Interacção de um dipolo magnético com um campo

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1 Interacção de um dipolo magnético com um campo magnético Torque De seguida, consideramos a interacção de uma espira semelhante à considerada anteriormentecomumcampomagnéticoexternoparaleloaoeixoz -B=Bê z Supomosagora queoplanodaespiraseencontrainclinadoemrelaçãoaoeixoz,fazendocomqueorespectivo momento dipolar magnético defina um ângulo θ em relação ao campo magnético B Odiagramadeforçasencontra-seesquematizadonafigura14 Apartirdaíedaleide Laplace(eq 172), podemos concluir o seguinte: asforçasf AB ef CD têmmódulof AB =F CD =IaB;otorquedevidoaesteparde forças, calculado por exemplo em relação ao centro da espira, é nulo; as forças F BC e F DA têm módulo F BC = F DA = IbB e definem um torque τ não nulo: τ =F BC asinθ=iabb sinθ τ =m B (243) Relação entre momento magnético e momento angular: precessão de Larmor A equação (160) informa-nos que a intensidade de corrente na espira está relacionada com a velocidade v das cargas (em geral electrões) transportadas pela corrente, e com a densidade linear de carga λ, através de I = λv Podemos então calcular facilmente o momento angular L associado à corrente, que aliás é paralelo ao respectivo momento magnético(ou anti-paralelo, no caso de a corrente ser gerada por cargas negativas como os electrões) Assumindo, por simplicidade, que a espira é circular de raio a, o momento angular resulta simplesmente: L=amv=aM I λ =2πa2 M I Q = 2M Q m (244) onde πa 2 I = m é o momento magnético da espira, M é a massa total das cargas emcirculaçãoeqarespectivacargatotal,peloquearazãom/qrereduzàrazãoentre a massa e a carga (no caso dos electrões, M/Q = m e /e, sendo e a carga elementar (positiva) Podemos escrever assim uma relação entre o momento angular associado ao movimento das cargas de uma espira e o respectivo momento magnético da espira(para ocasodeacorrenteserdevidaaelectrões):

2 020 ODIPOLOMAGNÉTICO 77 (a) Z F CD D F AD I C A a B b F BC (b) F AD d F AB Z m a d F BC Figure 14: (a) Diagrama de forças que actuam sobre uma espira quadrada de corrente transportando uma corrente I (b) Projecção, ilustrando o par de forças com um torque não nulo

3 78 m= e 2m e L=γL (245) Descobrimos assim que o momento magnético da espira é simplesmente proporcional ao momento angular das cargas que transportam a corrente que o origina, sendo γ = e/2m e ofactordeproporcionalidade(ditofactor giromagnético) Asequações(245)e (243) permitem-nos escrever a lei fundamental da dinâmica da rotação para uma espira transportando uma corrente: dl dt =τ =m B dm dt =γm B (246) Esteresultadoémuitoimportanteeinforma-nosqueavariaçãocomotempodeum momento magnético sujeito a um campo magnético é perpendicular quer ao momento magnético, quer ao campo O movimento resultante é um movimento de precessão do momento magnético em torno do eixo definido pelo campo magnético, com frequência angularω L =γb Estemovimentodeprecessãocostumadesignar-seprecessãodeLarmor eésemelhanteaodeumpião 23 Nestemovimento,omomentomagnéticomantémconstanteasuaorientaçãoemrelaçãoaocampo,oqueéconsistentecomofactoconhecido de o campo magnético não realizar trabalho Assim, embora o torque favoreça o alinhamento do momento magnético com o campo, tal apenas pode acontecer por interacção com uma força externa A partir da figura 14, é possível calcular o trabalho necessário para rodar a espira de um ângulo dθ, mantendo constante a corrente Nesta rotação, os segmentos BC e AD deslocam-se a dθ/2 estando enquantosujeitosàsforçasf BC ef AD,respectivamente,sendoπ/2 θoânguloentreo deslocamentoeaforça OtrabalhorealizadoporBCéentão: dw =F BC a 2 cos ( π 2 θ ) dθ+f AD a 2 cos ( π 2 θ ) dθ=ibbasinθdθ W = mbcosθ+k (247) onde K é uma constante Este resultado é suficientemente incómodo: se o campo magnético não realiza trabalho, como é que é possível que a energia da espira diminua deste modo? A resposta é: não é possível, por meios puramente magnetostáticos, diminuir a energia da espira deste modo Um momento dipolar magnético, numa situação magnetostática, limita-se a precessar em torno do campo magnético, mantendo constante a sua 23 Note-seque,talcomonopião,aexistênciapréviadeummomentoangularéessencialparaoresultado precessão No caso dos dipolos eléctricos, não existe uma razão giroeléctrica que motive um movimento semelhante: são pois também semelhantes ao pião, mas que cai simplesmente quando cessa o movimento derotaçãoemtornodoeixo;tambémosdipoloseléctricosselimitamaalinharcomocampoeléctrico

4 020 ODIPOLOMAGNÉTICO 79 energia De facto, a rotação que apresentámos configura já uma situação electrodinâmica, querequeraintervençãodasleiselectrodinâmicas-emparticularaleidefaraday-para ser completamente descrita Voltaremos pois mais tarde a este assunto A expressão (247) não contém pois uma descrição completa da realidade, mas é de grande utilidade para descrever a diminuição de energia de um dipolo magnético de momento dipolar constante (isto é, mantendo-se constante a corrente que lhe dá origem), através da rotação, motivada por um agente externo, na presença de um campo magnético Esta expressão é reminiscente da equação(106), pelo que é usual definir-se uma energia potencial do dipolo magnético na presença de um campo magnético, da forma usual: W = mbcosθ+k= U = (U(0) U(θ)) (248) De onde decorre, deixando cair as constantes inúteis (recorde-se que estamos a considerar uma expressão que apenas nos dá como informção útil as variações de energia, e mesmo assim não todas): U(θ)= mbcosθ= m B (249) 0203 A energia magnetostática: um aperitivo A expressão (249) pode ser fonte de desnecessários equívocos Afinal é possível definir uma energia potencial para o campo magnetostático? A resposta é: não Recorde-se que a energia potencial é definida apenas para campos conservativos, o que não é o caso do campo magnetostático Por outro lado, o campo magnetostático é um campo que não realiza trabalho, pelo que as considerações energéticas parecem à primeira vista descabidas Enoentanto No entanto, faz todo o sentido perguntar pela energia necessária para gerar um campo magnético, isto é, pela energia necessária para colocar em movimento as cargas eléctricas origem das correntes que geram um campo magnético Para isso, é necessário realizar trabalho Mas, novamente, colocar cargas em movimento representa uma situação que, para ser compreendida cabalmente, necessita dos recursos da electrodinâmica Não deixamosdeindicardesdejáoresultadoparaaenergiaw armazenadanocampomagnético, que obteremos posteriormente, mas cuja semelhança formal com o resultado obtido na electrostática não é mera concidência: W = τ 1 2µ 0 B 2 dτ (250)

5 80 Existe pois uma energia armazenada num circuito onde circula uma corrente I, que verificaremosserproporcionalai 2 onde L se designa auto-indutância do circuito W = 1 2 LI2 (251) 021 Magnetismo em meios materiais Através da equação(245) concluímos que o momento magnético de uma espira é simplesmente proporcional ao momento angular das cargas responsáveis pela corrente(de massa m e carga q), sendo q/2m o factor de proporcionalidade Esta relação permanece válida mesmo no ãmbito microscópico, regido pela mecânica quântica, em que os momentos angularestípicossãodaordemde h=h/2π= Js,emqueh=6, Jsé a constante de Planck O momento magnético típico associado a um electrão(designado magnetãodebohr,µ B )éassim: µ B = e h 2m e = J/T (252) e o momento magnético típico associado a um protão (designado magnetão nuclear, µ N )éassim: µ N = e h 2m p = J/T (253) Os momentos magnéticos associados ao movimento dos electrões são assim cerca de 1800 vezes superiores aos associados aos núcleos, razâo pela qual as propriedades magnéticas da matéria são essencialmente devidas à contribuição dos electrões Assim, quandosefalaemmagnetismo,emgeralsubentende-semagnetismoelectrónico 24 ANatureza,noentanto,écheiadesurpresas,eacontecequeoselectrões,paraalém do momento magnético que lhes está associado quando possuem momento angular, possuem também um momento magnético intrínseco Quando se descobriu este momento magnético intrínseco, associado a um momento angular intrínseco, supôs-se que estaria 24 Noentanto,omagnetismonuclearébemmaisdoqueummeroexotismo,conformeatestaadisseminada técnica de ressonância magnética nuclear, vulgarizada sobretudo devido à sua extraordinária utilidade na imagiologia médica Esta técnica serve-se da possibilidade de orientar os momentos magnéticos nucleares num campo magnético externo

6 021 MAGNETISMO EM MEIOS MATERIAIS 81 associada à estrutura interna dos electrões e ao momento angular das cargas no seu interior: chamou-se-lhe por isso spin(da palavra inglesa para rodar ) No entanto, no limite do conhecimento actual, não se conhece estrutura interna para os electrões, pelo que a naturezadospin permaneceummistério 25 Tantooomomentomagnéticoorbitalcomo o momento magnético de spin contribuem para o momento magnético dos átomos e, logo, para o magnetismo dos materiais Em muitos materiais, os momentos magnéticos totais dos electrões nos átomos acabam por se cancelar mutuamente, conduzindo a um momento magnético total nulo Sob acção de um campo magnético externo, e conforme recordaremos mais adiante quando revirmos as leis de FaradayedeLenz, os electrões sãoinduzidosacriarum(pequeno)momento magnético que contraria a acção do campo externo, de forma análoga à que estudámos nos materiais dieléctricos, gerando um momento magnético po unidade de volume do material (designado magnetização) Estes materiais dizem-se diamagnéticos O diamagnetismo, no entanto, está presente em todos os materiais, embora só adquira importância nos materiais que só apresentam este comportamento Noutros materiais, os momentos magnéticos totais dos electrões nos átomos não se cancelam, apresentando os átomos um momento magnético diferente de zero Temos que distinguir aqui dois casos: o caso mais simples é o dos materiais em que os momentos magnéticos atómicos podem ser considerados isolados no material: nesse caso, cada momento magnético é independente dos demais e o comportamento global do material pode ser entendido apenas à luz da orientação de um momento magnético num campo externo Em particular, estes materiais apenas apresentam magnetização enquanto estiverem sujeitos a um campo magnético externo- tais materiais dizem-se paramagnéticos; noutrosmateriais,bastantemaiscomplexos, 26 osmomentosmagnéticosinteragem entre si, tipicamente através de uma interacção de natureza electrostática, e isso pode conduzir a um ordenamento complexo dos momentos magnéticos dentro do material, conduzindo aos mais variados tipos de ordem- e desordem- magnética O exemplomaisconhecidodeummaterialondetalaconteceéodoferro,razãopelo qual este tipo de comportamento é globalmente conhecido por ferromagnetismo e os materiais em causa designados por materiais ferromagnéticos 27 Nos materiais ferromagnéticos puros como o ferro, este ordenamento dos momentos magnéticos atómicos é bastante para sustentar uma magnetização do material mesmo quando 25 Nadescricçãoquânticaerelativística,oselectrõessãodescritospelachamadaequaçãodeDirac,que inclui naturalmente o spin e também os positrões- anti-matéria No entanto, esta equação não esclarece anaturezadeumnemdeoutro 26 einteressantes ecomasmaisvariadasaplicaçõestecnológicas 27 Sendoosordenamentosmagnéticosresultantesmuitodiversos,hálugardepoisaclassificaçõesmais precisas como anti-ferromagnetes, ferrimagnetes, vidros de spin

7 82 já não existe qualquer campo magnético aplicado Detalharemos este assunto mais adiante O magnetismo de meios materiais é pois um tema complexo e fascinante, que está longe de ser completamente compreendido, sendo portanto alvo de investigações actuais ao nível mais fundamental Em particular, note-se que o magnetismo se conta entre as manifestçõesmacroscópicasdeumefeitopuramentequântico Épossível,comasdevidas cautelas, construir uma abordagem muito simples análoga à que desenvolvemos para os dieléctricos, e que passamos a apresentar 0211 A magnetização: descrição macroscópica Densidade superficial de corrente de magnetizção Consideremos uma superfície plana de área A e espessura z, uniformemente magnetizada commagnetizaçãom=mê z Podemospensarestamagnetizaçãocomosendodevidaa momentos magnéticos microscópicos dm, de área a e corrente I, sendo: dm=ia=maz (254) Conforme esquematiza a figura 15, sendo a magnetização uniforme as correntes associadas a cada momento magnético microscópico anulam-se em todos os pontos no interior do material, mas não na superfície lateral, onde subsiste uma corrente superficial I mag, que podemos escrever, a partir da eq (254) como: I mag =Mz (255) Adensidadesuperfialdecorrenteassociadaàmagnetização,k m,resultaassim: k m = I mag z =M (256) Aorientaçãodovectork m vemdadaemfunçãodaorientaçãodovectormagnetização e da perpendicular ˆn à superfície em cada ponto: k m =M ˆn (257)

8 021 MAGNETISMO EM MEIOS MATERIAIS 83 M a x I n z Figure 15: (a) Diagrama para o cálculo da corrente equivalente de magnetização devida a uma superfície plana uniformemente magnetizada Figure 16: (a) Diagrama para o cálculo da corrente equivalente de magnetização numa situação de magnetização não uniforme

9 84 Densidade volúmica de corrente de magnetização No caso de a magnetização não ser uniforme, as correntes equivalentes devidas a cada momento dipolar magnético no interior do material não se cancelam necessariamente, conforme ilustra a figura 16 Consideremos o caso da figura 16(a), onde se representam dois momentos dipolares magnéticos microscópicos separados da distância dy, de espessura dz Da orientação dos dipolos esquematizada na figura, e da equação(255), é possiível extrair a contribuição para a componente x da corrente de magnetização devida à variação segundo a direcção y da componente z da magnetização: I x =(M z (y+dy) M z (y))dz= M z dydz (258) y A correspondente contribuição para a densidade volúmica de corrente resulta assim: (J mag ) x = M z (259) y Da mesma forma, a partir da figura 16(b), é possiível extrair a contribuição para a componente x da corrente de magnetização devida à variação segundo a direcção z da componente y da magnetização: (J mag ) x = M y z A componente x da corrente de magnetização resulta assim: (260) (J mag ) x = M z y M y (261) z Este resultado corresponde simplesmente à componente x do rotacional de M Repetindo o mesmo procedimento para as componentes (J mag ) y e (J mag ) z concluímos que J mag = M (262) Note-se que J mag obedece àcondiçãomagnetostática J mag =0 Refira-se ainda que é possível obter os resultados(257) e(262) directamente a partir do potencial vector do dipolo magnético(equação 240)

10 021 MAGNETISMO EM MEIOS MATERIAIS O campo auxiliar H Aequação(262)dá-nosumaformadereescreveraleideAmpèrenapresençademateriaismagnéticos Limitamo-nosaconsiderarasomadascorrentes livres J f (istoé,as correntes que controlamos livremente e que circulam no material ou fora dele devido a umaacçãoexterna)comascorrentesdemagnetizaçãoj mag : AleideAmpèreresultaassim: isto é: B=µ 0 (J f +J mag ) J=J f +J mag (263) ( ) B M =J f (264) µ 0 onde H=J f (265) aplicando o teorema de Stokes, podemos escrever ainda: H= B µ 0 M (266) C H dl=i f int (267) onde I f int representa as correntes livres que atravessam a superfície delimitada pelo circuito fechado C O campo auxiliar H desempenha nos materiais magnéticos um papel semelhante ao do campo deslocamento eléctrico D nos materiais dieléctricos Contudo, ocampohédelongemais útile, logo, deusomais frequente Arazãoparatalreside no facto de H depender directamente das correntes livres, que em geral correspondem à grandeza física que é directamente controlável experimentalmente(logo tecnologicamente, logo industrialmente) Existe assim em geral um controlo directo do campo H, enquanto que o campo B dependerá também da magnetização presente, que não é facilmente controlável Por isso, sobretudo em literatura mais antiga, é frequente designar o campo H por campo magnético e o campo B por campo de indução magnética Trata-se de designações equívocas e que vivamente desaconselhamos: o campo B é que é o campo

11 86 magnético próprio, do qual decorre a força magnética de acordo com a expressão da força de Lorentz O campo H é um mero auxiliar matemático que podemos designar simplesmente de campo H Note-se que no caso dos materiais dieléctricos o problema não se coloca da mesma forma, pois aí não temos em geral controlo directo sobre as cargas livres: a grandeza física mais útil para o controlo experimental (logo tecnológico, logo industrial) é a diferença de potencial, que controla directamente o campo eléctrico resultante e não o campo D Conforme veremos de seguida, esta diferença tem outras pequenas consequências práticas