torção, e P crx, P cry e P crz são as cargas críticas indicadas em (.4) e (.17). Por outro lado, em determinadas estruturas metálicas, perfis formados a frio monossimétricos podem estar submetidos a compressão excêntrica. A carga crítica de flambagem, neste caso, é a solução da equação (Timoshenko e Gere, 1961) o ( P P )( P P ) ( P P ) + P ( e β + e β ) cr cr crx cr cry cr crz I A [( P P )( y e ) + ( P P )( x e ) ] = 0 cr x P (.19) cr crx o y cr cry o y x y x na qual e x e e y são as excentricidades da carga nas direções x e y, respectivamente, e expressões β x e β y são obtidos por meio das seguintes

30 Capítulo - Estado do Conhecimento 17 β β x y = I x A y ( x + y ) da yo 1 = I y A x ( x + y ) da xo 1 (.0) (.1) Observa-se que a equação (.18) é um caso particular da equação (.19), fazendo-se e e = 0. x = y Para pilares prismáticos com imperfeições iniciais, a carga crítica pode ser determinada mediante curvas do tipo χ λ, considerando, na expressão (.8), um valor de P e igual à solução da equação (.18) ou (.19). Este é o procedimento habitual das principais normas de estruturas metálicas. Flambagem lateral As peças fletidas ao redor de seu eixo de maior inércia podem estar sujeitas a um modo de flambagem por flexão e torção caracterizado por uma torção associada a uma flexão lateral na direção normal ao plano das cargas. O momento fletor crítico ideal em regime elástico linear de uma barra prismática bi rotulada, submetida a momento fletor constante segundo o eixo principal de maior inércia (eixo x ) e com rigidez no plano de flexão muito superior a rigidez no plano normal é (Timoshenko e Gere, 1961): M crx Pcry β x Pcry β x I o = ± + Pcry Pcrz A = π EA β x β x Cω GIT = ± + + λ (.) λ I y π EA onde λ = L r y (.3)

31 Capítulo - Estado do Conhecimento 18 L é comprimento de barra compreendido entre seções impedidas de deslocar-se na direção normal ao plano das cargas e r y é o raio de giração da seção em relação ao eixo de menor inércia y. Para numerosas seções transversais de peças metálicas submetidas a flexão em torno do eixo de maior inércia x, tem-se que β = 0. Nestes casos (Nethercot, 199), x π π EAC = ± + ω M 1 crx EAGI T (.4) λ GI T I yλ Se as condições de carregamento e apoio são gerais, pode-se utilizar a seguinte fórmula aproximada (Galambos, 1998): C π β β k C b EA x x yz ω GIT M = ± + + λ crx (.5) λ I y π EA onde C b é um coeficiente que leva em conta a variação da carga e dos momentos fletores ao longo do comprimento da barra, k y k yz = e k z λ = k y r y L (.6) e (.7) Em regime não linear, o momento fletor crítico pode ser calculado substituindo-se, na fórmula (.5), E por E e G por = [ ( 1 +ν )] t G. t E t Este é um procedimento aproximado, pois, em geral, a rigidez longitudinal E t A (ou E I ) varia de forma distinta da rigidez à torção t y G I t T e, portanto, o valor de Gere, 1961). E t não é o mesmo para o cálculo da rigidez (Timoshenko e

32 Capítulo - Estado do Conhecimento 19 O procedimento baseado na utilização do módulo tangente, para obter o momento crítico mediante a expressão (.5), substituindo E por E t, é recomendado para dimensionamento de vigas de todo tipo de aço (Galambos, 1998; Bredenkamp et al., 1998). Algumas normas, no entanto, utilizam curvas do tipo sugeridas por SSRC e por ECCS, que consideram as imperfeições iniciais. Os parâmetros χ e λ são determinados por meio das expressões M u χ = e M p λ = M M p e (.8) e (.9) onde M u é o momento fletor último ou momento fletor crítico real de flambagem, M p é o momento de plastificação total da seção, e M e é o momento fletor crítico da peça ideal (regime elástico linear). O código AISC-1993 utiliza a equação (.5) para determinar o momento crítico em regime elástico e a seguinte reta para determinar o momento crítico em regime plástico (Galambos, 1998): M crx = C b M p ( ) ( λ λ ) p M p M r ( λ λ ) r p, (.30) onde M r é o momento limite de flambagem elástica da seção, determinado com base na tensão residual máxima de compressão que supostamente atua na seção, λ p é o parâmetro de flambagem no qual a seção mais solicitada da viga plastifica antes da flambagem e λ r é o parâmetro de flambagem determinado a partir da condição M = M, e r onde M e é o momento crítico elástico determinado por (.5).

33 Capítulo - Estado do Conhecimento 0 Os resultados experimentais indicam que o procedimento sugerido pelo AISC é o que oferece melhores resultados. A não consideração de deformações iniciais é compensada pelo conservadorismo das hipóteses do processo (Galambos, 1998). Flambagem Local A flambagem local é o fenômeno de instabilidade de elementos estruturais bidimensionais, como as chapas componentes dos pilares metálicos. Ocorre, em geral, em pilares curtos comprimidos, fletidos ou flexo comprimidos. Os elementos submetidos a este modo de instabilidade sofrem translações normais ao seu plano médio, como mostra a Figura.11. a x x w b y y Figura.11. Fenômeno da Flambagem Local Os esforços normais e os momentos fletores críticos em regime elástico linear em pilares ideais podem ser obtidos a partir da tensão crítica elástica de flambagem local em chapas comprimidas. Esta tensão e o modo de deformação das chapas dependem da geometria da chapa e de suas condições de apoio. A tensão crítica elástica de flambagem local, obtida por Bryan (1891), para chapa apoiada apoiada, e por Timoshenko (1907), para chapa apoiada livre, pode ser escrita de forma similar à expressão de Euler (Dubas e Gehri, 1986; Galambos, 1998; Kalyanaraman et al., 1977; Rhodes, 199; Timoshenko e Gere, 1961): kπ D kπ E π E σ cr = = = (.31) b t ( 1 ν ) λ λ 1 ch eq

34 Capítulo - Estado do Conhecimento 1 onde k é o coeficiente de flambagem local, que depende, basicamente, da relação a b da chapa, das condições de apoio e do tipo de solicitação. Nesta expressão, ν é o coeficiente de Poisson, a o comprimento da chapa, b sua largura e t sua espessura. 3 Et D = 1 ν ( 1 ) (.3) é a rigidez à flexão da chapa, ( ) λ e 1 1 ν λ = λ ch = b t eq ch k (.33) e (.34) são, respectivamente, sua esbeltez e seu parâmetro equivalente de esbeltez ou esbeltez reduzida. Em regime não linear, a obtenção da tensão crítica de flambagem local não é simples, pois a substituição, na expressão (.31), do módulo E pelo módulo tangente E t, obtido em um ensaio de tração, não é correto porque o estado tensional na chapa não é igual ao estado tensional a que se submete um corpo de prova ensaiado à tração (Timoshenko e Gere, 1961). No primeiro caso, tem-se um estado biaxial de tensão em lugar do estado simples tensão. Bleich (195) propôs substituir, na fórmula (.31), o módulo E por E η, para chapas submetidas a compressão uniforme, onde η = E t E (.35) sendo E t o módulo tangente obtido no ensaio à tração. Este procedimento consiste em uma aproximação conservadora (Galambos,

35 Capítulo - Estado do Conhecimento 1998). Outros valores de η são sugeridos, sempre em função do módulo tangente e/ou do módulo secante (Dubina, 1996; Rondal, 1998). A expressão (.31) pode, portanto, ser generalizada para placas em regime linear ou não linear, como kπ D η kπ E η π E η σ cr = = = (.36) b t ( 1 ν ) λ λ 1 ch eq As chapas têm um comportamento pós crítico distinto do comportamento pós crítico das barras prismáticas. As curvas qualitativas P δ, com e sem deformações iniciais, são mostradas na Figura.1 (Dubas e Gehri, 1986). A linha contínua indica o comportamento da chapa com deformações iniciais e a descontínua, seu comportamento sem estas deformações. P e i Figura.1. Comportamento de chapas com e sem imperfeições iniciais Como se pode observar na Figura.1, as chapas possuem resistência pós crítica. Seu comportamento pós crítico, por outro lado, é caracterizado também por uma perda de rigidez e por uma redistribuição de tensões. δ Ensaios de compressão em materiais elástico lineares mostram tal perda de rigidez por meio do chamado módulo aparente de elasticidade E ap, como mostrado na Figura.13.

36 Capítulo - Estado do Conhecimento 3 σ σ cr θ E = tgθ 1 E ap = tgθ θ 1 ε cr Figura.13. Curva σ ε antes e depois da flambagem local A nova distribuição de tensões pode ser obtida do estudo da flambagem local a partir da hipótese das grandes deformações (Timoshenko e Gere, 1961). As tensões não mais se distribuem uniformemente na seção, podendo, inclusive, surgir tensões de tração em alguns pontos. As máximas tensões de compressão ocorrem nas bordas apoiadas. Em geral, a nova distribuição de tensões tem o aspecto mostrado na Figura.14, para chapa apoiada - apoiada, e na Figura.15, para chapa apoiada livre, onde b é a largura da chapa e σ y, máx é a máxima tensão de compressão na seção, na direção da carga aplicada (Kalyanaraman et al., 1977; Rhodes, 199). ε y y σ y,máx σ y,máx b b x x Figura.14. Distribuição de tensões após flambagem local em chapas apoiada apoiada Figura.15. Distribuição de tensões após flambagem local em chapas apoiada livre Devido a esta redistribuição de tensões, uma carga aplicada P Pcr é igual à resultante das tensões equivalentes de von Mises e maior, portanto, que a resultante da componente de tensão σ y na sua direção.

37 Capítulo - Estado do Conhecimento 4 Logo, supondo σ y constante ao longo da espessura, a força resultante na direção da carga aplicada, na seção crítica da chapa sob flambagem é b R = σ ytdx = β np 0 (.37) onde β 1 é um fator, função de P, que representa a perda relativa n P cr de resistência à compressão da chapa em conseqüência da flambagem local (Queiroz, 1993; Timoshenko e Gere, 1961). Supondo-se a tensão σ y constante e igual ao seu máximo valor σ y, máx, medido nas bordas apoiadas da chapa, porém atuando somente em trechos próximos a estas bordas, conforme indica a Figura.16, pode-se escrever R = tb ef σ y, máx (.38) onde b ef é a chamada largura efetiva da chapa, dada por b ef β np = tσ y, máx (.39) expressão esta obtida das expressões (.37) e (.38). σ y,máx σ y,máx σ y,máx σ y,máx chapa bi apoiada b ef b ef Figura.16. Conceito de Largura Efetiva chapa com uma borda apoiada e outra livre b ef Admitindo-se o colapso da chapa sob a ação da carga P, σ y, máx passa a ser a sua tensão última. Situação eqüivalente se obteria se a chapa não se

38 Capítulo - Estado do Conhecimento 5 submetesse à flambagem sob tensão constante e igual à tensão última σ y,máx. Nestas circunstâncias, se teria o estado simples de tensão e P = Aσ y, máx = btσ y, máx (.40) Comparando-se (.40) com (.39), obtém-se b = β b n ef (.41) que representa, portanto, a largura que deveria ter a chapa para não flambar sob tensão constante e inferior a σ y, máx. Do conceito de largura efetiva surgiu o chamado Método da Área Efetiva, que consiste em se determinar a resistência relativa da peça comprimida de acordo com a expressão (.7), χ = P u Py, com P u = A ef σ y, máx (.4) onde ( ) A ef = tb ef seção (.43) é a área efetiva A ef da seção transversal, ou seja, a área calculada com base nas larguras efetivas das chapas componentes da peça e P = Af. y y Isto é, χ = A ef σ y. máx A f y (.44) Em pilares curtos submetidos somente à flambagem local, o colapso da chapa corresponde à plastificação da seção efetiva, isto é, se realiza

39 Capítulo - Estado do Conhecimento 6 quando σ y, máx = f y. Nestas circunstâncias, tem-se, de acordo com a expressão (.44), χ = A ef A (.45) von Kármán (193) sugeriu a seguinte fórmula para determinar a largura efetiva (Galambos, 1998; Kalyanaraman et al., 1977; Rhodes, 199) b ef = kπ E t σ = 1( 1 ν ) σ y,máx σ y cr,máx b (.46) Estudos posteriores foram desenvolvidos com base na teoria das grandes deformações resultando em fórmulas mais eficientes para o dimensionamento. Jombock e Clark (196) enumeraram algumas delas (Galambos, 1998). Winter (1947) formulou uma expressão para determinar a largura efetiva para chapa apoiada apoiada, que considera imperfeições iniciais. Após sofrer pequenas modificações para todo tipo de chapas, tal expressão ficou uma generalização (Galambos, 1998) b ef ke σ ke σ = y, máx y, máx t (.47) Esta fórmula é utilizada por AISI A norma brasileira NBR 8800/86 usa uma equação semelhante à (.47) mudando apenas os coeficientes numéricos. Outro conceito que se pode enunciar a partir da observação da redistribuição de tensões na chapa é o conceito de tensão média, que consiste em considerar-se a tensão

40 Capítulo - Estado do Conhecimento 7 σ = m bef b σ y,máx (.48) constante ao longo de toda largura efetiva da chapa (Galambos, 1998). Em geral, o dimensionamento de peças comprimidas e fletidas sujeitas à flambagem local de seus elementos se baseia na determinação de resistências relativas P Aef Q = u = ou P A y M u Q = = M p W W ef p (.49) e (.50) Nestas expressões, A ef é a área efetiva da seção, W ef é seu módulo resistente elástico efetivo à flexão, ambos determinados a partir das larguras efetivas de suas chapas componentes, e W p é seu módulo resistente plástico à flexão (Rhodes, 199). Nas expressões (.49) e (.50) se considera σ y,máx = f y. Curvas Q λ, com λ definido por (.8) ou por (.9), poderiam ser usadas para dimensionamento. Distorção da seção A distorção da seção é um modo de instabilidade que pode ocorrer tanto na compressão como na flexão de perfis de paredes finas com seções abertas (por exemplo: os perfis formados a frio usuais), principalmente aqueles de aço de altas resistência (Galambos, 1998; Hancock, 1998).

41 Capítulo - Estado do Conhecimento 8 Este modo de instabilidade se caracteriza por uma distorção da seção, ou seja, por movimentos relativos entre as mesas e a alma (Davies e Jiang, 1996; Davies e Jiang, 1998). A Figura.17 ilustra este modo de instabilidade. Figura.17. Modo de Instabilidade por distorção em perfis U enrijecidos e perfis Racks. Os primeiros estudos relativos à distorção foram desenvolvidos por Desmond, Peköz e Winter (1981), que propuseram considerá-la, no dimensionamento, por meio da verificação da flambagem local com redução do parâmetro k da equação (.31). Este método foi incorporado pela norma AISI-1986 (Galambos, 1998; Hancock, 1998). Lau e Hancock (1987), para seções comprimidas e Hancock (1995), para seções fletidas, apresentaram fórmulas para determinação da tensão crítica elástica de distorção, com base em modelos onde a mesa é tratada como um elemento comprimido, restringido por molas e apoios simples que representam a rigidez da alma e submetido à flambagem por flexo torção (Davies e Jiang, 1996; Davies e Jiang, 1998; Galambos, 1998; Hancock, 1998). Estas fórmulas lhes permitiram sugerir um procedimento de dimensionamento baseado em uma curva do tipo χ λ, conhecida como parábola de Johnson, e em uma expressão derivada de (.47), que é utilizado na norma australiana (Galambos, 1998; Hancock, 1998). Algumas alterações às fórmulas de Hancock e Lau foram propostas por Charnvarnichbonkarn e Polyzois (199) e por Davies e Jiang (1996), com

42 Capítulo - Estado do Conhecimento 9 o objetivo de generalizá-la ou obter mais precisão nos resultados (Davies e Jiang, 1996; Davies e Jiang, 1998; Galambos, 1998). As seções submetidas à distorção apresentam resistência pós crítica, entretanto os procedimentos até agora propostos não a consideram (Galambos, 1998; Hancock, 1998). Este tipo de instabilidade, diferente de todos os outros, pode ser analisado com mais precisão pela Teoria Geral de Vigas (Davies, 1998; Davies e Jiang, 1996; Davies e Jiang, 1998) mas sua utilização prática para o dimensionamento de peças com modos de instabilidade por distorção não foi ainda implementada (Davies e Jiang, 1996; Davies e Jiang, 1998).. Interação entre Flambagem Local e Global Introdução O início da chamada Teoria Geral da Estabilidade Elástica é creditado a Koiter (1945). Esta teoria explica o comportamento de sistemas mecânicos contínuos do ponto de vista da estabilidade, incluindo a fase pós crítica e a interação entre distintos modos de instabilidade. A partir do trabalho inicial de Koiter, foram desenvolvidos outros trabalhos, destacando a formulação de Budiansky (1974), baseada na energia potencial de deformação, associando o equilíbrio da estrutura a valores estacionários do funcional da energia, e associando a teoria geral de estabilidade elástica à Teoria do Caos, estabelecida por Thom (1975) (Pignataro, 1996). A Teoria do Caos proporciona um método matemático universal de estudo das descontinuidades, das mudanças bruscas e das súbitas trocas qualitativas em sistemas evolutivos, o que inclui, portanto, as instabilidades estruturais, tanto simples quanto acopladas (Gioncu, 1998).

43 Capítulo - Estado do Conhecimento 30 Entretanto, a complexidade de muitos dos problemas de estabilidade impedem, até o momento, alcançar uma solução teórica geral. Deste modo, deve-se recorrer a outros métodos de análise a fim de obter soluções para problemas práticos. Adiante, os principais métodos serão abordados. Na primeira metade do século XX, a principal preocupação dos pesquisadores foi a influência das imperfeições na instabilidade. As soluções eram, em muitos casos, difíceis de serem alcançadas devido à ocorrência simultânea de dois ou mais modos de instabilidade. Inicialmente, se pensava que a escolha de parâmetros mecânicos e geométricos que permitissem a ocorrência simultânea de vários modos de instabilidade era um critério adequado de otimização. Baseando-se nesta idéia, Bleich (195) e Shanley (1967) formularam e difundiram o chamado Principio das Instabilidades Simultâneas (Gioncu, 1998). Koiter e Skaloud (196) questionaram este critério mostrando que modos de instabilidade acoplados podem apresentar grande sensibilidade às imperfeições geométricas iniciais (Pignataro, 1996). Além do mais, se dois ou mais modos de instabilidade ocorrem simultaneamente, o comportamento pós crítico pode ser instável, mesmo que o comportamento de cada um dos modos isoladamente seja estável (Gioncu, 1998; Pignataro, 1998). O principio das instabilidades simultâneas somente se aplica nas estruturas ideais. Por esta razão, Thompson (197) o chamou princípio ingênuo de otimização. Sua utilização nas estruturas reais incrementa a influência desfavorável das imperfeições geométricas (Gioncu, 1998). Na segunda metade do século XX, a principal preocupação dos pesquisadores foi a interação dos modos de instabilidade em peças com imperfeições. Como foi dito anteriormente, o problema é muito complexo e ainda se busca soluções consistentes (Gioncu, 1998; Pignataro, 1996).

44 Capítulo - Estado do Conhecimento 31 Como a distribuição das imperfeições é aleatória, o estudo da instabilidade requer um abordagem estatística. Por outro lado, aspectos estatísticos da interação entre modos de instabilidade não foram investigados suficientemente. A principal dificuldade é, justamente, a aleatoriedade das imperfeições (Pignataro, 1996). A maioria dos estudos considerou apenas interações simples (um modo de flambagem global com um modo de flambagem local). Entretanto, é necessário investigar também as interações múltiplas (Pignataro, 1998). Classificação das instabilidades acopladas Algumas maneiras de classificar as instabilidades acopladas têm sido sugeridas por diferentes pesquisadores (Gioncu, 1998; Dubina, 1996; Dubina, 1998). Entretanto, o tipo de interação que interessa, do ponto de vista do dimensionamento, é a chamada interação não linear de dimensionamento, ou seja, a interação entre dois modos distintos de instabilidade, provocada pela escolha de dimensões apropriadas e levando em conta a influência das imperfeições iniciais. Existem outros tipos de interação como as chamadas interação natural e interação linear inata. A primeira pode ocorrer, por exemplo, em chapas retangulares comprimidas. Estas chapas podem submeter-se a cargas superiores à carga crítica de flambagem local elástica, devido ao seu comportamento pós crítico estável que lhe confere resistência pós crítica. Para um determinado valor da carga ocorre uma mudança repentina de deformada (troca de número de ondas) provocada pela interação do primeiro modo com o segundo modo de instabilidade. A segunda é a interação produzida quando dois modos de instabilidade se acoplam na origem, independentemente da existência de imperfeições iniciais. É o caso da flambagem por flexo torção em peças monossimétricas comprimidas. Trata-se de uma interação entre

45 Capítulo - Estado do Conhecimento 3 flambagem por flexão e flambagem por torção, que pode ocorrer normalmente sem deformações iniciais. Tal como foi exposto anteriormente, uma estrutura sem imperfeições iniciais perde sua estabilidade pela bifurcação do equilíbrio e uma estrutura com imperfeições perde a estabilidade quando a carga alcança um valor limite correspondente a uma tangente horizontal na curva P δ. A diferença entre a carga crítica de bifurcação e a carga limite representa a chamada erosão da carga crítica. Existe a erosão primitiva, que é conseqüência dos efeitos das imperfeições nos modos de instabilidade tomados isoladamente, e a erosão derivada, resultante da interação entre vários modos de instabilidade, (Gioncu, 1998). A Figura.18 ilustra estes conceitos. P 1º modo P cr,euler P cr,bryan P u º modo erosão primitiva erosão derivada interação sem imperfeições com imperfeições Figura.18. Erosão Primitiva e Erosão Derivada Interação Flambagem Global (1º modo) Flambagem Local (º modo) δ Numa coluna sem imperfeições sujeita somente à flambagem global, o colapso se dá por bifurcação do equilíbrio quando a carga de compressão atinge o valor P cr,euler indicado na Figura.18. Se a coluna está sujeita à flambagem local, surge deslocamentos laterais a partir da carga de valor P cr,bryan, também indicado na Figura.18, que crescem com o acréscimo da carga até um valor limite.

46 Capítulo - Estado do Conhecimento 33 Na coluna com imperfeições, os deslocamentos laterais existem desde o inicio do carregamento, crescendo consideravelmente quando a carga se aproxima do valor crítico P cr,euler ou P cr,bryan, conforme esteja sujeitas à flambagem global ou local, respectivamente. Se estas cargas críticas são suficientemente próximas, ocorre a interação, que se caracteriza pelo surgimento de grandes deslocamentos laterais sob carga significativamente inferior a estas (P u ). Assim, pode-se compreender que a interação não linear não existe sem imperfeições iniciais. Esta interação faz com que a estrutura seja mais sensível às imperfeições. A erosão é máxima se as cargas críticas dos modos de instabilidade são iguais (Gioncu, 1998). Para peças comprimidas, se P u é a carga última, nas quais ocorre o colapso por modos simultâneos de instabilidade, e P cr é a carga crítica ideal, igual para os dois modos, pode-se escrever que P u ( ψ ) P cr = 1 (.51) onde ψ é o fator de erosão. Este parâmetro foi introduzido como uma medida da erosão (Dubina, 1996; Dubina, 1998). Segundo a intensidade da erosão, Gioncu (1994) sugeriu a seguinte classificação das interações (Gioncu, 1998; Dubina, 1996; Dubina, 1998): Interação fraca, se ψ 0. 1, Interação moderada, se 0.1 <ψ 0. 3, Interação forte, se 0.3 <ψ 0. 5 e Interação muito forte, se ψ > 0. 5.

47 Capítulo - Estado do Conhecimento 34 Esta classificação, segundo Gioncu, deve ser utilizada na escolha do método de dimensionamento da estrutura. Interações fracas podem ser consideradas simplesmente por meio de adequados parâmetros de segurança no dimensionamento. As moderadas podem ser tratadas com métodos simples utilizados no dimensionamento de estruturas submetidas a modos de instabilidade não acoplados e as fortes e muito fortes requerem métodos especiais. O uso da classificação de Gioncu não é simples por que são muitos os fatores dos quais depende a intensidade da erosão. Entretanto, em geral, as interações comuns às barras comprimidas e/ou fletidas estão incluídas na categoria de interações fortes a muito fortes, exigindo, portanto, métodos especiais de dimensionamento. Métodos de Análise Uma interessante classificação dos métodos de análise da interação entre modos de instabilidade foi proposta por Dubina (Dubina, 1996). Segundo esta classificação, os métodos podem ser: Teóricos ou analíticos: Aqueles que se baseiam na teoria do comportamento pós crítico da peça; buscam soluções exatas e, em geral, não geram fórmulas práticas para dimensionamento. Semi analíticos: Aqueles em que a simulação da instabilidade da peça é feita por meio das equações clássicas não lineares da mecânica estrutural e a flambagem local é considerada utilizando o conceito de largura efetiva da chapa. Semi empíricos: Aqueles em que a consideração da interação é obtida da modificação das curvas χ λ por meio da utilização das propriedades geométricas reduzidas das seções; estas propriedades reduzidas são obtidas a partir das larguras efetivas das chapas. Numéricos: Aqueles realizados a partir de uma discretização completa em elementos da estrutura ou das chapas componentes das peças; estão entre eles:

48 Capítulo - Estado do Conhecimento 35 a) O método dos elementos finitos, que é o mais potente e adequado para análise de todo tipo de estrutura b) O método das faixas finitas (Hancock, 1998; Pignataro, 1996; Pignataro, 1998), que é similar ao método dos elementos finitos, mas com a diferencia de que os elementos são faixas rigidamente conectadas por linhas como nós e com apoios contínuos nas extremidades; é particularmente adequado para pesquisar a interação flambagem global flambagem local em perfis submetidos a cargas nas extremidades. Classificações similares foram propostas por outros pesquisadores (Pignataro, 1996; Rasmussen, 1996), mas esta é a que melhor especifica os distintos tipos de análise. Os métodos numéricos são, indubitavelmente, ferramentas muito potentes para a análise do comportamento das estruturas, mas na prática não podem ser utilizados como métodos de dimensionamento. Os métodos semi empíricos são os que vêm sendo utilizados, atualmente, nas normas. Não são tão eficientes como os métodos numéricos, mas são mais práticos e, portanto, mais apropriados. O colapso por interação flambagem global flambagem local geralmente está associado a um mecanismo plástico localizado. A menor eficiência dos métodos semi empíricos perante os métodos numéricos está em sua incapacidade de modelar corretamente a interação entre flambagem global elástica e flambagem local plástica (Dubina, 1996). Segundo Dubina, a simulação não linear por elementos finitos ou por faixas finitas parece ser o único recurso conveniente para estudar a interação flambagem global flambagem local levando em conta uma formulação apropriada do comportamento do material e dos efeitos das imperfeições.

49 Capítulo - Estado do Conhecimento 36 Os métodos mais utilizados nos estudos atuais são: Os chamados modelos mecânicos que abordam o fenômeno da instabilidade, que são, em verdade, alternativas à teoria geral da estabilidade e, portanto, métodos analíticos mais simples (Augusti et al., 1998; Gioncu, 1998). A Teoria Geral de Vigas (Davies, 1998; Davies e Jiang, 1996; Davies e Jiang, 1998), que permite a análise de qualquer tipo de interação de modos de instabilidade, mas para estrutura ideal, ou seja, sem imperfeições (Dubina, 1996). Os métodos baseados no chamado fator Q, que são métodos semi empíricos amplamente utilizados nas atuais versões das normas. Os métodos baseados no fator Q contemplam a interação a partir da aplicação do Método da Área Efetiva à curva de Perry, com a modificação de Batista Rondal (Dubina, 1998) e consideraram os esforços limites, nas curvas de flambagem, multiplicados pela resistência relativa à flambagem local, ou seja, P u χ =, QP y QPy λ = e P e Q = A ef A (.5), (.53) e (.54) para barras comprimidas e M u χ =, QM p QM p λ = e M e Wef Q = W (.55), (.56) e (.57) para barras fletidas (Kalyanaraman et al., 1977; Dubina, 1998). Dentre os métodos que tomam por base o fator Q, um dos mais utilizados e estudados, atualmente, é a Teoria da Erosão da Carga Crítica. Esta teoria utiliza a curva de Perry, determinando o parâmetro de imperfeição em função do fator de erosão ψ. O fator de erosão pode ser determinado por processos numéricos e/ou experimentais, tal como se obtém o

50 Capítulo - Estado do Conhecimento 37 parâmetro de imperfeição das curvas do SSRC e do ECCS (Dubina, 1998; Dubina et al., 1998; Dubina, Mazzolani et al., 1996). Kalyanaraman et al. propõem um processo iterativo para a determinação da resistência de uma barra sob interação flambagem global flambagem local, que envolve a evolução da seção efetiva e da correspondente resistência à flambagem da barra iterativamente, até que se alcance a convergência entre a resistência da flambagem local e a correspondente resistência à flambagem global (Kalyanaraman e Srinivasa Rao, 1998; Kalyanaraman et al., 1977). Rondal propõe, também com base no fator Q, que se utilize o conceito de largura efetiva da seguinte forma: para cada valor da deformação, em pequenos intervalos desde o valor zero até o valor correspondente à máxima tensão considerada, se determine a correspondente tensão mediante a fórmula de Ramberg Osgood e a conseqüente largura efetiva; com este valor, se obtenha a resistência última e se construa curvas χ λ, considerando, na expressão (.8), Pe = Aσ cr, com σ cr dada pela expressão (.36). Como são sugeridas várias expressões para o parâmetro η que aparece nesta expressão, todas em função do módulo tangente e/ou do módulo secante do material (Dubina, 1996; Rondal, 1998), Rondal propõe que, por meios de experimentos, se escolha uma expressão adequada a cada tipo de problema. Usami e Ge apresentam um estudo da interação flambagem global por flexão flambagem local baseado na curva de Perry, onde o parâmetro de imperfeição é obtido a partir de uma análise elasto plástica por elementos finitos, em função das imperfeições geométricas e das tensões residuais (Usami, 1997; Usami e Ge, 1996) A forma com que Scheer e Böhm (1978) abordam o problema, modificada por Nölke (1980), se baseia em determinar a resistência por meio de um gráfico λ p λ ch, onde p λ e λ ch são, respectivamente, os parâmetros de

51 Capítulo - Estado do Conhecimento 38 esbeltez relativa f σ do pilar e da chapa. Este gráfico define quatro y cr áreas de comportamento: plastificação, flambagem global, flambagem local e interação flambagem global flambagem local, proporcionando uma visão tanto quantitativa como qualitativa da interação. Este gráfico foi construído a partir de análises numéricas não lineares considerando deformações iniciais e tensões residuais. Entretanto, parece que esta forma de abordar o problema não foi suficientemente explorada. Não obstante, foi adotada pela versão de 1978 da norma alemã (Dubas e Gehri, 1986).

52 Capítulo 3 Modelo Numérico 3.1 Curva de Flambagem Alternativa Na fase pós crítica, o estado de tensões nos pontos das chapas comprimidas sob flambagem deixa de ser um estado simples com a máxima tensão normal σ = P A constante em todos os pontos e passa a ser um estado duplo, com componentes σ x, atuando no plano da seção transversal, e normal a este plano, variando ponto a ponto. σ y, na direção As tensões nos pontos das chapas variam de forma significativa ao longo de suas espessuras, devido à flexão a que se submetem. Estes fatores não são considerados na formulação do Método da Largura Efetiva. Devido ao surgimento do estado plano de tensões, seria mais conveniente tomar como referência, no projeto, a tensão equivalente de von Mises do que a componente conceito de largura efetiva. σ y medida na direção do carregamento, como propõe o Além disso, comparando a curva de flambagem de uma chapa simplesmente apoiada com curvas de flambagem de perfis curtos constituídos da mesma chapa e submetidos apenas à flambagem local desta chapa, todas obtidas pelo mesmo processo, conclui-se que, devido às diferentes condições de apoio das chapas, estas curvas têm aspecto distinto e a distribuição da componente (Sá et al., 001). σ y ao longo de uma seção qualquer da chapa difere caso a caso Daí se conclui que os resultados obtidos no estudo da flambagem em chapas isoladas podem não ser a melhor referência ao estudo da flambagem local das chapas componentes dos perfis.

53 Capítulo 3 - Modelo Numérico 40 Tudo isto sugere que os métodos baseados no fator Q, apesar de utilizados com relativo sucesso nas versões mais recentes das normas técnicas, podem não ser os mais indicados para representar adequadamente o fenômeno da interação entre flambagem global e flambagem local. Assim, Santos e Sá (Santos e Sá, 00) propõem um método alternativo baseado na representação dos parâmetros de imperfeição das curvas de flambagem χ λ como função explícita da relação entre as esbeltezes da barra e das chapas componentes do perfil. Estes parâmetros de imperfeição podem ser determinados por meio de regressões não lineares obtidas a partir de resultados numéricos ou experimentais, como nos mais importantes métodos ultimamente propostos. Uma das formas de se obter estas expressões é tomar por base a curva de Perry com o parâmetro de imperfeição representado pela expressão geral proposta por Rasmussen e Rondal (Rasmussen e Rondal, 1998), ou similar. No desenvolvimento desta pesquisa, tentativas de se obter estas expressões por este processo barraram em dificuldades de se encontrar parâmetros satisfatórios por regressão não linear. A alternativa encontrada foi propor uma nova curva de flambagem χ λ que levasse em conta o seu aspecto geral (Figura.9), o qual indica: a resistência relativa tende a χ com 0 χ 1, quando a esbeltez relativa o < o tende a zero pela direita e tende a zero quando a esbeltez relativa tende ao infinito, ou seja, ( λ) + χ χ com 0 1 o λ 0 < o χ, e ( λ) χ 0 ; λ a primeira derivada da resistência relativa é sempre negativa e tende a zero quando a esbeltez relativa tende a zero pela direita e quando tende ao infinito, ou seja,

54 Capítulo 3 - Modelo Numérico 41 dχ ( λ) 0, λ 0 dλ dχ() λ ; 0 dλ + λ 0 dχ() λ e 0 dλ λ e a segunda derivada da resistência relativa é nula no ponto de inflexão λ = λ r, negativa quando λ r λ <, positiva quando λ > λ r e tende a zero quando a esbeltez relativa tende a zero pela direita e ao infinito, ou seja, d χ dλ () λ d χ( λ) = 0 ; λ = λ r dλ < 0, λ < λ r d χ( λ) ; dλ > 0, λ > λ r ; d χ dλ () λ 0 + λ 0 d χ() λ e 0. dλ λ A resistência relativa foi, então, obtida a partir da expressão d χ dλ ( λ) αλ( λ λ r ) = ( λ + 1) β (3.1) a qual atende às condições relativas à sua segunda derivada, se α > 0 e β >. Os parâmetros α, β e λ r devem ser obtidos por regressão não linear. O parâmetro α é utilizado para garantir a condição da resistência relativa tender a χ o quando a esbeltez relativa tende a zero pela direita e o parâmetro β é utilizado para garantir que a segunda derivada da resistência tenda a zero quando a esbeltez relativa tende ao infinito. Integrando devidamente a expressão (3.1), obtém-se dχ d [ λ β λ r + 3λ r + ] () λ α ( β 3β + ) λ ( β λ r 4β λ r β + 3λ r + ) = β λ ( β 1)( β )( β 3)( λ + 1) 1 (3.) dχ() λ α( β λ r 3λ r ) donde se conclui que dλ + λ 0 ( β 1)( β )( β 3), e integrando novamente

55 Capítulo 3 - Modelo Numérico 4 χ [ β λ r + 8λ r + 6] α () ( β 3β + ) λ ( β λ r 5β λ r 4β + 4λ r + 4) λ λ = β ( β 1)( β )( β 3)( β 4)( λ + 1) (3.3) α donde se conclui que () ( β λ r 4λ r 3) χ λ Da condição χ( λ) λ ( β 1)( β )( β 3)( β 4) + λ 0 0, conclui-se, aplicando-se o teorema de L Hospital, que β > 4 e, das condições α > 0, > 4 3 β < 4 +. λ r β e ( ) + λ 0. χ λ χ com > 0 o χ, conclui-se que o dχ() λ Da condição 0, conclui-se, também aplicando-se o teorema de dλ λ L Hospital, que > 3 dχ λ ( ) β e, das condições 0, λ 0 dλ dχ() λ e 0, dλ + λ 0 conclui-se que β 3 + λ r. Logo, 4 < β 3 + λ r (3.4) Em suma, a expressão (3.3), que fornece a resistência relativa do pilar, pode ser escrita na forma χ () λ α λ + α λ + α 1 = β ( λ +1) 3 (3.5) onde α 1, α e α 3 são funções dos parâmetros α, β e λ r obtidos por regressão não linear. A seguir as equações de α 1, α e α 3.

56 Capítulo 3 - Modelo Numérico 43 α = 1 α ( β 3)( β 4) (3.6) α α = ( β λ r 5β λ r 4β + 4λ r + 4) ( β 1)( β )( β 3)( β 4) (3.7) α 3 = α ( β λ r 8λ r 6) ( β 1)( β )( β 3)( β 4) (3.8) 3. Considerações Preliminares do Modelo Numérico O objetivo que persegue o presente trabalho é estudar os perfis tipo I duplamente simétricos, sob compressão centrada e uniforme, com imperfeições geométricas correspondentes a uma forma senoidal, material não linear e considerando a interação flambagem global flambagem local em análises não lineares por elementos finitos. O fenômeno da instabilidade, seja local ou global de toda a estrutura, está relacionado, como foi visto, com a aparição de grandes deformações e com o conseqüente comportamento não linear geométrico próximo ao colapso. Os pilares metálicos, por outro lado, sempre apresentam imperfeições iniciais, geométricas e mecânicas, devido aos processos construtivos ou de fabricação do material. Por isto, o modelo de análise a se utilizar para estudar tal fenômeno deverá contemplar os aspectos da não linearidade geométrica e física. O programa escolhido foi o ANSYS, com elementos do tipo casca de quatro nós e seis graus de liberdade por nó, com integração reduzida ou completa (SHELL 181), que pode ter dimensões variáveis, degeneração para elemento triangular e cargas normais e paralelas ao seu plano médio. Para análise não linear (grandes deformações, pequenos deslocamentos e efeitos de segunda ordem) foi utilizando o método de convergência de

57 Capítulo 3 - Modelo Numérico 44 Newton Raphson e adotado um modelo constitutivo de material multilinear e isotrópico para o aço, baseado no critério de plastificação de von Mises. A magnitude da imperfeição geométrica global é limitada pela especificação do aço (e.g., ASTM A6 nos Estados Unidos; CSA G40.0 no Canada) e é normalmente expressa como uma fração do comprimento da barra. Para perfis I o desvio máximo é L/960, o qual é usualmente dado por L/1000 por conveniência (Galambos, 1998). Já as imperfeições geométricas locais também são representadas por uma fração da largura da chapa, uma aproximação usual é b/00 para elementos enrijecidos e b/100 para elementos não enrijecidos (Kala, J. et. al., 000). As imperfeições geométricas globais, então, foram consideradas segundo uma senóide de amplitude igual a L/1000, as imperfeições locais de elementos não enrijecidos segundo uma senóide de amplitude igual a b/100 e as imperfeições locais de elementos enrijecidos segundo uma senóide de amplitude igual a b/00. As imperfeições físicas foram consideradas escolhendo parâmetros adequados, segundo a equação (.1). A carga última foi perseguida segundo análise não linear tendo como objetivo um erro inferior a 1% para menos (100 passos e no máximo 5 iterações em cada passo). Assim sendo, a peça é carregada lentamente, inicialmente até a menor entre a carga de instabilidade elástica global e a carga de plastificação da seção. Como a peça modelada não é perfeita o colapso se dá sob uma carga inferior (erosão). Faz-se, então, uma nova análise com a carga que convergiu na análise anterior. Procedendo-se desta maneira até que o erro seja menor que 1% para menos. A malha foi escolhida comparando resultados numéricos com resultados analíticos mediante as fórmulas de Euler e de Bryan. Neste ponto, foi considerada uma deformação inicial quase nula, no qual se espera uma erosão muito pequena e, portanto, a carga obtida numericamente deve ser muito próxima da carga teórica. Estas deformações são obtidas com o próprio ANSYS a partir de análises de instabilidade linear (ou de bifurcação do

58 Capítulo 3 - Modelo Numérico 45 equilíbrio) do pilar ou das chapas componentes. Observando o aspecto da deformada das chapas que constituem os pilares, se conclui, rapidamente, que é necessário dispor de pelo menos quatro elementos nas duas direções de cada chapa. Sabendo disto, a malha mais pobre possível deve conter, em cada módulo, quatro elementos na alma, quatro elementos em cada mesa e quatro elementos na direção do carregamento. O comprimento de cada módulo é calculado seguindo o seguinte critério: deve-se ter um número inteiro de ondas para a flambagem local na chapa cuja carga crítica é a menor, entre a alma e a mesa. Sendo assim, o comprimento de um módulo deve ser igual ao comprimento de uma meia onda da flambagem local (seja da alma ou da mesa), na qual a carga crítica de flambagem local é mínima. Foi considerada ainda uma deformação inicial significativa, com o objetivo de mostrar sua influência no comportamento do pilar. As condições de apoio de todos modelos foram de apoios simples nas extremidades (bi rotulados). Os modelos ensaiados possuíam índices de esbeltez relativos para os elementos componentes da seção entre λ mínimo 0,8 e λ máximo 1,8 e para a peça entre λ mínimo 0,4 e λ máximo 1,8.

59 Capítulo 3 - Modelo Numérico Escolha da Malha Para verificar a eficácia do modelo e também para possibilitar a escolha da malha satisfatória, foram estudados diversos casos de flambagem global e de flambagem local de perfis tipo I duplamente simétricos comprimidos, de aço com comportamento elasto plástico bilinear. A escolha da malha de elementos finitos foi feita a partir da consideração da deformada de uma chapa quadrada, apoiada apoiada e apoiada livre, sujeita à flambagem local. Desta maneira, foram testadas várias malhas contendo quatro ou mais elementos em cada direção. Ao dispor mais elementos ao longo do comprimento, na direção de introdução da carga, não foi observada melhora dos resultados quando em chapas apoiada apoiada, mas em chapas apoiada livre a melhora foi significativa. Na Figura 3.1 são mostradas quatro malhas distintas para chapa 00x mm apoiada livre, de comprimento igual a 00 mm, com deformação inicial máxima igual a b (deformação quase nula), sendo b a largura da chapa, e constituída de aço carbono com comportamento bilinear e limite de escoamento f y = 50 MPa, módulo de elasticidade igual a 05 GPa e coeficiente de Poisson 0.3. Ao lado, seus correspondentes gráficos P δ. Com a fórmula de Bryan (.31) se obtém a tensão crítica elástica de flambagem local da chapa e seu correspondente esforço normal crítico N cr = 10.7 kn. Se espera, portanto, que este valor seja também obtido no gráfico P δ, visto que as deformações iniciais são quase nulas. Como mostra a Figura 3.1, as duas primeiras malhas que contêm quatro elementos ao longo do comprimento apresentam um gráfico P δ onde se pode notar que a carga crítica de flambagem local é aproximadamente 19 kn não representativo do comportamento teórico da chapa. Os demais apresentam resultados praticamente idênticos ao resultado teórico, sendo que o erro para a malha de 3x6 foi de 1.869%.

60 Capítulo 3 - Modelo Numérico 47 Figura 3.1. Malhas consideradas nos corpos de prova de chapas apoiada livre e seus correspondentes gráficos P δ

61 Capítulo 3 - Modelo Numérico 48 Tendo em vista a necessidade de seis elementos ao longo do comprimento, visto que os resultados para chapa apoiada livre demonstraram isto, o número mínimo de elementos ao longo do comprimento em chapa apoiada apoiada deverá ser também seis para a formação do perfil I. Na Figura 3., são mostradas duas malhas distintas para chapa 00x mm simplesmente apoiada, de comprimento igual a 00 mm, com deformação inicial máxima igual a b (deformação quase nula), sendo b a largura da chapa, e constituída de aço carbono com comportamento bilinear e limite de escoamento f y = 50 MPa. Ao lado, seus correspondentes gráficos P δ. Figura 3.. Malhas consideradas nos corpos de prova de chapas apoiada apoiada e seus correspondentes gráficos P δ Com a fórmula de Bryan se obtém a tensão crítica elástica de flambagem local da chapa e seu correspondente esforço normal crítico N cr = kn. Se espera, portanto, que este valor seja também obtido no gráfico as deformações iniciais são quase nulas. P δ, já que

62 Capítulo 3 - Modelo Numérico 49 Como mostra a Figura 3., a primeira malha contém quatro elementos ao longo da largura e apresenta um gráfico P δ onde se pode notar uma carga crítica de flambagem local P cr = kn não representativa do comportamento teórico da chapa. Já a malha que contém seis elementos ao longo da largura apresenta carga crítica de P cr = 9.67 kn resultado este praticamente idêntico ao resultado teórico. Portanto, todos os perfis estudados foram discretizados com base nos seguintes princípios: Seis elementos ao longo da largura de cada chapa componente Seis elementos ao longo de cada módulo, cujo comprimento foi obtido variando-se o comprimento do perfil de dois módulos até que se consiga um mínimo para carga de flambagem local. Alguns casos estudados Os casos apresentados a seguir demonstram a eficácia do modelo escolhido e a influência das imperfeições iniciais na flambagem local, na flambagem global e em caso de interação flambagem global flambagem local. Caso 1: Perfil curto sujeito à flambagem local na alma Perfil I 00x100x5x (comprimento = 19 mm, altura = 00 mm, largura das mesas = 100 mm, espessuras das mesas = 5 mm e da alma = mm) Limite de escoamento do material: f y = 50 MPa Deformações iniciais máximas, normais ao plano das chapas componentes: 3 δ = x10 mm (deformações iniciais quase nulas) e i δ i = 0. mm (deformações iniciais consideráveis) Índice de esbeltez relativo da alma igual a Índice de esbeltez da alma igual a 95. A malha utilizada, as condições de contorno (ou de apoio), a solicitação e a conseqüente deformada do perfil são mostradas na Figura 3.3.

63 Capítulo 3 - Modelo Numérico 50 Figura 3.3. Perfil Curto Malha de Elementos Finitos, Condições de Contorno, Solicitação e Deformada de Flambagem Local na Alma O esforço crítico elástico de flambagem local da alma, obtido com base na fórmula de Bryan (.31) e considerando k = 4 (simplesmente apoiado) foi N cr = kn e considerando k = 6.97 (engastado) foi N cr = kn. Com as deformações iniciais quase nulas, o valor obtido no modelo foi kn, o que remete a um valor de k = 6.37, como era de se esperar, pois, em perfis do tipo I a alma não está perfeitamente apoiada nem perfeitamente engastada e sim ligada elasticamente às mesas. Estes resultados são mostrados na Figura 3.4, onde podem ser vistos os gráficos P δ de as ambas situações: com deformações iniciais quase nulas e com deformações iniciais consideráveis. Os perfis foram solicitados até o colapso. Pode-se notar no primeiro gráfico o ponto de bifurcação do equilíbrio, o que não acontece no segundo gráfico. Figura 3.4. Gráficos P δ dos perfis curtos (flambagem na alma) 1. Perfil com deformações iniciais quase nulas.. Perfil com deformações iniciais consideráveis

64 Capítulo 3 - Modelo Numérico 51 Caso : Perfil curto sujeito à flambagem local nas mesas Perfil I 00x191.7x.15x8 (comprimento = 161. mm, altura = 00 mm, largura das mesa = mm, espessuras das mesas =.15 mm e da alma = 8 mm) Limite de escoamento do material: f y = 50 MPa Deformações iniciais máximas, normais ao plano das chapas componentes: 3 δ = x10 mm (deformações iniciais quase nulas) e i δ i = 0. mm (deformações iniciais consideráveis) Índice de esbeltez relativo da mesa igual a Índice de esbeltez da mesa igual a A malha utilizada, as condições de contorno, a solicitação e a conseqüente deformada do perfil são mostradas na Figura 3.5. Figura 3.5. Perfil Curto Malha de Elementos Finitos, Condições de Contorno, Solicitação e Deformada de Flambagem Local nas Mesas O esforço crítico elástico de flambagem local das mesas, obtido baseado na fórmula de Bryan (.31) e considerando k = 1.14 (simplesmente apoiado) foi N cr = 5.87 kn e considerando k = 1.47 (engastado) foi N cr = kn. Com as deformações iniciais quase nulas, o valor obtido no modelo foi kn, o que remete a um valor de k = 1.41, como era de se esperar, pois, em perfis do tipo I, novamente, as mesas não estão perfeitamente apoiadas nem perfeitamente engastadas e sim ligadas elasticamente à alma.

65 Capítulo 3 - Modelo Numérico 5 Estes resultados são mostrados na Figura 3.6, onde se pode ver os gráficos P δ de ambas situações: com deformações iniciais quase nulas e com deformações iniciais consideráveis. Figura 3.6. Gráficos P δ dos perfis curtos (flambagem nas mesas) 1. Perfil com deformações iniciais quase nulas.. Perfil com deformações iniciais consideráveis Os perfis foram solicitados até o colapso. Para um mesmo esforço axial, as deformações δ do perfil com deformações iniciais consideráveis são maiores que aqueles do perfil com deformações quase nulas, sobretudo quando os esforços axiais são inferiores ao esforço crítico elástico de flambagem local. Esta perda de rigidez corresponde a erosão primitiva definida pela Teoria da Erosão da Carga Crítica. Caso 3: Perfil longo sujeito à flambagem por flexão Perfil I 10x150x9x5 (comprimento = 450 mm, altura = 10 mm, largura das mesas = 150 mm, espessuras das mesas = 9 mm e da alma = 5 mm) Limite de escoamento do material: f y = 50 MPa Deformações iniciais máximas, na direção do eixo de maior inércia: 3 δ = L = x10 mm (deformações iniciais quase nulas) e i δ i = L 1000 = 4. 5mm (deformações iniciais consideráveis), onde L é o comprimento do perfil. Área da seção transversal de 36.6 cm² e índice de esbeltez relativo global em relação ao eixo de menor inércia de 1.7.

66 Capítulo 3 - Modelo Numérico 53 A malha utilizada, as condições de contorno, a solicitação e a conseqüente deformada do perfil são mostradas na Figura 3.7. Figura 3.7. Perfil Longo Malha de Elementos Finitos, Condições de Contorno, Solicitação e Deformada de Flambagem por Flexão O esforço crítico elástico de flambagem, obtido com a fórmula de Euler (.4), vale N cr = kn. A flambagem por flexão é um modo de instabilidade com comportamento pós crítico instável e, portanto, não apresenta resistência pós crítica. Desta maneira, o perfil com deformações iniciais quase nulas deverá flambar sob a carga crítica de Euler. No modelo foi obtida a carga última N u = kn, que corresponde a 97% da carga crítica de Euler. A pequena erosão observada é devida ao fato de que as deformações iniciais não são exatamente nulas. Os resultados obtidos no modelo são mostrados na Figura 3.8, onde se vê os gráficos P δ das duas situações: com deformações iniciais quase nulas e com deformações iniciais consideráveis. Figura 3.8. Gráficos P δ dos Perfis longos (flambagem por flexão) 1. Perfil com deformações iniciais quase nulas.. Perfil com deformações iniciais consideráveis

67 Capítulo 3 - Modelo Numérico 54 Como mostra a Figura 3.8, também no caso do perfil com deformações iniciais consideráveis se percebe uma perda de rigidez correspondente à erosão primitiva da carga crítica. A carga última obtida foi N u = kn, que corresponde a 78.9% da carga crítica de Euler. Caso 4: Perfil intermediário sujeito à interação flambagem global por flexão flambagem local da alma Perfil I 150x75x3x1.5 (comprimento = 10 mm, altura = 150 mm, largura das mesas = 75 mm, espessuras das mesas = 3 mm e da alma = 1.5 mm) Limite de escoamento do material: f y = 50 MPa Deformações iniciais máximas, na direção do eixo de maior inércia: 3 δ = L =.867 x10 mm (deformações iniciais quase nulas) e i δ i = L 1000 =. 1mm (deformações iniciais consideráveis), onde L é o comprimento do perfil. A malha utilizada, as condições de contorno, a solicitação e a conseqüente deformada do perfil são mostradas na Figura 3.9. Figura 3.9. Perfil Intermediário Malha de Elementos Finitos, Condições de Contorno, Solicitação e Deformada de Flambagem Global Flambagem Local na Alma Na Figura 3.9, nota-se, na peça deformada, que há tanto a deformação relativa à flambagem global como a relativa à flambagem local da alma. O esforço crítico elástico de flambagem, obtido com a fórmula de Euler (.4), vale N cr,euler = kn e o esforço crítico elástico de flambagem local, obtido com base na fórmula de Bryan (.31), vale N cr,bryan = kn. Estes valores

68 Capítulo 3 - Modelo Numérico 55 são suficientemente próximos para produzir interação flambagem global flambagem local. Os resultados obtidos no modelo são mostrados na Figura 3.10, onde se vê os gráficos P δ das duas situações: com deformações iniciais quase nulas e com deformações iniciais consideráveis. Para o perfil intermediário com as deformações iniciais quase nulas, foi obtido a carga última N u = 91.0 kn, que correspondente a 96% da carga crítica de Euler. Para o perfil com deformações consideráveis, a carga última obtida foi N u = 75 kn, que corresponde a 79% da carga de Euler. Figura Gráficos P δ dos perfis intermediários (flambagem global flambagem local na alma) 1. Perfil com deformações iniciais quase nulas.. Perfil com deformações iniciais consideráveis Caso 5: Perfil intermediário sujeito à interação flambagem global flambagem local nas mesas. Perfil I 40x40x3x9.5 (comprimento = 4975 mm, altura = largura das mesas = 40 mm, espessuras das mesas = 3 mm e da alma = 9.5 mm) Limite de escoamento do material: f y = 50 MPa Deformações iniciais máximas, na direção do eixo de maior inércia: 3 δ = L =.88 x10 mm (deformações iniciais quase nulas) e i δ i = L 1000 =4. 975mm (deformações iniciais consideráveis), onde L é o comprimento do perfil.

69 Capítulo 3 - Modelo Numérico 56 Área de 36.6 cm² e índice de esbeltez relativo global em relação ao eixo de menor inércia de 1.7 e o índice de esbeltez relativo das mesas igual a 1.4. A malha utilizada, as condições de contorno, a solicitação e a conseqüente deformada do perfil são mostradas na Figura Figura Perfil Intermediário Malha de Elementos Finitos, Condições de Contorno, Solicitação e Deformada de Flambagem Global Flambagem Local nas Mesas O esforço crítico elástico de flambagem, obtido a fórmula de Euler (.4), vale N cr, Euler = 566kN e o esforço crítico elástico de flambagem local, obtido com base na fórmula de Bryan (.31), vale N cr, Bryan = 598kN. Estes valores são suficientemente próximos para produzir interação flambagem global flambagem local. As dimensões destes perfis foram escolhidas com o objetivo de se ter os valores dos índices de esbeltez suficientemente próximos aos do perfil longo (caso 3). Desta maneira, pode-se comparar os resultados obtidos nos modelos, tendo em vista a influência da interação flambagem global flambagem local na erosão da carga crítica (erosão derivada). Se não há influência da interação na erosão, são iguais (ou quase iguais) as resistências relativas de ambos perfis, quando estão sujeitos a deformações iniciais consideráveis. Os resultados obtidos no modelo são mostrados na Figura 3.1, onde se vê os gráficos P δ das duas situações: com deformações iniciais quase nulas e com deformações iniciais consideráveis.

70 Capítulo 3 - Modelo Numérico 57 Figura 3.1. Gráficos P δ dos Perfis intermediários (flambagem global flambagem local nas mesas) 1. Perfil com deformações iniciais quase nulas. Perfil com deformações iniciais consideráveis Para o perfil intermediário com deformações iniciais quase nulas, foi obtido a carga última N u = kN, correspondente a 95% da carga crítica de Euler. Para o perfil com deformações consideráveis, a carga última obtida foi N u = 34kN, que corresponde a 60% da carga de Euler. Comparando estes resultados com os resultados obtidos para o perfil longo, pode-se perceber a influência da interação na erosão. A diferença entre as cargas críticas de Euler é aproximadamente nula entre os dois perfis enquanto a diferença entre as cargas últimas, nos perfis com deformações iniciais consideráveis, é de kn (18.6% em relação a carga crítica de Euler). Esta diferença cresce se crescem as imperfeições iniciais. Caso 6: Perfil curto sujeito à interação flambagem local na alma flambagem local nas mesas. Perfil I 40x40x.65x.47 (Comprimento = 341 mm, altura = largura das mesas = 40 mm, espessuras das mesas =.65 mm e da alma =.47 mm) Limite de escoamento do material: f y = 50 MPa Deformações iniciais máximas, normais ao plano das chapas componentes: δ i = mm (deformações iniciais quase nulas) e δ i = 0. 4mm (deformações iniciais consideráveis). O índice de esbeltez da alma é 95 (como no caso 1) e o das mesas igual a (como no caso ). Considerando k alma = 6.37 e k mesa = 1.41 tem-se

71 Capítulo 3 - Modelo Numérico 58 k alma k λ λ alma mesa mesa, o que remete, praticamente, a uma mesma tensão crítica, tanto da alma quanto da mesa. A malha utilizada, as condições de contorno, a solicitação e a conseqüente deformada do perfil são mostradas na Figura Figura Perfil Curto Malha de Elementos Finitos, Condições de Contorno, Solicitação e Deformada de Flambagem Local na Alma Flambagem Local nas Mesas O esforço crítico elástico de flambagem, obtido com base na fórmula de Bryan (.31), vale N, = 4. kn para alma e N, = 35. kn para cr Bryan 05 cr Bryan 91 mesa. Estes valores são suficientemente próximos para produzir interação flambagem local da alma flambagem local das mesas. As dimensões destes perfis foram escolhidas com o objetivo de se ter os valores dos índices de esbeltez suficientemente próximos aos dos perfis curtos (casos 1 e ). Desta maneira, pode-se comparar os resultados obtidos no modelo, tendo em vista a influência da interação flambagem local da alma flambagem local nas mesas na erosão da carga crítica (erosão derivada). Os resultados obtidos no modelo são mostrados na Figura 3.14, onde se vê os gráficos P δ das duas situações: com deformações iniciais quase nulas e com deformações iniciais consideráveis.

72 Capítulo 3 - Modelo Numérico 59 Figura Gráficos P δ dos Perfis Curtos (flambagem local na alma flambagem local nas mesas) 1. Perfil com deformações iniciais quase nulas. Perfil com deformações iniciais consideráveis Para o perfil curto com deformações iniciais quase nulas, foi obtida a carga crítica de bifurcação do equilíbrio de N cr = kN, correspondente a 48% da carga crítica obtida com base na fórmula de Bryan (.31) nas mesas. Comparando estes resultados com os resultados obtidos para os perfis curtos nos casos 1 e, se pode perceber a influência da interação na erosão. Este tipo de interação é classificada como interação inata, pois, não depende das imperfeições iniciais. Caso 7: Perfil intermediário sujeito à interação flambagem global flambagem local na alma flambagem local nas mesas. Perfil I 40x40x.65x.473 (Comprimento = mm, altura = largura das mesas = 40 mm, espessuras das mesas =.65 mm e da alma de.473 mm) Limite de escoamento do material: f y = 50 MPa Deformações iniciais máximas, na direção do eixo de maior inércia: δ i = L = mm (deformações iniciais quase nulas) e δ i = L 1000 =1. 056mm (deformações iniciais consideráveis). O índice de esbeltez na alma é 95 (como no caso 1) e o das mesas igual a k (como no caso ), de tal sorte que alma kmesa. λ λ alma mesa

73 Capítulo 3 - Modelo Numérico 60 A malha utilizada, as condições de apoio, a solicitação e a conseqüente deformada do perfil são mostradas na Figura Figura Perfil Intermediário Malha de Elementos Finitos, Condições de Contorno, Solicitação e Deformada de Flambagem Local na Alma Flambagem Local nas Mesas Flambagem Global O esforço crítico elástico de flambagem, obtido com a fórmula de Euler (.4), vale N, = 110. kn e o esforço crítico elástico, obtido com base na cr Euler 67 fórmula de Bryan (.31), vale N, = 107. kn, tanto para a alma quanto cr Bryan 8 para a mesa. Os resultados obtidos no modelo são mostrados na Figura 3.16, onde se vê os gráficos P δ das duas situações: com deformações iniciais quase nulas e com deformações iniciais consideráveis. Para o perfil intermediário com deformações iniciais quase nulas, foi obtida a carga última de N cr = kN, correspondente a 96% da carga crítica de Euler. Já para o perfil com deformações consideráveis foi obtida uma carga última de N cr = 78. 6kN, que corresponde a 71% da carga crítica de Euler. Figura Gráficos P δ dos Perfis Intermediários (flambagem global flambagem local na alma flambagem local nas mesas) 1. Perfil com deformações iniciais quase nulas. Perfil com deformações iniciais consideráveis

74 Capítulo 3 - Modelo Numérico Escolha do Material Por razões históricas, praticamente todas as equações e curvas χ λ utilizadas para o dimensionamento de estruturas metálicas em normas se baseiam em diagramas idealizados σ ε correspondentes a aços carbono, ou seja, com comportamento elasto plástico, como mostra a Figura σ f y ε Figura Curva σ ε de aços carbono Isto se justifica ante ao uso quase único deste tipo de aço como elemento estrutural nas estruturas metálicas. Atualmente, o crescimento do uso de outros materiais aponta uma necessidade de se considerar comportamento não linear de outros aços e ligas. Além disso, os elementos de aço carbono com tensões residuais também apresentam comportamento não linear. A relação σ - ε destes materiais pode ser representada, como dito anteriormente, pela equação (.1) de Ramberg Osgood. Neste estudo, foi considerado um aço carbono, com limite de escoamento de 50 MPa e módulo de elasticidade longitudinal igual a 05 GPa, com imperfeições físicas representadas por meio dessa equação. Segundo Landolfo (Landolfo, 000) o parâmetro n da equação (.1) pode ser assumido variando de 8 a 15 para aços comuns não tratados termicamente e de 0 a 40 para aços comuns tratados termicamente. Para aços inoxidáveis, n vária tipicamente entre 3 e 10.

75 Capítulo 3 - Modelo Numérico 6 Foram estudados diversos casos de perfis longos com diferentes parâmetros n (variando de 8 a 15) e f ε0 comparando os esforços últimos obtidos no modelo numérico com o esforço último obtido com base na fórmula de Engesser (.6). Nos perfis estudados foi introduzida uma imperfeição geométrica quase nula. O material base escolhido tem como parâmetros: f y = 50MPa, f 30MPa ε 0 = e n = 1. Alguns casos estudados Caso 1: Perfil longo sujeito à flambagem por flexão Perfil I 00x100x6x5 (comprimento = 1957 mm, altura = 00 mm, largura de mesas = 100 mm, espessuras das mesas = 6 mm e da alma = 5 mm) Deformações iniciais máximas, na direção do eixo de maior inércia: δ i = L = mm (quase nulas), onde L é o comprimento do perfil. A curva σ - ε do material é mostrada na Figura 3.18, em azul, o material bilinear e em vermelho, o material com imperfeições físicas. Figura Curva σ - ε do aço carbono com fε 30MPa e n = 1 0 =

76 Capítulo 3 - Modelo Numérico 63 O esforço crítico de flambagem, obtido com base na fórmula de Engesser (.6) vale N cr = 365. kn. No modelo com imperfeições físicas e da geométricas (quase nulas), foi obtida a carga última N u = 36.7 kn, que corresponde a 99.3% da carga obtida com a fórmula de Engesser. A pequena erosão é devida ao fato de que as imperfeições geométricas não são exatamente nulas. Caso : Perfil longo sujeito à flambagem por flexão Perfil I 00x100x6x5 (comprimento = 1957 mm, altura = 00 mm, largura de mesas = 100 mm, espessuras das mesas = 6 mm e da alma = 5 mm) Deformações iniciais máximas, na direção do eixo de maior inércia: δ i = L 1000 = mm, onde L é o comprimento do perfil. O esforço crítico de flambagem, obtido no modelo considerando apenas imperfeições geométricas ( δ i = L 1000 = mm ), vale N cr = kn. Com base na norma NBR 8800/86 para o perfil descrito acima tem-se uma resistência à carga de compressão de N n = 90.8 kn. No modelo com imperfeições físicas e geométricas, foi obtido a carga última N u = kn, que corresponde a vezes a carga obtida na norma NBR 8800/86. Os resultados obtidos no modelo são mostrados na Figura 3.19, onde se vê os gráficos imperfeições físicas. P δ das duas situações: sem imperfeições físicas e com Como mostra a Figura 3.19, no caso do perfil com imperfeições físicas se percebe uma perda de rigidez maior que no perfil sem imperfeições físicas.

77 Capítulo 3 - Modelo Numérico 64 Figura Gráficos P δ dos Perfis Longos (flambagem global) 1. Perfil com imperfeições físicas. Perfil sem imperfeições físicas Baseado neste estudo, foram escolhidas as características do aço carbono a ser introduzido nos perfis. Tal aço possui o limite de escoamento de 50 MPa, módulo de elasticidade longitudinal inicial de 05 GPa, coeficiente de Poisson ν = 0.3. f 30MPa, n = 1 e ε 0 =

78 Capítulo 4 Perfis Longos O objetivo desta etapa é analisar perfis de seção I duplamente simétricos, submetidos à compressão centrada, com base no modelo numérico desenvolvido nas etapas anteriores. Para se ter uma noção de quão intensa é a erosão em um perfil, antes, é necessário saber qual a carga relativa (χ) sem interação alguma entre modos de flambagem. De acordo com que foi dito, foi estudado o comportamento de uma série de perfis longos comprimidos. Flambagem Global Material com comportamento não linear isotrópico, com limite de escoamento f y = 50MPa, fε 30MPa e n = 1. 0 = Módulo de elasticidade inicial E = MPa. Máximo deslocamento segundo o eixo de menor inércia δ i = L / Altura dos perfis 1 cm, largura das mesas 15 cm, espessura das mesas 0.9 cm e espessura das almas 0.5 cm. A seguir, na Tabela 4.1, os comprimentos e índices de esbeltez relativos dos perfis juntamente com os resultados: Tabela 4.1 Comprimentos, carga última relativa e índices de esbeltez relativos dos perfis longos Perfil L (cm) λ χ

79 Capítulo 4 - Perfis Longos Na figura 4.1, onde são representadas as curvas χ λ (carga última relativa esbeltez relativa), em azul estão os pontos relativos à Tabela 4.1 e em vermelho os relativos à regressão segundo a equação (3.3) cujos parâmetros α, β e λ r regredidos são , 6.89, 0.613, respectivamente, e o erro dessa regressão é de 1.4% ( Erro = ( ( λn ) χ n ) χ N n= 1 χ, N = 30). Figura 4.1. Curva de Flambagem de Perfis Tipo I com Imperfeições Iniciais λ g

80 Capítulo 4 - Perfis Longos 67 As cargas últimas relativas e as esbeltezes relativas são obtidas mediante as expressões (.7) e (.8), onde σ e é a tensão crítica de Euler (.4). Deste estudo se conclui que a curva χ λ obtida tem aspecto similar ao das curvas de flambagem do SSRC e do ECCS. Considerando apenas os perfis cujos índices de esbeltez relativos são 0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1., 1.4, 1.6 e 1.8 (para comparação posterior) tem-se para α, β, λ r e para o erro os seguintes valores, respectivamente, 66.73, 7.34, e 0.166%. Considerando agora os perfis cujos índices de esbeltez relativos são 0.8, 1.0, 1., 1.4, 1.6 e 1.8 e fazendo-se a regressão para obtenção do parâmetro α da NBR 8800/86, obtém-se um valor igual a 0.58 ( Erro = ( ) N i= 1 X i i = , N = 6), valor este situado entre a curva a que corresponde a α = e a curva b que corresponde a α = Fazendo o mesmo em relação ao Eurocódigo 3 tem-se um α regredido igual a 0.34, exatamente o valor usado pela mesma norma para curva b.

81 Capítulo 5 Perfis Curtos Atualmente, as normas utilizam o conceito de largura efetiva para calcular a resistência de pilares metálicos sujeitos à flambagem local e à interação flambagem global flambagem local. O presente estudo desenvolvido tem o objetivo de propor um procedimento alternativo de cálculo da resistência de pilares curtos comprimidos sujeitos à flambagem local. O procedimento baseado no conceito de largura efetiva não considera de forma precisa a interação entre as chapas componentes do perfil. Um tubo metálico comprimido, de seção retangular ou quadrada, submetido a flambagem local apresenta duas chapas fletidas de forma côncava e as outras duas fletidas de forma convexa. O primeiro grupo apresenta distribuição de tensões distinta da que apresenta o segundo grupo. Este fenômeno não é considerado nas expressões utilizadas na determinação da largura efetiva. A Figura 5.1 mostra a distribuição de tensões, em colapso, de um tubo de seção quadrada constituído de material não linear. Figura 5.1. Tubo Curto Distribuição de Tensões no Estado Limite Último 1. Tensões na direção da aplicação da carga [kn/cm²]. Tensão equivalente de von Mises [kn/cm²]

82 Capítulo 5 - Perfis Curtos 69 Na fase pós crítica aparecem tensões na direção normal à direção da carga de compressão. Por outro lado, com imperfeições iniciais, estas tensões existem sob qualquer solicitação. Portanto, para o cálculo da resistência destes perfis, é mais correto utilizar o critério de plastificação de von Mises que utilizar somente a componente de tensão medida na direção da carga de compressão, como se faz no conceito da largura efetiva. Com base nestas observações, foi estudado o comportamento de uma série de perfis curtos comprimidos, cujos comprimentos são de um módulo. 5.1 Flambagem na alma Material com comportamento não linear isotrópico, com limite de escoamento f y = 50MPa, fε 30MPa e n = 1. 0 = Módulo de elasticidade inicial E = MPa. Máximo deslocamento normal ao plano da chapa δ i = h / 00. Altura dos perfis 40 cm, largura das mesas 0 cm, espessura das mesas 1.1 cm. Índice de esbeltez relativo das mesas menor que 0.3. A seguir, na Tabela 5.1, as demais características dos perfis: Tabela 5.1 Espessura da alma e comprimento dos perfis curtos sujeitos a flambagem na alma Perfil tw (cm) L (cm)

83 Capítulo 5 - Perfis Curtos 70 Os resultados desta análise são mostrados na Tabela 5.. As cargas últimas relativas e as esbeltezes relativas são obtidas mediante as expressões (.7) e (.8), onde σ e é a tensão crítica de Bryan (.31) para a alma. Tabela 5. Carga última relativa e índice de esbeltez relativo para perfis curtos sujeitos à flambagem na alma referidos na Tabela 5.1 Perfil Bryan (kn) k a λ a χ Desse estudo foi feito uma regressão polinomial na qual pode-se ter uma aproximação do fator k de flambagem local em função do índice de esbeltez da alma (λ a = h/tw). O polinômio regredido segundo os dados da Tabela 5. é k a (λ a ) = λ a λ a λ a λ a (5.1) para um erro de 0.597% ( E = 1 N N i= 1 k real k k real regredido, N = 13). Ao se fazer a regressão segundo a equação (3.3) dos parâmetros α, β e λ r temse 0.065, 4.145, , respectivamente, par um erro de 0.05% N ( Erro = ( ( λn ) χ n ) (3.3). n= 1 χ, N = 13), sendo λ a o termo independente da equação A partir do estudo do parâmetro de flambagem local k foram estudados mais seis perfis cujos índices de esbeltez variam aproximadamente de 0.8 a 1.8 com incremento de 0., com as mesmas características gerais dos perfis estudados

84 Capítulo 5 - Perfis Curtos 71 anteriormente. A seguir, na Tabela 5.3, são apresentadas as demais características dos perfis: Tabela 5.3 Espessura da alma e comprimento dos perfis curtos sujeitos à flambagem na alma cujos índices de esbeltez relativos da alma estão entre 0.8 e 1.8 Perfil tw (cm) L (cm) Os resultados desta análises são mostrados na Tabela 5.4: Tabela 5.4 Carga última relativa e índice de esbeltez relativo para perfis curtos sujeitos à flambagem na alma referidos na Tabela 5.3 Perfil Bryan (kn) K a λ a χ Flambagem nas mesas Material com comportamento não linear isotrópico, com limite de escoamento f y = 50MPa, fε 30MPa e n = 1. 0 = Módulo de elasticidade inicial E = MPa. Máximo deslocamento normal ao plano da chapa δ i = bf / 00. Altura dos perfis 0 cm, largura das mesas 0 cm, espessura das almas 0.8 cm. Índice de esbeltez relativo da alma menor que 0.3. A seguir, na Tabela 5.5, as demais características dos perfis:

85 Capítulo 5 - Perfis Curtos 7 Tabela 5.5 Espessura das mesas e comprimento dos perfis curtos sujeitos à flambagem nas mesas Perfil tf (cm) L (cm) Os resultados desta análise são mostrados na Tabela 5.6. Tabela 5.6 Carga última relativa e índice de esbeltez relativo para perfis curtos sujeitos à flambagem nas mesas Perfil Bryan (kn) k m λ m χ Também nesse estudo foi feita uma regressão polinomial na qual pode-se ter uma aproximação do fator k de flambagem local em função do índice de esbeltez da mesa (λ m = bf/tf). O polinômio regredido segundo os dados da Tabela 5.4 é k m (λ m ) = λ m λ m λ m (5.) para um erro de 1.316% ( E = 1 N N i= 1 k real k k real regredido, N = 1). Ao se fazer a regressão segundo a equação (3.3) dos parâmetros α, β e λ r temse , 6.711, 0.48, respectivamente, par um erro de 0.14%

86 Capítulo 5 - Perfis Curtos 73 N ( Erro = ( ( λn ) χ n ) (3.3). n= 1 χ, N = 1), sendo λ m o termo independente da equação Da mesma forma feita no item anterior foram estudados mais seis perfis cujos índices de esbeltez variam aproximadamente de 0.8 a 1.8 com incremento de 0., com as mesmas características gerais dos perfis estudados acima. A seguir, na Tabela 5.7, as demais características dos perfis: Tabela 5.7 Espessura das mesas e comprimento dos perfis curtos sujeitos à flambagem nas mesas cujos índices de esbeltez relativos das mesas estão entre 0.8 e 1.8 Perfil tf (cm) L (cm) Os resultados desta análise são mostrados na Tabela 5.8. Tabela 5.8 Carga última relativa e índice de esbeltez relativo para perfis curtos sujeitos à flambagem nas mesas referidos na Tabela 5.7 Perfil Bryan (kn) K m λ m χ Interação flambagem na alma e mesa Foram calculados 36 pilares curtos com índices de esbeltez relativos dos componentes do perfil variando de 0.8 a 1.8 com incremento de 0. aproximadamente. Material com comportamento não linear isotrópico, com limite de escoamento f y = 50MPa, fε 30MPa e n = 1. 0 =

87 Capítulo 5 - Perfis Curtos 74 Módulo de elasticidade inicial E = MPa. Máximo deslocamento normal ao plano da chapa δ i = b / 00. Altura dos perfis 38 cm, largura das mesas 35 cm. A seguir, na Tabela 5.9, as demais características dos perfis: Tabela 5.9 Espessuras da alma e das mesas e comprimento dos perfis curtos sujeitos à interação entre flambagem na alma e nas mesas Perfil tw (cm) tf (cm) L (cm)

88 Capítulo 5 - Perfis Curtos 75 Os resultados são mostrados na Tabela As cargas últimas relativas e as esbeltezes relativas são obtidas mediante as expressões (.7) e (.8), onde a tensão crítica de Bryan com o valor de k segundo as equações (5.1) e (5.). σ e é Tabela 5.10 Carga última relativa e índices de esbeltez relativos para perfis curtos sujeitos à interação de flambagem na alma e nas mesas Perfil Bryan alma (F) Bryan mesa (F) Bryan (A) k alma k mesa λ alma λ mesa χ

89 Capítulo 5 - Perfis Curtos 76 Na Tabela 5.10, a segunda e a terceira coluna (Bryan (F)) representa o valor da carga de instabilidade local da chapa calculada segundo a equação de Bryan (.31); e a quarta coluna (Bryan (A)) representa a carga de instabilidade local gerada pela análise do programa (menor autovalor). Ao se fazer uma regressão polinomial da resistência relativa segundo os índices de esbeltez relativos dos componentes das seções e considerando-se um polinômio de duas variáveis ( λ alma e λ mesa ) e de terceiro grau tem-se: χ ( λ a λ m ) 3, = 0.387λ m λ a 0.68λ m +.83λ m.83λ m 0.901λ m λ a 0.116λ m λ a λ a λ a 0.147λ a + (5.3) Vale notar que há uma erosão inata da carga de instabilidade local. Ao se comparar as resistências relativas da Tabela 5.10 com as da Tabela 5.3 e as da Tabela 5.8, pode-se notar a erosão derivada.

90 Capítulo 6 Perfis Intermediários No presente capítulo, pretende-se medir quão intensa é a erosão devida à interação entre dois ou três modos de instabilidade. 6.1 Interação flambagem global e flambagem local na alma Material com comportamento não linear isotrópico, com limite de escoamento f y = 50MPa, fε 30MPa e n = 1. 0 = Módulo de elasticidade inicial E = MPa. Máximo deslocamento segundo o eixo de menor inércia δ i = L / Índice de esbeltez relativo das mesas próximo de 0.3. A seguir, na Tabela 6.1, as características geométricas dos perfis: Tabela 6.1 Características geométricas dos perfis sujeitos à interação flambagem global e flambagem local na alma Perfil d (cm) bf (cm) tf (cm) tw (cm) L (cm)

91 Capítulo 6 - Perfis Intermediários Na Tabela 6., os índices de esbeltez relativos dos perfis juntamente com os resultados: Tabela 6. Carga última relativa e índices de esbeltez relativos para perfis intermediários sujeitos à interação entre flambagem global e flambagem local na alma Perfil λ alma λ global χ

92 Capítulo 6 - Perfis Intermediários Comparando estes resultados com os da Tabela 4.1 pode-se perceber a erosão. As cargas últimas relativas e a esbeltez relativas são obtidas mediante as expressões (.7) e (.8), onde σ e é a tensão crítica de Euler (.4). Na Figura 6.1, em vermelho estão os pontos relativos à flambagem global (sem interação), em azul escuro, os pontos relativos aos pilares cujos índices de esbeltez relativos da alma são próximos a 0.8, em verde claro, próximos a 1.0, em rosa, próximos a 1., em azul claro, próximos a 1.4, em verde escuro, próximos a 1.6 e em preto, próximos a 1.8.

93 Capítulo 6 - Perfis Intermediários 80 χ Figura 6.1. Curvas de Flambagem de Perfis Tipo I com Imperfeições Iniciais Interação Flambagem Global Flambagem Local na Alma λ g Ao se fazer a regressão destas curvas segundo a equação (3.3) tem-se: Tabela 6.3 Regressão dos resultados da Tabela 6. segundo a equação (3.3) λ alma α β λ Erro r Regredindo os valores de α, β e λ r da Figura 6.3 em função do índice de esbeltez relativo da alma ( λ a ) tem-se: a α = λ a λ 1495λ λ 14710λ a (6.1) 3 a 4 a 5 a β = λ a λ λ λ 1.83λ a (6.) 3 a 4 a 5 λ r a = λ a λ λ λ.68λ a (6.3) 3 a 4 a 5 para um erro praticamente nulo, para qualquer dos parâmetros. N 1 xreal xregredido ( E =, N = 6), onde x = α ou x = β ou x = λ r. N x i= 1 real

94 Capítulo 6 - Perfis Intermediários Interação flambagem global e flambagem local nas mesas Material com comportamento não linear isotrópico, com limite de escoamento f y = 50MPa, fε 30MPa e n = 1. 0 = Módulo de elasticidade inicial E = MPa. Máximo deslocamento segundo o eixo de menor inércia δ i = L / Índice de esbeltez relativo da alma próximo de 0.3. A seguir, na Tabela 6.4, as características geométricas dos perfis: Tabela 6.4 Características geométricas dos perfis sujeitos à interação flambagem global e flambagem local nas mesas Perfil d (cm) bf (cm) tf (cm) tw (cm) L (cm)

95 Capítulo 6 - Perfis Intermediários Na Tabela 6.5, os índices de esbeltez relativos dos perfis com os resultados: Tabela 6.5 Carga última relativa e índices de esbeltez relativos para perfis intermediários sujeitos à interação entre flambagem global e flambagem local nas mesas Número do Perfil λ mesa λ global χ

96 Capítulo 6 - Perfis Intermediários Na Figura 6., são representadas as curvas χ λ (carga última relativa esbeltez relativa). As cargas últimas relativas e as esbeltezes relativas são obtidas mediante as expressões (.7) e (.8), onde σ e é a tensão crítica de Euler (.4). Ao se fazer a regressão destas curvas segundo a equação (3.3) tem-se: Tabela 6.6 Regressão dos resultados da Tabela 6.5 segundo a equação (3.3) λ mesa α β λ r Erro Na Figura 6., em vermelho estão os pontos relativos à flambagem global (sem interação), em azul escuro, os pontos relativos aos pilares cujos índices de esbeltez relativos da alma são próximos a 0.8, em verde claro, próximo a 1.0, em rosa, próximo a 1., em azul claro, próximo a 1.4, em verde escuro, próximo a 1.6 e em preto, próximo a 1.8.

97 Capítulo 6 - Perfis Intermediários 84 χ Figura 6.. Curvas de Flambagem de Perfis Tipo I com Imperfeições Iniciais Interação Flambagem Global Flambagem Local nas Mesas Regredindo os valores de α, β e λ r da Tabela 6.6 em função do índice de esbeltez relativo da alma ( λ a ) tem-se: λ g m α = λ m λ λ 14534λ λ m (6.4) 3 m 4 m 5 m β = λ m λ λ 45.6λ λ m (6.5) 3 m 4 m 5 λ r m = λ m λ λ λ 1.354λ m (6.6) 3 m 4 m 5 para um erro praticamente nulo, para qualquer dos parâmetros. N 1 xreal xregredido ( E =, N = 6), onde x = α ou x = β ou x = λ r. N x i= 1 real 6.3 Interação flambagem global e flambagem local na alma e nas mesas Material com comportamento não linear isotrópico, com limite de escoamento f y = 50MPa, fε 30MPa e n = 1. 0 = Módulo de elasticidade inicial E = MPa. Máximo deslocamento segundo o eixo de menor inércia δ i = L / Altura do perfil igual a d = 38 cm.

98 Capítulo 6 - Perfis Intermediários 85 Largura da mesa do perfil igual a bf = 35 cm. A seguir, na Tabela 6.7, são apresentadas as características geométricas dos perfis e os índices de esbeltez relativos dos perfis, juntamente com os resultados: Tabela 6.7 Características geométricas, índices de esbeltez relativos e resistência última relativa dos perfis sujeitos à interação flambagem global e flambagem local na alma e nas mesas Perfil tf (cm) tw (cm) L (cm) λ alma λ mesa λ global χ

99 Capítulo 6 - Perfis Intermediários

100 Capítulo 6 - Perfis Intermediários

101 Capítulo 6 - Perfis Intermediários

102 Capítulo 6 - Perfis Intermediários

103 Capítulo 6 - Perfis Intermediários Ao se fazer a regressão destas curvas segundo a equação (3.3) tem-se: Tabela 6.8 Regressão dos resultados da Tabela 6.7 segundo a equação (3.3) λ alma λ mesa α β λ Erro r

104 Capítulo 6 - Perfis Intermediários Na Figura 6.3, mostra-se a variação de α para as seções estudadas. α λ m λ a Figura 6.3. Variação do parâmetro α

105 Capítulo 6 - Perfis Intermediários 9 Na Figura 6.4, mostra-se a variação de β para as seções estudadas. β λ m λ a Na Figura 6.5, mostra-se a variação de Figura 6.4. Variação do parâmetro β λ r para as seções estudadas. λ r λ m λ a Figura 6.5. Variação do parâmetro λ r