Eduardo Colli. C cabo de metal D A

Transcrição

1 aranha Eduardo olli cabo de metal gabarito sulco horizontal E chapa transparente aranha ranha é o nome que se dá a este instrumento mecânico de desenho, inventado para reproduzir letras em diferentes alturas e inclinações, mantendo a largura constante. No desenho (acima) podemos entender, esquematicamente, seu funcionamento. Numa chapa de acrílico estão fixados os pontos, e. baixo de há uma ponta de metal que corre no sulco horizontal do gabarito. baixo de há uma outra ponta de metal, que corre no sulco das letras (sem os sulcos não haveria como evitar que a transcrição saísse tremida). O ponto serve

2 para fixar o cabo de metal, em cuja ponta superior, o ponto, está a caneta que traça as letras. posição de E, que é a outra ponta do cabo, está diretamente vinculada à posição de. Ou seja, a posição da caneta em é ajustada ao se deslizar e rodar o cabo em torno de. urante a reprodução das letras um parafuso em garante que o cabo não se mexa. escolha da posição de determina a inclinação e a altura das letras. No entanto, como a caneta deve estar livre, isso é feito do outro lado do cabo, em E. s marcações sobre o acrílico são as linhas de inclinação constante, isto é, as posições de E que resultam na mesma inclinação, e as de altura constante. O desenhista escolhe a inclinação e a altura, e as obterá situando E no ponto de cruzamento das duas linhas correspondentes. s letras do gabarito são inclinadas para a esquerda (por razões que podem ser entendidas após os próximos parágrafos), mas o instrumento transcreve as letras na vertical ou com inclinação para a direita, até aproximadamente 45 graus em relação à vertical. altura pode ser entre 50% e 50% do tamanho original. uas questões sobre o instrumento surgem naturalmente: a primeira, por que ele muda a altura e a inclinação das letras? segunda, como se calcula a marcação das linhas de calibragem sobre o acrílico? oordenadas Temos que distinguir dois sistemas de coordenadas envolvidos na operação do instrumento. O primeiro é o referencial da placa de acrílico, em relação ao qual estão fixos os pontos,,, e E. Os pontos e E podem ser ajustados, mas durante o uso permanecem fixos. 2

3 onvencionaremos os eixos coordenados da seguinte forma, conforme mostra a figura abaixo: a abscissa é a reta que contém os pontos e, e a ordenada é a reta perpendicular que passa por. Nesse sistema de coordenadas, o ponto terá coordenadas (X, ). O ponto = (X 0, 0 ) está situado em algum lugar do primeiro quadrante. Para facilitar as contas, assumiremos que a distância entre e é igual a. ssim, = (, 0) e = (0, 0). t 0 s X s s O outro sistema de coordenadas (s, t) é o do papel, com o sulco horizontal do gabarito coincidente com a abscissa. ordenada é colocada em qualquer lugar. O primeiro passo é deduzir a relação entre as coordenadas (s, t) do ponto (guia) e as coordenadas (s, t ) do ponto (caneta). Observemos que se corre paralelamente à abscissa então o mesmo se dá com, e de tal forma que o vetor se mantém constante. e outra parte, se corre verticalmente então não percorre exatamente mas apenas aproximadamente uma linha reta, como veremos abaixo. 3

4 Inclinação e altura s coordenadas (s, t) de determinam as coordenadas (s, t) de. ordenada de é zero, porque está preso ao sulco. abscissa s é tal que (s s) 2 + t 2 =, com s > s. posição de no sistema st é dada por + X( ) + ( ), onde ( ) indica o vetor unitário perpendicular a que forma com este uma base de orientação positiva. Então (s, t ) = (s, t) + (s s, t)x + (t, s s) = (s + t 2 X + t, t tx + t 2 ). Para valores baixos de t, o termo t 2 é muito próximo de, de forma que (s, t ) (s + X + t, t( X) + ). Uma maneira de entender essa transformação é escrevendo-a em forma matricial: ( ) ) ) s t ( X + ( 0 X ) ( s t transformação é a composição de uma translação com uma transformação linear. Essa transformação leva quadrados de lado L em paralelogramos de altura ( X)L (vide em azul, na figura acima). Então X é o fator de alteração da altura das letras. inclinação do paralelogramo é X mas, medindo em relação à vertical, é X.. 4

5 Linhas de altura constante e de inclinação constante s linhas verticais no plano X são aquelas em que o fator de alteração da altura X é constante. inclinação provocada em linhas verticais é constante no lugar geométrico das equações X = α. Escrevendo = α( X) vemos que essas linhas são retas de diferentes inclinações que passam pelo ponto = (, 0). figura abaixo mostra essas linhas. altura constante inclinação constante 0 X Para ver como essas linhas aparecem no posicionamento do ponto E, é preciso apenas ter em mente que a distância de a E é constante e o segmento de reta com extremos nestes pontos passa por. figura abaixo mostra como se transformam as linhas para leitura em E, exatamente aquelas que são desenhadas na placa transparente de acrílico. 5

6 0 X E Exercícios e experimentos. Meça na aranha a distância entre e e a posição do ponto. che as linhas de inclinação e altura constantes com exatidão, num papel milimetrado. Escolha para desenhar as linhas que tenham fatores de alteração da altura em valores pré-fixados (por exemplo, 50%, 60%, etc), e o mesmo em relação à inclinação, fixando valores em graus, e levando em conta que as letras do gabarito estão inclinadas 5 graus para a esquerda. 2. Suponha que = (0, 0) e a distância entre e E é igual a. Obtenha a transformação que leva a região R = {x 2 + y 2, x < 0, y > 0} na região S = {x 2 + y 2, x > 0, y < 6

7 0}, seguindo a mesma regra do instrumento. Expressando em coordenadas polares, a transformação fica mais simples? esenhe as imagens de algumas retas paralelas a ambos os eixos. 3. Logo no começo, fizemos uma aproximação, desprezando um termo. Se não for desprezado esse termo, e se tomarem valores de t não tão próximos de zero, como são as imagens das retas verticais? Faça os cálculos mas também experimente na prática. 7