Notas de Economia do Setor Público. Carlos Eugênio da Costa Fundação Getulio Vargas - EPGE/FGV

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1 Notas de Economia do Setor Público Carlos Eugênio da Costa Fundação Getulio Vargas - EPGE/FGV Rio de Janeiro, Agosto-Dezembro de 2008

2 Conteúdo I Introdução 8 1 Introdução à Economia do Setor Público Escopo e Metodologia Breve História da Economia do Setor Público Evoluções decorridas do fim dos anos Justificativas para Existência e Escopo do Setor Público Estado Mínimo Além do Estado Mínimo Visão do Estado II Revisão de Microeconomia 18 2 Teoria da Escolha Individual O Conjunto de Consumo O Conjunto Orçamentário Elasticidades Preferências Hipótese Comportamental Preferências e Utilidade Resolvendo o Problema da Escolha do Consumidor Utilidade Indireta Demanda Marshalliana A Função Gasto (Despesa) Demanda Hicksiana Problemas Duais

3 CONTEÚDO A Equação de Slutsky Bens Complementares e Substitutos A Demanda Excedente Aplicações Oferta de Trabalho Escolha Intertemporal Preços não-lineares Bem-Estar O Excedente do Consumidor Variação Compensatória Variação Equivalente Escolha no Tempo Incerteza Formalização Definições e Conceitos Discussão Teoria da Produção A firma neoclássica Tecnologia Maximização de Lucro Propriedades da função lucro, π (p) Propriedades da Função Oferta, y (p) Eficiência Sobre os objetivos da firma Equilíbrio Equilíbrio Parcial Definição e Conceitos Relevantes Descrição do ambiente Oferta Curto Prazo Longo Prazo Demanda

4 CONTEÚDO Eficiência Elasticidade Relação entre Elasticidade e Receita Relação entre Elasticidade e Receita Marginal Monopólio Equilíbrio Geral Descrição do ambiente Definição de equilíbrio Escolhas ótimas Normalizações e Identidade de Walras Equilíbrio: definição formal Existência Eficiência: Teoremas de Bem-estar o Teorema do Bem-estar social o Teorema do Bem-estar social Exemplos Economia de troca (modelo 2x2) Teoremas de Bem-Estar Alocações Eficientes de Pareto Equilíbrio Competitivo Economia de Robson Crusoé Monopólio na caixa de Edgeworth: ineficiência Macroeconomia e Agregação Equilíbrio Geral Dinâmico Equilíbrio recursivo Um Exemplo Problema do planejador: Problema descentralizado: O Consumidor Representativo O Teorema de Sonnenschein-Mantel-Debreu Demanda agregada como função dos preços e da renda agregada

5 CONTEÚDO Propriedades da Demanda Agregada Agente Representativo e Análise de Bem-estar A Firma Representativa III Economia do Setor Público 95 7 Introdução Relaxando as Hipóteses dos Teoremas Incidência e Perdas de Bem-estar Incidência Tributação da Renda do Trabalho Tributação Linear da Renda do Trabalho Imposto de Renda Progressivo Tributação e Escolha com Risco Equilíbrio Geral: O modelo de Harberger Bens Públicos Provisão Ótima de Bens Públicos Puros Provisão de Bens Públicos de Equilíbrio Provisão Privada Propriedades da Provisão Privada Implementando o Ótimo Impostos distorcivos Votação Equilíbrio de Lindahl Os incentivos para mentir e pegar carona na doação alheia Revelação das Preferências Mecanismo de Vickrey-Clarke-Groves (VCG) A Hipótese de Tiebout Externalidades Introdução Externalidades no consumo

6 CONTEÚDO Externalidades Pareto-irrelevantes Externalidades na Produção Outros Exemplos de Externalidades Congestionamentos Performance Relativa (Ou corrida dos ratos) Tragédia da Propriedade Comum Efeito de Rede Implementando o Ótimo Licenças Tributo Piguviano Internalização Regular quantidades ou preços? Teorema de Coase Relevância Prática do Teorema de Coase Não-convexidades e Competição Imperfeita Não-Convexidades Não convexidades nas preferências Não convexidade nos conjuntos de possibilidades de produção Pequenas não-convexidades Grandes não-convexidades Pequenas não-convexidades: convexificação por grandes números Grandes não-convexidades Preço igual a custo médio Preços de Second-best (Ramsey-Boiteux) Competição Imperfeita Introdução Conceitos de Competição Monopólio Custo de peso morto do monopólio Monopólio Custo de Bem-estar do monopólio

7 CONTEÚDO Como evitar o custo do Monopólio? Oligopólio Cournot Bertrand Incidência de Impostos Oligopólio Imposto Ad-valorem vs. Específico IV Tributação Ótima A Abordagem de Ramsey Abordagens Primal e Dual O Probelma de? Normalizações e Bens Não-tributáveis Tributação somente de Transações A Regra do Inverso da Elasticidade A regra de? Corlett-Hague e Regressividade Modelo de Ramsey com Agentes Heterogêneos Preços ao Produtor Variáveis Eficiência Produtiva Tributação de Bens Intermediários A abordagem primal O Modelo de Mirrlees Solução de First-Best Utilidade dos Indivíduos no ótimo irrestrito Assimetria de Informações Tributação Ótima Contínuo de Agentes Tributação Conjunta: Renda e Bens O Teorema de Atkinson-Stiglitz Programas de Manutenção da Renda Caridade

8 CONTEÚDO Garantia de Renda Mínima Imposto de Renda Negativo Subsídio aos salários baixos Salário Mínimo Por que impostos? Introdução

9 Parte I Introdução 8

10 Capítulo 1 Introdução à Economia do Setor Público A Economia do Setor Público estuda o governo e a forma como suas políticas afetam a economia. Em um sentido mais amplo, investiga desde a teoria pura da tributação às explicações da escola da escolha pública para o comportamento da burocracia. A conexão muito estreita entre análise e aplicação e política é o que torna o assunto tão fascinante. Porém, uma boa política demanda o desenvolvimento de uma teoria adequada. Este é o grande desafio dos economistas do setor público. 1.1 Escopo e Metodologia No estudo da economia do setor público, estudam-se questões normativas e positivas. De um lado, aspectos positivos são indispensáveis porquanto constituintes dos alicerces da análise dos efeitos das políticas públicas. Do outro, normativo, procede-se a uma avaliação de eficiência e eqüidade das políticas públicas, na tentativa de endender o que deve ser feito. Porém, em um outro nível, a propria avaliação do comportamento do governo pressupõe uma análise positiva do processo pelo meio do qual as decisões são efetivamente tomadas. Ou seja, a economia do setor público envolve o estudo não somente do que o governo do que deveria fazer mas também daquilo que ele faz, e porque, tantas vezes não faz o que deveria 9

11 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ECONOMIA DO SETOR PÚBLICO 10 fazer. Em princípio, portanto, a economia do setor público deveria envolver o estudo das causas e conseqüências de toda forma de ação do governo. A necessidade de especialização, porém, acaba por limitar o escopo do campo, o que não quer dizer que este processo de estreitamento seja monotônico. De fato, o que se observa é que vários ramos são adicionados e outros excluídos de tal forma que historicamente o escopo da economia do setor público apresente grande variação. Do ponto de vista metodológico, como na maior parte dos estudos em economia, faz-se uso constante de modelos econômicos. Modelos são peças indispensáveis para que os argumentos sejam construídos de forma coerente, e para que as hipóteses geradoras das conclusões obtidas sejam facilmente identificadas. A idéia subjacente a toda a discussão em economia do setor público é de que estamos lidando com uma economia mista. Há, de um lado, um setor privado, no qual os agentes são livres para fazer suas escolhas. E de outro, um governo 1 que procura estabelecer políticas de maneira a induzir (ou estimular) determinadas escolhas. Desta forma, para que possamos avaliar políticas dos governos, precisamos primeiramente saber quais os efeitos das intervenções do governo sobre as ações das pessoas. Precisamos de uma teoria de como os agentes tomam suas decisões, de como as decisões individuais são compatibilizadas e de como as intervenções do governo afetam essas decisões. A teoria econômica nos oferce o arcabouço fundamental para tal tarefa. Exploraremos a teoria do consumidor geralmente a partir da hipótese de racionalidade 2 e a teoria da firma geralmente pressupondo que seu objetivo fundamental é a maximização do lucro. Estaremos availando o resultado da interação dos indivíduos com as firmas a partir da idéia de equilíbrio, 1 O sentido de governo é amplo, figurando como o conjunto constituído pelos três poderes e ministério público. 2 É bom ressaltar, porém, que muitas das razões hoje utilizadas para a intervenção estatal está associada a alguma forma de irracionalidade. De fato, um novo campo de pesquisa conhecido como Behavioral Public Finance ( McCaffery e Slemrod, 2006) procura lidar com estas questões.

12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ECONOMIA DO SETOR PÚBLICO 11 principalmente o equilíbrio competitivo. Obviamente, em vários momentos alguns desses pressupostos representam uma aproximação pobre da realidade. Em outros a violação dos pressupostos é a própria essência da motivação da intervenção do governo. Neste sentido, freqüentmente algumas das hipóteses do modelo básico serão relaxadas para que possamos motivar a intervenção do governo e/ou verificar a robustez dos resultados alcançados. Conhecer os resultados de diversas intervenções pode não ser bastante. Assim, uma vez estabelecidas as conseqüências sobre o comportamento privado e sobre o equilíbrio daí resultante, o julgamento das diferentes políticas deve ter por base os objetivos dos formuladores de política. Há várias dificuldades conceituais relacionadas ao estabelecimento de um critério ou uma função objetivo derivada a partir das hipóteses mais básicas sobre o comportamento humano. Discutiremos essas dificuldades e mostraremos algumas soluções parciais do problema. Em geral, porém, tomaremos o caminho mais pragmático de supor a existência de uma função objetivo para o governo. Esta postura, ainda que bastante útil do ponto de vista normativo, deixa de lado uma das questões de grande interesse prático, qual seja, a questão de como as políticas são de fato escolhidas. A evolução do nosso entendimendo acerca desta pergunta é, talvez, um dos grandes avanços recentes da economia do setor público, como veremos a seguir no breve histórico da área. 1.2 Breve História da Economia do Setor Público Até recentemente,? era considerada a bíblia das finanças públicas. O mencionado autor dividia a atuação do Estado em três ramos distintos: eficiência; distribuição ou eqüidade (separado de eficiência), e; estabilização. Havia uma total separação entre as discussões de eficiência e distribuição. Essa separação deve ser contrastada com a moderna agenda de pesquisa da área, em que o trade-off eficiência-eqüidade está presente em quase todos os modelos. Vale então constatar o fato de que o campo estava principalmente focado no problema de falhas de mercado, i.e., situações em que alguma das hipóteses necessárias ao primeiro teorema do bem-estar não é válida.

13 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ECONOMIA DO SETOR PÚBLICO 12 Uma outra característica do escopo da economia do setor público diz respeito ao ramo da estabilização. Trata-se de estabilização macroeconômica tal qual introduzida na ciência econômica com as idéias keynesianas. Esse aspecto da política econômica praticamente desapareceu da agenda dos pesquisadores de economia do setor público, por necessidade de especialização. Não obstante, outros aspectos da política macroeconômica voltaram a ser incorporados na agenda dos pesquisadores de economia do setor público como a política monetária, em que regras de política são adotadas num contexto de tributação ótima. Além disso, a inclusão dos modelos de economia política para a determinação das políticas macroeconômicas efetivamente adotadas tem sido também importante objeto de pesquisa. Um outro campo mais recentemente sendo desenvolvido é a economia da regulação, em que se procura estabelecer parâmetros de eficiência que buscam incentivar a competição e estabelecer marcos regulatórios pelos quais os agentes econômicos tomam decisões Evoluções decorridas do fim dos anos 60 A partir do fim dos anos 60 a economia do setor público experimenta uma grande mudança em seu escopo e em alguns de suas abordagens metodológicas. Do pondo de vista do escopo, a preocupação com a eqüidade e aspectos distributivos das políticas governmentais em geral, voltam para o centro da agenda, após um período em que estes aspectos ficaram em segundo plano. Esta mudança baseou-se uma visão pragamtática quanto à dificuldade de produzir qualquer avanço na definição de políticas públicas quando julgamentos de valor são vistos como arbitrários sob as amarras do teorema de impossibilidade de Arrow. Uma outra mudança relevante foi a crítica à figura do governo benevolente utilizado nos modelos de finanças públicas a partir da escola da Escolha Pública (Public Choice Theory) erguida sobre as obras de Buchanan, Tullock e North. O ponto fundamental dessa literatura é o reconhecimento de que os governantes e os burocratas são também agentes racionais e motivados por interesses próprios, os quais podem ou não estar alinhados com os da sociedade. Entender os incentivos desses agentes e a maneira como as institui-

14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ECONOMIA DO SETOR PÚBLICO 13 ções políticas determinam suas escolhas é fundamental para que se conheça a forma como as políticas são efetivamente determinadas. No entanto, com algum risco de sermos por demais simplistas, coloca-se no centro das mudanças de finanças públicas um aspecto puramente metodológico: a incorporação das restrições informacionais na definição do papel e nos instrumentos do governo. Neste sentido, destacam-se as contribuições a seguir. Vickery, Clark-Groves, Tiebout. Os agentes têm informações privadas acerca de suas preferências por bens públicos, e fazem uso dessa informação privada para pegar carona nos programas de governo. Os autores mostraram como mecanismos semelhantes aos de mercado para revelar as preferências por bens públicos e/ou como mecanismos específicos podem ser desenhados para a revelação de preferências. Diamond-Mirrlees.? e? desenvolveram metodologia capaz de calcular regras de "second-best". Em particular, o uso de dualidade para resolver o problema de principal-agente, característico das funções do governo, permitiu simplificar problemas de tributação ótima e generalizar a abordagem de Ramsey. Também definiram regras para alocação de recursos do e para o setor público: Custo Marginal dos Fundos Públicos (MCF) e Teorema da Eficiência Produtiva. Mirrlees. Em? tem-se a extensão da preocupação com o problema distributivo e a teoria da tributação ótima da renda. Emergência da teoria baseada nos problemas informacionais. As imperfeições na estrutura informacional consitutem a razão fundamental para a violação dos pressupostos do 2 teorema do bem-estar social. A tributação lump-sum não é suposta impossível como no modelo de Ramsey. É a estrutura informacional que determina endogenamente os instrumentos, gerando de forma endógena o trade-off eqüidade-eficiência. Laffont, Guesnerie, Tirole e outros. Teoria da regulação dos serviços públicos. Essa literatura é também fundamentada em problemas de assimetria informacional e na moderna teoria dos contratos.

15 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ECONOMIA DO SETOR PÚBLICO 14 Estas contribuições, datando de períodos diferentes, formam a base da moderna teoria do second-best, onde se situam as escolhas fundamentais de políticas públicas. 1.3 Justificativas para Existência e Escopo do Setor Público Antes mesmo de começarmos a estudar e economia do setor público, cabe perguntar: para quê precisamos de governo? Ou, ainda, qual o papel, se é que existe algum, para a ação do estado? As respostas a estas perguntas não são consensuais e em diferentes momentos do tempo visões diferentes dominaram o debate. Vejamos a seguir algumas delas Estado Mínimo Para que a sociedade se organize com um mínimo de eficiência e organização econômica são necessários recursos, que, por sua vez, requerem financiamento, para o cumprimento dos contratos, garantia dos direitos de propriedade, garantia do cumprimento das leis criminais, etc. Os custos têm que ser arcados por todos, já que os benefícios desse "enforcement" se distribui entre os membros da sociedade. De fato, sem qualquer regulação, a atividade econômica seria caótica e as relações de troca seriam muito custosas. Em muitos casos, é mais barato (conseqüentemente mais eficiente) centralizar a arrecadação e distribuição desses recursos. Os objetivos da economia do setor público nesse caso seriam simplesmente a deteminação de como esse financiamento pode ocorrer a um custo mínimo. Um estado mínimo no sentido proposto é defendido em tempos recentes por?, por exemplo, mas o argumento central para pelo menos este mínimo de intervenção está presente na visão de contrato social de Hobbes Além do Estado Mínimo Além das atividades básicas, a intervenção estatal pode ser justificada em três tipos de situações distintas: 1. Quando a intervenção é aprovada por unanimidade, associada à idéia de melhorias de Pareto causada pela existência de falhas de mercado como paradigma competitivo inválido, externalidades, bens públicos,

16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ECONOMIA DO SETOR PÚBLICO 15 assimetria de informação, incompleteza de mercados, etc.; 2. Quando não há falhas de mercado, a intervenção se justifica devido a critérios distintos de bem-estar como eqüidade, existência de bens meritórios, etc. 3. Quando os agentes não são completamente racionais. Falhas de Mercado Há várias situações em que os pressupostos do primeiro teorema do bem-estar não são válidos. Portanto, não é genericamente verdade que o equilíbrio de mercado seja eficiente no sentido de Pareto. É costumeiro referir-se a esses ambientes como sendo aqueles em que existem falhas de mercado. Exemplo típico é a produção de poluição, geradora de externalidades negativas. Isso não é socialmente desejável e justifica a intervenção estatal regulando essa produção de alguma forma. Todavia, é importante ter em mente que a simples existência de falhas de mercado não garante um papel para o governo, já que ele pode estar sujeito às mesmas restrições que os agentes privados. Muitas vezes, porém, o governo, com seu poder de coerção (cujo exemplo máximo é o poder de tributar), é capaz de implementar alocações que não seriam possíveis simplesmente se deixadas às forças de mercado. Pouca controvérsia há, neste caso, quanto ao mérito de tal intervenção 3. A grande maioria dos pensadores defende a intervenção do governo em situações nas quais alguém ganhe sem que ninguém mais perca. Cabe notar, no entanto, que o escopo de ação governamental é bastante limitado. Além disso, a mencionada unanimidade é somente garantida para o caso em que não haja várias intervenções alternativas, pelas quais diferentes ganhos para as diferentes pessoas sejam possíveis. Eqüidade Eqüidade, no sentido mais convencional, relaciona-se a espectos distributivos da renda. O critério de Pareto de eficiência só define um ordenamento parcial, nada dizendo sobre questões distributivas e sendo omisso a respeito da maior parte dos julgamentos interessantes, justamente quando duas alocações não são comparáveis do ponto de vista de Pareto. 3 Ainda assim, nada na formulação de Nozick, por exemplo, legitima a ação do governo.

17 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ECONOMIA DO SETOR PÚBLICO 16 Assim, costuma-se definir uma função de bem-estar social que é Paretiana, mas que também permite a comparação de utilidades entre os agentes. Há algumas tentativas de justificar a adoção de criterios de comparaçã. Em tempos recentes, a mais conhecida justificativa ética para a adoção de um critério é de comparação entre os indivíduos é encontrada no livro?. Para os economistas, porém, a abordagem de Harsanyi (???) talvez seja ainda mais clara. Irracionalidade Finalmete, há bens (ou males) meritórios, que podem ser justificados com base na idéia de que as pessoas simplesmente não sabem o que é bom para elas. Neste caso, existe uma pressuposição de que aquilo que faz as pessoas mais felizes não é necessário aquilo que elas preferem. Estes modelos costumam invocar algum tipo de irracionalidade por parte dos agentes. Por limitação de espaço, deixaremos de abordar este tipo de motivação. Uma outra forma de irracionalidade ocorre quando as pessoas ainda que consigam estabelecer o que é melhor para elas não têm auto-controle suficiente para fazer essas escolhas. O pressuposto geral é de que várias dessas decisões são tomadas com base na emoção, e não com base na razão Visão do Estado O fato de que o Estado pode aliviar (ou, em alguns casos, eliminar completamente) problemas de falha de mercado, além de promover eqüidade, não quer dizer que ele o faça, nem necessariamente explica a sua existência. Não abordaremos a visão positiva do Estado, que discute o que o Estado faz, mas tão somente a visão normativa que discute o que deve fazer num sentido bem específico, a saber: não se pretende dizer quais os objetivos do governo, mas de entender como as recomendações de política variam como função dos objetivos. A discussão sobre o que o Governo efetivamente faz costumava situarse na esfera da ciência política, mas o campo da economia política permite o exame desses assuntos a partir dos pressupostos usuais da ciência econômica. Como vimos, esta é a grande inovação produzida pela escola da Public Choice. A não-discussão desses temas deve-se não à menor relevância do

18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ECONOMIA DO SETOR PÚBLICO 17 tema, mas à menor competência dos autores destas notas em tratá-lo.

19 Parte II Revisão de Microeconomia 18

20 Capítulo 2 Teoria da Escolha Individual Há duas abordagens principais distintas para a modelagem da escolha individual. Em primeiro lugar existe uma teoria que define os gostos ou relações de preferência como as características primitivas do indivíduo. Axiomas de racionalidade são impostos e verifica-se as conseqüêncais para as escolhas observáveis. Uma abordagem alternativa considera a escolha em si como característica primitiva e impõe restrições diretamente sobre esse comportamento. A hipótese central dessa abordagem é o axioma fraco da preferência revelada, que impõe restrições ao tipo de comportamento que se espera observar. Nosso foco será a primeira abordagem, simplesmente por ser aquela com que todos estão mais familiarizados. A abordagem tradicional é formada por quatro elementos básicos: i) o conjunto de consumo; ii) o conjunto factível (ou conjunto orçamentário), iii) a relação de preferência e iv) a hipótese comportamental O Conjunto de Consumo O conjunto de todas as cestas que podem ser consumidas é chamado de conjunto de consumo. Define a totalidade de possibilidades de consumo que um agente pode conceber. Restrições físicas e/ou institucionais definem o conjunto de consumo. Formalmente, seja X o conjunto de consumo e x, um elemento desse conjunto. Vamos sempre supor que: i) = X R n +; ii) X é fechado e convexo, e: iii) 0 X. Na maioria dos casos trabalharemos com X = R n +. Neste caso, x = 19

21 CAPÍTULO 2. TEORIA DA ESCOLHA INDIVIDUAL 20 (x 1,..., x n ) R n + é uma cesta de consumo (plano de consumo, cesta de bens). Neste caso, x i 0 é a quantidade consumida do bem i (good, commodity) O Conjunto Orçamentário Também conhecido como conjunto de oportunidades, é um subconjunto B X que corresponde às alternativas factíveis para o agente. Conjunto orçamentário competitivo Considere o B definido por B {x X px y} onde p é o vetor de preços dos bens, x o vetor de quantidades e y a renda do indivíduo. Ou seja, o conjunto de cestas tais que n i=1 p ix i y. Este é o conjunto orçamentário competitivo já que os preços não dependem da quantidade demandada. É isto o que garante que a restrição orçamentária seja linear. Pressupõe implicitamente a existência de mercados eficientes e sem custos de transação. Restrições Não-lineares Exemplos de restrições não-lineares. i) Numa economia de escambo, preços de compra e venda podem ser diferentes, pois há custos em encontrar pessoas que queiram comprar os bens que você quer vender, ou pessoas que queiram vender os bens que você quer comprar. [existem custos de transação] ii) Um motivo para a existência de restrições não-lineares em economias monetizadas é a imposição de tarifas de duas partes. [mercados não são competitivos e existem custos de transação] iii) Problemas de escolha entre renda e lazer (i.e., oferta de trabalho) normalmente apresentam quebras na restrição orçamentária. [idem] iv) Escolha intertemporal quando o mercado de capitais é imperfeito [existem custos de transação]. v) Escolha social quando redistribuição afeta a estrutura de incentivos. [mercados não competitivos e custos de transação] Implicações da Restrição Linear Suponha a existência de funções de demanda, i.e., uma regra fixa que es-

22 CAPÍTULO 2. TEORIA DA ESCOLHA INDIVIDUAL 21 tabelece uma associação entre um conjunto de orçamentário B e uma cesta escolhida pelo agente. Como um conjunto orçamentário competitivo é totalmente determinado definido por meio de (y, p) podemos representar essa função (regra) por x (y, p), i.e., para cada bem i = 1,..., n, (abusando um pouco da notação), x i = x i (y, p), a função de demanda marshalliana (ou walrasiana, segundo?) Hipótese: indivíduos sempre escolhem uma cesta de consumo sobre a reta orçamentária (bens são bens ). Não há necesidade de se impor nenhuma outra hipótese sobre o comportamento do consumidor para que os resultados seguintes sejam válidos. A primeira restrição sobre as demandas é conhecida como adding-up : p kx k (y, p) = y k Se as demandas forem diferenciáveis, temos que o adding-up implica yx k (y, p) p k = 1, k e ix k (y, p) p k + x i = 0 k Essas duas condições também são conhecidas como agregação de Engel e agregação de Cournot, respectivamente. A segunda restrição é de que as funções de demanda são homogêneas de grau zero em preços e renda, i.e., para todo escalar λ > 0, e todo bem, i, temos que x i (λy, λp) = x i (y, p). A propriedade é uma conseqüência imediata do fato de que (λy, λp) e (y, p) definem o mesmo conjunto, B. Se a função demanda for diferenciável, homogeneidade implica em y x i (y, p) y + kx i (y, p) p k = 0 k Todas as três propriedades podem ser escritas por meio de elasticidades.

23 CAPÍTULO 2. TEORIA DA ESCOLHA INDIVIDUAL Elasticidades No presente momento estaremos interessados em duas elasiticidades relevantes da função demanda: 1 Elasticidade-renda η i y x i (p, y) y x i Elasticidade-Preço (quando i j elasticidade cruzada, quando i = j elasticidade própria) ε ij j x i (p, y) p j x i Voltemos agora à agregação de Engel, Já a agregação de Cournot, yx k (y, p) y k x }{{ k } η k k ix k (y, p) p i x k } {{ } ε k i x k p k y }{{} w k p k x k y }{{} w k = 1. + p ix i = 0. y }{{} w i Como vimos ambas são conseqüências da propriedade de adding-up. Finalmente, a equação de Euler associada à homogeneidade de grau zero em preços e renda da demanda pode ser reescrita como y x i (y, p) y + x kx i (y, p) p k = 0. }{{} i k x }{{ i } η i ε i k Adding-up e homogeneidade são as duas únicas restrições sobre as funções de demanda que resultam exclusivamente da hipótese de que o consumidor escolhe uma cesta na fronteira de um conjunto orçamentário competitivo. 1 Lembremos que, seja y = f (x), então definimos a elasticidade de y com relação a x como dy/y dx/x = f x (x) f (x).

24 CAPÍTULO 2. TEORIA DA ESCOLHA INDIVIDUAL Preferências As preferências são representadas por uma relação binária 2,, definida em X tal que se x 1 x 2, dizemos que x 1 é preferível à cesta x 2 (ou pelo menos tão boa quanto ). Os axiomas principais são: Axioma 1: Completeza. x 1, x 2 temos que ou x 1 x 2 ou x 1 x 2 (ou ambos) Axioma 2: Transitividade. x 1, x 2, x 3, temos que se x 1 x 2 e x 2 x 3, então x 1 x 3 Definição A relação binária definida no conjunto de consumo X é chamada uma relação de preferência racional se satisfizer os axiomas 1 e 2. A partir da relação duas novas relações podem ser definidas: A relação binária representa: x 1 x 2 x 1 é estritamente preferível à x 2 (ou é melhor do que ). É definida da seguinte maneira: x 1 x 2 x 1 x 2 e x 2 x 1. A relação binária representa: x 1 x 2 x 1 é indiferente à x 2. É definida da seguinte maneira: x 1 x 2 x 1 x 2 e x 2 x Hipótese Comportamental Agora acrescentamos o último elemento da nossa teoria da escolha: a hipótese comportamental. Hipótese comportamental: consumidores racionais escolhem a melhor (de acordo com suas ordenações de preferências) cesta x factível (i.e., dentro do conjunto orçamentário B): x B tal que x x para todo x B 2 Uma relação binária definida em um conjunto X é uma regra que define subconjuntos específicos de X X.

25 CAPÍTULO 2. TEORIA DA ESCOLHA INDIVIDUAL 24 Chamaremos o problema acima de o problema do consumidor. A primeira pergunta relevante é: o problema do consumidor tem solução? Para garantir existência de solução no problema do consumidor, precisamos impor um axioma adicional às preferências e um pouco mais de estrutura ao conjunto orçamentário. Com relação ao cojunto orçamentário, quando B { x R n +; px y }, vamos supor que p 0, ou seja, todos os preços são estritamente positivos. Já para as preferências consideraremos o seguinte axioma técnico. Axioma 3: Continuidade. x R n +, o conjunto das cestas pelo menos tão boas quanto x, (x), e o conjunto das cestas que não são melhores que x, (x), são fechados em R n +. Ou seja, uma seqüência de cestas {x n } n=0 tais que xn x 0 n e x n x. Então x x 0. Com preços positivos, temos que o conjunto orçamentário, B, é fechado e limitado (i.e., compacto). Como veremos, preferências racionais e contínuas admitem uma representação por uma função utilidade contínua. Uma função utilidade contínua definida em um conjunto compacto tem sempre pelo menos um máximo Preferências e Utilidade Como dissemos, é possível representar preferências por meio de uma função utilidade contínua. De fato, temos os seguintes resultados formais. Definição Uma função u : R n + R é uma função utilidade que representa a relação de preferências se x 0, x 1 R n +, u ( x 0) u ( x 1) x 0 x 1. Se as preferências são completas, transitivas e contínuas, existe pelo menos uma função utilidade contínua que as representa. Teorema 1 Se uma relação de preferências,, pode ser representada por uma função u : X R, então é racional (i.e., completa e transitiva).

26 CAPÍTULO 2. TEORIA DA ESCOLHA INDIVIDUAL 25 Teorema 2 Se é completa, transitiva, e contínua, existe uma função real contínua u : R n + R que representa. Note que se existe pelo menos uma função utilidade que representa as preferências, existem infinitas, pois funções utilidade são invariantes em relação a tranformações monotônicas. Se f : R R é estritamente crescente, f [ u ( x 0)] f [ u ( x 1)] u ( x 0) u ( x 1) x 0 x 1 Dada a hipótese comportamental de que consumidores racionais escolhem a melhor (de acordo com suas ordenações de preferências) cesta x factível (i.e., dentro do conjunto orçamentário B), o problema do consumidor pode ser escrito como x B tal que x x para todo x B (2.1) Essa escolha pode ser convenientemente representada por um problema de maximização de utilidade, max u (x) sujeito a y px (2.2) x R n + Como o problema (2.2) é equivalente a (2.1) e como vimos que existe solução para (2.1) então exite solução para (2.2). Antes de avançarmos na caracterização de (2.2), será conveniente impor axiomas adicionais às preferências. Cada um destes axiomas adicionais implicará em propriedades específicas das funções utilidades capazes de representar estas preferências. Axioma 4 : Não-saciedade local. x 0 R n + e todo ε > 0, existe pelo menos um x B ε ( x 0 ) R n + tal que x x 0. Axioma 4: Monotonicidade estrita. 3 x 0, x 1 R n +, se x 0 x 1, então x 0 x 1, e se x 0 x 1, então x 0 x 1. 3 Notação: Para dois vetores x 0 e x 1, escrevemos:

27 CAPÍTULO 2. TEORIA DA ESCOLHA INDIVIDUAL 26 Note que a hipótese de monotonicidade estrita não é violada quando dois bens são complementares perfeitos. Axioma 5 : Convexidade. Se x 1 x 0, então tx 1 + (1 t) x 0 x 0, para todo t [0, 1] Uma maneira de pensar em convexidade é imaginar que se uma cesta x 1 é (fracamente) melhor do que uma outra cesta x 0, a cesta criada pela mistura das duas não pode ser pior do que x 0. Naturalmente podemos pensar em vários exemplos em que este axioma é violado, mas o adotaremos com freqüência. Há pelo menos duas boas razões para assim o fazermos. Primeiro, se o conjunto orçamentário relevante for o conjunto Walrasiano, a não convexidade (assim como a nãomonotonicidade) não é empiricamente observável. Em segundo lugar a hipótese de convexidade das preferências será particularmente útil quando formos estudar equilíbrio. Axioma 5: Convexidade estrita. Se x 1 x 0 e x 1 x 0, então tx 1 + (1 t) x 0 x 0, para todo t (0, 1) Convexidade estrita garante a unicidade da solução do problema do consumidor. Em vez de trabalharmos com correspondências trabalharemos com funções, o que é bastante conveninente. No que se segue cosideraremos algumas propriedades das funções passíveis de representar preferências que satisfazem os axiomas extras que impusemos. Definição: Uma função f : R n R é dita quase-côncava se t (0, 1) f ( tx 0 + (1 t) x 1) min { f ( x 0) ; f ( x 1)} Definição: Uma função f : R n R é dita estritamente quase-côncava se x 0 x 1 quando todos os elementos de x 0 forem maiores ou iguais aos correspondentes de x 1 x 0 > x 1 quando todos os elementos de x 0 forem maiores ou iguais aos correspondentes de x 1, com pelo menos um elemento estritamente maior x 1 x 0 quando todos os elementos de x 0 forem estritamente maiores aos correspondentes de x 1.

28 CAPÍTULO 2. TEORIA DA ESCOLHA INDIVIDUAL 27 t (0, 1), x 0 x 1 f ( tx 0 + (1 t) x 1) > min { f ( x 0) ; f ( x 1)} t (0, 1) Usando estas definições temos que: u (x) é estritamente crescente é estritamente monotônica. u (x) é quase-côncava é convexa. u (x) é estritamente quase-côncava é estritamente convexa. Finalmente, vale notar que se uma função f : R n R é quase-côncava, e continuamente diferenciável, então x f (x) (x x) 0 sempre que f (x ) f (x). De fato, f ( tx + (1 t) x ) =f ( t ( x x ) + x ) f (x) = min { f (x) ; f ( x )} = f ( t ( x x ) + x ) f (x) 0 dividindo por t e tomando limite com t 0, temos x f (x) (x x) 0. A interpretação geométrica desse fato é que o gradiente em x de uma função quase-côncava faz um ângulo agudo com todos os elementos do conjunto A { x R n ; f ( x ) f (x) }, e sua pricipal consequência é que um ponto estacionário do Lagrangeano associado ao problema do consumidor é um ponto de máximo global. 2.1 Resolvendo o Problema da Escolha do Consumidor Suporemos que u (x) é diferenciável e estritamente quase-côncava (axioma 5) para podermos aplicar o método dos multiplicadores de Kuhn-Tucker: 1. Escreva o Lagrangeano, L (x,λ, µ) = u (x) + λ [y px] + µx. 2. Tire as condições de primeira ordem (para todo i = 1,..., n), xi L = xi u (x ) λ p i + µ i = 0.

29 CAPÍTULO 2. TEORIA DA ESCOLHA INDIVIDUAL Escreva as restrições de não-negatividade, y px 0 x i 0 e i. 4. Escreva as condições de complementary slackness, λ [y px ] = 0 e µ i x i = 0 i. 5. Imponha a não-negatividade dos multiplicadores λ 0 e µ i 0 i. Perceba que o método de Kuhn-Tucker tem vários disfarces (ver? ou?). Em geral, essas são apenas condições necessárias. Porém, dadas as nossas hipóteses de convexidade das preferências e do conjunto orcamentário, elas são também suficientes. 4 Durante a maior parte do curso lidaremos com o caso em que não precisamos nos preocupar com as restrições de não-negatividade. Além disso, suporemos sempre monotonicidade, o que nos garante que a restrição y px será sempre ativa Utilidade Indireta A função de utilidade indireta tem por argumentos o vetor de preços, p, e a renda, y, do indivíduo. max x R n v(p, y) + u (x) s.t. y px. Se o problema de maximização tem solução única, i.e., define-se a função de demanda marshalliana, x(p, y), de acordo com arg max x R n x(p, y) + u (x) s.t. y px 4 Seja x um ponto satisfazendo as condições necessárias de 1 a 5 com x 0 e px = y. Seja, então, x uma cesta tal que u(x ) > u(x ). Então, pela quase-concavidade de u(.) temos que u(x )[x x ] > 0. Como u(x ) = λp, então px > px = y.

30 CAPÍTULO 2. TEORIA DA ESCOLHA INDIVIDUAL 29 Note que a utilidade indireta também pode ser escrita como v(p, y) = u (x(p, y)). A seguir, apresentaremos as propriedades da função utilidade indireta e da demanda marshalliana. Propriedades de v(p, y): Se u (x) é contínua e estritamente crescente em R n +, temos que v(p, y) é 1. Contínua em R n ++ R + 2. Homogênea de grau zero em (p, y) 3. Estritamente crescente em y 4. Decrescente em p 5. Quase-convexa em (p, y) 6. A Identidade de Roy: se v(p, y) é diferenciável no ponto (p 0, y 0 ) e v(p 0, y 0 )/ y 0, então Demanda Marshalliana Propriedades das Funções de Demanda x i ( p 0, y 0) = iv(p 0, y 0 ) y v(p 0, y 0 ). 1. Homogeneidade e Equilíbrio Orçamentário (agregações de Engel e Cournot). 2. Simetria e negatividade semi-definida da matriz de Slutsky: s(p, y) 1 x 1 + ( y x 1 ) x 1... n x 1 + ( y x 1 ) x n x n + ( y x n ) x 1... n x n + ( y x n ) x n Adiaremos a demonstração até havermos discutido a equação de Slutsky.

31 CAPÍTULO 2. TEORIA DA ESCOLHA INDIVIDUAL A Função Gasto (Despesa) Considere o seguinte problema. Pergunte ao consumidor quanto de dinheiro (ou renda) ele precisa para atingir um determinado nível de utilidade. Ou seja, qual é a despesa mínima, min px, (2.3) x R n + necessária para que u (x) u. (2.4) A solução desse problema define a função despesa que tem por argumentos o vetor de preços, p, e a utilidade, u, de acordo com min x R n e(p, u) + px s.t. u (x) u. Graficamente, fixa-se uma curva de indiferença e encontra-se a curva de isogasto que a tangencia. Se o problema de minimização tem solução única, então a função de demanda hicksiana (ou compensada) χ(p, u) existe, e a função gasto também pode ser escrita como e(p, u) = pχ(p, u). Variando-se o vetor de preços a demanda hicksiana nos dá a forma como a demanda varia com os preços mantendo a utilidade constante. Propriedades da função despesa Defina U { u (x) x R n +}.Se u (x) é contínua e estritamente crescente em R n +, temos que e(p, u) é 1. Igual a zero quando u atinge o seu valor mínimo em U. 2. Contínua em R n ++ U. 3. Para todo p 0, estritamente crescente e sem limite superior em u. 4. Não-decrescente em p 5. Homogênea de grau 1 em p 6. Côncava em p

32 CAPÍTULO 2. TEORIA DA ESCOLHA INDIVIDUAL Lema de Shephard: se e(p, u) é diferenciável no ponto (p 0, u 0 ) e p 0 0, então i e(p 0, u 0 ) = χ i (p 0, u 0 ) Demanda Hicksiana Vejamos agora as propriedades da demanda Hicksiana, 1. A curva de demanda de Hicks é não-positivamente inclinada; i.e., 0 i χ i (p, u) 2. A matriz de substituição (de Hicks) é negativa semi-definida. 3. Simetria: Σ(p, u) é simétrica, i.e., 1 χ 1 (p, u)... n χ 1 (p, u) Σ(p, u) χ n (p, u)... n χ n (p, u) j χ i (p, u) = i χ j (p, u) 4. Homogeneidade: Para todo (p, u) e todo t > 0, χ i (tp, u) = χ i (p, u) Problemas Duais Considere os seguintes problemas de otimização problema A max x R n + u (x) sujeito à y px problema B min x R n + px sujeito à u (x) u Se u (x) é contínua e estritamente crescente em R n +, p 0, y > 0, u U, então e(p, v(p, y)) = y, e v(p, e(p, u)) = u.

33 CAPÍTULO 2. TEORIA DA ESCOLHA INDIVIDUAL 32 Além disso, se u (x) é contínua, estritamente crescente e estritamente quase-côncava em R n +, então para p 0, y > 0, u U, Senão vejamos A Equação de Slutsky x i (p, y) = χ i (p, v(p, y)) i χ i (p, u) = x i (p, e(p, u)) i. A equação de Slutsky representa uma decomposição da demanda (observável) marshalliana em duas partes: efeito substituição e efeito renda. Demonstração: Vimos que j x i (p, y) = }{{} j χ i (p, u ) }{{} y x i (p, y)x j (p, y) }{{} efeito-preço efeito-substituição efeito-renda χ i (p, u) x i (p, e(p, u)) Como se trata de uma identidade, podemos diferenciá-la com relação a p j para obter j χ i (p, u) = j x i (p, e(p, u)) + y x i (p, e(p, u)) j e(p, u), }{{} x j (p,y) onde a última igualdade é conseqüência do lema de Shephard. Demonstração da última propriedade da demanda marshalliana: É suficiente notar que s(p, y) = σ(p, u), ou seja a matriz cujas entradas são dadas por x i / p j + x j ( x i / y) é a matriz jacobiana das demandas compensadas que é simétrica e negativa semi-definida por ser igual à matriz hessiana da função despesa Bens Complementares e Substitutos Dizemos que dois bens são complementares (substitutos) brutos se ε ij 0 (ε ij 0).

34 CAPÍTULO 2. TEORIA DA ESCOLHA INDIVIDUAL 33 Dizemos que dois bens são complementares (substitutos) Hicksianos se ˆε ij 0 (ˆε ij 0). compelementares ˆε ij 0 substitutos ˆε ij 0 Observação: O conceito de complementar ou substituto bruto pode não estar bem definido. Isto porque o bem j pode ser complementar bruto do bem i, mas o bem i ser substituto bruto do bem j. 2.2 A Demanda Excedente Em muitos casos (vocês verão isso exaustivamente quanto estudarem equilíbrio geral) é interessante considerar que a renda não cai simplesmente do céu, mas é produto da venda da dotação inicial do agente (essa é que agora cai do céu). Como incorporar isso na teoria que estudamos? Suponha que em vez de uma renda o agente possua uma dotação inicial x de bens que possa vender no mercado para comprar as mercadorias que são de seu interesse. Neste caso, seu problema de maximização passa a ser max x R n ˆv (p; x) + u (x) s.t. p x px, (2.5) ou seja, o total do que compra não pode custar mais do que o total do que vende. O que acontece com a demanda de um bem j quando aumenta o preço do bem i? Primeiro, há o efeito tradicional medido pela demanda marshalliana x j / p i. Mas a renda do agente também é afetada de modo independente pelo aumento de p i. De fato, seja y p x. Podemos, então escrever o efeito total a partir da demanda marshalliana: dx j = { i x j (p,y) + y x j (p,y) dy } dp i dp i = { i x j (p,y) + y x j (p,y) x i } dp i

35 CAPÍTULO 2. TEORIA DA ESCOLHA INDIVIDUAL 34 Subsitutindo na Equação de Slutsky: dx j = {( i χ j (p,u) y x j (p,y) x i ) + y x j (p,y) x i } dp i = { i χ j (p,u) y x j (p,y) (x i x i )} dp i Neste caso, saber que um bem é normal não garante que possamos determinar o efeito de uma aumento no seu preço sobre a demanda. De fato, isso dependerá de ser o indivíduo um demandante ou ofertante líquido do bem. Consideremos, então duas aplicações importantes dessa discussão: Aplicações Oferta de Trabalho Seja w o salário (i.e. o preço do lazer). Então, a pessoa tem uma dotação inicial de L horas (e.g., 168 horas semanais). Ela vende L l (e.g., 40 horas semanais) no mercado de trabalho e consome l (168-40=128 horas) de lazer. Com o salário recebido, o agente consome bens a um preço p. Podemos escrever o problema do consumidor/trabalhador como ˆv ( p,w; L ) max u (x,l) l R +,x R n 1 + s.t. w ( L ). l px Ou seja, se escrevermos y = w L, estaremos com um problema idêntico a (2.5), onde um dos bens é o lazer e a dotação inicial é L: max u (x,l) l R,x R n 1 +. s.t. w L px+wl Logo, podemos escrever a equação de Slutsky dl = { w l h (p,w,u) y l h (p,w,y) ( l L )} dw O que acontece quando o lazer é normal? Qual a direção do efeito renda?? Escolha Intertemporal ˆv ( 1, R 1 ) max ; x 1, x u (x 1) + βu (x 2 ) x 2. s.t. x 1 + x 2 R 1 x 1 + x 2 R 1

36 CAPÍTULO 2. TEORIA DA ESCOLHA INDIVIDUAL 35 A restrição orçamentária do agente deve ser lida como o valor presente do consumo não pode ser maior do que o valor presente da renda. O vetor de preços é p = ( 1, R 1), onde R é a taxa de juros bruta: 1 + r. Há suas coisas a serem compreendidas. 1) O aumento da taxa de juros é uma redução em um preço: o preço do consumo futuro. 2) O efeito renda, mais uma vez depende de o agente ser ofertante (devedor) ou demandante líquido (poupador) de consumo futuro Preços não-lineares Implícita na decomposição de Slutsky está a hipótese de que o preço da unidade marginal de um bem é igual ao preço das unidades inframarginais. Assim, a variação do preço atinge de forma igual todas as unidades compradas. Com preços não lineares, isto deixa de ser o caso, e precisamos de novas formas de lidar com o efeito renda. Imposto de renda progressivo Imposto progressivo introduz não-linearidade na restrição orçamentária dos agentes. Ainda assim, a restrição orçamentária é convexa, o que (considerando as hipóteses que já estamos adotando) preserva a continuidade da oferta de trabalho. A grande novidade aqui diz respeito ao tratamento do efeito-renda, para o que faremos uso do conceito de renda virtual. No entanto, postergaremos até o capítulo XXX esta discussão. Descontos No caso de descontos o problema ganha um grau extra de complexidade, já que o conjunto orçamentário deixa de ser convexo, e a continuidade das preferências deixa de ser suficiente para se garantir a continuidade das escolhas. Novas hipóteses sobre a estrutura das preferências e da função de preço podem garantir uma análise local, mas estas tendem a ser restirtivas. (Ver?) 2.3 Bem-Estar O que queremos é saber como varia o bem-estar do agente quando variam os preços. A própria questão já aponta uma dificuldade fundamental, relacionada à mensuração do bem-estar. Ou seja, qual a métrica? Devmos atribuir à utilidade um sentido cardinal? Não estaríamos regredindo teori-

37 CAPÍTULO 2. TEORIA DA ESCOLHA INDIVIDUAL 36 camente? Procuraremos responder a essas perguntas à medida em que apresentamos as diferentes medidas de bem-estar (ou de sua variação): (i) Excendente do Consumidor; (ii) Variação Compensatória, e; (iii) Variação Equivalente O Excedente do Consumidor Suponha que nós possamos ter uma representação legítima do bemestar por meio de uma função utilidade. A variação da utilidade quando os preços passam de p 0 para p 1 é, então, dada por v ( p 1, y ) v ( p 0, y ). Começaremos por considerar o caso em que somente um preço variou; o preço do bem i, p i. Neste caso, podemos escrever v ( p 1, y ) v ( p 0, y ) = Pela Identidade de Roy, sabemos que O que nos permite escrever ˆ p1 p 0 i v (p, y) dp i. i v (p, y) y v (p, y) x i (p, y) v ( p 1, y ) v ( p 0, y ) ˆ p1 = y v (p, y) x i (p, y) dp i p 0 Suponhamos, então, que v (p, y) / y seja constante. Neste caso, 1 y v (p, y) ˆ p1 p 0 i v (p, y) dp i = ˆ p1 p 0 x i (p, y) dp i Ou seja, a variação no bem estar é proporcional à variação na área abaixo da curva de demanda que chamamos de excedente do consumidor. Note que ao dividirmos por v y estamos transformando em uma métrica que não depende da função utilidade específica. Um bônus adicional pela hipótese restritiva de y v (p, y) constante!!!